BPhO Round 1 2023 — Section 1

a) A skier of mass $m$ moves from rest down a slope of angle $\theta$ to the horizontal. The skier experiences a constant resistive force, $F_r$. At time $t$ they have travelled a distance $d$ down the slope. Obtain an expression for $F_r$ in terms of the quantities given, and the acceleration due to gravity $g$. [3]

Risposta: $F_r=m\left(g\sin \theta -\frac{2d}{t^2}\right)$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 1. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

a) Uno sciatore di massa $m$ parte da fermo e scende lungo un pendio inclinato di un angolo $\theta$ rispetto all’orizzontale. Lo sciatore è soggetto a una forza resistente costante $F_r$. Al tempo $t$ ha percorso una distanza $d$ lungo il pendio. Ricava un’espressione per $F_r$ in funzione delle grandezze date e dell’accelerazione di gravità $g$. [3]

Risposta: $F_r=m\left(g\sin \theta -\frac{2d}{t^2}\right)$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

b) A car of mass 1200 kg tows a caravan of mass 600 kg. The resistive forces acting on the car and caravan are proportional to their individual weights and their sum equals 900 N. The vehicle accelerates at 2.0 m s${}^{-2}$ on a flat road.

(i) What force is exerted by the engine?

(ii) What is the tension in the tow bar?

(iii) What is the power being converted by the engine after 5 s? [3]

Risposta: (i) 4500 N; (ii) 1500 N; (iii) 45 000 W

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 1. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

b) Un’automobile di massa 1200 kg traina una roulotte di massa 600 kg. Le forze resistenti che agiscono su auto e roulotte sono proporzionali ai rispettivi pesi e la loro somma vale 900 N. Il veicolo accelera a 2,0 m s${}^{-2}$ su una strada piana.

(i) Quale forza esercita il motore?

(ii) Qual è la tensione nella barra di traino?

(iii) Qual è la potenza erogata dal motore dopo 5 s? [3]

Risposta: (i) 4500 N; (ii) 1500 N; (iii) 45 000 W

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

c) The distance between village A and village B is 50 km. Helen and Robert decided to cycle from A to B. Robert left A at 8.00 am, with a speed of 12 km h${}^{-1}$ and had a break of 30 minutes. Helen left at 8.30 am, did not have a break and reached B an hour before Robert. What was Helen’s speed? [3]

Risposta: $v_H=(50\times 12)/38\approx 16$ km h${}^{-1}$ (15.8)

Soluzione:

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

c) La distanza tra il villaggio A e il villaggio B è di 50 km. Helen e Robert decidono di andare in bicicletta da A a B. Robert parte da A alle 8:00, con velocità 12 km h${}^{-1}$, e fa una pausa di 30 minuti. Helen parte alle 8:30, non fa pause e arriva a B un’ora prima di Robert. Qual era la velocità di Helen? [3]

Risposta: $v_H=(50\times 12)/38\approx 16$ km h${}^{-1}$ (15,8)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

d) A uniform plank of mass $m$ stands on a smooth floor and leans against a smooth wall at an angle $\alpha$ to the horizontal. It is held in place by a horizontal string attached to the bottom of the ladder and to the bottom of the wall, as shown in Fig. 1. What is the tension, $T$, in the string in terms of $m$, $g$ and $\alpha$?

Figure 1: Plank on a smooth floor leaning against a smooth wall held in place by a light string (dotted line). [3]

Risposta: $T=\frac{1}{2}mg\cot \alpha$

Soluzione:

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Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

d) Un’asse omogenea di massa $m$ poggia su un pavimento liscio ed è appoggiata a una parete liscia formando un angolo $\alpha$ con l’orizzontale. È tenuta ferma da una fune orizzontale fissata alla base della scala e alla base della parete, come in Fig. 1. Qual è la tensione $T$ nella fune in funzione di $m$, $g$ e $\alpha$?

Figura 1: asse su un pavimento liscio appoggiata a una parete liscia, tenuta ferma da una fune leggera (linea tratteggiata). [3]

Risposta: $T=\frac{1}{2}mg\cot \alpha$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

e) An object falls under gravity. The ratio of the distance fallen by the object in the last second of its fall to the distance covered in the last but one second of its fall is 3 : 2.

(i) Find the height from which the object fell, and

(ii) The speed at which it hit the ground. [3]

Risposta: $T=3.5$ s; (i) $h\approx 60$ m; (ii) $v\approx 34$ m s${}^{-1}$

Soluzione:

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

e) Un oggetto cade sotto l’azione della gravità. Il rapporto tra la distanza percorsa nell’ultimo secondo di caduta e quella percorsa nel penultimo secondo è 3 : 2.

(i) Trova l’altezza da cui è caduto l’oggetto e

(ii) la velocità con cui ha colpito il suolo. [3]

Risposta: $T=3,5$ s; (i) $h\approx 60$ m; (ii) $v\approx 34$ m s${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

f) A mass $m$ is suspended from a horizontal rod by two identical wires of negligible weight, each at angle $\theta =30^{\circ }$ to the vertical when attached to points A and B on the rod as shown in Fig. 2. The tension in each wire is $T$.

Figure 2: A mass suspended from two wires.

(i) Obtain an expression for $T$, the tension in each wire, in terms of $m$ and $g$.

(ii) The wire BC is now cut. At the same instant the tension in wire AC, $T_{AC}$, will change as the system is now in motion. What is the ratio $\frac{T_{AC}}{T}$? [3]

Risposta: (i) $T=mg/\sqrt{3}$; (ii) $T_{AC}=mg\cos 30^{\circ }$, $T_{AC}/T=3/2$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning Objects: String, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

f) Una massa $m$ è appesa a un’asta orizzontale mediante due fili identici di peso trascurabile, ciascuno inclinato di $\theta =30^{\circ }$ rispetto alla verticale, fissati ai punti A e B dell’asta come in Fig. 2. La tensione in ciascun filo è $T$.

Figura 2: una massa appesa a due fili.

(i) Ricava un’espressione per $T$, la tensione in ciascun filo, in funzione di $m$ e $g$.

(ii) Il filo BC viene tagliato. Nello stesso istante la tensione nel filo AC, $T_{AC}$, cambia perché il sistema si mette in moto. Quanto vale il rapporto $\frac{T_{AC}}{T}$? [3]

Risposta: (i) $T=mg/\sqrt{3}$; (ii) $T_{AC}=mg\cos 30^{\circ }$, $T_{AC}/T=3/2$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning Objects: String, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

g) The resistance of a copper wire 1 m long with a mass of 1 g is 0.15 Ω. Find the length of a wire of the same material with a mass of 1000 kg and a resistance of 6000 Ω. [3]

Risposta: ${\ell }^2\propto Rm$, ${\ell }_2=2.0\times 10^5$ m

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

g) La resistenza di un filo di rame lungo 1 m e di massa 1 g è 0,15 Ω. Trova la lunghezza di un filo dello stesso materiale di massa 1000 kg e resistenza 6000 Ω. [3]

Risposta: ${\ell }^2\propto Rm$, ${\ell }_2=2,0\times 10^5$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

h) A glass block, with a reflecting lower surface, is shaped as a rectangular slab but whose left and right sides are curved in the shape of quarter circles of radius $R$, as shown in Fig. 3. A ray of light enters horizontally from the left and passes out through the right side of the block at the same height above the base. The length of the top plane surface is $\ell$.

Figure 3: Light passing through a glass block.

If the depth of the block is 2.0 cm and the refractive index $n=1.46$, what would be the minimum value of $\ell$ to satisfy this situation? [3]

Risposta: $\ell =\frac{2R}{\sqrt{n^2-1}}\approx 3.5$ cm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Prism, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

h) Un blocco di vetro con la superficie inferiore riflettente ha la forma di una lastra rettangolare i cui lati sinistro e destro sono curvi, a forma di quarti di circonferenza di raggio $R$, come in Fig. 3. Un raggio di luce entra orizzontalmente da sinistra ed esce dal lato destro del blocco alla stessa altezza dalla base. La lunghezza della superficie piana superiore è $\ell$.

Figura 3: luce che attraversa un blocco di vetro.

Se lo spessore del blocco è 2,0 cm e l’indice di rifrazione è $n=1,46$, qual è il valore minimo di $\ell$ compatibile con questa situazione? [3]

Risposta: $\ell =\frac{2R}{\sqrt{n^2-1}}\approx 3,5$ cm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Prism, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

i) An 8 W beam of light is shone on a surface at normal incidence. The surface reflects 50% of the incident light and absorbs the other 50%.

(i) What is the average force exerted on the surface by the radiation? Hint: the momentum of a photon, $p$, is given by its energy, $E$, divided by the speed of light, $c$, i.e. $p=\frac{E}{c}$.

(ii) The average wavelength of the light is 600 nm and the beam covers an area of 12 cm${}^2$ when it is incident on the surface. Calculate the volume density of photons in the beam. [4]

Risposta: (i) $F=3P/(2c)=4\times 10^{-8}$ N; (ii) $n=P\lambda /(h{c}^{2}A)\approx 6.7\times 10^{13}$ m${}^{-3}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 4. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling Objects: Photon, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

i) Un fascio di luce da 8 W incide perpendicolarmente su una superficie. La superficie riflette il 50% della luce incidente e assorbe l’altro 50%.

(i) Qual è la forza media esercitata dalla radiazione sulla superficie? Suggerimento: la quantità di moto di un fotone, $p$, è data dalla sua energia $E$ divisa per la velocità della luce $c$, cioè $p=\frac{E}{c}$.

(ii) La lunghezza d’onda media della luce è 600 nm e il fascio copre un’area di 12 cm${}^2$ sulla superficie. Calcola la densità volumica di fotoni nel fascio. [4]

Risposta: (i) $F=3P/(2c)=4\times 10^{-8}$ N; (ii) $n=P\lambda /(h{c}^{2}A)\approx 6,7\times 10^{13}$ m${}^{-3}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling Objects: Photon, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

j) A short pulse of $10^8$ neutrons is fired through a vacuum at a target. If the bunch of neutrons is travelling at a speed $v=2200$ m s${}^{-1}$ and the half life of a neutron is 880 s, how many neutrons will decay whilst travelling a distance of 11 m towards the target? [4]

Risposta: $t=5\times 10^{-3}$ s; $N_0\ln 2t/t_{1/2}\approx 390\approx 400$ neutrons

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 4. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation Objects: Particle Beam, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

j) Un breve impulso di $10^8$ neutroni viene sparato nel vuoto verso un bersaglio. Se il pacchetto di neutroni viaggia alla velocità $v=2200$ m s${}^{-1}$ e il tempo di dimezzamento del neutrone è 880 s, quanti neutroni decadono mentre percorrono una distanza di 11 m verso il bersaglio? [4]

Risposta: $t=5\times 10^{-3}$ s; $N_0\ln 2t/t_{1/2}\approx 390\approx 400$ neutroni

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation Objects: Particle Beam, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

k) A smoothly hinged rod of mass $m$ rests, at angle $\theta$ to the vertical, on a smooth cylinder of radius $r$ which sits on the floor. The hinge is set on a vertical wall at a height of $3r$ above the floor, and the lower end of the rod is at a height $r$ above the ground when the cylinder is in the corner of the wall and the floor, as shown in Fig. 4.

(i) Determine the value of $\tan \theta$. It may help to know the identity $\tan \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}$.

(ii) What is the length $\ell$ of the rod in terms of $r$? Give your answer as a fraction.

(iii) A light horizontal thread is attached to the rightmost point on the surface of the cylinder and it is pulled slowly to the right until the tension in the thread reduces to zero. What is the minimum amount of work that needs to be done by the thread?

(iv) As the cylinder is pulled away from the wall, the angle $\theta$ increases from its minimum value ${\theta }_0$, which is illustrated in Fig. 4, to its maximum value ${\theta }_{max}$, before decreasing again. What is the ratio $\frac{\cos {\theta }_0}{\cos {\theta }_{max}}$?

Figure 4: A hinged rod resting on a cylinder. [4]

Risposta: (i) $\tan \theta =4/3$; (ii) $\ell =\frac{10}{3}r$; (iii) $W=\frac{1}{2}mgr$; (iv) $\cos {\theta }_0/\cos {\theta }_{max}=2$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 4, 5. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Rigid Body Statics, Mathematics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

k) Un’asta di massa $m$, incernierata senza attrito, poggia formando un angolo $\theta$ con la verticale su un cilindro liscio di raggio $r$ appoggiato sul pavimento. La cerniera è fissata a una parete verticale a un’altezza $3r$ dal pavimento e l’estremo inferiore dell’asta si trova a un’altezza $r$ dal suolo quando il cilindro è nell’angolo tra parete e pavimento, come in Fig. 4.

(i) Determina il valore di $\tan \theta$. Può essere utile l’identità $\tan \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}$.

(ii) Qual è la lunghezza $\ell$ dell’asta in funzione di $r$? Esprimi il risultato come frazione.

(iii) Un filo orizzontale leggero è fissato al punto più a destra della superficie del cilindro e viene tirato lentamente verso destra finché la tensione nel filo si annulla. Qual è il lavoro minimo che deve compiere il filo?

(iv) Mentre il cilindro viene allontanato dalla parete, l’angolo $\theta$ aumenta dal valore minimo ${\theta }_0$, illustrato in Fig. 4, fino al valore massimo ${\theta }_{max}$, per poi diminuire di nuovo. Quanto vale il rapporto $\frac{\cos {\theta }_0}{\cos {\theta }_{max}}$?

Figura 4: asta incernierata appoggiata su un cilindro. [4]

Risposta: (i) $\tan \theta =4/3$; (ii) $\ell =\frac{10}{3}r$; (iii) $W=\frac{1}{2}mgr$; (iv) $\cos {\theta }_0/\cos {\theta }_{max}=2$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics, Mathematics Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

l) An object of mass $m_1$ slides down the smooth sloping surface of a wedge of mass $m_2$, as shown in Fig. 5. The angle of the slope is $\theta =30^{\circ }$ to the horizontal. The wedge sits on a smooth horizontal surface.

Figure 5: A block of mass $m_1$ sliding down the smooth face of a wedge of mass $m_2$ that sits on a smooth horizontal surface.

(i) Mark on the forces on two free-body diagrams.

The block’s acceleration can be resolved into two components; one is down the slope, which would be the case if the wedge was fixed, and a second horizontal component so that it remains in contact with the accelerating wedge.

(ii) Resolve the forces on the sliding object normal to the slope.

(iii) Hence or otherwise, obtain an expression for the acceleration of the wedge in terms of $m_1$, $m_2$ and $g$. [4]

Risposta: $a_1=\frac{m_{1}g\sin 2\theta }{2(m_2+m_1{\sin }^2\theta )}=\frac{\sqrt{3}{m}_{1}g}{4m_2+m_1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 5. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wedge, Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

l) Un oggetto di massa $m_1$ scivola lungo la superficie inclinata liscia di un cuneo di massa $m_2$, come in Fig. 5. L’inclinazione del piano è $\theta =30^{\circ }$ rispetto all’orizzontale. Il cuneo poggia su una superficie orizzontale liscia.

Figura 5: un blocco di massa $m_1$ che scivola sulla faccia liscia di un cuneo di massa $m_2$ appoggiato su una superficie orizzontale liscia.

(i) Disegna le forze su due diagrammi di corpo libero.

L’accelerazione del blocco si può scomporre in due componenti: una lungo il piano, come se il cuneo fosse fisso, e una seconda componente orizzontale che gli permette di restare a contatto con il cuneo che accelera.

(ii) Scomponi le forze sull’oggetto che scivola nella direzione normale al piano.

(iii) Ricava quindi, o in altro modo, un’espressione per l’accelerazione del cuneo in funzione di $m_1$, $m_2$ e $g$. [4]

Risposta: $a_1=\frac{m_{1}g\sin 2\theta }{2(m_2+m_1{\sin }^2\theta )}=\frac{\sqrt{3}{m}_{1}g}{4m_2+m_1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wedge, Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

m) Two ships, A and B spot each other at the moment ship B is due south of A with a range of 2.0 nautical miles. Ship A is travelling on a bearing 090° at 5.0 knots, and ship B on a bearing of 030° at 20 knots. What is their distance of closest approach?

1 knot = 1 nautical mile per hour. A bearing is an angle measured clockwise from 0° as due north. [5]

Risposta: $r^2=325t^2-40\sqrt{3}t+4$; $r_{min}=2/\sqrt{13}\approx 0.55$ nautical miles

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 6. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

m) Due navi, A e B, si avvistano nell’istante in cui B si trova esattamente a sud di A, a una distanza di 2,0 miglia nautiche. La nave A procede con rotta 090° a 5,0 nodi, la nave B con rotta 030° a 20 nodi. Qual è la loro distanza minima di avvicinamento?

1 nodo = 1 miglio nautico all’ora. La rotta è un angolo misurato in senso orario a partire da 0° (nord). [5]

Risposta: $r^2=325t^2-40\sqrt{3}t+4$; $r_{min}=2/\sqrt{13}\approx 0,55$ miglia nautiche

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

n) A steel tube of 4.0 cm internal diameter and 30 cm long, with a wall 0.25 cm thick, is covered externally and lined internally with copper tubes 0.20 cm thick. The three concentric tubes are firmly connected. This compound tube is placed under tension by a load and the stress produced equals $6.2\times 10^7$ N m${}^{-2}$. Determine

(i) The extension of the tube

(ii) The stress in the copper tubes

(iii) The load carried by the compound tube

Young’s Moduli: Steel 200 GPa; Copper 110 GPa [5]

Risposta: Mark scheme (taking 4.0 cm as the radius): (i) $\delta \ell \approx 1.29\times 10^{-4}$ m; (ii) ${\sigma }_{Cu}\approx 4.7\times 10^7$ Pa; (iii) load $\approx 1\times 10^5$ N. With 4.0 cm as the diameter (also accepted): $\delta \ell \approx 5.16\times 10^{-4}$ m, ${\sigma }_{Cu}\approx 1.9\times 10^8$ Pa

Soluzione:

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Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Hooke’s Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

n) Un tubo d’acciaio di diametro interno 4,0 cm e lunghezza 30 cm, con parete spessa 0,25 cm, è rivestito esternamente e foderato internamente con tubi di rame spessi 0,20 cm. I tre tubi concentrici sono saldamente collegati. Questo tubo composito viene messo in trazione da un carico e lo sforzo prodotto è $6,2\times 10^7$ N m${}^{-2}$. Determina

(i) l’allungamento del tubo;

(ii) lo sforzo nei tubi di rame;

(iii) il carico sostenuto dal tubo composito.

Moduli di Young: acciaio 200 GPa; rame 110 GPa [5]

Risposta: Mark scheme (prendendo 4,0 cm come raggio): (i) $\delta \ell \approx 1,29\times 10^{-4}$ m; (ii) ${\sigma }_{Cu}\approx 4,7\times 10^7$ Pa; (iii) carico $\approx 1\times 10^5$ N. Con 4,0 cm come diametro (anch’esso accettato): $\delta \ell \approx 5,16\times 10^{-4}$ m, ${\sigma }_{Cu}\approx 1,9\times 10^8$ Pa

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis, Hooke’s Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

o) A thin wire of mass $m=6.0$ g and length $L=1.2$ m is stretched to a tension $T$ between two fixed supports. The wire is excited so that the third harmonic standing wave is formed of maximum amplitude $A_{max}$. In such a wire, the total KE and elastic PE are equal. The tension is $T=45$ N and $A_{max}=1.8$ cm.

(i) Sketch a graph of the maximum kinetic energy of the particles in the wire against their position along the length of the wire in the range 0 to $L$. Draw a line on your graph to show the total energy of the particles along the wire from 0 to $L$.

(ii) Calculate the frequency of vibration of the wire.

(iii) Calculate the total energy due to the vibration of the wire.

Hint: The speed of a wave $v$ in a stretched wire is given by $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$ where $\mu$ is the mass per unit length of the wire. [5]

Risposta: (ii) $v\approx 95$ m s${}^{-1}$, $f\approx 119\approx 120$ Hz; (iii) $E=\frac{1}{2}M{A}^2{\omega }^2\approx 0.54$ J

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, String Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

o) Un filo sottile di massa $m=6,0$ g e lunghezza $L=1,2$ m è teso con tensione $T$ tra due supporti fissi. Il filo viene eccitato in modo da formare un’onda stazionaria di terza armonica con ampiezza massima $A_{max}$. In un filo di questo tipo l’energia cinetica totale e l’energia potenziale elastica totale sono uguali. La tensione è $T=45$ N e $A_{max}=1,8$ cm.

(i) Disegna un grafico dell’energia cinetica massima delle particelle del filo in funzione della posizione lungo il filo, tra 0 e $L$. Traccia sul grafico una linea che mostri l’energia totale delle particelle lungo il filo da 0 a $L$.

(ii) Calcola la frequenza di vibrazione del filo.

(iii) Calcola l’energia totale associata alla vibrazione del filo.

Suggerimento: la velocità di un’onda in un filo teso è $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$, dove $\mu$ è la massa per unità di lunghezza del filo. [5]

Risposta: (ii) $v\approx 95$ m s${}^{-1}$, $f\approx 119\approx 120$ Hz; (iii) $E=\frac{1}{2}M{A}^2{\omega }^2\approx 0,54$ J

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, String Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

p) A cell of emf $\epsilon$ with an internal resistance $r$ is connected across two resistors $R_1$ and $R_2$ in parallel, as in Fig. 6. Resistor $R_2$ is variable, whilst $R_1$ is fixed.

Figure 6: A circuit with two resistors connected in parallel with a cell.

Obtain expressions for

(i) the current $I$ flowing through the cell in terms of $\epsilon$, $R_1$, $R_2$, $r$,

(ii) the current $I_2$ flowing through $R_2$ in terms of $I$, $R_1$, $R_2$,

(iii) the power $P_2$ converted in $R_2$ in terms of $\epsilon$, $R_1$, $R_2$, $r$.

(iv) By considering the term $\frac{1}{P_2}$ or otherwise, determine an expression for $R_2$ in terms of $R_1$ and $r$ such that the power $P_2$ converted in $R_2$ is a maximum. [5]

Risposta: (i) $I=\frac{\epsilon (R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1{R}_2}$; (ii) $I_2=\frac{I{R}_1}{R_1+R_2}$; (iii) $P_2=\frac{{\epsilon }^2{R}_1^2{R}_2}{[r(R_1+R_2)+R_1{R}_2{]}^2}$; (iv) $R_2=\frac{r{R}_1}{r+R_1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

p) Una pila di f.e.m. $\epsilon$ e resistenza interna $r$ è collegata a due resistori $R_1$ e $R_2$ in parallelo, come in Fig. 6. Il resistore $R_2$ è variabile, mentre $R_1$ è fisso.

Figura 6: circuito con due resistori collegati in parallelo a una pila.

Ricava le espressioni per

(i) la corrente $I$ che attraversa la pila in funzione di $\epsilon$, $R_1$, $R_2$, $r$;

(ii) la corrente $I_2$ che attraversa $R_2$ in funzione di $I$, $R_1$, $R_2$;

(iii) la potenza $P_2$ dissipata in $R_2$ in funzione di $\epsilon$, $R_1$, $R_2$, $r$.

(iv) Considerando il termine $\frac{1}{P_2}$, o in altro modo, determina un’espressione per $R_2$ in funzione di $R_1$ e $r$ tale che la potenza $P_2$ dissipata in $R_2$ sia massima. [5]

Risposta: (i) $I=\frac{\epsilon (R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1{R}_2}$; (ii) $I_2=\frac{I{R}_1}{R_1+R_2}$; (iii) $P_2=\frac{{\epsilon }^2{R}_1^2{R}_2}{[r(R_1+R_2)+R_1{R}_2{]}^2}$; (iv) $R_2=\frac{r{R}_1}{r+R_1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

q) Three capacitors, $C_1$, $C_2$ and $C_3$ are shown connected to a pair of cells of emfs ${\epsilon }_1$ and ${\epsilon }_2$ as shown in Fig. 7. Obtain an expression in terms of the capacitor values and the emfs for the potential across $C_3$. It is important that you write down your initial equations clearly.

Figure 7: Three capacitors and two cells in a circuit. [5]

Risposta: $V_3=\frac{{\epsilon }_1{C}_1+{\epsilon }_2{C}_2}{C_1+C_2+C_3}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 8, 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits, Electrostatics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

q) Tre condensatori $C_1$, $C_2$ e $C_3$ sono collegati a due pile di f.e.m. ${\epsilon }_1$ ed ${\epsilon }_2$ come in Fig. 7. Ricava un’espressione, in funzione delle capacità e delle f.e.m., per la differenza di potenziale ai capi di $C_3$. È importante scrivere con chiarezza le equazioni di partenza.

Figura 7: tre condensatori e due pile in un circuito. [5]

Risposta: $V_3=\frac{{\epsilon }_1{C}_1+{\epsilon }_2{C}_2}{C_1+C_2+C_3}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits, Electrostatics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

r) A uniform rod, of length $2a$, floats partly immersed in a liquid, being supported by a string fastened to one of its ends, the other end of the string being attached to a fixed point A, as in Fig. 8. The density of the liquid is a factor 4/3 times that of the rod. Determine

(i) the fraction of the rod’s length that will be submerged, and

(ii) the tension, $T$ in the string.

Figure 8: A rod in a liquid. [6]

Risposta: (i) submerged length $x=a$, i.e. half the rod; (ii) $T=\frac{2}{3}\rho Aag$, i.e. $T/W=1/3$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

r) Un’asta omogenea di lunghezza $2a$ galleggia parzialmente immersa in un liquido, sostenuta da una fune fissata a uno dei suoi estremi; l’altro estremo della fune è fissato a un punto fisso A, come in Fig. 8. La densità del liquido è 4/3 di quella dell’asta. Determina

(i) la frazione della lunghezza dell’asta che rimane immersa;

(ii) la tensione $T$ nella fune.

Figura 8: un’asta in un liquido. [6]

Risposta: (i) lunghezza immersa $x=a$, cioè metà dell’asta; (ii) $T=\frac{2}{3}\rho Aag$, cioè $T/W=1/3$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

s) Two balls A and B of masses and volumes $m_A$, $V_A$ and $m_B$, $V_B$ respectively are attached to the ends of a light thread. The thread is hung over a freely moving pulley above a beaker of water. The pulley is lowered so that B is fully submerged and ball A floats on the water. $V_A=1000$ cm${}^3$, $m_A=500$ g, $V_B=50$ cm${}^3$ and $m_B=390$ g.

(i) Sketch a diagram showing the forces on each object in the system.

(ii) What fraction $f$ of the volume of A is submerged below the water surface?

Suppose that a short section of the thread is replaced by a spring of negligible mass of spring constant $k=100$ N m${}^{-1}$.

(iii) By how much is the spring extended?

Density of water $\rho =1.0$ g cm${}^{-3}$ [6]

Risposta: (ii) $f=0.16$ (16%); (iii) $x=(m_B-\rho V_B)g/k\approx 0.033$ m = 3.3 cm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 10. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Pulley, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

s) Due sfere A e B, di masse e volumi rispettivamente $m_A$, $V_A$ e $m_B$, $V_B$, sono fissate agli estremi di un filo leggero. Il filo passa su una carrucola libera di ruotare, sopra un becher d’acqua. La carrucola viene abbassata finché B è completamente immersa e la sfera A galleggia sull’acqua. $V_A=1000$ cm${}^3$, $m_A=500$ g, $V_B=50$ cm${}^3$ e $m_B=390$ g.

(i) Disegna un diagramma con le forze che agiscono su ciascun corpo del sistema.

(ii) Quale frazione $f$ del volume di A è immersa sotto la superficie dell’acqua?

Si supponga di sostituire un breve tratto del filo con una molla di massa trascurabile e costante elastica $k=100$ N m${}^{-1}$.

(iii) Di quanto si allunga la molla?

Densità dell’acqua $\rho =1,0$ g cm${}^{-3}$ [6]

Risposta: (ii) $f=0,16$ (16%); (iii) $x=(m_B-\rho V_B)g/k\approx 0,033$ m = 3,3 cm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Pulley, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

t) A vertical wooden pole with a circular cross section of diameter 30 cm has its footing embedded in a concrete block. A loose steel guy wire, A, is fixed to the ground a distance $b=2.4$ m from the base of the pole, and is attached to the pole at a height $h=12$ m above the ground. It is subject to a pull to the right by tension $P$ in a cable, attached at the same height, as shown in Fig. 9. This causes the wooden pole to bend a small amount to the right in the arc of a circle of radius $r$ with $r\gg h$. The loose steel guy wire, A, then becomes tight and prevents the pole from bending any further. The bent pole stretches on one side and compresses on the other, with a neutral line down the centre of the pole. The pole has a maximum stress of 4000 N m${}^{-2}$ at one side when bent.

(i) Calculate radius $r$ and the angle of the circular arc formed by the bent pole when the neutral line remains unstressed.

(ii) Draw a diagram to show how this angle can be used to calculate the length of the guy wire, A, when it is tight.

(iii) Calculate an approximate value for the length of slack in the guy wire when the pole is unloaded and straight and vertical.

You may assume that the bend is small enough so that the height of the pole when bent is not changed significantly. Young’s modulus for wood is 14 GPa.

Figure 9: A pole with a guy wire A attached that will bend to the right by the tension in the cable $P$. [6]

Risposta: (i) $r=aE/\sigma \approx 5.25\times 10^5$ m, $\theta =h/r\approx 2.29\times 10^{-5}$ rad; (iii) slack $\approx bh/(2r)\approx 2.7\times 10^{-5}$ m

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 1), from the official PDF — p. 10, 11. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Elasticity & Materials, Mathematics Metodi: Stress-Strain Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

t) Un palo verticale di legno a sezione circolare di diametro 30 cm ha la base annegata in un blocco di cemento. Un tirante d’acciaio lasco, A, è fissato al suolo a una distanza $b=2,4$ m dalla base del palo ed è attaccato al palo a un’altezza $h=12$ m dal suolo. Il palo è tirato verso destra dalla tensione $P$ di un cavo fissato alla stessa altezza, come in Fig. 9. Questo fa piegare leggermente il palo verso destra secondo un arco di circonferenza di raggio $r$, con $r\gg h$. Il tirante A diventa allora teso e impedisce al palo di piegarsi ulteriormente. Il palo piegato si allunga da un lato e si comprime dall’altro, con una linea neutra lungo il suo asse. Quando è piegato, il palo ha uno sforzo massimo di 4000 N m${}^{-2}$ su un lato.

(i) Calcola il raggio $r$ e l’angolo dell’arco di circonferenza formato dal palo piegato, sapendo che la linea neutra resta priva di sforzo.

(ii) Disegna uno schema che mostri come usare questo angolo per calcolare la lunghezza del tirante A quando è teso.

(iii) Calcola un valore approssimato della lunghezza di lasco del tirante quando il palo è scarico, dritto e verticale.

Si può assumere che la flessione sia abbastanza piccola da non modificare in modo significativo l’altezza del palo. Modulo di Young del legno: 14 GPa.

Figura 9: un palo con un tirante A, che si piega verso destra per effetto della tensione $P$ nel cavo. [6]

Risposta: (i) $r=aE/\sigma \approx 5,25\times 10^5$ m, $\theta =h/r\approx 2,29\times 10^{-5}$ rad; (iii) lasco $\approx bh/(2r)\approx 2,7\times 10^{-5}$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Elasticity & Materials, Mathematics Metodi: Stress-Strain Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

Answers from the official BPhO Round 1 2023 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
1		$F_r=m\left(g\sin \theta -\frac{2d}{t^2}\right)$
2		(i) 4500 N; (ii) 1500 N; (iii) 45 000 W
3		$v_H=(50\times 12)/38\approx 16$ km h${}^{-1}$ (15.8)
4		$T=\frac{1}{2}mg\cot \alpha$
5		$T=3.5$ s; (i) $h\approx 60$ m; (ii) $v\approx 34$ m s${}^{-1}$
6		(i) $T=mg/\sqrt{3}$; (ii) $T_{AC}=mg\cos 30^{\circ }$, $T_{AC}/T=3/2$
7		${\ell }^2\propto Rm$, ${\ell }_2=2.0\times 10^5$ m
8		$\ell =\frac{2R}{\sqrt{n^2-1}}\approx 3.5$ cm
9		(i) $F=3P/(2c)=4\times 10^{-8}$ N; (ii) $n=P\lambda /(h{c}^{2}A)\approx 6.7\times 10^{13}$ m${}^{-3}$
10		$t=5\times 10^{-3}$ s; $N_0\ln 2t/t_{1/2}\approx 390\approx 400$ neutrons
11		(i) $\tan \theta =4/3$; (ii) $\ell =\frac{10}{3}r$; (iii) $W=\frac{1}{2}mgr$; (iv) $\cos {\theta }_0/\cos {\theta }_{max}=2$
12		$a_1=\frac{m_{1}g\sin 2\theta }{2(m_2+m_1{\sin }^2\theta )}=\frac{\sqrt{3}{m}_{1}g}{4m_2+m_1}$
13		$r^2=325t^2-40\sqrt{3}t+4$; $r_{min}=2/\sqrt{13}\approx 0.55$ nautical miles
14		Mark scheme (taking 4.0 cm as the radius): (i) $\delta \ell \approx 1.29\times 10^{-4}$ m; (ii) ${\sigma }_{Cu}\approx 4.7\times 10^7$ Pa; (iii) load $\approx 1\times 10^5$ N. With 4.0 cm as the diameter (also accepted): $\delta \ell \approx 5.16\times 10^{-4}$ m, ${\sigma }_{Cu}\approx 1.9\times 10^8$ Pa
15		(ii) $v\approx 95$ m s${}^{-1}$, $f\approx 119\approx 120$ Hz; (iii) $E=\frac{1}{2}M{A}^2{\omega }^2\approx 0.54$ J
16		(i) $I=\frac{\epsilon (R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1{R}_2}$; (ii) $I_2=\frac{I{R}_1}{R_1+R_2}$; (iii) $P_2=\frac{{\epsilon }^2{R}_1^2{R}_2}{[r(R_1+R_2)+R_1{R}_2{]}^2}$; (iv) $R_2=\frac{r{R}_1}{r+R_1}$
17		$V_3=\frac{{\epsilon }_1{C}_1+{\epsilon }_2{C}_2}{C_1+C_2+C_3}$
18		(i) submerged length $x=a$, i.e. half the rod; (ii) $T=\frac{2}{3}\rho Aag$, i.e. $T/W=1/3$
19		(ii) $f=0.16$ (16%); (iii) $x=(m_B-\rho V_B)g/k\approx 0.033$ m = 3.3 cm
20		(i) $r=aE/\sigma \approx 5.25\times 10^5$ m, $\theta =h/r\approx 2.29\times 10^{-5}$ rad; (iii) slack $\approx bh/(2r)\approx 2.7\times 10^{-5}$ m

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2023.

Problema	Titolo	Risposta
1		$F_r=m\left(g\sin \theta -\frac{2d}{t^2}\right)$
2		(i) 4500 N; (ii) 1500 N; (iii) 45 000 W
3		$v_H=(50\times 12)/38\approx 16$ km h${}^{-1}$ (15,8)
4		$T=\frac{1}{2}mg\cot \alpha$
5		$T=3,5$ s; (i) $h\approx 60$ m; (ii) $v\approx 34$ m s${}^{-1}$
6		(i) $T=mg/\sqrt{3}$; (ii) $T_{AC}=mg\cos 30^{\circ }$, $T_{AC}/T=3/2$
7		${\ell }^2\propto Rm$, ${\ell }_2=2,0\times 10^5$ m
8		$\ell =\frac{2R}{\sqrt{n^2-1}}\approx 3,5$ cm
9		(i) $F=3P/(2c)=4\times 10^{-8}$ N; (ii) $n=P\lambda /(h{c}^{2}A)\approx 6,7\times 10^{13}$ m${}^{-3}$
10		$t=5\times 10^{-3}$ s; $N_0\ln 2t/t_{1/2}\approx 390\approx 400$ neutroni
11		(i) $\tan \theta =4/3$; (ii) $\ell =\frac{10}{3}r$; (iii) $W=\frac{1}{2}mgr$; (iv) $\cos {\theta }_0/\cos {\theta }_{max}=2$
12		$a_1=\frac{m_{1}g\sin 2\theta }{2(m_2+m_1{\sin }^2\theta )}=\frac{\sqrt{3}{m}_{1}g}{4m_2+m_1}$
13		$r^2=325t^2-40\sqrt{3}t+4$; $r_{min}=2/\sqrt{13}\approx 0,55$ miglia nautiche
14		Mark scheme (prendendo 4,0 cm come raggio): (i) $\delta \ell \approx 1,29\times 10^{-4}$ m; (ii) ${\sigma }_{Cu}\approx 4,7\times 10^7$ Pa; (iii) carico $\approx 1\times 10^5$ N. Con 4,0 cm come diametro (anch’esso accettato): $\delta \ell \approx 5,16\times 10^{-4}$ m, ${\sigma }_{Cu}\approx 1,9\times 10^8$ Pa
15		(ii) $v\approx 95$ m s${}^{-1}$, $f\approx 119\approx 120$ Hz; (iii) $E=\frac{1}{2}M{A}^2{\omega }^2\approx 0,54$ J
16		(i) $I=\frac{\epsilon (R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1{R}_2}$; (ii) $I_2=\frac{I{R}_1}{R_1+R_2}$; (iii) $P_2=\frac{{\epsilon }^2{R}_1^2{R}_2}{[r(R_1+R_2)+R_1{R}_2{]}^2}$; (iv) $R_2=\frac{r{R}_1}{r+R_1}$
17		$V_3=\frac{{\epsilon }_1{C}_1+{\epsilon }_2{C}_2}{C_1+C_2+C_3}$
18		(i) lunghezza immersa $x=a$, cioè metà dell’asta; (ii) $T=\frac{2}{3}\rho Aag$, cioè $T/W=1/3$
19		(ii) $f=0,16$ (16%); (iii) $x=(m_B-\rho V_B)g/k\approx 0,033$ m = 3,3 cm
20		(i) $r=aE/\sigma \approx 5,25\times 10^5$ m, $\theta =h/r\approx 2,29\times 10^{-5}$ rad; (iii) lasco $\approx bh/(2r)\approx 2,7\times 10^{-5}$ m

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)