BPhO Round 1 2023 — Section 2

Question 2 — Wind turbines, HVDC cables and the mercury arc valve [25 marks]

This question is about wind turbines.

Figure 1: An offshore wind turbine.

a) Assuming a wind direction perpendicular to the plane of the turbine blades, determine the power if all of the kinetic energy of the wind is transferred to the blades, in terms of the density of the air $\rho$, the length of the turbine blades $r$, and the wind speed $v$.

b) In reality, not all of the power of the wind is extracted. The wind speed is slower behind the turbine, and the wind can be imagined to disperse over a larger area as shown in Figure 2, where $A$ shows the area swept out by the turbine. This question will attempt a more realistic model of the energy transfers in a wind turbine. Assume the density of the air remains constant.

Figure 2: Flow of air through turbine.

(i) Write down expressions for the rate of flow of air mass in region (i),

(ii) Write down expressions for the rate of flow of air mass in region (ii)

(iii) Write down expressions for the rate of flow of air mass in region (iii).

(iv) By considering the air before entry and after entry to the turbine, determine the power output of the turbine in terms of $\rho$, $A$, $v$, $v_1$ and $v_2$.

(v) If we now assume that $v$ equals the mean of $v_1$ and $v_2$, write down an expression for the power output of the turbine in terms of $\rho$, $A$, $v_1$ and $v_2$ only.

(vi) Determine the value of $v_1/v_2$ which gives a maximum in the output of the turbine.

(vii) Determine the maximum power output of the turbine in terms of $\rho$, $A$ and the prevailing wind speed $v_1$.

(viii) The newest off-shore wind turbines in the North Sea have a blade length of 107 m, and the average wind speed is 10 m s${}^{-1}$. Calculate the maximum possible power output from this turbine.

c) The electrical power from the wind farm is transferred to the shore using High Voltage Direct Current (HVDC) at 320 kV with respect to earth. The cable used to transfer the power will typically consist of a 2.2 cm radius copper core, surrounded by cross-linked polyethylene (XLPE) insulation of radius 4.0 cm which itself is surrounded by a protective metal screen. The greatest length in a North Sea project will be 265 km.

The resistivity of copper is $1.68\times 10^{-8}$ Ω m and of XLPE is $1.97\times 10^{14}$ Ω m.

Figure 3: The structure of a high voltage cable (credit: inelfe).

(i) Calculate the resistance of the copper core and the power dissipated as heat, and percentage loss in the copper, if the cable transfers 800 MW of power.

(ii) Calculate the resistance of the XLPE insulation between the copper core and the metal screen, and hence calculate the leakage current, power and percentage loss due to the leakage current, when operating at 320 kV.

(iii) The thermal conductivity of XLPE = 0.28 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$. Assuming the temperature drop across all thermal barriers except the XLPE is negligible, calculate the operating temperature of the copper core at 800 MW given the ambient sea temperature is 7.0 °C.

d) High current rectification (ac to dc conversion), and inversion (dc to ac conversion) was until relatively recently achieved using a device called a mercury arc valve (see Figure 4a). In its simplest schematic form in Figure 4b:

Figure 4: (a) Mercury arc valve (credit: Kempton Steam Museum); (b) Schematic of mercury arc valve.

The principle of operation is that the mercury vapour at low pressure (7.0 mPa and 40 °C) becomes ionised and the ions collide with the mercury liquid which liberates electrons. These then become available to carry the current to the carbon anode, and also via collision with atoms of mercury vapour produce mercury ions to replace those reabsorbed into the liquid phase. There is no appreciable electron emission from the carbon anode and so the current flows in one direction only in the manner of a diode.

(i) Estimate the forward bias potential of this “diode”.

(ii) Inserting a grid between the anode and the mercury cathode allows the electron current to be modulated and thus an ac current produced from a dc supply.

Figure 5: Mercury Arc Valve Circuit.

The anode current is given by $I=a+b{V}_g+c{V}_g^2$, and $V_g=A+B\cos (\omega t)$, that is a constant bias and an oscillatory signal. The anode current contains a second harmonic component. Determine its amplitude.

(iii) The mean value of the anode current contains a term proportional to $B^2$. Obtain the coefficient of this term.

(iv) If $I_0$ is the value of $I$ when $B=0$ and, when the signal is applied, $I$ oscillates between $I_{max}$ and $I_{min}$, express the ratio of the amplitudes of the second harmonic and fundamental (1st harmonic) in terms of the quantity $\chi$, which is defined as $\chi =\frac{I_{max}-I_0}{I_0-I_{min}}$.

Hint: a useful identity is ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$.

[25 marks]

Risposta: a) $P=\frac{1}{2}\rho \pi r^2{v}^3$; b) (i)–(iii) $\rho A_1{v}_1$, $\rho Av$, $\rho A_2{v}_2$; (iv) $P=\frac{1}{2}\rho Av(v_1^2-v_2^2)$; (v) $P=\frac{1}{4}\rho A(v_1+v_2)(v_1^2-v_2^2)$; (vi) $v_2/v_1=1/3$; (vii) $P_{max}=0.296\rho A{v}_1^3$; (viii) $\approx 1.3\times 10^7$ W; c) (i) $R\approx 2.9$ Ω, $I=2500$ A, $P\approx 1.83\times 10^7$ W, 2.3%; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi L}\ln \frac{r_2}{r_1}\approx 7.1\times 10^7$ Ω, 4.5 mA, 1400 W, $\approx 2\times 10^{-4}$%; (iii) $\approx 30$ °C; d) (i) of the order of the work function/ionisation potential of mercury; (ii) $c{B}^2/2$; (iii) $c/2$; (iv) $A_2/A_1=\frac{1}{2}(\chi -1)$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 2), from the official PDF — p. 12, 13, 14. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Continuity Equation, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Wire, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Problema 2 — Turbine eoliche, cavi HVDC e valvola a vapori di mercurio [25 punti]

Questo problema riguarda le turbine eoliche.

Figura 1: una turbina eolica offshore.

a) Supponendo che il vento sia perpendicolare al piano delle pale, determina la potenza nel caso in cui tutta l’energia cinetica del vento venga trasferita alle pale, in funzione della densità dell’aria $\rho$, della lunghezza delle pale $r$ e della velocità del vento $v$.

b) In realtà non tutta la potenza del vento viene estratta. Dietro la turbina il vento è più lento e si può immaginare che si allarghi su un’area maggiore, come in Figura 2, dove $A$ è l’area spazzata dalla turbina. Si cercherà un modello più realistico degli scambi di energia in una turbina eolica. Si assuma che la densità dell’aria resti costante.

Figura 2: flusso d’aria attraverso la turbina.

(i) Scrivi l’espressione della portata in massa d’aria nella regione (i).

(ii) Scrivi l’espressione della portata in massa d’aria nella regione (ii).

(iii) Scrivi l’espressione della portata in massa d’aria nella regione (iii).

(iv) Considerando l’aria prima e dopo l’ingresso nella turbina, determina la potenza erogata dalla turbina in funzione di $\rho$, $A$, $v$, $v_1$ e $v_2$.

(v) Supponendo ora che $v$ sia la media di $v_1$ e $v_2$, scrivi un’espressione per la potenza erogata in funzione soltanto di $\rho$, $A$, $v_1$ e $v_2$.

(vi) Determina il valore di $v_1/v_2$ che rende massima la potenza della turbina.

(vii) Determina la potenza massima della turbina in funzione di $\rho$, $A$ e della velocità del vento prevalente $v_1$.

(viii) Le più recenti turbine offshore nel Mare del Nord hanno pale lunghe 107 m e la velocità media del vento è 10 m s${}^{-1}$. Calcola la massima potenza possibile di questa turbina.

c) La potenza elettrica del parco eolico viene trasportata a terra in corrente continua ad alta tensione (HVDC) a 320 kV rispetto a terra. Il cavo usato è tipicamente costituito da un’anima di rame di raggio 2,2 cm, circondata da un isolante di polietilene reticolato (XLPE) di raggio 4,0 cm, a sua volta avvolto da uno schermo metallico protettivo. Il collegamento più lungo in un progetto nel Mare del Nord sarà di 265 km.

La resistività del rame è $1,68\times 10^{-8}$ Ω m e quella dell’XLPE è $1,97\times 10^{14}$ Ω m.

Figura 3: struttura di un cavo ad alta tensione (fonte: inelfe).

(i) Calcola la resistenza dell’anima di rame, la potenza dissipata in calore e la perdita percentuale nel rame, se il cavo trasporta 800 MW.

(ii) Calcola la resistenza dell’isolante XLPE tra l’anima di rame e lo schermo metallico e quindi la corrente di dispersione, la potenza e la perdita percentuale dovute a tale corrente, con il cavo a 320 kV.

(iii) La conducibilità termica dell’XLPE è 0,28 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$. Supponendo trascurabile la caduta di temperatura attraverso tutte le barriere termiche tranne l’XLPE, calcola la temperatura di esercizio dell’anima di rame a 800 MW, sapendo che la temperatura del mare è 7,0 °C.

d) La raddrizzatura di correnti intense (conversione ca–cc) e l’inversione (conversione cc–ca) si realizzavano fino a tempi relativamente recenti con un dispositivo chiamato valvola ad arco a vapori di mercurio (Figura 4a). Nella sua forma schematica più semplice, in Figura 4b:

Figura 4: (a) valvola ad arco a vapori di mercurio (fonte: Kempton Steam Museum); (b) schema della valvola.

Il principio di funzionamento è il seguente: il vapore di mercurio a bassa pressione (7,0 mPa e 40 °C) si ionizza e gli ioni urtano il mercurio liquido, che libera elettroni. Questi trasportano la corrente fino all’anodo di carbonio e, urtando atomi di vapore di mercurio, producono ioni di mercurio che rimpiazzano quelli riassorbiti nella fase liquida. L’anodo di carbonio non emette elettroni in modo apprezzabile, quindi la corrente scorre in un solo verso, come in un diodo.

(i) Stima la tensione di polarizzazione diretta di questo “diodo”.

(ii) Inserendo una griglia tra l’anodo e il catodo di mercurio si può modulare la corrente elettronica e quindi ottenere una corrente alternata da un’alimentazione continua.

Figura 5: circuito con valvola ad arco a vapori di mercurio.

La corrente anodica è $I=a+b{V}_g+c{V}_g^2$, con $V_g=A+B\cos (\omega t)$, cioè una polarizzazione costante più un segnale oscillante. La corrente anodica contiene una componente di seconda armonica. Determinane l’ampiezza.

(iii) Il valor medio della corrente anodica contiene un termine proporzionale a $B^2$. Ricava il coefficiente di questo termine.

(iv) Se $I_0$ è il valore di $I$ per $B=0$ e, applicato il segnale, $I$ oscilla tra $I_{max}$ e $I_{min}$, esprimi il rapporto tra le ampiezze della seconda armonica e della fondamentale (prima armonica) in funzione della grandezza $\chi =\frac{I_{max}-I_0}{I_0-I_{min}}$.

Suggerimento: è utile l’identità ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$.

[25 punti]

Risposta: a) $P=\frac{1}{2}\rho \pi r^2{v}^3$; b) (i)–(iii) $\rho A_1{v}_1$, $\rho Av$, $\rho A_2{v}_2$; (iv) $P=\frac{1}{2}\rho Av(v_1^2-v_2^2)$; (v) $P=\frac{1}{4}\rho A(v_1+v_2)(v_1^2-v_2^2)$; (vi) $v_2/v_1=1/3$; (vii) $P_{max}=0,296\rho A{v}_1^3$; (viii) $\approx 1,3\times 10^7$ W; c) (i) $R\approx 2,9$ Ω, $I=2500$ A, $P\approx 1,83\times 10^7$ W, 2,3%; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi L}\ln \frac{r_2}{r_1}\approx 7,1\times 10^7$ Ω, 4,5 mA, 1400 W, $\approx 2\times 10^{-4}$%; (iii) $\approx 30$ °C; d) (i) dell’ordine del lavoro di estrazione/potenziale di ionizzazione del mercurio; (ii) $c{B}^2/2$; (iii) $c/2$; (iv) $A_2/A_1=\frac{1}{2}(\chi -1)$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Continuity Equation, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Wire, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Question 3 — Hot air and hydrogen balloons [25 marks]

This question is about hot air balloons.

a) A hot air balloon rises when the upthrust is greater than its total weight. Calculate the volume of hot air required to lift a balloon with a combined mass of 200 kg for the balloon and basket. You should include the mass of the hot air, which has a density of 0.95 kg m${}^{-3}$ in the total weight of the balloon. The density of the cold air surrounding the balloon is 1.23 kg m${}^{-3}$.

b) In 1783, the Montgolfier brothers’ hot air balloon freely ascended, but remained at a low height. The balloon had a volume of about 2000 m${}^3$, and a lifting capacity including its own weight of 830 kg. The air inside the balloon was heated by a fire in a basket below. Estimate the temperature of the air in the balloon.

Air density at ground level is 1.23 kg m${}^{-3}$. Surface atmospheric pressure is $1.01\times 10^5$ Pa. The molar mass of air 0.029 kg mol${}^{-1}$.

Figure 6 (credit: Wikipedia).

c) Charles’ and the Robert brothers’ balloon flew not long after but was filled with hydrogen. The balloon had a capacity of 380 m${}^3$ and was filled on the ground at a sea level pressure of $1.01\times 10^5$ Pa, and temperature of 288 K.

(i) Calculate the mass of hydrogen in the balloon.

(ii) The balloon was constructed of a single lamina of rubberised silk with a thickness 0.43 mm. The silk cloth has a mass per unit area of 66.5 g m${}^{-2}$ and a density of 1.30 g cm${}^{-3}$. Rubber has a density of 1.34 g cm${}^{-3}$. Assuming the balloon is spherical, calculate the mass of the balloon to three significant figures.

(iii) Taking the mass of the two passengers, gondola and rigging to be 270 kg, calculate the initial acceleration of the balloon at sea level.

The density of air at sea level is 1.23 kg m${}^{-3}$.

Figure 7 (credit: Wikipedia).

d) In an unrelated example, a balloon of mass $m_1$ with a small amount of ballast $m_2$ descends with constant velocity $v$ due to a drag force $F_d$ acting on the balloon. The drag force is proportional to the speed of the balloon through the air. What is the mass of ballast $m_2$, expressed in terms of $F_d$, that must be jettisoned from the balloon so that it rises with the same velocity $v$?

e) (i) Atmospheric pressure is due to the weight of air above.

Figure 8: Thin disc of atmosphere with a pressure difference due to the weight of the disc of air.

i. From the hydrostatic equation, $p=\rho gh$ we can trivially write down an expression for $\Delta p$. This contains both $p$ and $\rho$ so you need another equation to eliminate $\rho$.

ii. From the ideal gas equation, obtain a relation between $p$ and $\rho$, $R$, $T$ and $M$, the molar mass.

iii. Now using the hydrostatic equation, obtain an expression for $\frac{dp}{p}$ in terms of $M$, $g$, $h$, $R$ and $T$.

iv. The temperature decreases linearly with height, in the form $T=T_0-\alpha h$. Use this with the previous result to produce an expression for atmospheric pressure as a function of altitude $p(h)$, in terms of sea level pressure $p_0$, $g$, the molar mass of air $M$, the molar gas constant $R$, the air temperature at sea level $T_0$, the rate of decrease of temperature with altitude $\alpha$ and altitude $h$. Humidity should not be considered.

(ii) In a second flight, Charles ascended to 3000 m. Calculate the ambient temperature and pressure at this altitude. Take the molar mass of air to be 0.0290 kg mol${}^{-1}$, and the molar gas constant to be 8.31 J mol${}^{-1}$ K${}^{-1}$. The rate of decrease of temperature with height is 0.00976 K m${}^{-1}$, the reference sea level temperature $T_0=288$ K and the reference sea level pressure $p_0=1.01\times 10^5$ Pa.

(iii) The balloon expands in volume by 30% at a height of 3000 m.

i. Calculate the pressure inside the balloon, assuming no hydrogen has been lost.

ii. Determine the stress in the skin of the balloon.

iii. Estimate the Young’s Modulus of the composite skin material.

[25 marks]

Risposta: a) $V=200/({\rho }_{cold}-{\rho }_{hot})\approx 714$ m${}^3$; b) ${\rho }_{hot}\approx 0.815$ kg m${}^{-3}$, $T\approx 430$ K $\approx 160$ °C; c) (i) $\approx 32$ kg; (ii) $r\approx 4.49$ m, mass $\approx 146$ kg; (iii) $a\approx 0.42$ m s${}^{-2}$; d) $m_2=2F_d/g$; e) (i) $\Delta p/p=-\frac{Mg}{RT}\Delta h$, $p(h)=p_0{\left(\frac{T_0-\alpha h}{T_0}\right)}^{Mg/(R\alpha )}$; (ii) $T\approx 259$ K, $p\approx 7.0\times 10^4$ Pa; (iii) $p_2\approx 70$ kPa (78 kPa if the gas stays at 288 K), stress $=p_{2}r/(2\delta r)\approx 4\times 10^8$ Pa, $E\approx 4\times 10^9$ Pa

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 2), from the official PDF — p. 15, 16, 17. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Gas, Membrane, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Problema 3 — Mongolfiere e palloni a idrogeno [25 punti]

Questo problema riguarda le mongolfiere.

a) Una mongolfiera sale quando la spinta di Archimede supera il suo peso totale. Calcola il volume di aria calda necessario per sollevare una mongolfiera con massa complessiva (pallone e cesta) di 200 kg. Nel peso totale va inclusa la massa dell’aria calda, che ha densità 0,95 kg m${}^{-3}$. La densità dell’aria fredda che circonda il pallone è 1,23 kg m${}^{-3}$.

b) Nel 1783 la mongolfiera dei fratelli Montgolfier salì liberamente, restando però a bassa quota. Il pallone aveva un volume di circa 2000 m${}^3$ e una capacità di sollevamento, compreso il proprio peso, di 830 kg. L’aria all’interno era riscaldata da un fuoco acceso in un cesto sottostante. Stima la temperatura dell’aria nel pallone.

Densità dell’aria al suolo: 1,23 kg m${}^{-3}$. Pressione atmosferica al suolo: $1,01\times 10^5$ Pa. Massa molare dell’aria: 0,029 kg mol${}^{-1}$.

Figura 6 (fonte: Wikipedia).

c) Poco dopo volò il pallone di Charles e dei fratelli Robert, riempito però di idrogeno. Il pallone aveva una capacità di 380 m${}^3$ e fu riempito al suolo, alla pressione del livello del mare di $1,01\times 10^5$ Pa e alla temperatura di 288 K.

(i) Calcola la massa di idrogeno nel pallone.

(ii) Il pallone era costituito da un unico strato di seta gommata spesso 0,43 mm. Il tessuto di seta ha una massa per unità di superficie di 66,5 g m${}^{-2}$ e una densità di 1,30 g cm${}^{-3}$. La gomma ha densità 1,34 g cm${}^{-3}$. Supponendo il pallone sferico, calcola la sua massa con tre cifre significative.

(iii) Considerando 270 kg la massa dei due passeggeri, della navicella e del sartiame, calcola l’accelerazione iniziale del pallone al livello del mare.

La densità dell’aria al livello del mare è 1,23 kg m${}^{-3}$.

Figura 7 (fonte: Wikipedia).

d) In un esempio indipendente, un pallone di massa $m_1$ con una piccola zavorra $m_2$ scende a velocità costante $v$ a causa di una forza di resistenza $F_d$. La forza di resistenza è proporzionale alla velocità del pallone rispetto all’aria. Quale massa di zavorra $m_2$, espressa in funzione di $F_d$, deve essere gettata perché il pallone salga con la stessa velocità $v$?

e) (i) La pressione atmosferica è dovuta al peso dell’aria sovrastante.

Figura 8: sottile disco di atmosfera con una differenza di pressione dovuta al peso del disco d’aria.

i. Dall’equazione idrostatica $p=\rho gh$ si scrive immediatamente un’espressione per $\Delta p$. Essa contiene sia $p$ sia $\rho$, quindi serve un’altra equazione per eliminare $\rho$.

ii. Dall’equazione dei gas perfetti ricava una relazione tra $p$ e $\rho$, $R$, $T$ e la massa molare $M$.

iii. Usando ora l’equazione idrostatica, ricava un’espressione per $\frac{dp}{p}$ in funzione di $M$, $g$, $h$, $R$ e $T$.

iv. La temperatura diminuisce linearmente con la quota, secondo $T=T_0-\alpha h$. Usa questa relazione insieme al risultato precedente per ottenere la pressione atmosferica in funzione della quota, $p(h)$, in termini della pressione al livello del mare $p_0$, di $g$, della massa molare dell’aria $M$, della costante dei gas $R$, della temperatura al livello del mare $T_0$, del gradiente termico $\alpha$ e della quota $h$. Non si consideri l’umidità.

(ii) In un secondo volo Charles salì fino a 3000 m. Calcola temperatura e pressione ambiente a questa quota. Prendi la massa molare dell’aria pari a 0,0290 kg mol${}^{-1}$ e la costante dei gas pari a 8,31 J mol${}^{-1}$ K${}^{-1}$. Il gradiente termico è 0,00976 K m${}^{-1}$, la temperatura di riferimento al livello del mare $T_0=288$ K e la pressione di riferimento $p_0=1,01\times 10^5$ Pa.

(iii) A 3000 m di quota il volume del pallone aumenta del 30%.

i. Calcola la pressione all’interno del pallone, supponendo che non sia stato perso idrogeno.

ii. Determina lo sforzo nell’involucro del pallone.

iii. Stima il modulo di Young del materiale composito dell’involucro.

[25 punti]

Risposta: a) $V=200/({\rho }_{fredda}-{\rho }_{calda})\approx 714$ m${}^3$; b) ${\rho }_{calda}\approx 0,815$ kg m${}^{-3}$, $T\approx 430$ K $\approx 160$ °C; c) (i) $\approx 32$ kg; (ii) $r\approx 4,49$ m, massa $\approx 146$ kg; (iii) $a\approx 0,42$ m s${}^{-2}$; d) $m_2=2F_d/g$; e) (i) $\Delta p/p=-\frac{Mg}{RT}\Delta h$, $p(h)=p_0{\left(\frac{T_0-\alpha h}{T_0}\right)}^{Mg/(R\alpha )}$; (ii) $T\approx 259$ K, $p\approx 7,0\times 10^4$ Pa; (iii) $p_2\approx 70$ kPa (78 kPa se il gas resta a 288 K), sforzo $=p_{2}r/(2\delta r)\approx 4\times 10^8$ Pa, $E\approx 4\times 10^9$ Pa

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Gas, Membrane, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Question 4 — Orbits and satellites: the Hope probe and Iridium [25 marks]

This question is about orbits and satellites. There are some useful constants given at the end of the question. In this problem the orbits of the planets will be assumed to be circular.

The Hope probe — this space probe was launched on a journey to Mars on the 20th July 2020 with a mass, $m_0$ of 1350 kg, including 800 kg of fuel onboard.

Figure 9: The Hope probe (credit: UAE Space Agency).

a) (i) At what distance $r$ from the centre of the Earth, with $r>R_E$, does the gravitational field strength reduce to 1% of its value at the surface? Express this as a fraction of the radius of the Earth.

(ii) The Hope probe was launched from Tanegashima Space Centre in Japan, which lies on 30° latitude above the equatorial plane. Calculate the tangential speed of the space centre.

(iii) Estimate the escape speed of a satellite that is launched from the surface of the Earth, with no kinetic energy contribution from Earth’s rotation, so that it completely escapes the Earth’s gravitational field.

(iv) What is the percentage reduction in energy for a satellite to escape the Earth’s gravitational field when

i. launched from Tanegashima Space Centre in Japan,

ii. it is already in a low Earth orbit? (close to the surface of the Earth)

The trajectory of the space probe between Earth and Mars can be represented as part of an elliptical orbit about the Sun, with the Sun at one focus of the ellipse, shown schematically in Figure 10. Thus the space probe cruises without the use of propulsion in an elliptical orbit about the Sun to reach its destination. For an elliptical orbit, $rv\sin \theta =$ constant, where $r$ is the displacement of the body from one focus, $v$ is the velocity vector, and $\theta$ is the angle between them.

(v) By considering the influence of the Sun only, use the idea of total energy to produce expressions for the velocity of the probe at point P (near Earth), $v_P$ and at point A (near Mars), $v_A$, in terms of the gravitational constant $G$, the Solar mass $M_S$, the radius of orbit of the Earth $R_{Eo}$, and the radius of orbit of Mars $R_{Mo}$.

Figure 10: Trajectory of the space probe between Earth and Mars (dashed line). The Sun is represented by a star.

(vi) Determine the difference between $v_A$ and the Earth’s orbital velocity $v_E$, and the difference between $v_P$ and Mars’ orbital velocity $v_M$. Thus calculate the total change in tangential velocity needed at point A to allow the probe to cruise to its meeting point with Mars; assume the probe already has sufficient kinetic energy to escape the gravitational potential well of the Earth.

(vii) Calculate the speed of the probe on close approach to Mars.

(viii) On the approach to Mars, the speed of the probe must be slowed to match the orbital speed of Mars to allow it to be captured in an orbit around the planet. This deceleration is achieved by using six thrusters expending half of the fuel over a 27 minute period. Assume the decelerating force and the rate of fuel consumption, $k$, are constants. For the period of time in which the thrusters are in operation:

i. Sketch a graph of the variation of acceleration against time; append appropriate values to the axes.

ii. Produce an expression for the change in velocity with time $v(t)$ in terms of the total decelerating force $F$, the initial probe mass, $m_0$, the rate of fuel consumption $k$, initial velocity $v_0$ and time $t$.

iii. Calculate the force provided by each thruster.

b) The iridium satellite telephone system uses a constellation of 66 satellites orbiting at an altitude of 780 km above the surface of the Earth.

Figure 11: Satellite coverage of earth.

(i) Calculate the horizon radius of the area covered by any one satellite (this is the radius of a flat circle within the horizon, i.e. the radius of one of the small circles illustrated in Fig. 11).

(ii) In practice, the effective radius is approximately 2350 km. The power distributed by the satellite transmitter to this area is about 200 W. Calculate the intensity of the signal at the Earth’s surface.

(iii) The movement of the satellites relative to the Earth’s surface introduces the Doppler Effect. If the wavelength of the signal from the satellite is $\lambda$, the speed of the satellite $v$, and the speed of light $c$, produce an expression for the shifted wavelength ${\lambda }^{\prime }$ observed by the receiver as the satellite recedes.

(iv) Using a suitable approximation, provide an expression for the apparent shift in frequency, $\Delta f$.

(v) Now consider the satellite moving above the receiver on the Earth’s surface. For the effective radius of coverage in ii) calculate $f_{min}$ and $f_{max}$ as observed, given the transmission frequency of 1620 MHz, and thus state the bandwidth that must be set aside to manage Doppler shift.

Constant	Symbol	Value
Mass of Sun	$M_S$	$1.99\times 10^{30}$ kg
Mass of Earth	$M_E$	$5.97\times 10^{24}$ kg
Radius of Earth	$R_E$	$6.37\times 10^6$ m
Radius of Earth orbit	$R_{Eo}$	$150\times 10^9$ m
Mass of Mars	$M_M$	$6.42\times 10^{23}$ kg
Radius of Mars	$R_M$	$6.37\times 10^6$ m
Radius of Mars orbit	$R_{Mo}$	$227\times 10^9$ m

[25 marks]

Risposta: a) (i) $r=10R_E$; (ii) $v=\omega R_E\cos 30^{\circ }\approx 400$ m s${}^{-1}$; (iii) $v_{es}=\sqrt{2GM/R_E}\approx 11.2$ km s${}^{-1}$; (iv) i. $v_{new}^2=v_{es}^2-v_T^2$, energy needed $=1-(0.4/11.2{)}^2$ of the original (mark scheme), ii. 50%; (v) $v_P=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Mo}}{R_{Eo}}}$, $v_A=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Eo}}{R_{Mo}}}$; (vi)–(vii) $v_A\approx 22$, $v_M\approx 24$, $v_P\approx 33$, $v_E\approx 30$ km s${}^{-1}$; (viii) $\Delta v=-\frac{Ft}{\delta m}\ln \left(1-\frac{\delta m}{m_0}\right)$, $\Delta v=v_M-v_A\approx 2.6$ km s${}^{-1}$, total $F\approx 1.8$ kN (the scheme quotes $\approx 0.5$ kN per thruster); b) (i) $R\approx 2890$ km; (ii) $I\approx 200/(\pi R^2)\approx 1.2\times 10^{-11}$ W m${}^{-2}$; (iii) ${\lambda }^{\prime }=\lambda (1+v/c)$; (iv) $\Delta f/f=v/c$; (v) $v\approx 7460$ m s${}^{-1}$, $v_{rec}\approx 6640$ m s${}^{-1}$, $\Delta f\approx \pm 36$ kHz

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 2), from the official PDF — p. 18, 19, 20, 21. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Gravitation, Astrophysics, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Kepler’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

Problema 4 — Orbite e satelliti: la sonda Hope e Iridium [25 punti]

Questo problema riguarda orbite e satelliti. Alcune costanti utili sono riportate alla fine del problema. Si assuma che le orbite dei pianeti siano circolari.

La sonda Hope fu lanciata verso Marte il 20 luglio 2020 con una massa $m_0$ di 1350 kg, di cui 800 kg di carburante a bordo.

Figura 9: la sonda Hope (fonte: UAE Space Agency).

a) (i) A quale distanza $r$ dal centro della Terra, con $r>R_E$, l’intensità del campo gravitazionale si riduce all’1% del suo valore in superficie? Esprimila come frazione del raggio terrestre.

(ii) La sonda Hope fu lanciata dal centro spaziale di Tanegashima, in Giappone, che si trova a 30° di latitudine sopra il piano equatoriale. Calcola la velocità tangenziale del centro spaziale.

(iii) Stima la velocità di fuga di un satellite lanciato dalla superficie terrestre, senza alcun contributo di energia cinetica dovuto alla rotazione della Terra, affinché sfugga completamente al campo gravitazionale terrestre.

(iv) Di quale percentuale si riduce l’energia necessaria a un satellite per sfuggire al campo gravitazionale terrestre quando

i. è lanciato dal centro spaziale di Tanegashima,

ii. si trova già in un’orbita terrestre bassa (vicina alla superficie)?

La traiettoria della sonda tra la Terra e Marte si può rappresentare come parte di un’orbita ellittica attorno al Sole, con il Sole in uno dei fuochi, come mostrato schematicamente in Figura 10. La sonda viaggia quindi senza propulsione lungo un’orbita ellittica attorno al Sole fino a destinazione. Per un’orbita ellittica $rv\sin \theta =$ costante, dove $r$ è lo spostamento del corpo da un fuoco, $v$ è il vettore velocità e $\theta$ l’angolo tra i due.

(v) Considerando solo l’influenza del Sole e usando l’energia totale, ricava le espressioni della velocità della sonda nel punto P (vicino alla Terra), $v_P$, e nel punto A (vicino a Marte), $v_A$, in funzione della costante gravitazionale $G$, della massa del Sole $M_S$, del raggio dell’orbita terrestre $R_{Eo}$ e del raggio dell’orbita di Marte $R_{Mo}$.

Figura 10: traiettoria della sonda tra Terra e Marte (linea tratteggiata). Il Sole è rappresentato da una stella.

(vi) Determina la differenza tra $v_A$ e la velocità orbitale della Terra $v_E$, e la differenza tra $v_P$ e la velocità orbitale di Marte $v_M$. Calcola quindi la variazione totale di velocità tangenziale necessaria nel punto A perché la sonda arrivi all’incontro con Marte; si assuma che la sonda abbia già energia cinetica sufficiente per uscire dalla buca di potenziale terrestre.

(vii) Calcola la velocità della sonda al massimo avvicinamento a Marte.

(viii) In avvicinamento a Marte, la sonda deve rallentare fino alla velocità orbitale di Marte per poter essere catturata in orbita attorno al pianeta. La decelerazione si ottiene con sei propulsori che consumano metà del carburante in 27 minuti. Si assuma che la forza frenante e il ritmo di consumo del carburante, $k$, siano costanti. Nell’intervallo in cui i propulsori sono accesi:

i. disegna un grafico dell’accelerazione in funzione del tempo, indicando valori opportuni sugli assi;

ii. ricava un’espressione per la velocità in funzione del tempo $v(t)$ in termini della forza frenante totale $F$, della massa iniziale $m_0$, del ritmo di consumo $k$, della velocità iniziale $v_0$ e del tempo $t$;

iii. calcola la forza fornita da ciascun propulsore.

b) Il sistema di telefonia satellitare Iridium usa una costellazione di 66 satelliti in orbita a 780 km di quota sopra la superficie terrestre.

Figura 11: copertura satellitare della Terra.

(i) Calcola il raggio dell’orizzonte dell’area coperta da un singolo satellite (cioè il raggio di un cerchio piano entro l’orizzonte, come uno dei piccoli cerchi di Fig. 11).

(ii) In pratica il raggio efficace è circa 2350 km. La potenza distribuita dal trasmettitore del satellite su quest’area è di circa 200 W. Calcola l’intensità del segnale sulla superficie terrestre.

(iii) Il moto dei satelliti rispetto alla superficie terrestre introduce l’effetto Doppler. Se la lunghezza d’onda del segnale è $\lambda$, la velocità del satellite $v$ e la velocità della luce $c$, ricava un’espressione per la lunghezza d’onda ${\lambda }^{\prime }$ osservata dal ricevitore mentre il satellite si allontana.

(iv) Con un’approssimazione opportuna, scrivi un’espressione per lo spostamento apparente di frequenza $\Delta f$.

(v) Considera ora il satellite che si muove sopra il ricevitore sulla superficie terrestre. Per il raggio efficace di copertura del punto ii), calcola $f_{min}$ e $f_{max}$ osservate, con frequenza di trasmissione 1620 MHz, e indica quindi la banda da riservare per gestire lo spostamento Doppler.

Costante	Simbolo	Valore
Massa del Sole	$M_S$	$1,99\times 10^{30}$ kg
Massa della Terra	$M_E$	$5,97\times 10^{24}$ kg
Raggio della Terra	$R_E$	$6,37\times 10^6$ m
Raggio dell’orbita terrestre	$R_{Eo}$	$150\times 10^9$ m
Massa di Marte	$M_M$	$6,42\times 10^{23}$ kg
Raggio di Marte	$R_M$	$6,37\times 10^6$ m
Raggio dell’orbita di Marte	$R_{Mo}$	$227\times 10^9$ m

[25 punti]

Risposta: a) (i) $r=10R_E$; (ii) $v=\omega R_E\cos 30^{\circ }\approx 400$ m s${}^{-1}$; (iii) $v_{es}=\sqrt{2GM/R_E}\approx 11,2$ km s${}^{-1}$; (iv) i. $v_{new}^2=v_{es}^2-v_T^2$, energia necessaria $=1-(0,4/11,2{)}^2$ di quella originale (mark scheme), ii. 50%; (v) $v_P=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Mo}}{R_{Eo}}}$, $v_A=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Eo}}{R_{Mo}}}$; (vi)–(vii) $v_A\approx 22$, $v_M\approx 24$, $v_P\approx 33$, $v_E\approx 30$ km s${}^{-1}$; (viii) $\Delta v=-\frac{Ft}{\delta m}\ln \left(1-\frac{\delta m}{m_0}\right)$, $\Delta v=v_M-v_A\approx 2,6$ km s${}^{-1}$, $F$ totale $\approx 1,8$ kN (lo schema indica $\approx 0,5$ kN per propulsore); b) (i) $R\approx 2890$ km; (ii) $I\approx 200/(\pi R^2)\approx 1,2\times 10^{-11}$ W m${}^{-2}$; (iii) ${\lambda }^{\prime }=\lambda (1+v/c)$; (iv) $\Delta f/f=v/c$; (v) $v\approx 7460$ m s${}^{-1}$, $v_{rec}\approx 6640$ m s${}^{-1}$, $\Delta f\approx \pm 36$ kHz

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation, Astrophysics, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Kepler’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

Question 5 — Circuits: heated strip, bridge, attenuator and earthing resistance [25 marks]

This question is about circuits.

a) A constant potential difference of 2.0 V is applied across the ends of a metal strip with the following dimensions: length 0.30 m, width 4.0 mm and thickness 10 µm. The metal has a resistivity of $1.5\times 10^{-7}$ Ω m at 0 °C and a temperature coefficient of resistance of $\alpha =3.3\times 10^{-3}$ °C${}^{-1}$. The strip loses heat to its surroundings at a rate proportional to the surface area, and to the excess temperature above the surroundings $\theta$, which are at 0 °C. The constant of proportionality is 22 W m${}^{-2}$ °C${}^{-1}$. Determine:

(i) The resistance of the strip at 0 °C.

(ii) The electrical power transferred when the strip is at 15 °C.

(iii) Write down expressions for the power converted as a function of excess temperature $\theta$, and for the rate of heat loss $P$ as a function of excess temperature $\theta$. Hence estimate the temperature reached after the current has been passing for a long period of time.

b) A tungsten filament lamp consists of a long, 25 cm filament supported at each end and in the middle. When operated using a 50 Hz supply there appeared to be four loops in the filament. Estimate the tension in the filament given the density of tungsten is 19 g cm${}^{-3}$.

c) In a conductor of volume $V$, of uniform cross-section, made of a material of resistivity $\rho$, the current density is $J$ (the current per unit area normal to the flow). Find an expression in terms of $J$, $\rho$ and $V$ for the power dissipated as thermal energy.

d) The potential difference across a filament lamp, $V$, is related to the current $I$ through it by the relationship $V=2I+8I^2$. The lamp is connected to a measurement arm of the bridge circuit shown. Resistors $R_1$, $R_2$ and $R_3$ each have a resistance of 4.0 Ω. Determine the potential difference $V_b$ such that no current flows through the galvanometer G.

Figure 12: A bridge circuit with a non-linear component.

e) The circuit of Fig. 13 includes an element known as a “T-section attenuator”. The attenuator is used to adjust the power delivered to the load. The attenuator is connected to a battery of emf $E$ and internal resistance $R$, and to a load also of resistance $R$. The values of $x$ and $y$ are adjusted until the battery delivers maximum power.

Figure 13: A T-section attenuator circuit.

(i) For this maximum power condition, obtain a relation between $x$ and $y$.

(ii) For the three currents $i_1$, $i_2$, $i_3$ shown in the circuit, obtain a general result for the ratio $\frac{i_1}{i_2}$ in terms of $x$ and $y$.

(iii) $P_{input}$ is the power delivered at the battery terminals and $P_{load}$ is the power dissipated in the load. Show that $\frac{P_{input}}{P_{load}}=\frac{f(x{)}^2}{g(x{)}^2}$ where $f(x)$ and $g(x)$ are simple functions of $x$.

Hint: in a circuit of emf $E$ and internal resistance $r$ connected to a load resistance $R$, the condition for the battery to deliver maximum power to the load is when $R=r$.

f) A metal hemisphere of radius 0.1 m is immersed near the centre of a large conducting tank containing a liquid of resistivity 60 Ω m. The plane surface of the hemisphere is level with the surface of the liquid.

(i) Find an expression for the resistance between two hemispherical shells within the liquid, concentric with the centre of the metal hemisphere, having radii $r$ and $(r+\delta r)$ respectively.

(ii) Hence calculate the resistance between the hemisphere and the tank.

(iii) If the hemisphere is replaced by a sphere in a very large closed container of the liquid, what is the resistance between the sphere and the tank now?

(iv) We now have two small conducting spheres each of radius $r$ separated by a distance $a$ where $a\gg r$, embedded in a resistive material of infinite extent, as in Figure 14. What is the resistance between them? Hint: use the idea of superposition of currents in the material.

Figure 14: Two small spherical conductors embedded in a resistive material.

[25 marks]

Risposta: a) (i) $R_0\approx 1.13$ Ω; (ii) $R\approx 1.18$ Ω, $P\approx 3.4$ W; (iii) $V^2/[R_0(1+\alpha \theta )]=kA\theta$, $\theta \approx 57$ °C (both faces) or 101 °C (one face), either accepted; b) $2\lambda =25$ cm, assumed diameter 1 mm, $\mu \approx 0.015$ kg m${}^{-1}$, $T\approx 0.6$ N; c) $P=J^2\rho V$; d) $R_{bulb}=4$ Ω, $I=0.25$ A, $V_b=2$ V; e) (i) $x^2+2xy=1$; (ii) $i_1/i_2=(x+y+1)/y$; (iii) $P_{input}/P_{load}=(1+x{)}^2/(1-x{)}^2$; f) (i) $\delta R=\rho \delta r/(2\pi r^2)$; (ii) $R=\rho /(2\pi r_s)\approx 95\approx 100$ Ω; (iii) $\rho /(4\pi r_s)\approx 50$ Ω; (iv) $\rho /(2\pi r)$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2023, Section 2), from the official PDF — p. 22, 23, 24. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits, Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Calculus-Integration, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Resistor, Wire, Galvanometer, Battery, Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.11 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.22

Problema 5 — Circuiti: striscia riscaldata, ponte, attenuatore e resistenza di dispersione [25 punti]

Questo problema riguarda i circuiti.

a) Ai capi di una striscia metallica di dimensioni lunghezza 0,30 m, larghezza 4,0 mm e spessore 10 µm è applicata una differenza di potenziale costante di 2,0 V. Il metallo ha resistività $1,5\times 10^{-7}$ Ω m a 0 °C e coefficiente di temperatura della resistenza $\alpha =3,3\times 10^{-3}$ °C${}^{-1}$. La striscia cede calore all’ambiente con una potenza proporzionale all’area della superficie e alla sovratemperatura $\theta$ rispetto all’ambiente, che si trova a 0 °C. La costante di proporzionalità è 22 W m${}^{-2}$ °C${}^{-1}$. Determina:

(i) la resistenza della striscia a 0 °C;

(ii) la potenza elettrica trasferita quando la striscia è a 15 °C;

(iii) scrivi le espressioni della potenza dissipata in funzione della sovratemperatura $\theta$ e della potenza termica ceduta $P$ in funzione di $\theta$. Stima quindi la temperatura raggiunta dopo che la corrente è passata per un lungo tempo.

b) Una lampada a filamento di tungsteno ha un filamento lungo 25 cm sostenuto alle due estremità e nel mezzo. Alimentata a 50 Hz, il filamento sembrava presentare quattro ventri. Stima la tensione del filamento sapendo che la densità del tungsteno è 19 g cm${}^{-3}$.

c) In un conduttore di volume $V$ e sezione uniforme, fatto di un materiale di resistività $\rho$, la densità di corrente è $J$ (corrente per unità di area normale al flusso). Ricava un’espressione, in funzione di $J$, $\rho$ e $V$, della potenza dissipata in energia termica.

d) La differenza di potenziale $V$ ai capi di una lampada a filamento è legata alla corrente $I$ che la attraversa dalla relazione $V=2I+8I^2$. La lampada è inserita in un ramo di misura del circuito a ponte mostrato. I resistori $R_1$, $R_2$ e $R_3$ hanno ciascuno resistenza 4,0 Ω. Determina la differenza di potenziale $V_b$ per cui nel galvanometro G non passa corrente.

Figura 12: circuito a ponte con un componente non lineare.

e) Il circuito di Fig. 13 contiene un elemento detto “attenuatore a T”, usato per regolare la potenza fornita al carico. L’attenuatore è collegato a una batteria di f.e.m. $E$ e resistenza interna $R$, e a un carico anch’esso di resistenza $R$. I valori di $x$ e $y$ vengono regolati finché la batteria eroga la massima potenza.

Figura 13: circuito con attenuatore a T.

(i) In questa condizione di massima potenza, ricava una relazione tra $x$ e $y$.

(ii) Per le tre correnti $i_1$, $i_2$, $i_3$ indicate nel circuito, ricava un risultato generale per il rapporto $\frac{i_1}{i_2}$ in funzione di $x$ e $y$.

(iii) $P_{input}$ è la potenza erogata ai morsetti della batteria e $P_{load}$ la potenza dissipata nel carico. Mostra che $\frac{P_{input}}{P_{load}}=\frac{f(x{)}^2}{g(x{)}^2}$, dove $f(x)$ e $g(x)$ sono semplici funzioni di $x$.

Suggerimento: in un circuito con f.e.m. $E$ e resistenza interna $r$ collegato a un carico $R$, la batteria fornisce al carico la massima potenza quando $R=r$.

f) Una semisfera metallica di raggio 0,1 m è immersa vicino al centro di una grande vasca conduttrice contenente un liquido di resistività 60 Ω m. La faccia piana della semisfera è a livello della superficie del liquido.

(i) Ricava un’espressione per la resistenza tra due gusci semisferici nel liquido, concentrici con il centro della semisfera metallica, di raggi $r$ e $(r+\delta r)$.

(ii) Calcola quindi la resistenza tra la semisfera e la vasca.

(iii) Se la semisfera è sostituita da una sfera in un recipiente chiuso molto grande pieno di liquido, quanto vale ora la resistenza tra la sfera e la vasca?

(iv) Si hanno ora due piccole sfere conduttrici, ciascuna di raggio $r$, a distanza $a$ con $a\gg r$, immerse in un materiale resistivo di estensione infinita, come in Figura 14. Qual è la resistenza tra di esse? Suggerimento: usa la sovrapposizione delle correnti nel materiale.

Figura 14: due piccoli conduttori sferici immersi in un materiale resistivo.

[25 punti]

Risposta: a) (i) $R_0\approx 1,13$ Ω; (ii) $R\approx 1,18$ Ω, $P\approx 3,4$ W; (iii) $V^2/[R_0(1+\alpha \theta )]=kA\theta$, $\theta \approx 57$ °C (due facce) oppure 101 °C (una faccia), entrambi accettati; b) $2\lambda =25$ cm, diametro stimato 1 mm, $\mu \approx 0,015$ kg m${}^{-1}$, $T\approx 0,6$ N; c) $P=J^2\rho V$; d) $R_{lampada}=4$ Ω, $I=0,25$ A, $V_b=2$ V; e) (i) $x^2+2xy=1$; (ii) $i_1/i_2=(x+y+1)/y$; (iii) $P_{input}/P_{load}=(1+x{)}^2/(1-x{)}^2$; f) (i) $\delta R=\rho \delta r/(2\pi r^2)$; (ii) $R=\rho /(2\pi r_s)\approx 95\approx 100$ Ω; (iii) $\rho /(4\pi r_s)\approx 50$ Ω; (iv) $\rho /(2\pi r)$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits, Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Calculus-Integration, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Resistor, Wire, Galvanometer, Battery, Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.11 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.22

Answers from the official BPhO Round 1 2023 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
2	Question 2 — Wind turbines, HVDC cables and the mercury arc valve [25 marks]	a) $P=\frac{1}{2}\rho \pi r^2{v}^3$; b) (i)–(iii) $\rho A_1{v}_1$, $\rho Av$, $\rho A_2{v}_2$; (iv) $P=\frac{1}{2}\rho Av(v_1^2-v_2^2)$; (v) $P=\frac{1}{4}\rho A(v_1+v_2)(v_1^2-v_2^2)$; (vi) $v_2/v_1=1/3$; (vii) $P_{max}=0.296\rho A{v}_1^3$; (viii) $\approx 1.3\times 10^7$ W; c) (i) $R\approx 2.9$ Ω, $I=2500$ A, $P\approx 1.83\times 10^7$ W, 2.3%; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi L}\ln \frac{r_2}{r_1}\approx 7.1\times 10^7$ Ω, 4.5 mA, 1400 W, $\approx 2\times 10^{-4}$%; (iii) $\approx 30$ °C; d) (i) of the order of the work function/ionisation potential of mercury; (ii) $c{B}^2/2$; (iii) $c/2$; (iv) $A_2/A_1=\frac{1}{2}(\chi -1)$
3	Question 3 — Hot air and hydrogen balloons [25 marks]	a) $V=200/({\rho }_{cold}-{\rho }_{hot})\approx 714$ m${}^3$; b) ${\rho }_{hot}\approx 0.815$ kg m${}^{-3}$, $T\approx 430$ K $\approx 160$ °C; c) (i) $\approx 32$ kg; (ii) $r\approx 4.49$ m, mass $\approx 146$ kg; (iii) $a\approx 0.42$ m s${}^{-2}$; d) $m_2=2F_d/g$; e) (i) $\Delta p/p=-\frac{Mg}{RT}\Delta h$, $p(h)=p_0{\left(\frac{T_0-\alpha h}{T_0}\right)}^{Mg/(R\alpha )}$; (ii) $T\approx 259$ K, $p\approx 7.0\times 10^4$ Pa; (iii) $p_2\approx 70$ kPa (78 kPa if the gas stays at 288 K), stress $=p_{2}r/(2\delta r)\approx 4\times 10^8$ Pa, $E\approx 4\times 10^9$ Pa
4	Question 4 — Orbits and satellites: the Hope probe and Iridium [25 marks]	a) (i) $r=10R_E$; (ii) $v=\omega R_E\cos 30^{\circ }\approx 400$ m s${}^{-1}$; (iii) $v_{es}=\sqrt{2GM/R_E}\approx 11.2$ km s${}^{-1}$; (iv) i. $v_{new}^2=v_{es}^2-v_T^2$, energy needed $=1-(0.4/11.2{)}^2$ of the original (mark scheme), ii. 50%; (v) $v_P=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Mo}}{R_{Eo}}}$, $v_A=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Eo}}{R_{Mo}}}$; (vi)–(vii) $v_A\approx 22$, $v_M\approx 24$, $v_P\approx 33$, $v_E\approx 30$ km s${}^{-1}$; (viii) $\Delta v=-\frac{Ft}{\delta m}\ln \left(1-\frac{\delta m}{m_0}\right)$, $\Delta v=v_M-v_A\approx 2.6$ km s${}^{-1}$, total $F\approx 1.8$ kN (the scheme quotes $\approx 0.5$ kN per thruster); b) (i) $R\approx 2890$ km; (ii) $I\approx 200/(\pi R^2)\approx 1.2\times 10^{-11}$ W m${}^{-2}$; (iii) ${\lambda }^{\prime }=\lambda (1+v/c)$; (iv) $\Delta f/f=v/c$; (v) $v\approx 7460$ m s${}^{-1}$, $v_{rec}\approx 6640$ m s${}^{-1}$, $\Delta f\approx \pm 36$ kHz
5	Question 5 — Circuits: heated strip, bridge, attenuator and earthing resistance [25 marks]	a) (i) $R_0\approx 1.13$ Ω; (ii) $R\approx 1.18$ Ω, $P\approx 3.4$ W; (iii) $V^2/[R_0(1+\alpha \theta )]=kA\theta$, $\theta \approx 57$ °C (both faces) or 101 °C (one face), either accepted; b) $2\lambda =25$ cm, assumed diameter 1 mm, $\mu \approx 0.015$ kg m${}^{-1}$, $T\approx 0.6$ N; c) $P=J^2\rho V$; d) $R_{bulb}=4$ Ω, $I=0.25$ A, $V_b=2$ V; e) (i) $x^2+2xy=1$; (ii) $i_1/i_2=(x+y+1)/y$; (iii) $P_{input}/P_{load}=(1+x{)}^2/(1-x{)}^2$; f) (i) $\delta R=\rho \delta r/(2\pi r^2)$; (ii) $R=\rho /(2\pi r_s)\approx 95\approx 100$ Ω; (iii) $\rho /(4\pi r_s)\approx 50$ Ω; (iv) $\rho /(2\pi r)$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2023.

Problema	Titolo	Risposta
2	Problema 2 — Turbine eoliche, cavi HVDC e valvola a vapori di mercurio [25 punti]	a) $P=\frac{1}{2}\rho \pi r^2{v}^3$; b) (i)–(iii) $\rho A_1{v}_1$, $\rho Av$, $\rho A_2{v}_2$; (iv) $P=\frac{1}{2}\rho Av(v_1^2-v_2^2)$; (v) $P=\frac{1}{4}\rho A(v_1+v_2)(v_1^2-v_2^2)$; (vi) $v_2/v_1=1/3$; (vii) $P_{max}=0,296\rho A{v}_1^3$; (viii) $\approx 1,3\times 10^7$ W; c) (i) $R\approx 2,9$ Ω, $I=2500$ A, $P\approx 1,83\times 10^7$ W, 2,3%; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi L}\ln \frac{r_2}{r_1}\approx 7,1\times 10^7$ Ω, 4,5 mA, 1400 W, $\approx 2\times 10^{-4}$%; (iii) $\approx 30$ °C; d) (i) dell’ordine del lavoro di estrazione/potenziale di ionizzazione del mercurio; (ii) $c{B}^2/2$; (iii) $c/2$; (iv) $A_2/A_1=\frac{1}{2}(\chi -1)$
3	Problema 3 — Mongolfiere e palloni a idrogeno [25 punti]	a) $V=200/({\rho }_{fredda}-{\rho }_{calda})\approx 714$ m${}^3$; b) ${\rho }_{calda}\approx 0,815$ kg m${}^{-3}$, $T\approx 430$ K $\approx 160$ °C; c) (i) $\approx 32$ kg; (ii) $r\approx 4,49$ m, massa $\approx 146$ kg; (iii) $a\approx 0,42$ m s${}^{-2}$; d) $m_2=2F_d/g$; e) (i) $\Delta p/p=-\frac{Mg}{RT}\Delta h$, $p(h)=p_0{\left(\frac{T_0-\alpha h}{T_0}\right)}^{Mg/(R\alpha )}$; (ii) $T\approx 259$ K, $p\approx 7,0\times 10^4$ Pa; (iii) $p_2\approx 70$ kPa (78 kPa se il gas resta a 288 K), sforzo $=p_{2}r/(2\delta r)\approx 4\times 10^8$ Pa, $E\approx 4\times 10^9$ Pa
4	Problema 4 — Orbite e satelliti: la sonda Hope e Iridium [25 punti]	a) (i) $r=10R_E$; (ii) $v=\omega R_E\cos 30^{\circ }\approx 400$ m s${}^{-1}$; (iii) $v_{es}=\sqrt{2GM/R_E}\approx 11,2$ km s${}^{-1}$; (iv) i. $v_{new}^2=v_{es}^2-v_T^2$, energia necessaria $=1-(0,4/11,2{)}^2$ di quella originale (mark scheme), ii. 50%; (v) $v_P=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Mo}}{R_{Eo}}}$, $v_A=\sqrt{\frac{2G{M}_S}{R_{Mo}+R_{Eo}}\frac{R_{Eo}}{R_{Mo}}}$; (vi)–(vii) $v_A\approx 22$, $v_M\approx 24$, $v_P\approx 33$, $v_E\approx 30$ km s${}^{-1}$; (viii) $\Delta v=-\frac{Ft}{\delta m}\ln \left(1-\frac{\delta m}{m_0}\right)$, $\Delta v=v_M-v_A\approx 2,6$ km s${}^{-1}$, $F$ totale $\approx 1,8$ kN (lo schema indica $\approx 0,5$ kN per propulsore); b) (i) $R\approx 2890$ km; (ii) $I\approx 200/(\pi R^2)\approx 1,2\times 10^{-11}$ W m${}^{-2}$; (iii) ${\lambda }^{\prime }=\lambda (1+v/c)$; (iv) $\Delta f/f=v/c$; (v) $v\approx 7460$ m s${}^{-1}$, $v_{rec}\approx 6640$ m s${}^{-1}$, $\Delta f\approx \pm 36$ kHz
5	Problema 5 — Circuiti: striscia riscaldata, ponte, attenuatore e resistenza di dispersione [25 punti]	a) (i) $R_0\approx 1,13$ Ω; (ii) $R\approx 1,18$ Ω, $P\approx 3,4$ W; (iii) $V^2/[R_0(1+\alpha \theta )]=kA\theta$, $\theta \approx 57$ °C (due facce) oppure 101 °C (una faccia), entrambi accettati; b) $2\lambda =25$ cm, diametro stimato 1 mm, $\mu \approx 0,015$ kg m${}^{-1}$, $T\approx 0,6$ N; c) $P=J^2\rho V$; d) $R_{lampada}=4$ Ω, $I=0,25$ A, $V_b=2$ V; e) (i) $x^2+2xy=1$; (ii) $i_1/i_2=(x+y+1)/y$; (iii) $P_{input}/P_{load}=(1+x{)}^2/(1-x{)}^2$; f) (i) $\delta R=\rho \delta r/(2\pi r^2)$; (ii) $R=\rho /(2\pi r_s)\approx 95\approx 100$ Ω; (iii) $\rho /(4\pi r_s)\approx 50$ Ω; (iv) $\rho /(2\pi r)$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)