BPhO Round 1 2024 — Section 1

a) A stone is dropped from rest from a height of 5.0 m above the water surface of a pool. After hitting the water, it sinks to the bottom, 4.0 m below the surface. If it sinks with the same speed as it struck the water, for how long is the stone in motion? [3]

Risposta: $T=\sqrt{10/g}+4/\sqrt{10g}\approx 1.4$ s

Soluzione:

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

a) Un sasso viene lasciato cadere da fermo da un’altezza di 5,0 m sopra la superficie dell’acqua di una piscina. Dopo aver colpito l’acqua affonda fino al fondo, 4,0 m sotto la superficie. Se affonda con la stessa velocità con cui ha colpito l’acqua, per quanto tempo il sasso è in moto? [3]

Risposta: $T=\sqrt{10/g}+4/\sqrt{10g}\approx 1,4$ s

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

b) The Earth orbits the Sun at a distance of 8.0 light minutes away. The Sun lies at a position in the Milky Way galaxy at about 8.3 kpc from the centre. The galaxy rotates about the galactic centre with an orbital period of 240 million years. What is the value of the orbital speed of the Solar System in the galaxy divided by the orbital speed of the Earth about the Sun?

1.00 pc (parsec) = 3.26 light years [3]

Risposta: $v_{SS}/v_E\approx 7.4$

Soluzione:

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Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

b) La Terra orbita attorno al Sole a una distanza di 8,0 minuti luce. Il Sole si trova nella Via Lattea a circa 8,3 kpc dal centro. La galassia ruota attorno al centro galattico con un periodo orbitale di 240 milioni di anni. Quanto vale il rapporto tra la velocità orbitale del Sistema Solare nella galassia e la velocità orbitale della Terra attorno al Sole?

1,00 pc (parsec) = 3,26 anni luce [3]

Risposta: $v_{SS}/v_E\approx 7,4$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

c) A spring with spring constant $k$ sits on the floor of an elevator with a mass $m$ resting on top. The elevator then accelerates upwards and uniformly from zero to 18 m s${}^{-1}$ in 6 s. What is the ratio $\frac{\Delta {\ell }_1}{\Delta {\ell }_2}$, where $\Delta {\ell }_1$ is the initial contraction in length of the spring when the lift is stationary, and $\Delta {\ell }_2$ is the contraction measured when the lift is accelerating? [3]

Risposta: $\frac{\Delta {\ell }_1}{\Delta {\ell }_2}=\frac{g}{g+3}\approx 0.77$

Soluzione:

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

c) Una molla di costante elastica $k$ è appoggiata sul pavimento di un ascensore e sopra di essa è posata una massa $m$. L’ascensore accelera poi verso l’alto in modo uniforme da zero a 18 m s${}^{-1}$ in 6 s. Quanto vale il rapporto $\frac{\Delta {\ell }_1}{\Delta {\ell }_2}$, dove $\Delta {\ell }_1$ è la compressione iniziale della molla con l’ascensore fermo e $\Delta {\ell }_2$ la compressione misurata mentre l’ascensore accelera? [3]

Risposta: $\frac{\Delta {\ell }_1}{\Delta {\ell }_2}=\frac{g}{g+3}\approx 0,77$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

d) A mass $m$ hangs from the end of a light string of length $\ell$, which is attached to a point on the ceiling. It is set in motion so that the mass moves in a horizontal circle of radius $r$ with the string at angle $\theta$ to the vertical as it traces out the curved surface of a cone.

(i) By resolving the forces on the mass, obtain an expression for the period of orbit, $T$, of the mass, in terms of $r$, $g$ and $\tan \theta$.

(ii) Substitute for $\tan \theta$ to express the period of orbit in terms of $\ell$, $g$ and $\cos \theta$. [4]

Risposta: (i) $T=2\pi \sqrt{\frac{r}{g\tan \theta }}$; (ii) $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell \cos \theta }{g}}$

Soluzione:

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pendulum, String Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

d) Una massa $m$ è appesa all’estremo di un filo leggero di lunghezza $\ell$, fissato a un punto del soffitto. Viene messa in moto in modo che descriva una circonferenza orizzontale di raggio $r$, con il filo inclinato di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale, che descrive così la superficie laterale di un cono.

(i) Scomponendo le forze agenti sulla massa, ricava un’espressione per il periodo $T$ del moto in funzione di $r$, $g$ e $\tan \theta$.

(ii) Sostituisci $\tan \theta$ per esprimere il periodo in funzione di $\ell$, $g$ e $\cos \theta$. [4]

Risposta: (i) $T=2\pi \sqrt{\frac{r}{g\tan \theta }}$; (ii) $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell \cos \theta }{g}}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pendulum, String Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

e) A light lever in the form of a letter L, with arms AB, BC of lengths $a$, $b$, is smoothly pivoted at B so that it can turn in a vertical plane. Masses $m_a$ and $m_b$ are attached at A and C respectively. In an equilibrium position, the inclination of AB to the vertical is given by angle $\theta$. Obtain an expression for $\theta$ in terms of $m_a$, $m_b$, $a$ and $b$. [4]

Risposta: $\tan \theta =\frac{m_{b}b}{m_{a}a}$

Soluzione:

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Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Lever Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

e) Una leva leggera a forma di L, con bracci AB e BC di lunghezze $a$ e $b$, è imperniata senza attrito in B, così da poter ruotare in un piano verticale. In A e in C sono fissate rispettivamente le masse $m_a$ e $m_b$. In una posizione di equilibrio l’inclinazione di AB rispetto alla verticale è data dall’angolo $\theta$. Ricava un’espressione per $\theta$ in funzione di $m_a$, $m_b$, $a$ e $b$. [4]

Risposta: $\tan \theta =\frac{m_{b}b}{m_{a}a}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Lever Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

f) A heavy uniform plank of length $\ell$ and mass $M$ is fixed to the ground at its lower end by a smooth hinge. Initially, it stands upright next to a stationary trolley of mass $m_t$ and height $h$, as shown in Fig. 1. The plank is disturbed and it tips over, pushing the trolley along horizontally with the smooth flat surface of the plank pushing the top rear corner of the trolley.

When the plank is falling over, the top end swings in a circle at speed $v_p$, such that the plank’s rotational kinetic energy about the pivot at the lower fixed end is given by $\frac{1}{6}M{v}_p^2$.

At the moment the top of the plank reaches the top corner of the trolley, obtain an expression for the speed of the trolley, $v_t$, in terms of $g$ and $h$, given $M=\frac{m_t}{2}$ and $\ell =3h$. Neglect friction in this question.

Figure 1: A smooth plank falling over and pushing the top corner of a trolley along a frictionless horizontal surface. [4]

Risposta: $v_t^2=\frac{2}{5}gh$, i.e. $v_t=\sqrt{2gh/5}$

Soluzione:

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Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod, Cart Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

f) Una tavola pesante e uniforme, di lunghezza $\ell$ e massa $M$, è fissata al suolo nel suo estremo inferiore tramite una cerniera senza attrito. All’inizio è in posizione verticale accanto a un carrello fermo di massa $m_t$ e altezza $h$, come in Fig. 1. La tavola viene perturbata e cade, spingendo orizzontalmente il carrello: la sua superficie piana e liscia spinge lo spigolo superiore posteriore del carrello.

Mentre la tavola cade, il suo estremo superiore descrive una circonferenza con velocità $v_p$, e l’energia cinetica di rotazione della tavola attorno al perno nell’estremo inferiore è $\frac{1}{6}M{v}_p^2$.

Nell’istante in cui l’estremo superiore della tavola raggiunge lo spigolo superiore del carrello, ricava un’espressione per la velocità del carrello $v_t$ in funzione di $g$ e $h$, sapendo che $M=\frac{m_t}{2}$ e $\ell =3h$. Trascura gli attriti.

Figura 1: Una tavola liscia che cade e spinge lo spigolo superiore di un carrello su una superficie orizzontale senza attrito. [4]

Risposta: $v_t^2=\frac{2}{5}gh$, cioè $v_t=\sqrt{2gh/5}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod, Cart Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

g) A rocket testing machine consists of a track of length $d$, along which a rocket can accelerate uniformly from rest at 15 m s${}^{-2}$ up to the end point, where a set of brakes rapidly brings it to rest in a negligible time. It is then drawn back to the start at a constant speed of $v_c=12$ m s${}^{-1}$. If the time taken from firing the rocket to its return to the starting point is 48 s, what is the length of the track, $d$? [6]

Risposta: $d=480$ m (the other root, 691 m, exceeds $12\times 48=576$ m)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 6. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

g) Una macchina per il collaudo di razzi è formata da una pista di lunghezza $d$, lungo la quale un razzo accelera uniformemente da fermo con 15 m s${}^{-2}$ fino al punto finale, dove un sistema di freni lo arresta in un tempo trascurabile. Il razzo viene poi riportato all’inizio a velocità costante $v_c=12$ m s${}^{-1}$. Se il tempo dall’accensione del razzo al suo ritorno al punto di partenza è 48 s, quanto è lunga la pista $d$? [6]

Risposta: $d=480$ m (l’altra radice, 691 m, supera $12\times 48=576$ m)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

h) The displacement $y$ of a point in an elastic medium when a wave passes through depends on the time $t$ and the location $x$ of the point, relative to the starting time and the origin. The displacement is obtained from the phase of the wave at that point, which is the sum of the phases due to the time increment and the relative distance from the origin. The displacement of a point at $x$ and $t$ is given by $y=4.0\times 10^{-6}(\mathrm{m})\cos \left(1800\frac{t}{(\mathrm{s})}+5.72\frac{x}{(\mathrm{m})}\right)$ (units are given in brackets).

(i) Determine the amplitude, frequency, wavelength, and speed of the wave.

(ii) What is the maximum speed of motion of the point in the medium? [4]

Risposta: (i) $A=4\times 10^{-6}$ m, $f=286$ Hz, $\lambda =1.1$ m, $v=314$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{\max }=A\omega \approx 7.2$ mm s${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

h) Lo spostamento $y$ di un punto di un mezzo elastico al passaggio di un’onda dipende dal tempo $t$ e dalla posizione $x$ del punto, rispetto all’istante iniziale e all’origine. Lo spostamento si ricava dalla fase dell’onda in quel punto, somma delle fasi dovute all’incremento di tempo e alla distanza dall’origine. Lo spostamento di un punto in $x$ all’istante $t$ è $y=4,0\times 10^{-6}(\mathrm{m})\cos \left(1800\frac{t}{(\mathrm{s})}+5,72\frac{x}{(\mathrm{m})}\right)$ (le unità sono tra parentesi).

(i) Determina ampiezza, frequenza, lunghezza d’onda e velocità dell’onda.

(ii) Qual è la velocità massima del punto del mezzo? [4]

Risposta: (i) $A=4\times 10^{-6}$ m, $f=286$ Hz, $\lambda =1,1$ m, $v=314$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{\max }=A\omega \approx 7,2$ mm s${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

i) Beats are produced when two waves of similar frequencies interfere, causing slowly varying constructive and destructive interference. If the frequencies differ by 1 Hz then the constructive to destructive to constructive interference will occur once each second, giving a beat frequency of 1 Hz.

A siren producing a note of 256 Hz and an organ pipe of slightly lower frequency full of air at 17 °C, when played together give a beat frequency of 4 Hz. On slowly changing the temperature of the air in the pipe, the beat frequency first reduces to zero and then increases again to 4 Hz. What is the change in temperature of the air in the pipe?

The speed of a wave in air is given by $v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho }}$ where $\gamma$ is a numerical constant, $P$ is the pressure and $\rho$ is the density of the air. [4]

Risposta: $f\propto \sqrt{T}$: $T_2=290\times (260/252{)}^2=308.7$ K, so $\Delta T\approx 19$ °C (from 17 °C to about 36 °C)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves, Kinetic Theory Metodi: Superposition Principle, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

i) I battimenti si producono quando due onde di frequenze vicine interferiscono, dando un’alternanza lenta di interferenza costruttiva e distruttiva. Se le frequenze differiscono di 1 Hz, la sequenza costruttiva–distruttiva–costruttiva avviene una volta al secondo: la frequenza dei battimenti è 1 Hz.

Una sirena che emette una nota di 256 Hz e una canna d’organo di frequenza leggermente più bassa, piena d’aria a 17 °C, suonate insieme danno una frequenza di battimento di 4 Hz. Variando lentamente la temperatura dell’aria nella canna, la frequenza dei battimenti prima si riduce a zero e poi risale a 4 Hz. Di quanto è variata la temperatura dell’aria nella canna?

La velocità di un’onda nell’aria è $v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho }}$, dove $\gamma$ è una costante numerica, $P$ la pressione e $\rho$ la densità dell’aria. [4]

Risposta: $f\propto \sqrt{T}$: $T_2=290\times (260/252{)}^2=308,7$ K, quindi $\Delta T\approx 19$ °C (da 17 °C a circa 36 °C)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves, Kinetic Theory Metodi: Superposition Principle, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

j) Pure water can be cooled down to −10 °C without freezing. If a small piece of ice is dropped into this supercooled water held in a thermally insulated container, some of the water immediately freezes. What fraction will freeze?

$L_{\mathrm{ice}}=335000$ J kg${}^{-1}$; $c_{\mathrm{water}}=4180$ J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$ [3]

Risposta: $m_{\mathrm{ice}}/m_w=4180\times 10/335000\approx 0.12$ (12%), everything ends at 0 °C

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

j) L’acqua pura può essere raffreddata fino a −10 °C senza congelare. Se in quest’acqua sottoraffreddata, contenuta in un recipiente termicamente isolato, si lascia cadere un pezzetto di ghiaccio, una parte dell’acqua congela subito. Quale frazione congela?

$L_{\mathrm{ghiaccio}}=335000$ J kg${}^{-1}$; $c_{\mathrm{acqua}}=4180$ J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$ [3]

Risposta: $m_{\mathrm{ghiaccio}}/m_w=4180\times 10/335000\approx 0,12$ (12%), tutto finisce a 0 °C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

k) A circuit with an ideal diode in series with a resistor $R$ is shown in Fig. 2. Two supply voltages each with amplitude $V_0$ and frequency $f=\frac{1}{T}$ are also shown: in (a) as a square wave, and (b) a sinusoidal variation with time. Obtain expressions for the average power dissipated in the resistor $R$ for

(i) the square wave signal shown in (a), and

(ii) the sinusoidal variation shown in (b).

Figure 2: A diode in series with a resistor $R$, with two a.c. voltage supplies (a) a square wave, and (b) a sinusoidal time dependence. [4]

Risposta: (i) $P_{av}=\frac{V_0^2}{2R}$; (ii) $P_{av}=\frac{V_0^2}{4R}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

k) In Fig. 2 è mostrato un circuito con un diodo ideale in serie a un resistore $R$. Sono mostrate anche due tensioni di alimentazione, entrambe di ampiezza $V_0$ e frequenza $f=\frac{1}{T}$: (a) un’onda quadra e (b) una tensione sinusoidale nel tempo. Ricava le espressioni della potenza media dissipata nel resistore $R$ per

(i) il segnale a onda quadra (a), e

(ii) il segnale sinusoidale (b).

Figura 2: Un diodo in serie a un resistore $R$, con due alimentazioni in alternata: (a) onda quadra e (b) andamento sinusoidale. [4]

Risposta: (i) $P_{av}=\frac{V_0^2}{2R}$; (ii) $P_{av}=\frac{V_0^2}{4R}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

l) A uniform wire of resistance per unit length $r$ is formed into a square of side $\ell$, with diagonals that are connected at the centre. This is shown in Fig. 3. Obtain an expression for the resistance between points A and B at the corners of the square, in terms of $r$ and $\ell$. Give your answer in surds.

Figure 3: Wires connected to form a square with diagonals, with connection leads at A and B. [3]

Risposta: $R_{AB}=r\ell \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=r\ell (2-\sqrt{2})$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning Objects: Wire, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

l) Un filo uniforme con resistenza per unità di lunghezza $r$ è piegato a formare un quadrato di lato $\ell$, con le diagonali collegate nel centro, come in Fig. 3. Ricava un’espressione per la resistenza tra i punti A e B, vertici del quadrato, in funzione di $r$ e $\ell$. Dai la risposta con i radicali.

Figura 3: Fili collegati a formare un quadrato con le diagonali, con i collegamenti esterni in A e B. [3]

Risposta: $R_{AB}=r\ell \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=r\ell (2-\sqrt{2})$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning Objects: Wire, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

m) A length of resistance wire of diameter 1.4 mm and resistivity $3.0\times 10^{-4}\Omega$ m is bent to form a circle, as shown in Fig. 4. The radius of the circle is 10 cm. Two conducting wires are connected at points A and B, such that the contact B can slide around the circle.

(i) Calculate the maximum resistance that can exist between A and B.

(ii) Sketch a graph of the resistance between A and B against the arc length measured from A as contact B is slid from A around the circle and back to A on the other side.

(iii) What is the shortest length of the arc between A and B such that the resistance between A and B is 22.0 Ω?

Figure 4: A wire bent into the shape of a circle with contacts at A and B. B can slide around the circle. [6]

Risposta: (i) $R_{\max }=\frac{\rho \pi r}{2A}\approx 31\Omega$ (B opposite A); (ii) symmetric curved graph $R=\frac{\rho }{A}\frac{x(2\pi r-x)}{2\pi r}$, zero at both ends; (iii) $x\approx 0.148$ m $\approx 15$ cm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 8, 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

m) Un tratto di filo resistivo di diametro 1,4 mm e resistività $3,0\times 10^{-4}\Omega$ m è piegato a formare una circonferenza, come in Fig. 4. Il raggio della circonferenza è 10 cm. Due fili conduttori sono collegati nei punti A e B; il contatto B può scorrere lungo la circonferenza.

(i) Calcola la resistenza massima che può esserci tra A e B.

(ii) Traccia il grafico della resistenza tra A e B in funzione della lunghezza dell’arco misurata da A, mentre il contatto B scorre da A lungo la circonferenza fino a tornare in A dall’altra parte.

(iii) Qual è la lunghezza minima dell’arco tra A e B per cui la resistenza tra A e B vale 22,0 Ω?

Figura 4: Un filo piegato a circonferenza con contatti in A e B. B può scorrere lungo la circonferenza. [6]

Risposta: (i) $R_{\max }=\frac{\rho \pi r}{2A}\approx 31\Omega$ (B opposto ad A); (ii) grafico curvo simmetrico $R=\frac{\rho }{A}\frac{x(2\pi r-x)}{2\pi r}$, nullo ai due estremi; (iii) $x\approx 0,148$ m $\approx 15$ cm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

n) Before a device is fully charged, the current flowing into it at a time $t<t_{\mathrm{fully}\mathrm{charged}}$ is given by $I=I_0-\alpha t$ where $I_0$ is the initial current.

(i) How long does it take to charge it, and

(ii) how much charge is accumulated? [4]

Risposta: (i) $t_{fc}=I_0/\alpha$; (ii) $Q_{\max }=\frac{I_0^2}{2\alpha }$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

n) Prima che un dispositivo sia completamente carico, la corrente che vi entra all’istante $t<t_{\mathrm{carica}\mathrm{completa}}$ è $I=I_0-\alpha t$ dove $I_0$ è la corrente iniziale.

(i) Quanto tempo serve per caricarlo, e

(ii) quanta carica si accumula? [4]

Risposta: (i) $t_{fc}=I_0/\alpha$; (ii) $Q_{\max }=\frac{I_0^2}{2\alpha }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

o) A cone of circular cross section sits in a liquid of density ${\rho }_{\ell }$ with apex pointing down and its base level with the surface of the liquid. The density of the cone varies linearly along its length. The base of the cone has a density ${\rho }_b$ half that of the liquid. What is the ratio of the density of the apex, ${\rho }_a$, to the density of the liquid? [6]

Risposta: ${\rho }_a/{\rho }_{\ell }=5/24$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 10. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

o) Un cono a sezione circolare galleggia in un liquido di densità ${\rho }_{\ell }$ con il vertice verso il basso e la base a livello della superficie del liquido. La densità del cono varia linearmente lungo il suo asse. La base del cono ha densità ${\rho }_b$ pari a metà di quella del liquido. Quanto vale il rapporto tra la densità al vertice, ${\rho }_a$, e la densità del liquido? [6]

Risposta: ${\rho }_a/{\rho }_{\ell }=5/24$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

p) An elastic material called neoprene is used within sections of motorway roads in hot countries to maintain a flat road with no discontinuities under different temperatures. If we have a road built with 2.0 cm of neoprene placed between every 20 m lengths of concrete, and the concrete has a thermal expansion coefficient of $\alpha =12\times 10^{-6}$ K${}^{-1}$, what is the highest temperature it can go up to before the road cracks? Assume that the elastic material is initially under no deformation at a temperature of 20 °C.

The thermal expansion coefficient $\alpha$ is specified by $\ell ={\ell }_0(1+\alpha \Delta T)$ in which $\ell$ is the expanded length, ${\ell }_0$ the initial length, and $\Delta T$ the temperature rise.

Young’s modulus of neoprene = 2.7 MPa; breaking stress of concrete = 30 MPa [5]

Risposta: $\Delta T\approx 926$ °C, so about 946 °C

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 11. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Elasticity & Materials, Thermodynamics Metodi: Stress-Strain Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

p) Nei paesi caldi, tra i tratti delle autostrade si usa un materiale elastico, il neoprene, per mantenere la strada piana e senza discontinuità alle diverse temperature. Se una strada è costruita con 2,0 cm di neoprene ogni 20 m di calcestruzzo, e il calcestruzzo ha coefficiente di dilatazione termica $\alpha =12\times 10^{-6}$ K${}^{-1}$, qual è la temperatura massima raggiungibile prima che la strada si crepi? Supponi che il materiale elastico non sia deformato alla temperatura iniziale di 20 °C.

Il coefficiente di dilatazione termica $\alpha$ è definito da $\ell ={\ell }_0(1+\alpha \Delta T)$, dove $\ell$ è la lunghezza dilatata, ${\ell }_0$ quella iniziale e $\Delta T$ l’aumento di temperatura.

Modulo di Young del neoprene = 2,7 MPa; carico di rottura del calcestruzzo = 30 MPa [5]

Risposta: $\Delta T\approx 926$ °C, quindi circa 946 °C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Elasticity & Materials, Thermodynamics Metodi: Stress-Strain Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

q) A laser beam that entered the region between two infinite ideal mirrors would reflect an infinite number of times between them, as shown in Fig. 5. However, mirrors in real life have a reflectivity constant $R$ which is the fraction of the incident energy that is reflected, meaning $1-R$ of the energy will be transmitted (i.e. pass through the mirror). If the initial beam energy between the mirrors is $I_0$, what is the ratio of the total energy escaping through each mirror?

Figure 5: A pair of parallel mirrors with a beam of initial intensity $I_0$ reflected between them. (The beam has been shown at a small angle for clarity.) [4]

Risposta: through the first mirror hit: $\frac{1}{1+R}{I}_0$; through the other: $\frac{R}{1+R}{I}_0$; ratio $=R$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 11. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Geometric Optics Metodi: Approximation & Series Expansion, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

q) Un fascio laser entrato nella regione tra due specchi ideali infiniti verrebbe riflesso infinite volte tra di essi, come in Fig. 5. Gli specchi reali hanno però una riflettività $R$, cioè la frazione dell’energia incidente che viene riflessa: una frazione $1-R$ dell’energia viene trasmessa (attraversa lo specchio). Se l’energia iniziale del fascio tra gli specchi è $I_0$, qual è il rapporto tra le energie totali che escono attraverso ciascuno specchio?

Figura 5: Due specchi paralleli con un fascio di intensità iniziale $I_0$ riflesso tra di essi. (Per chiarezza il fascio è disegnato leggermente inclinato.) [4]

Risposta: attraverso lo specchio colpito per primo: $\frac{1}{1+R}{I}_0$; attraverso l’altro: $\frac{R}{1+R}{I}_0$; rapporto $=R$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Geometric Optics Metodi: Approximation & Series Expansion, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

r) In a closed tube of length $l$ and cross-section area $A$ there is a volume of high pressure gas $P_1$ and an equal volume of low pressure gas $P_2$ separated by a diaphragm in the centre of the tube. The tube is uniformly heated from $T_0$ until the diaphragm bursts, which occurs when a maximum force $F$ is applied. After a moment the pressure equalises in the tube, which is now insulated from the surroundings so that no thermal energy is lost. What is the final pressure inside the tube? [6]

Risposta: $T^{\prime }=\frac{F{T}_0}{A(P_1-P_2)}$ and $P_{\mathrm{final}}=\frac{F(P_1+P_2)}{2A(P_1-P_2)}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2024, Section 1), from the official PDF — p. 12. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

r) In un tubo chiuso di lunghezza $l$ e sezione $A$ c’è un volume di gas ad alta pressione $P_1$ e un uguale volume di gas a bassa pressione $P_2$, separati da un diaframma al centro del tubo. Il tubo viene riscaldato uniformemente a partire da $T_0$ finché il diaframma si rompe, il che avviene quando è sottoposto a una forza massima $F$. Dopo un momento la pressione nel tubo si uniforma; il tubo è ora isolato dall’ambiente, così che non si perde energia termica. Qual è la pressione finale nel tubo? [6]

Risposta: $T^{\prime }=\frac{F{T}_0}{A(P_1-P_2)}$ e $P_{\mathrm{finale}}=\frac{F(P_1+P_2)}{2A(P_1-P_2)}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Answers from the official BPhO Round 1 2024 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
1		$T=\sqrt{10/g}+4/\sqrt{10g}\approx 1.4$ s
2		$v_{SS}/v_E\approx 7.4$
3		$\frac{\Delta {\ell }_1}{\Delta {\ell }_2}=\frac{g}{g+3}\approx 0.77$
4		(i) $T=2\pi \sqrt{\frac{r}{g\tan \theta }}$; (ii) $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell \cos \theta }{g}}$
5		$\tan \theta =\frac{m_{b}b}{m_{a}a}$
6		$v_t^2=\frac{2}{5}gh$, i.e. $v_t=\sqrt{2gh/5}$
7		$d=480$ m (the other root, 691 m, exceeds $12\times 48=576$ m)
8		(i) $A=4\times 10^{-6}$ m, $f=286$ Hz, $\lambda =1.1$ m, $v=314$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{\max }=A\omega \approx 7.2$ mm s${}^{-1}$
9		$f\propto \sqrt{T}$: $T_2=290\times (260/252{)}^2=308.7$ K, so $\Delta T\approx 19$ °C (from 17 °C to about 36 °C)
10		$m_{\mathrm{ice}}/m_w=4180\times 10/335000\approx 0.12$ (12%), everything ends at 0 °C
11		(i) $P_{av}=\frac{V_0^2}{2R}$; (ii) $P_{av}=\frac{V_0^2}{4R}$
12		$R_{AB}=r\ell \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=r\ell (2-\sqrt{2})$
13		(i) $R_{\max }=\frac{\rho \pi r}{2A}\approx 31\Omega$ (B opposite A); (ii) symmetric curved graph $R=\frac{\rho }{A}\frac{x(2\pi r-x)}{2\pi r}$, zero at both ends; (iii) $x\approx 0.148$ m $\approx 15$ cm
14		(i) $t_{fc}=I_0/\alpha$; (ii) $Q_{\max }=\frac{I_0^2}{2\alpha }$
15		${\rho }_a/{\rho }_{\ell }=5/24$
16		$\Delta T\approx 926$ °C, so about 946 °C
17		through the first mirror hit: $\frac{1}{1+R}{I}_0$; through the other: $\frac{R}{1+R}{I}_0$; ratio $=R$
18		$T^{\prime }=\frac{F{T}_0}{A(P_1-P_2)}$ and $P_{\mathrm{final}}=\frac{F(P_1+P_2)}{2A(P_1-P_2)}$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2024.

Problema	Titolo	Risposta
1		$T=\sqrt{10/g}+4/\sqrt{10g}\approx 1,4$ s
2		$v_{SS}/v_E\approx 7,4$
3		$\frac{\Delta {\ell }_1}{\Delta {\ell }_2}=\frac{g}{g+3}\approx 0,77$
4		(i) $T=2\pi \sqrt{\frac{r}{g\tan \theta }}$; (ii) $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell \cos \theta }{g}}$
5		$\tan \theta =\frac{m_{b}b}{m_{a}a}$
6		$v_t^2=\frac{2}{5}gh$, cioè $v_t=\sqrt{2gh/5}$
7		$d=480$ m (l’altra radice, 691 m, supera $12\times 48=576$ m)
8		(i) $A=4\times 10^{-6}$ m, $f=286$ Hz, $\lambda =1,1$ m, $v=314$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{\max }=A\omega \approx 7,2$ mm s${}^{-1}$
9		$f\propto \sqrt{T}$: $T_2=290\times (260/252{)}^2=308,7$ K, quindi $\Delta T\approx 19$ °C (da 17 °C a circa 36 °C)
10		$m_{\mathrm{ghiaccio}}/m_w=4180\times 10/335000\approx 0,12$ (12%), tutto finisce a 0 °C
11		(i) $P_{av}=\frac{V_0^2}{2R}$; (ii) $P_{av}=\frac{V_0^2}{4R}$
12		$R_{AB}=r\ell \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=r\ell (2-\sqrt{2})$
13		(i) $R_{\max }=\frac{\rho \pi r}{2A}\approx 31\Omega$ (B opposto ad A); (ii) grafico curvo simmetrico $R=\frac{\rho }{A}\frac{x(2\pi r-x)}{2\pi r}$, nullo ai due estremi; (iii) $x\approx 0,148$ m $\approx 15$ cm
14		(i) $t_{fc}=I_0/\alpha$; (ii) $Q_{\max }=\frac{I_0^2}{2\alpha }$
15		${\rho }_a/{\rho }_{\ell }=5/24$
16		$\Delta T\approx 926$ °C, quindi circa 946 °C
17		attraverso lo specchio colpito per primo: $\frac{1}{1+R}{I}_0$; attraverso l’altro: $\frac{R}{1+R}{I}_0$; rapporto $=R$
18		$T^{\prime }=\frac{F{T}_0}{A(P_1-P_2)}$ e $P_{\mathrm{finale}}=\frac{F(P_1+P_2)}{2A(P_1-P_2)}$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)