Theory Italiano (Italy) Q3-1 Large Hadron Collider (10 punti) Prima di iniziare questo problema, leggi le istruzioni generali nella busta a parte. In questo problema è discussa la fisica dell’acceleratore di particelle del CERN chiamato LHC (Large Hadron Collider). Il CERN è il più grande laboratorio di fisica delle particelle del mondo. Il suo scopo principale è quello di andare a fondo nelle leggi fondamentali della natura. Due fasci di particelle sono accelerati ad alte energie, guidati nell’anello dell’acceleratore da un forte campo magnetico e infine sono fatti scontrare uno con l’altro. I protoni non sono distribuiti uniformemente lungo la circonferenza dell’acceleratore, ma sono raggruppati in insiemi detti grappoli. Le particelle generate dalle collisioni vengono osservate tramite grandi rivelatori. Puoi trovare alcuni parametri di LHC nella tabella 1. Anello di LHC Circonferenza dell’anello 26659 m Numero di grappoli per ogni fascio di protoni 2808 Numero di protoni per grappolo 1.15 1011 Fasci di protoni Energia dei protoni 7.00 TeV Energia nel centro di massa 14.0 TeV Tabella 1: Valori numerici tipici dei parametri fondamentali di LHC. I fisici delle particelle utilizzano unità di misura comode per energia, quantità di moto e massa. L’energia è misurata in elettronvolt [eV]. Per definizione, 1 eV è la quantità di energia acquisita da una particella di carica elementare, e, che si muove attraverso una differenza di potenziale di un Volt (1 eV = 1.602 kg ). La quantità di moto è misurata in unità di eV/ce la massa in unità di eV/c2, dove cè la velocità della luce nel vuoto. Dato che 1 eV è una quantità di energia molto piccola, i fisici delle particelle usano spesso MeV (1 MeV = 106 eV), GeV (1 GeV = 109 eV) o TeV (1 TeV = 1012 eV). La parte A riguarda l’accelerazione di protoni ed elettroni. La parte B tratta il riconoscimento delle particelle prodotte nelle collisioni al CERN. Parte A. Acceleratore LHC (6 punti) Accelerazione: Assumi che i protoni siano stati accelerati da una differenza di potenziale Vtale che la loro velocità sia molto vicina a quella della luce e trascura ogni perdita di energia dovuta all’emissione di radiazione o a urti con altre particelle. A.1 Trova l’espressione esatta per la velocità finale vdei protoni in funzione del potenziale accelerante V, e delle costanti fisiche. 0.7pt Il progetto per un esperimento futuro al CERN prevede di usare i protoni di LHC per farli scontrare con elettroni che hanno un’energia di 60.0 GeV.
Theory Italiano (Italy) Q3-2 A.2 Per particelle con grande energia e piccola massa la deviazione relativa = velocità finale vdalla velocità della luce è molto piccola. Trova un’approssimazione al primo ordine per e calcola per elettroni con un’energia di 60.0 GeV usando il potenziale Vche li ha accelerati e le costanti fisiche. 0.8pt Torniamo ora ai protoni in LHC. Assumi che il tubo in cui si muove il fascio abbia forma di un anello. A.3 Ricava un’espressione per il campo magnetico uniforme Bnecessario per mantenere il fascio di protoni su una traiettoria circolare. L’espressione deve contenere solo l’energia Edei protoni, la lunghezza Ldella circonferenza, costanti fondamentali e numeri. Puoi usare opportune approssimazioni se il loro effetto è più piccolo della precisione data dal minimo numero di cifre significative. Calcola il campo magnetico Bper un’energia del protone E = 7.00 TeV, trascurando le interazioni tra i protoni. 1.0pt Potenza irradiata: Una particella carica accelerata irradia energia sotto forma di onde elettromagnetiche. La potenza Prad irradiata da una particella carica che compie un moto circolare a velocità angolare costante dipende solo dalla sua accelerazione a, dalla sua carica q, dalla velocità della luce ce dalla costante dielettrica del vuoto ε0. A.4 Utilizzando l’analisi dimensionale, trova un’espressione per la potenza irradiata Prad. 1.0pt La formula reale per la potenza irradiata contiene un fattore numerico 1/(6π); inoltre, con una derivazione completamente relativistica si ricava un ulteriore fattore moltiplicativo γ4, con γ= (1 2 . A.5 Calcola Ptot, la potenza totale irradiata di LHC, per un’energia dei protoni di E= 7.00 TeV (nota la tabella 1). Puoi usare le approssimazioni adeguate. 1.0pt Accelerazione lineare: Al CERN, i protoni a riposo sono accelerati da un acceleratore lineare di lunghezza d= 30.0 m attraverso una differenza di potenziale V= 500 MV. Assumi che il campo elettrico sia uniforme. Un acceleratore lineare consiste di due armature come rappresentato in Figura 1. A.6 Determina il tempo Tche i protoni impiegano a passare attraverso questo campo. 1.5pt
Theory Italiano (Italy) Q3-3 +
d V Figura 1: Rappresentazione dell’acceleratore lineare.
Theory Italiano (Italy) Q3-4 Parte B. Riconoscimento delle particelle (4 punti) Tempo di volo: Identificare le particelle ad alta energia generate nella collisione è importante per interpretare il processo di interazione. Un semplice metodo consiste nel misurare il tempo (t) che una particella con quantità di moto nota impiega a percorrere una lunghezza lin un cosiddetto rivelatore Time-of-Flight (ToF). Le tipiche particelle che vengono identificate nel rivelatore sono elencate, insieme alle loro masse, in Tabella 2. Particella Massa [MeV/c2] Deutone 1876 Protone 938 Kaone carico 494 Pione carico 140 Elettrone 0.511 Tabella 2: particelle con la loro massa. tempo t1 lunghezza l tempo t2 massa m quant. di moto p x y Figura 2: Rappresentazione schematica di un rivelatore time-of-flight. B.1 Esprimi la massa min funzione della quantità di moto p, della lunghezza di volo l e del tempo di volo t, assumendo che queste particelle abbiamo carica elementare e, che viaggino con velocità vicina a csu percorsi rettilinei nel rivelatore ToF e che viaggino perpendicolarmente alle due armature (vedi Figura 2). 0.8pt
Theory Italiano (Italy) Q3-5 B.2 Calcola la minima lunghezza ldi un rivelatore ToF che permette di distinguere in modo certo un kaone carico da un pione carico, sapendo che la quantità di moto di entrambi è stata misurata ed è 1.00 GeV/c. Per una buona separazione è richiesto che la differenza tra i tempi di volo sia maggiore del triplo della risoluzione temporale del rivelatore. La tipica risoluzione di un rivelatore ToF è 150 ps (1 ps = s). 0.7pt Nella parte seguente, le particelle prodotte in un tipico rivelatore di LHC sono identificate in un rivelatore a due fasi composto da un tracciatore e da un rivelatore ToF. La Figura 3 mostra l’apparato in un piano trasversale e in un piano longitudinale ai fasci di protoni. Entrambi i rivelatori sono tubi che circondano la regione degli urti, con il fascio che passa nella parte centrale dei tubi. Il tracciatore misura la traiettoria di una particella carica che passa attraverso un campo magnetico la cui direzione è parallela ai fasci di protoni. Il raggio rdella traiettoria permette di determinare la quantità di moto trasversale pT della particella. Dato che l’istante della collisione è noto, il rivelatore ToF necessita solo di un tubo per misurare il tempo di volo che è misurato dal punto di collisione al tubo ToF. Questo tubo ToF è situato appena fuori dal tracciatore. In questa domanda puoi assumere che tutte le particelle create nell’urto viaggino perpendicolarmente ai fasci di protoni, cioè che le particelle che si creano nell’urto non abbiano una componente della quantità di moto nella direzione dei fasci di protoni.
Theory Italiano (Italy) Q3-6 x y z y (4) (4) (4) R (5) (5) (1) (1) (1) (2) (2) (3) (3) piano trasversale vista longitudinale al centro del tubo lungo la linea del fascio sezione della (1) - tubo ToF (2) - traiettoria (3) - punto di collisione (4) - tubo tracciatore (5) - fasci di protoni ⊗- campo magnetico
Figura 3 : Configurazione sperimentale per l’identificazione di particelle con una camera di tracciamento e un rivelatore ToF. Entrambi i rivelatori sono tubi che circondano il punto di co
p.3 — Rappresentazione dell’acceleratore lineare
p.4 — Schema di un rivelatore time-of-flight
p.6 — Vista trasversale e longitudinale del rivelatore
Topic: Special Relativity, Electromagnetism, Nuclear & Particle Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Lorentz Force Analysis, Dimensional Analysis, Approximation & Series Expansion, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Particle Beam, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)
Theory Italiano (Italy) Q3-1 Large Hadron Collider (10 points)
Before starting this problem, read the general instructions in the separate envelope.
This problem discusses the physics of the CERN particle accelerator known as the LHC (Large Hadron Collider). The CERN is the world’s largest particle physics laboratory. Its primary purpose is to explore the fundamental laws of nature. Two beams of particles are accelerated to high energies, guided around the accelerator ring by a strong magnetic field, and finally made to collide with each other. Protons are not uniformly distributed along the circumference of the accelerator, but instead grouped into clusters called bunches. The particles produced in the collisions are observed using large detectors. You can find some typical LHC parameters in Table 1.
LHC Ring Circumference of the ring 26659 m Number of bunches per proton beam 2808 Protons per bunch 1.15 10¹¹ Proton beams Energy of protons 7.00 TeV Center-of-mass energy 14.0 TeV
Table 1: Typical numerical values of fundamental LHC parameters.
Particle physicists use convenient units for energy, momentum, and mass. Energy is measured in electronvolts [eV]. By definition, 1 eV is the amount of energy acquired by a particle with elementary charge, e, moving through a potential difference of one volt (1 eV = 1.602 kg ). Momentum is measured in units of eV/c, and mass is measured in units of eV/c², where c is the speed of light in vacuum. Since 1 eV is a very small amount of energy, particle physicists often use MeV (1 MeV = 10⁶ eV), GeV (1 GeV = 10⁹ eV), or TeV (1 TeV = 10¹² eV).
Part A deals with the acceleration of protons and electrons. Part B addresses particle identification in collisions at CERN.
Part A. LHC Accelerator (6 points) Acceleration: Assume that protons have been accelerated by a potential difference V such that their speed is very close to the speed of light, and neglect any energy losses due to radiation emission or collisions with other particles.
A.1 Find the exact expression for the final velocity v of protons in terms of the accelerating potential V and fundamental physical constants. 0.7pt
The design for a future CERN experiment involves using LHC protons to collide with electrons having an energy of 60.0 GeV.
Theory Italiano (Italy) Q3-2 A.2 For high-energy, low-mass particles, the relative deviation = of the final velocity v from the speed of light is very small. Find a first-order approximation for and calculate for electrons with an energy of 60.0 GeV, using the accelerating potential V that accelerated them and fundamental physical constants. 0.8pt
We now return to the protons in LHC. Assume that the beam pipe has a ring-shaped form.
A.3 Derive an expression for the uniform magnetic field B necessary to keep the proton beam on a circular trajectory. The expression must contain only the energy E of the protons, the length L of the circumference, fundamental constants, and numbers. You may use appropriate approximations if their effect is smaller than the precision implied by the minimum number of significant figures.
Calculate the magnetic field B for a proton energy E = 7.00 TeV, neglecting interactions between protons. 1.0 pt
Radiated power: A charged particle undergoing acceleration emits energy in the form of electromagnetic waves. The radiated power Prad from a charged particle moving with constant angular velocity in a circular path depends only on its acceleration a, its charge q, the speed of light c, and the vacuum permittivity ε₀.
A.4 Using dimensional analysis, find an expression for the radiated power Prad. 1.0 pt
The actual formula for radiated power includes a numerical factor 1/(6π); furthermore, a fully relativistic derivation yields an additional multiplicative factor γ⁴, where γ = (1 ²)⁻¹/².
A.5 Calculate Ptot, the total radiated power of the LHC, for a proton energy E = 7.00 TeV (refer to Table 1). You may use appropriate approximations. 1.0 pt
Linear acceleration: At CERN, protons at rest are accelerated by a linear accelerator of length d = 30.0 m through a potential difference V = 500 MV. Assume the electric field is uniform. A linear accelerator consists of two electrodes as shown in Figure 1.
A.6 Determine the time T that protons take to pass through this field. 1.5 pt
Theory Italiano (Italy) Q3-3 +
- d V Figure 1: Representation of the linear accelerator.
Theory Italiano (Italy) Q3-4 Part B. Particle Identification (4 points)
Time-of-flight: Identifying high-energy particles produced in a collision is crucial for interpreting the interaction process. A simple method consists of measuring the time (t) a particle with known momentum takes to traverse a distance l in a so-called Time-of-Flight (ToF) detector. The typical particles identified in the detector, together with their masses, are listed in Table 2.
| Particle | Mass [MeV/c²] |
|---|---|
| Deuteron | 1876 |
| Proton | 938 |
| Charged kaon | 494 |
| Charged pion | 140 |
| Electron | 0.511 |
Table 2: Particles with their masses.
time t₁ | length l | time t₂ | mass m | momentum p | x | y Figure 2: Schematic representation of a Time-of-Flight detector.
B.1 Express the minimum mass m_min as a function of momentum p, flight length l, and flight time t, assuming these particles have elementary charge, travel at speeds close to c along straight paths in the ToF detector, and move perpendicularly to the two plates (see Figure 2). 0.8 pt
Theory Italiano (Italy) Q3-5 B.2 Calculate the minimum length l of a time-of-flight (ToF) detector that allows for certain discrimination between a charged kaon and a charged pion, given that the momentum of both particles has been measured and is 1.00 GeV/c. For good separation, the difference in flight times must be greater than three times the temporal resolution of the detector. The typical temporal resolution of a ToF detector is 150 ps (1 ps = s). 0.7pt In the following section, particles produced in a typical LHC detector are identified using a two-phase detector consisting of a tracker and a time-of-flight (ToF) detector. Figure 3 shows the apparatus in a transverse plane and in a longitudinal plane relative to the proton beams. Both detectors are tubes surrounding the interaction region, with the beam passing through the central part of the tubes. The tracker measures the trajectory of a charged particle as it passes through a magnetic field whose direction is parallel to the proton beams. The radius r of the trajectory allows determination of the particle’s transverse momentum pT. Since the instant of collision is known, the ToF detector requires only one tube to measure the flight time, which is measured from the collision point to the ToF tube. This ToF tube is located just outside the tracker. In this question, you may assume that all particles created in the collision travel perpendicular to the proton beams, i.e., the particles produced in the collision have no momentum component along the direction of the proton beams.
Theory Italian (Italy) Q3-6 x y z y (4) (4) (4) R (5) (5) (1) (1) (1) (2) (2) (3) (3) transverse plane longitudinal view at center of tube along beam line cross-section (1) - ToF tube (2) - trajectory (3) - collision point (4) - tracker tube (5) - proton beams ⊗- magnetic field
Figure 3: Experimental setup for particle identification using a tracking chamber and a time-of-flight (ToF) detector. Both detectors are tubes surrounding the interaction point.
p.3 — Representation of the linear accelerator
p.4 — Schematic of a time-of-flight detector
p.6 — Transverse and longitudinal views of the detector
Solution: Soluzioni (PDF)