Russia 2018

Problem 1 Suppose the Earth is a sphere with a uniform mass distribution, and the effects of its rotation and atmosphere are negligible. A small object is launched from a space station a height h above the ground with a certain speed relative to the Earth that is perpendicular to the line connecting the center of the Earth and the space station. Given the Earth’s radius R, mass M, and gravitational constant G, find the following: • If the object is to orbit the earth, what conditions must be met by the initial velocity? • If the initial velocity is v0 and the ball hits the ground, find the velocity when it hits the ground (magnitude and direction). Find how long it takes to hit the ground. The following integral is given: for c < 0, and $Δ =$ b2 $- 4 a c$ > 0, Z x dx a + bx + cx2 = a + bx + cx2 c $-$ b $2 (- c) 3/2$ arcsin 2cx + b $Δ$

Topic: Gravitation, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Kepler’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1 Supponiamo che la Terra sia una sfera con una distribuzione di massa uniforme, e gli effetti della sua rotazione e dell’atmosfera sono

Non è così. Un piccolo oggetto viene lanciato da una stazione spaziale ad un’altezza h sopra il suolo con una certa velocità relativa a la Terra che è perpendicolare alla linea che collega il centro della Terra e la stazione spaziale. Dato il mondo radius R, massa M e costante gravitazionale G, trovare quanto segue: • Se l’oggetto deve orbitare intorno alla terra, quali condizioni deve soddisfare la velocità iniziale? • Se la velocità iniziale è v0 e la palla colpisce il terreno, trovare la velocità quando colpisce il terreno (magnitude e direzione). Scopri quanto tempo ci vuole per colpire il terreno. Per c < 0, e $Δ =$ b2 $- 4 a c$ > 0, si dà la seguente integrale: Z x dx a + bx + cx2 = a + bx + cx2 c $-$ b $2 (- c) 3/2$ arcsin 2cx + b $Δ$

Problem 2 Two thin lenses L1 and L2 with focal length f1 and f2, respectively, are separated by a distance d and placed coaxially. A ray of light is shone through L1 and L2 in that order. • If the incident ray and outgoing ray are parallel, what condition must the incident ray satisfy? • Draw all the possible ray diagrams such that the incident and outgoing rays are parallel. 1

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema 2 Due lenti sottili L1 e L2 con lunghezza focale f1 e f2, rispettivamente, sono separati da una distanza d e collocati coassalmente. Un raggio di luce si illumina attraverso L1 e L2 in quell’ordine. • Se il raggio incidente e il raggio uscente sono paralleli, quale condizione deve soddisfare il raggio incidente? • Disegnare tutti i possibili diagrammi dei raggi in modo che l’incidente e i raggi usciti siano paralleli. 1

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problem 3 As shown in the figure, a uniform thin rod AB of mass M and length l is freely suspended on a hinge at point O, the origin. (A is not labelled in the diagram, but coincides with O.) The rod is free to rotate in the x-y plane. A projectile of mass m hits the rod at speed v0 and becomes embedded in the rod. The projectile hits the rod at the strike center, such that the hinge exerts no horizontal force on the rod during the collision. When the rod has swung half a turn to a vertical position, the hinge is magically and suddenly removed. The gravitational acceleration is g pointing downwards, in the negative y direction. v0 l M m x y O B

Find the distance from the strike center of the rod to O.
Find the force of the hinge on the rod when the rod is at an angle $θ$ < $π$ with the vertical, before the removal of the hinge.
Let t = 0 be the time that the hinge is removed. After the hinge is removed, the position of point B on the rod changes with the time, until it hits the ground. Express the x and y coordinates of B as functions of time. (Recall that the origin is located at point O.)
When the rod has rotated another half turn (so now A is once again above B), determine the height difference between points B and O. 2

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Impulse-Momentum Theorem, Conservation Laws, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

Il problema 3 Come mostrato nella figura, una canna sottile uniforme AB di massa M e lunghezza l è liberamente sospesa su una cerniera al punto O, il punto di origine. (A non è etichettato nel diagramma, ma coincide con O.) La canna è libera di ruotare nel piano x-y. Un proiettile di massa m colpisce la canna a velocità v0 e diventa incorporata nella canna. Il proiettile colpisce la canna al centro di attacco. tale che la cerniera non eserciti alcuna forza orizzontale sulla canna durante la collisione. Quando la canna ha girato mezzo giro a in posizione verticale, la cerniera viene magicamente e improvvisamente rimossa. L’accelerazione gravitazionale è g che punta verso il basso, nella direzione negativa y. v0 l M m x y O B

Trova la distanza dal centro di colpo della canna a O.
Trova la forza della cerniera sulla canna quando la canna è ad un angolo $θ$ $π$ con la verticale, prima di rimuovere la

La cerniera.

Lasciate che t = 0 sia il tempo in cui la cerniera viene rimossa. Dopo la rimozione della cerniera, la posizione del punto B sulla canna cambia col tempo, finché non colpisce il terreno. Esprimere le coordinate x e y di B come funzioni di tempo. (Ricordiamo) che l’origine si trova al punto O.)
Quando la canna ha girato un’altra metà di turno (per cui ora A è ancora una volta sopra B), determinare la differenza di altezza tra i punti B e O. 2

Problem 4 The Ioffe-Pritchard magnetic trap can be used to trap atoms, as shown in the figure. The four wires 1, 2, 3, and 4, each with current I, are perpendicular to the x-y plane, and their intersection with the x-y plane is a square with side length 2a and center O, where O is the origin. Furthermore, the line joining the intersections of wires 1 and 2 with the x-y plane is parallel to the x-axis, as shown in the figure. The current direction in each wire in indicated in the figure. The entire device is placed in a uniform magnetic field B0 = B0k, where k is the z-axis unit vector. The vacuum permeability is $μ 0$ .

What is the magnetic field generated by the current in the wires at the point (x, y)?
What is the magnetic field generated by the current near the origin, to first order? (i.e. write your answer to (1) for x $\lla$ .)
The binding energy of an atom in the magnetic trap is proportional to the magnitude of the magnetic field at that point. In other words, the potential energy of an atom placed in the magnetic trip is V = $μ ∣ B t o t ∣$ , where $μ$ is a positive constant. Find the force of the magnetic field on the trapped atom near O to first order.
What is the easiest way to remove an atom from the magnetic trap, staying within the x-y plane? Find the minimum kinetic energy for an atom to escape the magnetic trap.

Topic: Magnetism, Conservation of Energy Metodi: Biot-Savart Law, Approximation & Series Expansion, Energy Conservation Method, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wire, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 4 La trappola magnetica Ioffe-Pritchard può essere utilizzata per intrappolare gli atomi, come mostrato nella figura. I quattro fili 1, 2, 3 e 4, ciascuno con corrente I, sono perpendicolari al piano x-y, e la loro intersezione con il piano x-y è un quadrato con lunghezza laterale 2a e centro O, dove O è l’origine. Inoltre, la linea che unisce le intersezioni dei fili 1 e 2 con il piano x-y è parallelo all’asse x, come mostrato nella figura. La direzione corrente di ciascun filo è indicata nella figura. L’intero il dispositivo è collocato in un campo magnetico uniforme B0 = B0k, dove k è il vettore unitario dell’asse z. La permeabilità al vuoto è $μ 0$ .

Qual è il campo magnetico generato dalla corrente nei fili al punto (x, y)?
Qual è il campo magnetico generato dalla corrente vicino all’origine, per primo ordine? (i.e. scrivere la tua risposta a (1) per x $\lla$ .)
L’energia di legame di un atomo nella trappola magnetica è proporzionale alla grandezza del campo magnetico a quella

Il punto. In altre parole, l’energia potenziale di un atomo inserito nel viaggio magnetico è V = $μ ∣ B t o t ∣$ , dove $μ$ è un costante positiva. Trova la forza del campo magnetico sull’atomo intrappolato vicino a O al primo ordine.

Qual è il modo più semplice per rimuovere un atomo dalla trappola magnetica, restando all’interno del piano x-y? Trova il minimo energia cinetica per un atomo per sfuggire alla trappola magnetica.

Problem 5 Pieter Zeeman discovered that the sodium spectral D line split into three in a magnetic field. Lorentz explained this according to classical electromagnetic theory, and they won the 1902 Nobel Prize. Assume that the valence electrons in the atom (mass m and charge $- e$ , e > 0) are subjected to a force $- mω 2$ 0r, where r is the position vector of the valence electron relative to the center of the atom. The valence electrons go around the atom with angular frequency $ω 0$ and emit light with angular frequency $ω 0$ . The atom is now placed in a uniform magnetic field directed along the positive z-axis with magnitude B = 2m e $\omegaL$ .

Consider the reference frame that rotates with an angular velocity $\omegaL$ in the direction of the magnetic field, such that the valence electrons perform simple harmonic motion in the new reference frame. Find the position of the valence electron as a function of time using Cartesian coordinates, in the new reference frame.
Transform the solution of (1) into the original reference frame.
Prove that the frequency of the light emitted by the atom in the laboratory reference frame is split into three, and find the interval of frequency between the three frequencies for $\omegaL ≪ ω 0$ . Note: in a rotating reference frame, the electrons are affected by the Coriolis force (FC = $- 2 mω \times v^{'}) an d$ the centrifugal force. 3

Topic: Electromagnetism, Oscillations & Waves, Magnetism Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 5 Pieter Zeeman ha scoperto che la linea di D dello spettro di sodio si divide in tre in un campo magnetico. Lorentz ha spiegato questo secondo la teoria elettromagnetica classica, e vincono il Premio Nobel del 1902. Supponiamo che gli elettroni di valenza in l’atomo (massa m e carica $- e$ , e > 0) è sottoposto a una forza $- mω 2$ 0r, dove r è il vettore di posizione della valenza L’elettrone relativo al centro dell’atomo. Gli elettroni di valenza girano atomici con frequenza angolare $ω 0$ ed emettono luce con frequenza angolare $ω 0$ . L’atomo è ora posizionato in un campo magnetico uniforme diretto lungo l’asse z positivo con magnitudo B = 2 m e $\omegaL$ .

Considerate il quadro di riferimento che ruota con una velocità angolare $\omegaL$ nella direzione del campo magnetico, come che gli elettroni di valenza effettuino un semplice movimento armonico nel nuovo quadro di riferimento. Trova la posizione della Valenza elettronica come funzione del tempo utilizzando le coordinate cartesiane, nel nuovo quadro di riferimento.
Trasformare la soluzione di (1) nel quadro di riferimento originale.
dimostrare che la frequenza della luce emessa dall’atomo nella cornice di riferimento di laboratorio è divisa in tre, e trovare l’intervallo di frequenza tra le tre frequenze per $\omegaL ≪ ω 0$ . Nota: in un quadro di riferimento rotante, gli elettroni sono influenzati dalla forza di Coriolis (FC = $- 2 mω \times v^{'}) an d$ la centrifugare

La forza. 3

Problem 6 There is an experimental device consisting of a inner ball and an outer spherical shell, both concentric, floating in deep space. The space between between the inner ball and the shell is a vacuum. The radius of the inner ball is r = 0.200 m, and the temperature is kept constant by some internal means. The emissivity of the ball is e = 0.800. The thermal conductivity of the shell is $κ$ = 1.00 $\times 10 - 2$ J $\cdot m - 1 \cdot s - 1 \cdot K - 1$ . The inner and outer radii of the shell are R1 = 0.900m and R2 = 1.00m, respectively, and the outer surface can be considered a black body. The experimental device is at steadystate flow (thermal stability), the emissivity of the shell’s inner surface is E = 0.800. The Stefan-Boltzmann constant is $σ$ = 5.67 $\times 10 - 8$ W $\cdot m - 2 \cdot K - 4$ , and the cosmic microwave background temperature is T = 2.73 K. If the heat transferred between the inner surface of the shell and the outer surface of the shell per unit time is P = 44.0 W, then

Find the temperature of the surface of the outer shell T2
Find the temperature of the surface of the inner shell T1
Find the temperature of the ball T0. You will need to know: • emissivity: if a blackbody emits radiation at power P, then an object at the same temperature with the same shape will emit radiation at power eP if it has emissivity e. • Kirchoff’s law of thermal radiation: Under steady-state flow conditions, the absorptivity of an object is equal to the emissivity of the object. Absorptivity is the ratio between the power absorbed by an object and the incident power of radiation on the object. • Fourier’s Law: The rate of heat transfer in an object is $- \kappaAdT$ dz , where A is the cross-sectional area. 4

Topic: Thermodynamics Metodi: Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 6 C’è un dispositivo sperimentale composto da una palla interna e da una conchiglia sferica esterna, entrambe concentriche, galleggianti in profondità lo spazio. Lo spazio tra la palla interna e la conchiglia è un vuoto. Il raggio della palla interna è r = 0,200 La temperatura è mantenuta costante con alcuni mezzi interni. L’emissività della palla è e = 0,800. Il termico la conducibilità della conchiglia è $κ$ = 1,00 $\times 10 - 2$ J $\cdot m - 1 \cdot s - 1 \cdot K - 1$ . I raggi interni ed esterni della conchiglia sono R1 = 0,900 m e R2 = 1,00m, rispettivamente, e la superficie esterna può essere considerata un corpo nero. Il dispositivo sperimentale è a flusso in stato di stabilità (stabilità termica), l’emissività della superficie interna della conchiglia è E = 0,800. La costante di Stefan-Boltzmann è $σ$ = 5,67 $\times 10 - 8$ W $\cdot m - 2 \cdot K - 4$ , e la temperatura di fondo cosmica dei microonde è T = 2,73 K. Se il calore è trasferito tra la superficie interna della conchiglia e la superficie esterna della conchiglia per unità di tempo è P = 44,0 W, quindi

Trova la temperatura della superficie della conchiglia esterna T2
Trova la temperatura della superficie della conchiglia interna T1
Trova la temperatura della palla T0. Dovrete sapere: • emissività: se un corpo nero emette radiazioni a potenza P, allora un oggetto alla stessa temperatura con la stessa forma emetterà radiazioni a potenza eP se ha emissività e. • Legge di Kirchoff della radiazione termica: in condizioni di flusso in stato stazionario, l’assorbimento di un oggetto è pari alla l’emissività dell’oggetto. L’assorbimento è il rapporto tra la potenza assorbita da un oggetto e la potenza incidente di radiazioni sull’oggetto. • Legge di Fourier: il tasso di trasferimento di calore in un oggetto è $- \kappaAdT$ dz, dove A è l’area di sezione trasversale. 4

Topic: Thermodynamics Metodi: Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.4

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