OII 2011 Nazionale

Sistema trasportatore a rulli. (Punti 85)

Un sistema trasportatore a rulli è realizzato da tanti rulli omogenei posti su un piano inclinato di un angolo $α$ , come mostrato in figura. Gli assi dei rulli sono perpendicolari al foglio e ciascuno di essi può ruotare indipendentemente dagli altri (si ipotizza, cioè, che i rulli non siano direttamente a contatto, ma siano separati da una distanza trascurabile). Ogni rullo ha massa $m$ e raggio $R$ .

Una lastra omogenea di massa $M$ si appoggia sopra i rulli. La lunghezza della lastra è $ℓ = 4 π R$ . Si ipotizzi inoltre che in ogni istante la lastra sia in contatto con esattamente $2 N$ rulli, anche nel momento in cui il piede della lastra si stacca da un rullo e il fronte si appoggia sul successivo che è fermo. Quando ciò accade la lastra rallenta e il moto cessa a meno che, o quando, la velocità soddisfa la condizione di non slittamento: per tutto questo tempo i rulli che si incontrano con la lastra ruoteranno in modo da non farla slittare. L’effetto finale sarà dunque di rallentare la lastra ad ogni urto inanellando con essa, e di accelerare il rullo inizialmente fermo. Nel nostro caso si fissa l’ipotesi che tutto quanto avvenga in un tempo trascurabile cosicché le forze di interazione si possano trattare come impulsive: si tratta quindi di un “urto”.

Inizialmente tutti i rulli sono fermi e la lastra viene appoggiata su di essi e poi lasciata scorrere. Sia $g$ il modulo dell’accelerazione di gravità; si indichi con $v$ il modulo della velocità del centro di massa della lastra e con $ω$ il modulo della velocità angolare dei rulli. Si ipotizzi che l’attrito statico tra un rullo e la lastra sia sufficiente a non far slittare la lastra.

1. Trovare i valori di $v$ e $ω$ che valgono nel lasso di tempo che intercorre tra un urto ed il successivo, e dire se le velocità angolari dei rulli a contatto con la lastra sono tutte uguali.

Si indichi con $v_{n}$ e $v_{n}^{'}$ i moduli delle velocità subito prima e subito dopo un urto tra la lastra e il rullo $n$ -esimo.

2. Si consideri il moto della lastra tra un urto e l’altro. Calcolare di quanto aumenta $v^{2}$ tra due urti, cioè trovare $v_{n + 1}^{2} - v_{n}^{' 2}$ .

3. Si consideri ora il processo di urto della lastra con un rullo. Trovare una relazione che lega $v_{n}^{'}$ a $v_{n}$ .

Nell’ipotesi che la distanza percorsa dalla lastra sia sufficientemente lunga, la lastra raggiungerà una condizione di regime.

4. Nel caso particolare $M / m = 8$ , calcolare i moduli $v_{1}$ e $v_{1}^{'}$ delle velocità limite raggiunte dalla lastra subito prima e subito dopo ciascun urto in condizione di regime.

5. Nella condizione di regime, di quanto varia la velocità della lastra tra due urti consecutivi?

6. Tracciare un grafico che esprima l’andamento temporale della velocità della lastra in condizione di regime.

p.? — Rulli su piano inclinato, angolo alfa

Topic: Rotational Dynamics, Electrostatics, Nuclear & Particle Physics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Momentum, Gauss’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: Cylinder, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Sistema trasportatore a rulli. (Punti 85)

A roll conveyor system is made up of many homogeneous rolls placed on a sloping plane of an angle $α$ , as shown in Figure 1. The axes of the rolls are perpendicular to the sheet and each of them can rotate independently of the others (it is assumed, that is, that the rolls are not in direct contact, but are separated by a negligible distance). Each roll has a mass $m$ and a radius $R$ .

A homogeneous sheet of $M$ mass shall be rested above the rolls. The length of the plate is $ℓ = 4 π R$ . It is also assumed that at any moment the plate is in contact with exactly $2 N$ rolls, even when the foot of the plate is detached from one roll and the forehead rests on the next one which is stationary. When this happens the plate slows down and the motor stops unless, or when, the speed meets the non-slip condition: for all this time the rolls that meet the plate will rotate so as not to cause it to slip. The final effect will therefore be to slow the plate down at each impact by ramming with it, and to accelerate the roll initially still. In our case, the hypothesis is that everything happens at a negligible time so that the forces of interaction can be treated as impulsive: it is therefore a “shock”.

Initially all the rolls are stationary and the sheet is rested on them and then left to flow. Whether $g$ the acceleration modulus of gravity; $v$ the speed modulus of the plate centre of mass and $ω$ the angular speed modulus of the rolls shall be indicated. The static friction between a roller and the plate is assumed to be sufficient to prevent the plate from slipping.

1. Trovare i valori di $v$ e $ω$ che valgono nel lasso di tempo che intercorre tra un urto ed il successivo, e dire se le velocità angolari dei rulli a contatto con la lastra sono tutte uguali.

The speed modules immediately before and immediately after a collision between the plate and the $n$ -exim roller shall be indicated by $v_{n}$ and $v_{n}^{'}$ .

2. Consider the movement of the plate between one impact and the other. Calculate how much $v^{2}$ increases between two strokes, i.e. find $v_{n + 1}^{2} - v_{n}^{' 2}$ .

3. Si consideri ora il processo di urto della lastra con un rullo. Find a relationship that links $v_{n}^{'}$ to $v_{n}$ .

If the distance travelled by the plate is sufficiently long, the plate will reach a regime condition.

4. Nel caso particolare $M / m = 8$ , calcolare i moduli $v_{1}$ e $v_{1}^{'}$ delle velocità limite raggiunte dalla lastra subito prima e subito dopo ciascun urto in condizione di regime.

5. Under the mode, how much does the plate speed vary between two consecutive impacts?

6. Draw a graph that shows the time course of the speed of the plate under the condition of steering.

p.? — Rulli su piano inclinato, angolo alfa

Nuclei speculari. (Punti 85)

In questo problema ci proponiamo di fornire una stima delle dimensioni e della densità dei nuclei atomici. Indicheremo i nuclei con la notazione $_{Z}^{A} X$ , dove $A = Z + N$ è il numero di massa del nucleo, $Z$ il numero di protoni e $N$ il numero di neutroni. Supporremo che i nuclei abbiano forma sferica ed una densità di massa $ρ$ , uniforme per tutti.

1. Il raggio dei nuclei dipende dal numero di massa $A$ ; si dimostra che la relazione tra queste due grandezze è del tipo $R (A) = R_{0} A^{α}$ . Si trovi l’espressione di $R_{0}$ in funzione di $A$ e della massa di un nucleone $m_{p}$ , e si ricavi il valore del parametro $α$ .

Nel seguito del problema ci proponiamo di ricavare un valore numerico di $R_{0}$ partendo da misure di energia di legame di nuclei speculari.

2. Si determini l’energia potenziale elettrostatica di una sfera uniformemente carica di raggio $R$ e carica totale $Z e$ ; si troverà un’espressione del tipo $U_{e} = β Z^{2} e^{2} / A^{1/3}$ . Si trovino l’espressione di $U_{e}$ e un’espressione per il coefficiente $β$ in funzione di $R_{0}$ .

Diciamo che due nuclei sono speculari se soddisfano le relazioni $Z_{1} = N_{2}$ e $Z_{2} = N_{1}$ , con l’ulteriore condizione che i due elementi siano contigui nella tavola periodica, cioè tale che $Z_{2} = Z_{1} + 1$ , cioè $∣ Z_{2} - Z_{1} ∣ = 1$ .

3. Si definisca l’energia di legame di un nucleo come la quantità $E_{l} = Z m_{p} c^{2} + N m_{n} c^{2} - M (A, Z) c^{2}$ , dove $M (A, Z)$ è la massa del nucleo. Si trovi una formula semi-empirica che esprime l’energia di legame come la somma di:

due termini dovuti all’interazione forte che tiene uniti i nucleoni; questi termini dipendono soltanto da $A$ (l’interazione forte ha la stessa intensità tra tutti i tipi di nucleoni: protoni e neutroni);
un termine dovuto all’interazione elettrostatica tra i protoni, $U_{e}$ , calcolata sopra: questo termine ha segno negativo, in quanto la repulsione tende a disaggregare il nucleo;
un termine dovuto al principio di esclusione di Pauli; il primo di questi è direttamente proporzionale a $(A - 2 Z)^{2} / A$ ; il secondo risulta nullo nel nostro caso.

In definitiva, la differenza dell’energia di legame di due nuclei speculari è uguale all’opposto della loro differenza di energia potenziale elettrostatica. Si trovi un’espressione per tale differenza in funzione di $A$ , usando per $U_{e}$ l’espressione ricavata al punto 2, e si ricavi quindi un’espressione per $β$ in funzione di $R_{0}$ .

4. Si riportino su un grafico la differenza di energia di legame di due nuclei speculari in funzione di $A$ , usando i dati della tabella seguente. Si ricavi una stima del valore di $R_{0}$ .

Nella tabella seguente sono elencate alcune coppie di nuclei speculari, per diversi valori del numero di massa. Per ciascun nucleo è indicata, tra parentesi, l’energia di legame, in MeV:

$A$	Nucleo 1	Nucleo 2
35	$_{17}^{35} Cl$ (298.2)	$_{18}^{35} Ar$ (291.5)
45	$_{21}^{45} Sc$ (385.0)	$_{22}^{45} Ti$ (377.1)
55	$_{25}^{55} Mn$ (476.8)	$_{26}^{55} Fe$ (471.8)
65	$_{29}^{65} Cu$ (556.0)	$_{30}^{65} Zn$ (545.0)
75	$_{33}^{75} As$ (633.6)	$_{34}^{75} Se$ (622.3)

5. Usando il valore trovato per $R_{0}$ , si dia una stima della densità di massa dei nuclei (si assuma una massa di un nucleone $1.674 \times 1 0^{- 27} kg$ ). Si dia inoltre una stima della densità di carica del nucleo $_{33}^{75} As$ .

Topic: Nuclear & Particle Physics, Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Graph Linearization, Electric Potential Method, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Graph Linearization, Physical Reasoning Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Nuclei speculari. (Punti 85)

In this problem we propose to provide an estimate of the size and density of the atomic nuclei. We’ll mark the nuclei with the notation $_{Z}^{A} X$ , where $A = Z + N$ is the mass number of the nucleus, $Z$ the number of protons and $N$ the number of neutrons. Supporremo che i nuclei abbiano forma sferica ed una densità di massa $ρ$ , uniforme per tutti.

1. Il raggio dei nuclei dipende dal numero di massa $A$ ; si dimostra che la relazione tra queste due grandezze è del tipo $R (A) = R_{0} A^{α}$ . The expression $R_{0}$ is given by $A$ and the mass of a nucleon $m_{p}$ , and the value of the parameter $α$ is obtained.

In the following problem we propose to obtain a numerical value of $R_{0}$ from measurements of the energy of the bonding of specular nuclei.

2. Si determini l’energia potenziale elettrostatica di una sfera uniformemente carica di raggio $R$ e carica totale $Z e$ ; si troverà un’espressione del tipo $U_{e} = β Z^{2} e^{2} / A^{1/3}$ . The expression $U_{e}$ and an expression for the coefficient $β$ are found in the function $R_{0}$ .

Let’s say that two nuclei are specular if they meet the $Z_{1} = N_{2}$ and $Z_{2} = N_{1}$ relationships, with the additional condition that the two elements are adjacent in the periodic table, i.e. such as $Z_{2} = Z_{1} + 1$ , i.e. $∣ Z_{2} - Z_{1} ∣ = 1$ .

3. Si definisca l’energia di legame di un nucleo come la quantità $E_{l} = Z m_{p} c^{2} + N m_{n} c^{2} - M (A, Z) c^{2}$ , dove $M (A, Z)$ è la massa del nucleo. We have a semi-empirical formula that expresses the bond energy as the sum of:

two terms due to the strong interaction that holds nucleons together; these terms depend only on $A$ (the strong interaction is the same intensity between all types of nucleons: protons and neutrons);
a term due to the electrostatic interaction between protons, $U_{e}$ , calculated above: this term is negative, as repulsion tends to disintegrate the nucleus;
a term due to the Pauli exclusion principle; the first of these is directly proportional to $(A - 2 Z)^{2} / A$ ; the second is null in our case.

In conclusion, the difference in the bond energy of two specular nuclei is equal to the opposite of their difference in electrostatic potential energy. An expression for this difference is found in a function of $A$ , using the expression derived from point 2 for $U_{e}$ , and an expression for $β$ is obtained in a function of $R_{0}$ .

4. The bond energy difference of two specular nuclei in terms of $A$ shall be shown on a graph using the data in the following table. An estimate of the value of $R_{0}$ is obtained.

The following table lists some pairs of specular nuclei, for different values of mass number. For each core, the bonding energy, in MeV, is indicated in parentheses:

$A$	Nucleo 1	Nucleo 2
35	$_{17}^{35} Cl$ (298.2)	$_{18}^{35} Ar$ (291.5)
45	$_{21}^{45} Sc$ (385.0)	$_{22}^{45} Ti$ (377.1)
55	$_{25}^{55} Mn$ (476.8)	$_{26}^{55} Fe$ (471.8)
65	$_{29}^{65} Cu$ (556.0)	$_{30}^{65} Zn$ (545.0)
75	$_{33}^{75} As$ (633.6)	$_{34}^{75} Se$ (622.3)

5. Using the value found for $R_{0}$ , an estimate of the mass density of the nuclei is given (assuming a mass of a nucleon $1.674 \times 1 0^{- 27} kg$ ). An estimate of the core charge density $_{33}^{75} As$ shall also be given.

Ancora il campo elettrostatico radiale di modulo uniforme! (Punti 85)

Si considerino due superfici sferiche concentriche di raggi $R_{1} < R$ ed $R_{2} = 2 R$ che delimitano un volume $V$ ; un’opportuna distribuzione di cariche, in posizione determinata, è tale da generare un campo elettrostatico il cui modulo ( $E_{0}$ noto) è uguale in tutti i punti del volume $V$ ; il campo è nullo nei punti interni alla sfera di raggio minore e nei punti esterni alla sfera di raggio maggiore. Per ottenere tale distribuzione occorre avere una distribuzione di carica positiva sulla superficie interna, una negativa sulla superficie esterna ed un’ulteriore distribuzione volumetrica nella corona sferica, in modo tale che la carica totale sia nulla.

1. Quanto valgono le densità di carica superficiale (uniformi) sulle due superfici sferiche di raggi $R_{1}$ ed $R_{2}$ ?

2. Quanto vale la densità di carica volumetrica $ρ (r)$ ? Si può facilmente verificare — per esempio utilizzando due corone sferiche di uguale volume — che la densità di carica volumetrica non può essere uniforme: essa sarà quindi funzione della distanza dal centro $ρ (r)$ .

3. Determinare l’andamento della densità volumetrica di carica $ρ (r)$ al variare della distanza dal centro.

4. Tracciare i grafici del campo $E (r)$ , della densità di carica (volumetrica) $ρ (r)$ e del potenziale $V (r)$ , con $V_{\infty} = 0$ , per $r$ compresi nell’intervallo $[0, R^{'}]$ con $R^{'} > 2 R$ .

Una particella di massa $m$ e carica $q > 0$ , lanciata dall’esterno della distribuzione sferica, riesce ad attraversare la sfera se la sua velocità iniziale ha un valore $v_{0}$ (la conservazione dell’energia mostra che $v_{0}^{2} = 2 q E_{0} R / m$ ). Si considera l’esperimento descritto in figura: la stessa particella viene lanciata, da fuori, con velocità di modulo $v_{0}$ in modo che nel punto di ingresso la direzione sia ruotata di $45°$ rispetto alla direzione che punta verso il centro della distribuzione. La particella raggiunge una distanza minima dal centro della distribuzione ( $r_{min}$ ) per poi uscire di nuovo all’esterno.

5. Spiegare perché la traiettoria della particella è certamente una curva piana.

6. Scrivere l’equazione che fornisce $r_{min}$ e risolverla in termini della variabile $z = r / R$ con un’opportuna tecnica numerica e con l’approssimazione del $1%$ .

(Da Olimpiadi di Fisica 2011 — Gara di 2° Livello, 11 febbraio 2011)

NOTA: la soluzione deve essere trovata senza ricorrere all’uso dell’operatore differenziale “Divergenza”. Suggerimento: se lo spazio spaziale è uniformemente ripartito da $r$ , questa si potrà considerare uniforme in una corona sferica di raggio $r$ e di spessore infinitesimo $d r$ .

p.? — Guscio sferico carico, carica entrante a 45 gradi

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Gauss’s Law, Electric Potential Method, Conservation of Energy, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**Also the radial electrostatic field of uniform modulus! ** *

Consider two concentric spherical surfaces of $R_{1} < R$ and $R_{2} = 2 R$ radii which delimit a volume $V$ ; an appropriate charge distribution, at a given position, is such that an electrostatic field whose modulus ( $E_{0}$ is known) is equal at all points of the volume $V$ is considered; the field is zero at the points inside the sphere of minor radius and at points outside the sphere of major radius. To obtain this distribution, a positive charge distribution on the inner surface, a negative charge on the outer surface and a further volumetric distribution in the spherical corona must be obtained so that the total charge is zero.

What is the surface load density (uniform) on the two spherical surfaces of the $R_{1}$ and $R_{2}$ rays?

2. What is the volumetric load density $ρ (r)$ ? It can be easily verified for example by using two spherical crowns of equal volume that the volumetric load density cannot be uniform: it will therefore be a function of the distance from the centre $ρ (r)$ .

3. Determine the trend of the load volume density $ρ (r)$ as the distance from the centre varies.

4. Draw the graphs of the field $E (r)$ , of the load density (volume) $ρ (r)$ and of the potential $V (r)$ , with $V_{\infty} = 0$ , for $r$ included in the range $[0, R^{'}]$ with $R^{'} > 2 R$ .

A particle of mass $m$ and charge $q > 0$ , launched from outside the spherical distribution, can cross the sphere if its initial velocity has a value $v_{0}$ (energy conservation shows that $v_{0}^{2} = 2 q E_{0} R / m$ ). Consider the experiment described in the figure: the same particle is launched from the outside at a speed of $v_{0}$ so that at the entry point the direction is rotated by $45°$ with respect to the direction pointing towards the distribution center. The particle reaches a minimum distance from the distribution center ( $r_{min}$ ) and then exits again to the outside.

Explain why the particle trajectory is certainly a flat curve.

6. Write the equation that gives $r_{min}$ and solve it in terms of the variable $z = r / R$ using a suitable numerical technique and approximating $1%$ .

*(From the 2011 Olympics in Physics Competition of 2° Level, 11 February 2011) *

NOTE: the solution must be found without the use of the Divergence differential operator. Suggestion: if the space is evenly distributed by $r$ , this can be considered uniform in a spherical crown of radius $r$ and infinitesimal thickness $d r$ .

**p.? ** Spherical load coil, incoming load at 45 degrees

Due altoparlanti. (Punti 45)

Due altoparlanti, ciascuno dei quali ha una potenza $P$ , emettono onde sonore sinusoidali con la stessa frequenza $ν$ . I due altoparlanti si irradiano in maniera isotropa in tutto lo spazio. Sia $d$ la distanza tra di essi e si immaginino i due altoparlanti come sorgenti sonore puntiformi che si possono considerare sorgenti coerenti. La velocità del suono in aria sia $v = 338 m s^{- 1}$ . A lato si vede la disposizione dei due altoparlanti $S_{1}$ e $S_{2}$ : essi si trovano in due vertici adiacenti di un quadrato di lato $d$ , mentre il microfono si trova nel vertice $B$ opposto a $S_{1}$ .

1. Ponendo gli altoparlanti a $3.5 m$ di distanza, qual è la frequenza $ν$ che devono emettere gli altoparlanti affinché nel vertice $B$ del quadrato si abbia un massimo di interferenza? In questa situazione, quanti minimi si trovano, e in che posizione, lungo il perimetro del quadrato?

2. Si consideri ora il caso in cui gli altoparlanti emettono a $ν = 440 Hz$ . Qual è il rapporto tra le ampiezze delle onde provenienti dai due altoparlanti nel punto $B$ ? È la differenza di cammino minima tra i cammini provenienti dai due altoparlanti?

3. Gli altoparlanti vengono spostati mantenendo la configurazione del sistema nella figura precedente, variando la lunghezza $d$ del lato del quadrato. Quando la nota $ν = 440 Hz$ emessa dagli altoparlanti viene ricevuta nel vertice $B$ , l’intensità del suono aumenta e si spegne accendendo e spegnendo $S_{2}$ . Quali sono i due più piccoli valori della distanza $d$ per cui questo si verifica?

p.? — Due altoparlanti ai vertici di un quadrato

Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics Metodi: Superposition Principle, Interference & Diffraction Analysis, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following is the list of the main components of the engine:

Two speakers, each with a power $P$ , emit sinusoidal sound waves with the same frequency $ν$ . The two speakers radiate isotropically throughout space. Both $d$ the distance between them and imagine the two speakers as point-like sound sources which can be considered consistent sources. The speed of sound in the air shall be $v = 338 m s^{- 1}$ . On the side you can see the arrangement of the two speakers $S_{1}$ and $S_{2}$ : they are located on two adjacent vertices of a side square $d$ , while the microphone is located on the vertices $B$ opposite to $S_{1}$ .

1. Putting the speakers at $3.5 m$ distance, what is the frequency $ν$ that the speakers must emit in order to maximize interference at the summit of the square $B$ ? In this situation, how many mines are there, and in what position, along the perimeter of the square?

2. Consider now the case where the speakers emit $ν = 440 Hz$ . What is the ratio of the wavelengths from the two speakers in $B$ ? Is the minimum distance difference between the paths coming from the two speakers?

3. The speakers are moved by maintaining the system configuration in the previous figure, varying the length $d$ of the side of the square. When the $ν = 440 Hz$ note emitted by the speakers is received at the $B$ top, the sound intensity increases and is switched off by switching on and off $S_{2}$ . What are the two smallest values of the distance $d$ for which this occurs?

**p.? ** Two speakers at the top of a square

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