EuPhO 2019 — Sperimentale

Problema Sperimentale — EuPhO 2019 — Propagazione di onde radio

Le onde elettromagnetiche svolgono un ruolo importante nelle nostre vite. Molte innovazioni tecnologiche si basano sulle proprietà di propagazione di queste onde. In questo esperimento dovrai studiare la propagazione delle onde radio nell’acqua, nell’aria e nelle guide d’onda.

Strumenti

Una sorgente di onde radio monocromatiche in un alloggiamento stagno contrassegnato con “A” nella Figura 1 (la frequenza varia nell’intervallo da 200 MHz a 5 GHz); la posizione della sorgente nel recipiente è mostrata con una linea tratteggiata. Essa è abbinata ad un ricevitore “B” che misura la potenza dell’onda elettromagnetica ricevuta $P$ e mostra il risultato in decibel: $lettura in dBm = 10 lo g_{10} (\frac{P}{1 mW})$ . Il ricevitore fa una lettura ogni 15 secondi. La posizione del sensore è contrassegnata sul dispositivo da un triangolo rosso. NB! Il ricevitore non è impermeabile! L’alloggiamento dell’emettitore è impermeabile e sigillato e non devi aprirlo!
Una serie di tubi metallici “C” di vari diametri (diametri interni $d_{1} = 41 mm$ , $d_{2} = 46 mm$ , $d_{3} = 59 mm$ , $d_{4} = 100 mm$ ).
Un tubo di plastica “D” che ha un’estremità sigillata con un tappo.
Una scatola di plastica “E” con fondo piatto. Lo sfasamento di onde radio che passano attraverso le pareti della scatola è sufficientemente piccolo da poter essere trascurato.
Un rotolo di alluminio “F”.
Quattro pezzi di polistirolo “G” con cui è possibile costruire un supporto schermato (screening holder) per l’emettitore seguendo quanto suggerito in Figura 2.
Un righello “H”.
Un secchio di plastica con acqua “I”, una brocca “J”, un bicchiere di plastica “K” e tessuti “L”.
Una corda sottile “M”, una clip “N”, un rotolo di nastro “O”, elastici “P” e un’asta di legno “Q”.

Il tuo emettitore è associato al tuo ricevitore e il ricevitore elimina il segnale di tutti gli altri emettitori. Però, ricorda che le onde radio sono riflesse da tutti gli oggetti nella stanza, compreso il corpo umano, dando luogo a interferenza di onde. Per esempio avvicinando la mano al ricevitore o spostandoti puoi influenzare la lettura del ricevitore. La potenza ricevuta dipende anche dall’orientamento del ricevitore e dell’emettitore. Fa’ attenzione alla schermatura fatta con il foglio di alluminio: anche piccoli fori o fessure (ad esempio tra il foglio e la scatola nella Figura 2) potrebbero causare perdite di segnale.

I compiti dall’1 al 4 sono indipendenti e possono essere eseguiti in ordine arbitrario. Disegna tutti i montaggi dell’apparecchiatura usata, metti in evidenza eventuali dettagli importanti del montaggio, annota tutte le formule usate, annotando in tabelle tutti i dati misurati, e disegnando dei grafici laddove appropriato. Non c’è bisogno di stimare le incertezze di misura, ma cerca di eseguire le misurazioni nella maniera più precisa possibile.

Attività 1. Sensibilità del ricevitore (1 p)

Qual è la più bassa potenza ricevuta misurabile (in mW)?

Emettitore A e ricevitore B, montaggio sperimentale

Supporto schermato con polistirolo Fig. 2

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning Objects: Tube, Container Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Propagation of radio waves

Electromagnetic waves play an important role in our lives. Many technological advances are built on the propagating properties of these waves. In this experiment you are to study the propagation of radio waves in water, in air and in waveguides.

Tools.

Emitter of monochromatic radio waves in a waterproof housing (the frequency is in the range from 200 MHz to 5 GHz) marked with label “A” in Figure 1; the wave source position is shown as a dashed line in the figure. It is paired with a receiver “B” which measures the received electromagnetic wave power $P$ and shows the result in decibels: $reading in decibels = 10 lo g_{10} (\frac{P}{1 mW})$ . The receiver takes a reading every 15 seconds. The sensor position is marked with a red triangle on the device. NB! The receiver is not waterproof! The emitter housing is waterproof and sealed, and you must not open it!
A set of metallic tubes “C” of various diameters (inner diameters $d_{1} = 41 mm$ , $d_{2} = 46 mm$ , $d_{3} = 59 mm$ , $d_{4} = 100 mm$ ).
A plastic tube “D” which has one end sealed with a cap.
A plastic box “E” with a flat bottom. The phase shift of radio waves passing through the walls of the box can be assumed to be negligibly small.
A roll of aluminium foil “F”.
Four pieces of foam “G” from which you can build a screening holder for the emitter as shown in Figure 2.
A ruler “H”.
A plastic bucket with water “I”, a jug “J”, a plastic cup “K”, and tissues “L”.
A thin rope “M”, a clip “N”, a roll of tape “O”, rubber bands “P” and a wooden rod “Q”.

Your emitter is paired with your receiver, and the receiver filters out the signal of all the other emitters. However, you should keep in mind that the radio waves are reflected from all the objects in the room, including human bodies, giving rise to interference of waves. So, bringing your hand near to the receiver or moving your body may affect the reading of the receiver. The received power depends also on the orientations of the receiver and the emitter. Be careful with shielding made from aluminum foil: even tiny holes and gaps (e.g. between the foil and the box in Figure 2) may cause leakage of waves.

The tasks 1–4 are independent and can be done in arbitrary order. Sketch all the experimental setups used, emphasize important design details, write down all the used formulae, tabulate all the measured data, and make graphs where appropriate. There is no need to estimate uncertainties, but try to perform measurements as precise as possible.

Task 1. Sensitivity of receiver (1 p)

What is the lowest measurable received power (in mW)?

Figure 1: emitter A and receiver B

Figure 2: screening holder for the emitter

Attività 2. Lunghezza d’onda in acqua (6 p)

Determina la lunghezza d’onda delle onde radio nell’acqua. Puoi usare il montaggio mostrato in Fig. 2.

Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task 2. Wavelength in water (6 p)

Determine the wavelength of the radio waves in water. You may use the setup shown in Figure 2.

Attività 3. Attenuazione in acqua (3 p)

Nelle prossime attività studierai la propagazione di onde in tubi metallici riempiti con una sostanza (acqua o aria), nel qual caso

$E = E_{0} (r, ϕ) e^{- α z} e^{i (k z - ω t)}, (1)$

dove $E$ rappresenta il vettore campo elettrico, $α$ descrive l’attenuazione dovuta alla dissipazione nel mezzo (per l’acqua $α > 0$ , per l’aria $α = 0$ ), e abbiamo usato coordinate cilindriche $r, ϕ, z$ .

La funzione $E_{0} (r, ϕ)$ rappresenta un’onda stazionaria attraverso la sezione trasversale della guida d’onda. Differenti onde stazionarie nella sezione trasversale corrispondono a differenti modi di propagazione dell’onda nella guida d’onda. La relazione di dispersione per le onde in una guida d’onda è data da

$ω^{2} = (k_{⋆}^{2} + k^{2}) c^{2}, (2)$

dove $c$ è la velocità della luce nel mezzo che riempie la guida d’onda, e $k_{⋆}$ è una costante positiva che dipende solo dal diametro del tubo e dal modo di propagazione. Nell’esperimento tieni conto solo del modo di propagazione con il più piccolo valore di $k_{⋆}$ , ignorando tutti gli altri modi di propagazione. Presta attenzione al fatto che un’onda può propagarsi lungo la guida d’onda senza attenuazione (con un vettore d’onda $k$ che, in tal caso, assume un valore reale) solo se la frequenza di oscillazione è abbastanza alta, $ω \geq c k_{⋆}$ . Le equazioni (1) e (2) restano valide per le frequenze più basse che rendono puramente immaginario $k$ , $k = i μ$ , il quale corrisponde a un modo di propagazione smorzato (evanescente).

Determina il coefficiente di attenuazione in acqua. Suggerimento: le onde radio possono propagarsi lungo il tubo di plastica quando è pieno d’acqua e avvolto strettamente con un foglio di alluminio; utilizzare il nastro adesivo per evitare che il tubo cada.

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task 3. Attenuation in water (3 p)

In the following tasks you will study the propagation of waves in metallic tubes filled with medium (water or air) in which case

$E = E_{0} (r, ϕ) e^{- α z} e^{i (k z - ω t)}, (1)$

where $E$ stands for the electric field vector, $α$ describes the attenuation due to dissipation in the medium (for water $α > 0$ , for air $α = 0$ ), and we have used cylindrical coordinates $r, ϕ, z$ .

The function $E_{0} (r, ϕ)$ represents a standing wave across the cross-section of the waveguide. Different standing waves in the cross-section correspond to different propagation modes of the wave in the waveguide. The dispersion relation for the waves in a waveguide is given by

$ω^{2} = (k_{⋆}^{2} + k^{2}) c^{2}, (2)$

where $c$ is the speed of light in the medium filling the waveguide, and $k_{⋆}$ is a positive constant depending only on the diameter of the tube and on the propagation mode. In your experiment, all the other propagation modes except for the mode with the smallest value of $k_{⋆}$ can be ignored. Pay attention to the fact that a wave can propagate along the waveguide without attenuation (with a real-valued wave vector $k$ ) only if the oscillation frequency is high enough, $ω \geq c k_{⋆}$ . Equations (1) and (2) remain valid for lower frequencies yielding purely imaginary $k = i μ$ which corresponds to a decaying (evanescent) mode.

Determine the attenuation coefficient $α$ in water.

Hint: the radio waves can propagate along the plastic tube when it is filled with water and wrapped tightly with aluminium foil; use tape to prevent the tube from falling over.

Attività 4a. Modi di propagazione smorzati in guide d’onda riempite d’aria (2 p)

Metti l’emettitore nel tubo di alluminio del diametro $d_{1} = 46 mm$ e studia come la potenza $P$ delle onde ricevute dal ricevitore all’uscita del tubo dipende dalla distanza $z$ dell’emettitore dalla stessa uscita del tubo. Dalla misura di $P$ in funzione di $z$ determina il valore del parametro $μ$ del modo di propagazione smorzato.

(Così nel testo ufficiale: nell’elenco degli strumenti, 46 mm è il diametro $d_{2}$ .)

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task 4a. Decaying modes in air-filled waveguides (2 p)

Put the emitter into the aluminium tube of diameter $d_{1} = 46 mm$ and study how the power $P$ of the waves received by the receiver at the outlet of the tube depends on the distance $z$ of the emitter from the outlet of the tube. From the measurement of $P$ as a function of $z$ determine the value of the parameter $μ$ of the decaying mode.

(As in the official text: in the list of tools, 46 mm is the diameter $d_{2}$ .)

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Attività 4b. (5 p)

Esegui una serie di misurazioni per determinare in che modo il parametro $μ$ dipende dal diametro $d$ del tubo. Ipotizza una dipendenza funzionale tra questi parametri e verificala sperimentalmente.

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task 4b. (5 p)

Perform a series of measurements to determine how the parameter $μ$ depends on the diameter $d$ of the tube. Suggest a functional dependence between these parameters and verify your hypothesis experimentally.

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Attività 5. Lunghezza d’onda in aria e indice di rifrazione dell’acqua (3 p)

Determina la lunghezza d’onda di queste onde radio in aria e calcola l’indice di rifrazione dell’acqua per le onde radio.

Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Superposition Principle Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task 5. Wavelength in air and refractive index of water (3 p)

Determine the wavelength of these radio waves in air and calculate the refractive index of water for the radio waves.

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