EuPhO 2019 — Teorica

Granuli di ghiaccio

Un fenomeno meteorologico interessante può verificarsi quando il profilo della temperatura nell’atmosfera mostra un’inversione. La linea blu continua in figura 1 mostra tale profilo di temperatura. L’inversione avviene ad altezze tra 1 km e 2 km.

In queste condizioni la neve cadendo nell’atmosfera si scioglie (parzialmente) quando attraversa lo strato più caldo e si congela (parzialmente) di nuovo prima di raggiungere il suolo sotto forma di “granuli di ghiaccio”.

Supponiamo che una piccola goccia sferica di ghiaccio si sciolga quasi completamente mentre cade attraverso lo strato atmosferico tra $h_A$ e $h_B$ in cui la temperatura è sopra il punto di congelamento.

a. Determina la frazione di massa della goccia che si congela prima di raggiungere il suolo.

b. Trova, nel modo più preciso possibile, la temperatura della goccia al livello del suolo se non ci fosse l’inversione e se il profilo della temperatura seguisse la linea tratteggiata rappresentata in figura sotto la quota di 2 km.

Si possono trascurare l’evaporazione, la condensazione e le variazioni di dimensioni della goccia. Si suppone inoltre che l’acqua e il ghiaccio abbiano una conducibilità termica molto grande e che la densità dell’atmosfera sia costante con l’altezza.

Utilizza $c_{\text{acqua}}=4.2{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ per il calore specifico dell’acqua e $c_{\text{ghiaccio}}=2.1{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ per quello del ghiaccio. Il calore latente di fusione del ghiaccio è $L=334{\text{kJkg}}^{-1}$.

Temperatura atmosferica T vs altezza h

Forma del getto d’acqua in un dato istante

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

1 Ice pellets

An interesting weather phenomenon can occur when the temperature profile in the atmosphere shows an inversion. The solid blue line in figure 1 shows such a temperature profile. The inversion occurs at heights between 1 km and 2 km.

Under these conditions snow falling through the atmosphere (partially) melts in the warmer layer and (partially) freezes again before reaching the ground in the form of “ice pellets”.

Figure 1: Atmospheric temperature T vs. height h above the ground

Assume that a small, spherical ice droplet almost completely melts while falling through the atmospheric layer between $h_A$ and $h_B$ where the temperature is above freezing point.

a. Determine the mass fraction of the droplet that freezes before reaching the ground.

b. Find, as precisely as possible, the temperature of the droplet at ground level if there were no inversion and the temperature profile followed the dashed line below a height of 2 km.

Neglect evaporation, condensation and size changes of the droplet. Assume that water and ice have very high thermal conductivity and that the density of the atmosphere is constant with height.

Use $c_{\text{water}}=4.2{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ for the specific heat of water and $c_{\text{ice}}=2.1{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ for that of ice. The specific latent heat for the melting of ice is $L=334{\text{kJkg}}^{-1}$.

Figure 2: Shape of the water stream at a certain moment in time (problem 3)

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Moto di una sfera carica

Una sfera solida, omogenea, di massa $m$ e raggio $R$, di materiale isolante, ha una carica $Q$ distribuita uniformemente in tutto il suo volume. La sfera viene posta su una grande superficie orizzontale e viene messa in rotazione senza scivolare in modo tale che il suo centro inizia a muoversi con velocità orizzontale $v_0$. C’è un campo magnetico uniforme di intensità $B$ perpendicolare alla superficie. Il coefficiente di attrito statico è grande abbastanza da impedire alla sfera di scivolare sulla superficie. Il momento di inerzia della sfera rispetto ad un asse passante per il suo centro è $\frac{2m{R}^2}{5}$.

Descrivi il moto del centro della sfera e la forma della sua traiettoria.

Suggerimento: A seconda del tuo modo di affrontare il problema può servirti la seguente identità: $\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b})$ valida per qualunque vettore $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$.

Topic: Electromagnetism, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

2 Motion of a charged ball

A solid, homogeneous spherical ball of mass $m$ and radius $R$ is made of insulating material and has charge $Q$ distributed uniformly throughout its volume. The ball is placed on a large horizontal surface, and set in rolling motion without slipping in such a way that its center starts to move with initial horizontal velocity $v_0$. There is a uniform magnetic field (flux density) of magnitude $B$ perpendicular to the surface. The coefficient of static friction is large enough to prevent the ball from slipping on the surface. The moment of inertia of the ball about an axis through its center is $\frac{2m{R}^2}{5}$.

Describe the motion of the center of the ball and the shape of its trajectory.

Hint: Depending on your approach you may use the following identity:

$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b})$

valid for any three vectors $\vec{a}$, $\vec{b}$ and $\vec{c}$.

Topic: Electromagnetism, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una manichetta d’acqua

Un getto d’acqua esce dall’ugello di una manichetta con una velocità costante $v$. Un bambino gioca con il tubo inclinandolo a caso in un piano verticale $x$-$y$ fisso. L’ugello è mantenuto nella posizione $x=y=0\text{m}$, e l’angolo tra l’asse dell’ugello e il piano orizzontale non è mai inferiore a $45°$. Ad ogni istante, il getto d’acqua nell’aria ha una forma irregolare. La forma in un certo istante è mostrata in figura 2.

Usando questa figura, determina la velocità d’uscita $v$ dell’acqua se l’accelerazione di gravità vale $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

3 Water hose

A stream of water exits from the nozzle of a hose with a constant unknown speed $v$. A child plays with the hose by rotating it randomly in a fixed vertical $x$-$y$ plane. The nozzle is kept at $x=y=0\text{m}$, and the angle between the nozzle’s axis and the horizon is never less than $45°$. At each moment in time, the stream in the air has an irregular shape. The shape at one instant is shown in the figure below (Figure 2).

Using this figure, determine the exit speed $v$ if the free fall acceleration is $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)