OII na Teorica

Granuli di ghiaccio

Un fenomeno meteorologico interessante può verificarsi quando il profilo della temperatura nell’atmosfera mostra un’inversione. La linea blu continua in figura 1 mostra tale profilo di temperatura. L’inversione avviene ad altezze tra 1 km e 2 km.

In queste condizioni la neve cadendo nell’atmosfera si scioglie (parzialmente) quando attraversa lo strato più caldo e si congela (parzialmente) di nuovo prima di raggiungere il suolo sotto forma di “granuli di ghiaccio”.

Supponiamo che una piccola goccia sferica di ghiaccio si sciolga quasi completamente mentre cade attraverso lo strato atmosferico tra $h_A$ e $h_B$ in cui la temperatura è sopra il punto di congelamento.

a. Determina la frazione di massa della goccia che si congela prima di raggiungere il suolo.

b. Trova, nel modo più preciso possibile, la temperatura della goccia al livello del suolo se non ci fosse l’inversione e se il profilo della temperatura seguisse la linea tratteggiata rappresentata in figura sotto la quota di 2 km.

Si possono trascurare l’evaporazione, la condensazione e le variazioni di dimensioni della goccia. Si suppone inoltre che l’acqua e il ghiaccio abbiano una conducibilità termica molto grande e che la densità dell’atmosfera sia costante con l’altezza.

Utilizza $c_{\text{acqua}}=4.2{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ per il calore specifico dell’acqua e $c_{\text{ghiaccio}}=2.1{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ per quello del ghiaccio. Il calore latente di fusione del ghiaccio è $L=334{\text{kJkg}}^{-1}$.

Temperatura atmosferica T vs altezza h

Forma del getto d’acqua in un dato istante

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following table shows the results of the calculation of the total quantity of the product:

An interesting weather phenomenon can occur when the temperature profile in the atmosphere shows an inversion. The blue line continues in Figure 1 to show this temperature profile. The inversion takes place at altitudes between 1 km and 2 km.

Under these conditions, snow falling into the atmosphere melts (partially) when it crosses the warmer layer and freezes (partially) again before reaching the ground in the form of “ice pellets”.

Suppose a small spherical ice drop melts almost completely as it falls through the atmosphere between $h_A$ and $h_B$ where the temperature is above freezing point.

a. Determine the fraction of mass of the drop that freezes before reaching the ground.

b. Find, as accurately as possible, the temperature of the drop at ground level if there is no reversal and if the temperature profile follows the drawn line shown below the 2 km height.

Evaporation, condensation and variations in the size of the drop can be overlooked. It is also assumed that water and ice have a very high thermal conductivity and that the density of the atmosphere is constant with altitude.

Use $c_{\text{acqua}}=4.2{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ for specific water heat and $c_{\text{ghiaccio}}=2.1{\text{kJkg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ for ice heat. The latent heat of ice melting is $L=334{\text{kJkg}}^{-1}$.

The following conditions are met:

Form of water drop at a given instant

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Moto di una sfera carica

Una sfera solida, omogenea, di massa $m$ e raggio $R$, di materiale isolante, ha una carica $Q$ distribuita uniformemente in tutto il suo volume. La sfera viene posta su una grande superficie orizzontale e viene messa in rotazione senza scivolare in modo tale che il suo centro inizia a muoversi con velocità orizzontale $v_0$. C’è un campo magnetico uniforme di intensità $B$ perpendicolare alla superficie. Il coefficiente di attrito statico è grande abbastanza da impedire alla sfera di scivolare sulla superficie. Il momento di inerzia della sfera rispetto ad un asse passante per il suo centro è $\frac{2m{R}^2}{5}$.

Descrivi il moto del centro della sfera e la forma della sua traiettoria.

Suggerimento: A seconda del tuo modo di affrontare il problema può servirti la seguente identità: $\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b})$ valida per qualunque vettore $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$.

Topic: Electromagnetism, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Motion of a charged sphere

A solid, homogeneous sphere of $m$ mass and $R$ radius, of insulating material, has a charge of $Q$ uniformly distributed throughout its volume. The sphere is placed on a large horizontal surface and rotated without slipping so that its center begins to move at a horizontal speed $v_0$. There is a uniform magnetic field of $B$ perpendicular to the surface. The static friction coefficient is large enough to prevent the sphere from sliding over the surface. The moment of inertia of the sphere with respect to an axis passing through its centre is $\frac{2m{R}^2}{5}$.

Describe the motion of the center of the sphere and the shape of its trajectory.

Suggest: Depending on how you approach the problem, you may need the following identity: $\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b})$ valida per qualunque vettore $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$.

Topic: Electromagnetism, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una manichetta d’acqua

Un getto d’acqua esce dall’ugello di una manichetta con una velocità costante $v$. Un bambino gioca con il tubo inclinandolo a caso in un piano verticale $x$-$y$ fisso. L’ugello è mantenuto nella posizione $x=y=0\text{m}$, e l’angolo tra l’asse dell’ugello e il piano orizzontale non è mai inferiore a $45°$. Ad ogni istante, il getto d’acqua nell’aria ha una forma irregolare. La forma in un certo istante è mostrata in figura 2.

Usando questa figura, determina la velocità d’uscita $v$ dell’acqua se l’accelerazione di gravità vale $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A water sleeve

A drop of water is coming out of a sleeve nozzle at a constant speed $v$. Un bambino gioca con il tubo inclinandolo a caso in un piano verticale $x$-$y$ fisso. The nozzle shall be kept in the position $x=y=0\text{m}$ and the angle between the nozzle axis and the horizontal plane shall never be less than $45°$. At any moment, the water drop in the air has an irregular shape. The shape at a given moment is shown in Figure 2.

Using this figure, determine the water output speed $v$ if the gravitational acceleration is $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Physical Reasoning Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)