EuPhO 2023 — Teorica

Problemi teorici. Lingua: Italiano

T1: Lenti termiche (10 punti)

Quando un raggio laser intenso cade su una lastra semitrasparente, la luce trasmessa può focalizzarsi automaticamente (da sola) in un punto dietro la lastra a causa del riscaldamento disomogeneo del materiale. Questo effetto, noto come ”thermal lensing”, si osserva nei materiali il cui indice di rifrazione aumenta con la temperatura e che sono caratterizzati da un coefficiente termo-ottico positivo $\gamma =\frac{dn}{dT}$.

Un disco semitrasparente di raggio $a=15.0\text{mm}$, spessore $b=0.2\text{mm}$ e coefficiente di assorbimento ottico $A=0.1$ è fatto con un materiale che ha conduttività termica $k=0.3\text{W}{\text{m}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ e coefficiente termoottico $\gamma =2.5\cdot 10^{-4}{\text{K}}^{-1}$.

Il bordo esterno del disco è collegato termicamente a un supporto metallico circolare (non mostrato nella figura) mantenuto a temperatura costante $T_h=20{}^{\circ }\text{C}$. Un fascio laser parallelo di raggio $\sigma =0.5\text{mm}$ e potenza $P_L=20\text{mW}$ incide normalmente sul centro del disco. La distribuzione di intensità è omogenea su tutta la sezione del fascio.

a) (2 punti) Disegnare un grafico qualitativo del profilo di temperatura $T(r)$, dove $r$ indica la distanza dall’asse del fascio. Riportare chiaramente sul grafico la regione illuminata $0\le r\le \sigma$ e la regione esterna $\sigma \le r\le a$.

b) (4 punti) Nei punti prossimi al centro del disco, il profilo di temperatura può essere rappresentato da una funzione quadratica $T(r)=T_c+m{r}^2$. Calcolare i parametri $T_c$ ed $m$.

c) (4 punti) Mostrare che il fascio è focalizzato in un punto e trovare la distanza $f$ di questo punto dal disco. Se non riesci a trovare $T_c$ ed $m$ in b) puoi lasciali indicati come parametri nella risposta finale.

Non considerare la dilatazione termica del disco. Trascura la radiazione termica e lo scambio di calore tra il disco e l’aria circostante. Supponi che l’indice di rifrazione dell’aria sia $n_{\text{air}}=1$.

T2: Mattone tra due piani (10 punti)

Un piccolo mattone viene schiacciato tra due piani paralleli in assenza di forza peso. I piani sono perpendicolari all’asse $z$. Il piano inferiore si muove con velocità costante $u_1$ lungo l’asse $x$, mentre quello superiore si muove con velocità costante $u_2$ lungo l’asse $y$.

Inizialmente il mattone è a riposo. Il coefficiente di attrito dinamico tra il mattone e ciascun piano è identico.

a) (4 punti) Trovare la velocità del mattone $v_{\infty }$ nella condizione $u_1=u_2$ dopo un lungo periodo di tempo.

b) (6 punti) Trovare la velocità del mattone $v_{\infty }$ dopo un lungo periodo di tempo per $u_1\ne u_2$.

T3: Piastra tra i magneti (10 punti)

Due magneti identici, lunghi e cilindrici, di raggio $R$, sono vicini tra loro e condividono lo stesso asse di simmetria verticale. La polarità dei due magneti è la stessa. Di conseguenza, il campo magnetico nell’intercapedine tra i magneti è diretto verso la direzione $+z$ (vedi figura) e uniforme con densità di flusso $B$. Il campo magnetico all’esterno della fessura è nullo. Una piastra metallica non magnetica di grandi dimensioni viene collocata nel traferro e spostata con velocità orizzontale costante $v$ in direzione $+y$. Lo spessore della lastra è $\delta$, la resistività del metallo è $\varrho$.

a) (3 punti) Disegnare la forma delle linee di corrente nella piastra metallica in un dato istante. Indicare gli assi sul vostro schizzo.

b) (5 punti) Trovare e tracciare la densità di corrente all’interno della piastra lungo una linea parallela all’asse $y$ che interseca l’asse di simmetria dei magneti.

c) (2 punti) Trovare la forza orizzontale necessaria per spostare la piastra.

p.1 — Fascio laser attraverso disco semitrasparente

p.1 — Mattone tra due piani in moto

p.1 — Magneti cilindrici con piastra metallica

Topic: Thermodynamics, Geometric Optics, Newtonian Mechanics, Electromagnetic Induction Metodi: Differential Equations, Snell’s Law, Thin Lens & Mirror Equation, Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Faraday’s Law of Induction, Lorentz Force Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Disk, Lens, Block, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T1: Thermal lens (10 pts)

When an intense laser beam falls onto a semitransparent plate, the transmitted light can self-focus to a point behind the plate due to the inhomogeneous heating of the material. This effect, known as thermal lensing, is observed in materials whose index of refraction increases with temperature, characterized by a positive thermo-optic coefficient $\gamma =\frac{dn}{dT}$.

A semitransparent disk with radius $a=15.0\text{mm}$, thickness $b=0.2\text{mm}$ and optical absorption coefficient $A=0.1$ is composed of a material having thermal conductivity $k=0.3\text{W}{\text{m}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ and thermo-optic coefficient $\gamma =2.5\cdot 10^{-4}{\text{K}}^{-1}$. The outer rim of the disk is thermally connected to a circular metallic holder (not shown in the figure) maintained at a constant temperature $T_h=20{}^{\circ }\text{C}$. A parallel laser beam of radius $\sigma =0.5\text{mm}$ and power $P_L=20\text{mW}$ is incident normally onto the center of the disk. The intensity distribution is homogeneous across the cross-section of the beam.

a) (2 pts) Sketch a qualitative graph of the temperature profile $T(r)$, where $r$ denotes the distance from the axis of the beam. Indicate clearly on the graph the illuminated region $0\le r\le \sigma$ and the outer region $\sigma \le r\le a$.

b) (4 pts) In the vicinity of the center of the disk, the temperature profile can be represented by a quadratic function $T(r)=T_c+m{r}^2$. Calculate the parameters $T_c$ and $m$.

c) (4 pts) Show that the beam is focused in one point and find the distance $f$ from this point to the disk. If you failed to obtain $T_c$ and $m$ in part b), you may use them as parameters in your final answer.

Do not consider the thermal expansion of the disk. Neglect the thermal radiation and the heat exchange between the disk and the surrounding air. Assume that the index of refraction of air is $n_{\text{air}}=1$.

Thermal lens: laser beam focused by the heated disk

T2: Brick between two planes (10 pts)

A small brick is squeezed between two parallel planes in zero gravity. The planes are perpendicular to the $z$-axis. The lower plane is moving with constant velocity $u_1$ along the $x$-axis, whilst the upper one is moving with constant velocity $u_2$ along the $y$-axis.

Initially, the brick is at rest. The coefficient of kinetic friction between the brick and each plane is identical.

a) (4 pts) Find the speed of the brick $v_{\infty }$ after a long time for $u_1=u_2$.

b) (6 pts) Find the speed of the brick $v_{\infty }$ after a long time for $u_1\ne u_2$.

Brick between two moving planes

T3: Plate between magnets (10 pts)

Two identical long, cylindrical rod magnets of radius $R$ are close to each other and share the same vertical symmetry axis. The polarity of the two magnets is the same. As a result, the magnetic field in the air gap between the magnets is directed towards the $+z$ direction (see figure) and uniform with flux density $B$. The magnetic field outside the gap is zero. A horizontal large non-magnetic metal plate is placed in the air gap and moved with constant horizontal velocity $v$ in $+y$-direction. The thickness of the plate is $\delta$, the resistivity of the metal is $\varrho$.

a) (3 pts) Sketch the shape of current streamlines in the metal plate at a given time. Indicate the axes on your sketch.

b) (5 pts) Find and plot the current density inside the plate along a line parallel to the $y$ axis intersecting the symmetry axis of the magnets.

c) (2 pts) Find the horizontal force required to move the plate.

Metal plate moving between two cylindrical magnets

Topic: Thermodynamics, Geometric Optics, Newtonian Mechanics, Electromagnetic Induction Metodi: Differential Equations, Snell’s Law, Thin Lens & Mirror Equation, Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Faraday’s Law of Induction, Lorentz Force Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Disk, Lens, Block, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)