EuPhO 2020 — Teorica

T1: Solenoide e anello

Un anello circolare chiuso di raggio $r$ è formato da una batteria ideale di forza elettromotrice $E$ e da un filo di resistenza $R$ . Un solenoide a nucleo d’aria, lungo e sottile, è allineato con l’asse dell’anello (asse $z$ ). La sua lunghezza è $l ≫ r$ , l’area della sezione trasversale è $A$ ( $A ≪ r$ ) e il numero di spire è $N$ . Nel solenoide circola una corrente costante $I$ fornita da un generatore ideale di corrente. Le direzioni delle correnti nel solenoide e nell’anello sono le stesse (in senso orario nella figura).

a. Trovare la forza $F_{1}$ che agisce sul solenoide quando la sua testa $O_{1}$ è posizionata nel centro $O$ dell’anello. Qual è la forza $F_{2}$ che agisce sul solenoide quando la sua estremità inferiore $O_{2}$ si trova al centro dell’anello?

b. Si supponga ora che il solenoide si muova lentamente con una velocità costante $v$ lungo l’asse $z$ partendo da una posizione molto distante dall’anello, oltrepassando il suo centro e procedendo ulteriormente a destra in direzione positiva $z$ . Tracciare un grafico della corrente $J$ che scorre nell’anello in funzione del tempo. Evidenziare nel grafico caratteristiche e valori importanti. La velocità $v$ è così piccola che è possibile trascurare l’autoinduzione dell’anello.

Solenoide allineato con asse anello

Schema ottico lampada lente fotocamera foglio

Grafico log10 intensità vs coordinata pixel

Topic: Electromagnetic Induction, Electromagnetism Metodi: Faraday’s Law of Induction, Ampère’s Law, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Solenoid, Wire, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T1: Solenoid and loop

A closed circular loop of radius $r$ consists of an ideal battery of electromotive force $E$ and a wire of resistance $R$ . A long thin air-core solenoid is aligned with the axis of the loop ( $z$ -axis). Its length is $ℓ ≫ r$ , cross-sectional area is $A$ ( $A ≪ r$ ), and the number of turns is $N$ . The solenoid is powered by a constant current $I$ provided by an ideal current source. The directions of the currents in the solenoid and in the loop are the same (clockwise in the figure).

a. Find the force $F_{1}$ acting on the solenoid when its head $O_{1}$ is positioned in the loop centre $O$ . What is the force $F_{2}$ acting on the solenoid when its tail $O_{2}$ is located in the centre of the loop?

b. Suppose now, that the solenoid is moving slowly with a constant velocity $v$ along $z$ -axis starting far away from the loop, going past its centre, and proceeding further to the right in positive $z$ -direction. Plot the current $J$ flowing in the loop as a function of time. Highlight important features and values on the graph. The velocity $v$ is so small that self inductance of the loop can be neglected.

Solenoid aligned with the axis of the loop

Cat eyes model: lamp, lens, sheet of paper and camera

log10 of the light intensity versus pixel coordinate x

T2: Acceleratore meccanico

Un filo senza massa è avvolto per $N$ giri intorno a un cilindro fissato staticamente, come indicato in figura. Inizialmente, le estremità libere del filo (cioè le parti del filo non arrotolate intorno al cilindro) sono parallele all’asse $X$ . Successivamente un corpo puntiforme $P$ dotato di massa viene attaccato a un’estremità del filo, mentre l’altra estremità viene tirata a velocità costante $u$ lungo $X$ . Calcolare la velocità massima raggiunta dal punto materiale pesante.

Il filo è inestensibile e flessibile. Si supponga che le spire dell’avvolgimento siano avvolte molto vicine una all’altra e siano in pratica posizionate sullo stesso piano, perpendicolare all’asse del cilindro. Si trascuri ogni attrito nel sistema e non si consideri la forza di gravità.

Filo avvolto intorno al cilindro

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Conservation of Energy, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: String, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T2: Mechanical accelerator

A massless thread makes $N$ turns around statically fixed cylinder, as shown in the figure. Initially, the free (unwound) ends of the thread are parallel to the axis $X$ . Then, a heavy point-like object $P$ is attached to one end of the thread while the other end is pulled with a constant velocity $u$ along $X$ . Find the maximum velocity attained by the heavy object.

The thread is inextendable and flexible. Suppose that the turns of the thread are wound tightly to one another and are placed practically in the same plane, perpendicular to the cylinder axis. Neglect any friction in the system. Do not consider the force of gravity.

Thread wound around the cylinder

T3: Occhi di gatto

Si sarà notato che nell’oscurità, quando un gatto si trova nel raggio di luce di un proiettore, i suoi occhi appaiono molto luminosi. Questo fenomeno può essere modellizzato con un sistema ottico.

La lente del modello può essere considerata sottile e ideale di lunghezza focale $f = 55 mm$ e diametro $D = 39 mm$ . Il grafico mostra il logaritmo in base 10 dell’intensità luminosa (misurata come il numero di fotoni catturati da ciascun pixel) in funzione della coordinata $x$ , dove l’unità di misura è data dalla dimensione lineare di un pixel. La lente ha alcune caratteristiche non ideali: le riflessioni parziali dalle superfici della lente delle aree illuminate possono ridurre il contrasto (le aree scure viste attraverso la lente appaiono meno scure di quanto non siano in realtà); questo effetto può essere trascurato per la lente della fotocamera, ma non così per la lente utilizzata nel modello di occhio di gatto.

Sulla base dei dati forniti, stimare (con l’accuratezza di ca 20%) la distanza $h$ tra l’asse della fotocamera e l’asse della lampada (che può essere considerata come una sorgente puntiforme) se la distanza della macchina fotografica dal foglio di carta era $L = 4.8 m$ .

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Experimental Data Analysis, Ray Tracing Competenze: Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T3: Cat eyes

You may have noticed that in darkness, when a cat is within the light beam of a headlamp, its eyes appear very bright, see the photo below (left). This phenomenon can be modelled by a lens setup, see the photo on right, and the diagram beneath the photos.

The photo on right was taken by a digital single-lens reflex camera. The light intensity at the camera sensor pixels marked by a red line (in the photo) is shown in the graph below: the log base 10 of the light intensity (measured as the number of photons caught by each pixel) is plotted against the $x$ -coordinate, with the pixels’ side length serving as the unit length.

The lens modelling cat eyes can be treated as an ideal thin lens of focal length $f = 55 mm$ and diameter $D = 39 mm$ ; however, you should keep in mind that the given graph shows real measurement data, and the lens has certain non-ideal features. Most importantly, partial reflections of brightly lit areas from the lens surfaces may decrease the contrast: dark areas seen through the lens appear less dark than they actually are; this effect can be neglected for the camera lens, but not so for the lens serving as a model of a cat’s eye.

Based on the given data, estimate (with the accuracy of ca 20%) the distance $h$ between the axis of the camera and the axis of the lamp (which can be considered as a point source) if the distance of the camera from the paper sheet was $L = 4.8 m$ .

Raccolta Gare di Fisica

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