EuPhO 2021 — Teorica

T1: Una perdita

Un cilindro cavo isolato di altezza $2 H$ e volume $2 V$ è chiuso dal basso da un pistone isolante. Il cilindro è diviso in due camere, inizialmente identiche, da un diaframma isolante di massa $m$ . Il diaframma poggia su una sporgenza circolare munita di una guarnizione che rende stretto il loro contatto. Entrambe le camere sono riempite con elio gassoso alla pressione $p$ e alla temperatura $T$ . Viene applicata una forza al pistone, in modo che si muova lentamente verso l’alto.

a. Trova il volume della camera inferiore $V_{0}$ quando il gas inizia a fluire tra le camere.

b. Trova la temperatura $T_{1}$ nella camera superiore quando il pistone tocca il diaframma.

c. Trova la temperatura $T_{2}$ nella camera inferiore immediatamente prima che il pistone tocchi il diaframma.

Topic: Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T1: A leak

A hollow insulated cylinder of height $2 H$ and volume $2 V$ is closed from below by an insulating piston. The cylinder is divided into two initially identical chambers by an insulating diaphragm of mass $m$ . The diaphragm rests on a circular ledge and a gasket between them provides tight contact. Both chambers are filled with gaseous helium at pressure $p$ and temperature $T$ . A force is applied to the piston, so that it moves upwards slowly.

a. Find the volume of the lower chamber $V_{0}$ when the gas starts to leak between the chambers.

b. Find the temperature $T_{1}$ in the upper chamber when the piston touches the diaphragm.

c. Find the temperature $T_{2}$ in the lower chamber immediately before the piston touches the diaphragm.

T2: Un filo intorno ad un cilindro

Un’estremità di un filo è piegata a formare un anello di lunghezza $L > 2 π R$ , e un cilindro di raggio $R$ viene inserito nell’anello. Il coefficiente di attrito tra il filo e il cilindro è $μ$ . L’estremità libera del filo viene tirata parallelamente all’asse del cilindro (come mostrato dalla freccia nella foto) mantenendo fermo il cilindro.

Se la lunghezza dell’anello è maggiore di un valore critico, $L > L_{0}$ , l’anello può scorrere lungo il cilindro senza modificare la sua forma, altrimenti l’attrito lo “blocca” in un posizione e aumentando la forza di trazione si finirebbe per rompere il filo. Trova questo valore critico $L_{0}$ . Il peso del filo è da trascurare; il filo non si attorciglia quando viene tirato.

Potrebbe essere utile sapere che

$2 \int 1 + x^{2} d x = x 1 + x^{2} + arcsinh x,$

dove $arcsinh x \equiv ln (x + 1 + x^{2})$ .

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Calculus-Integration, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: String, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T2: Thread around a cylinder

One end of a thread is tied into a loop of length $L > 2 π R$ , and a cylinder of radius $R$ is put through the loop. The coefficient of friction between the thread and the cylinder is $μ$ . The free end of the thread is being pulled parallel to the axis of the cylinder (as shown by arrow in the photo) while keeping the cylinder at rest. If the length of the loop is longer than a critical value, $L > L_{0}$ , the loop can slide along the cylinder without changing its shape, otherwise the friction “locks” it into a place and increasing the pulling force would eventually just break the thread. Find this critical value $L_{0}$ . The weight of the thread is to be neglected; the thread will not twist when being pulled.

It might be useful to know that

$2 \int 1 + x^{2} d x = x 1 + x^{2} + arcsinh x,$

where $arcsinh x \equiv ln (x + 1 + x^{2})$ .

T3: Una sfera di vetro

La prima foto qui accanto è scattata con una fotocamera digitale e mostra una sfera di vetro, retroilluminata con luce bicromatica diffusa che ha solo due strette righe spettrali (rosso 630 nm e viola 400 nm). La luce diffusa proviene dal pavimento bianco (contrassegnato con “1” nella figura) e dalle pareti bianche (contrassegnate con “2”), entrambe illuminate con lampade a LED viola e rosse. Il sensore della fotocamera ha solo sensori sensibili al rosso, al blu e al verde, di conseguenza la luce viola appare nella foto come blu. La foto è scattata da una distanza molto maggiore del raggio della sfera.

Sul retro della sfera, un filo opaco molto sottile è incollato alla superficie di vetro, formando, sulla sfera, un arco di cerchio massimo. Nella foto il filo è coperto dalla sfera e non può essere osservato direttamente. Tuttavia, immagini estremamente deformate di un segmento molto corto del filo sono viste come ellissi blu (contrassegnate con “b”) e rosse (“r”). La lettera “p” indica le aree di colore porpora nella foto.

Nella prima foto, il centro della sfera è segnato con una croce, e il perimetro della sfera è tracciato con una linea tratteggiata. Puoi trovare una versione più grande della prima foto su un foglio a parte. Puoi effettuare le misurazioni delle lunghezze su questa immagine. Nella foto più grande è indicato, con una linea tratteggiata, anche il confine tra le regioni rossa e porpora.

La seconda foto è stata scattata mentre si illumina la scena con un LED bianco, con la sfera girata in modo che il filo possa essere visto direttamente.

a. Spiega qualitativamente, usando un diagramma dei raggi luminosi, perché un segmento del filo è visto come un anello chiuso nella prima foto.

b. Determina il coefficiente di rifrazione $n_{R}$ per la luce rossa.

c. Determina la differenza dei coefficienti di rifrazione $Δ n \equiv n_{V} - n_{R}$ per la luce viola e rossa (dove $n_{V}$ indica il coefficiente di rifrazione per la luce viola).

Glass sphere with bichromatic backlight, wire images

Sphere with wire visible under white LED

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Ray Tracing, Snell’s Law, Superposition Principle Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T3: Glass ball

The first photo here is taken with a digital camera and shows a glass ball, backlit with diffuse dichromatic light which has only two narrow spectral lines (red 630 nm and violet 400 nm). This diffuse light comes from the white floor (marked with ‘1’ in the figure) and the white walls (marked with ‘2’), both illuminated with violet and red LED lamps. The sensor of the camera has only red, blue and green sensors so that violet light appears in the photo as blue. The photo is taken from a distance much greater than the radius of the ball. On the back side of the ball, a very narrow opaque thread is glued to the glass surface, forming an arc of a great circle on the ball. In the photo, the thread is obstructed by the ball and cannot be seen directly. However, hugely deformed images of a very short segment of the thread are seen as blue (marked with ‘b’) and red (‘r’) ellipses. The letter ‘p’ indicates purple-coloured areas in the photo.

In the first photo, the centre of the ball is marked with a cross, and the perimeter of the ball is traced with a dashed line. You can find a larger version of the first photo on a separate sheet. You may take distance measurements there. In the larger photo, the boundary between the red and purple regions is also traced with a dashed line.

The second photo is taken while illuminating with a white LED with the ball turned so that the thread can be seen directly.

a. Explain qualitatively using a ray diagram why a segment of the thread is seen as a closed loop in the first photo.

b. Determine the coefficient of refraction $n_{R}$ for the red light.

c. Determine the difference of the coefficients of refraction $Δ n \equiv n_{V} - n_{R}$ for the red and violet light (with $n_{V}$ denoting the coefficient of refraction for the violet light).

Glass ball backlit with red and violet light (first photo)

Sphere with wire visible under white LED

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