EuPhO 2022 — Teorica

EuPhO-2022 Problemi teorici. Lingua: Italiano

T1: Cilindro galleggiante (10 pts)

Un cilindro solido e uniforme di altezza $h=10\text{cm}$ e area di base $s=100{\text{cm}}^2$ galleggia in un bicchiere cilindrico di altezza $H=20\text{cm}$ e area interna $S=102{\text{cm}}^2$ riempito con un liquido. Il rapporto tra la densità del cilindro e quella del liquido è $\gamma =0.70$. Il fondo del cilindro si trova alcuni centimetri sopra il fondo del bicchiere. Il cilindro viene fatto oscillare verticalmente, in modo che il suo asse coincida sempre con quello del bicchiere.

L’ampiezza delle oscillazioni del livello del liquido è $A=1\text{mm}$.

Trova il periodo delle oscillazioni $T$. Trascura la viscosità del liquido.

T2: Oscillazioni termiche (10 pts)

Un resistore è costituito da un materiale che subisce una transizione di fase in modo tale che la sua resistenza assuma uno dei due valori seguenti, $R_1$ se la sua temperatura è inferiore a $T_c$, e $R_2>R_1$ se la temperatura è maggiore di $T_c$.

Il resistore viene collegato a una sorgente di tensione attraverso un induttore di induttanza $L$. Se la tensione applicata $V$ è compresa tra due valori critici, $V_1<V<V_2$, la temperatura della resistenza inizia a oscillare. Si supponga che (i) il flusso di calore $P$ dal resistore al mezzo ambiente sia dato da $P=\alpha (T-T_0)$, dove $\alpha$ è una costante, $T$ indica la temperatura del resistore, e $T_0$ è la temperatura ambiente; (ii) la dimensione geometrica del resistore sia così piccola che esso raggiunge l’equilibrio termico molto più velocemente del tempo caratteristico $L/R_2$.

(a) (2 punti) Esprimi $V_1$ e $V_2$ in funzione dei parametri definiti sopra.

(b) (6 punti) Supponendo che $V_1<V<V_2$, rappresenta qualitativamente l’andamento della temperatura della resistenza $T$ in funzione del tempo $t$, e trova il rapporto $(T_{\text{max}}-T_0)/(T_{\text{min}}-T_0)$, dove $T_{\text{max}}$ e $T_{\text{min}}$ sono, rispettivamente, il massimo e il minimo valore di $T$.

(c) (2 punti) Nel caso in cui $V=\sqrt{V_1{V}_2}$ e $R_2=16R_1$, trova il periodo delle oscillazioni.

T3: Dipolo in a campo magnetico (10 pts)

Due palline ciascuna di massa $m$ e con carica rispettivamente $+q$ e $-q$, collegate da un’asta rigida priva di massa di lunghezza $d$, formano un dipolo. Il dipolo è parallelo al piano $XY$ ed è posto in un campo magnetico uniforme $\vec{B}$ perpendicolare a $XY$.

Inizialmente il dipolo è allineato con la direzione $X$ e ruota nel piano $XY$ con velocità angolare iniziale ${\omega }_0$, come mostrato. Il suo centro di massa è inizialmente situato nell’origine del sistema di riferimento e la velocità iniziale ${\vec{v}}_0$ è parallela a $XY$.

Considera tre situazioni distinte (a, b, c-d):

(a) (2 punti) Determina ${\omega }_0$ e la direzione e verso di ${\vec{v}}_0$, in modo che il centro di massa si muova con velocità costante $\vec{v}={\vec{v}}_0$.

(b) (3 punti) Data ${\omega }_0$, trova ${\vec{v}}_0$ (direzione, verso e intensità), in modo che il centro di massa descriva una traiettoria circolare. Trova il raggio della circonferenza $R_c$ e le coordinate $x_c,y_c$ del suo centro. Non è necessario dimostrare l’unicità della soluzione.

(c) (4 punti) Data ${\vec{v}}_0=0$, trova il valore minimo ${\omega }_0={\omega }_{\text{min}}$ necessario affinché il dipolo inverta il verso durante il movimento.

(d) (1 punto) Se il dipolo inizia il movimento con ${\vec{v}}_0=0$ e ${\omega }_0={\omega }_{\text{min}}$ trovato nella parte (c), la traiettoria del suo centro di massa ha un asintoto. Trova la distanza $D$ dall’origine all’asintoto.

Identità vettoriale utile:

$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b}),$

dove "$\times$" e "$\cdot$" rappresentano rispettivamente il prodotto vettoriale e il prodotto scalare.

p.1 — Dipolo con assi XY, velocita e campo B

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics, Magnetism Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Container, Resistor, Inductor, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T1: Floating cylinder (10 pts)

A solid, uniform cylinder of height $h=10\text{cm}$ and base area $s=100{\text{cm}}^2$ floats in a cylindrical beaker of height $H=20\text{cm}$ and inner bottom area $S=102{\text{cm}}^2$ filled with a liquid. The ratio between the density of the cylinder and that of the liquid is $\gamma =0.70$. The bottom of the cylinder is above the bottom of the beaker by a few centimeters. The cylinder is oscillating vertically, so that its axis always coincides with that of the beaker. The amplitude of the liquid level oscillations is $A=1\text{mm}$.

Find the period of the motion $T$. Neglect the viscosity of the liquid.

T2: Thermal oscillations (10 pts)

A resistor is made of a material which undergoes a phase transition so that its resistance takes one of the two values, $R_1$ if its temperature is smaller than $T_c$, and $R_2>R_1$ if the temperature is larger than $T_c$.

This resistor is connected to a voltage source through an inductor of inductance $L$. It appears that if the applied voltage $V$ is between two critical values, $V_1<V<V_2$, the temperature of the resistor starts oscillating. Assume that (i) the heat flux $P$ from the resistor to the ambient medium is given by $P=\alpha (T-T_0)$, where $\alpha$ is a constant, $T$ denotes the temperature of the resistor, and $T_0$ is the ambient temperature; (ii) the geometrical size of the resistor is so small that it will reach a thermal equilibrium much faster than the characteristic time $L/R_2$.

(a) (2 pts) Express $V_1$ and $V_2$ in terms of the other parameters defined above.

(b) (6 pts) Assuming that $V_1<V<V_2$, sketch qualitatively how the temperature of the resistor $T$ depends on time $t$, and find the ratio $(T_{\text{max}}-T_0)/(T_{\text{min}}-T_0)$, where $T_{\text{max}}$ and $T_{\text{min}}$ denote the maximal and minimal values of $T$, respectively.

(c) (2 pts) Find the period of oscillations if $V=\sqrt{V_1{V}_2}$ and $R_2=16R_1$.

T3: Dipole in a magnetic field (10 pts)

Two small balls of mass $m$ each with charges $+q$ and $-q$ respectively, connected by a rigid massless rod of length $d$, form a dipole. The dipole is parallel to plane $XY$ and is placed in a uniform magnetic field $\vec{B}$ perpendicular to $XY$.

Dipole in the XY plane with initial velocity and field B

Initially, the dipole is aligned with the direction $X$ and has initial angular velocity ${\omega }_0$ in plane $XY$, as shown. Its center of mass is initially located at origin and given initial velocity ${\vec{v}}_0$ parallel to $XY$, as well.

Consider three distinct scenarios (a, b, c-d):

(a) (2 pts) Find ${\omega }_0$ and the direction of ${\vec{v}}_0$, so that the center of mass will move with the constant velocity $\vec{v}={\vec{v}}_0$.

(b) (3 pts) Given ${\omega }_0$, find such ${\vec{v}}_0$ (direction and magnitude), so that the center of mass will travel in a circle. Find the circle radius $R_c$ and the coordinates $x_c,y_c$ of its center. You don’t need to prove the uniqueness of the solution.

(c) (4 pts) Given ${\vec{v}}_0=0$, find the minimal ${\omega }_0={\omega }_{\text{min}}$ necessary for the dipole to reverse its orientation during the motion.

(d) (1 pt) If the dipole starts with ${\vec{v}}_0=0$ and ${\omega }_0={\omega }_{\text{min}}$ found in part (c), the trajectory of its center of mass has an asymptote. Find the distance $D$ from the origin to the asymptote.

Useful vector identity:

$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b}),$

where "$\times$" and "$\cdot$" denote vector product and scalar product respectively.

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics, Magnetism Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Container, Resistor, Inductor, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)