EuPhO 2023 — Sperimentale

E1 — Pendolo Magnetico (10 punti)

La frequenza di oscillazione di un pendolo può essere modificata da forze magnetiche tra il pendolo e il suo supporto. In questo esperimento studierete il moto del pendolo in un potenziale dato alla somma di termini di campo gravitazionale e magnetico, utilizzando l’impostazione mostrata in Fig. 3.

Apparecchiatura (vedi anche Fig. 3)

• A: Corpo del pendolo con supporti puntiformi e specchio per la misurazione dell’angolo
• B: Sostegno del pendolo con placchette di plastica rigide per appoggiare il pendolo e un profilo laser per la misurazione dell’angolo
• C: Guide per il supporto di magneti esterni
• D: 2 piccoli dipoli magnetici da fissare al corpo del pendolo
• E: 2 altri dipoli magnetici esterni identici (neri)
• F: 2 magneti esterni incogniti F1, F2 (blu, F2 è contrassegnato con un punto bianco a un estremo)
• G: Schermo per visualizzare lo spot del laser per la misurazione dell’angolo
• H: Cronometro
• I: Nastro adesivo
• J: Matita e righello

Domanda E1.1 — Masse (1.0 punti)

La massa totale del corpo del pendolo con attaccati i piccoli dipoli magnetici è $M_{\text{pen}}+M_{\text{mag}}=(52.3\pm 0.2)\text{g}$. Misura sia $M_{\text{pen}}$ che $M_{\text{mag}}$ più accuratamente possibile.

Domanda E1.2 — Momenti di dipolo magnetico (4.0 punti)

Quando i magneti esterni sono posti vicino al pendolo magnetico, esso si muove in un potenziale dato dalla somma del campo gravitazionale e del campo magnetico. La frequenza del pendolo risultante, $\omega$, può essere scritta come una funzione della frequenza naturale ${\omega }_1$ e dello “spostamento della frequenza magnetica” ${\omega }_{\text{mag}}$:

${\omega }^2={\omega }_1^2\pm {\omega }_{\text{mag}}^2(1)$

Nel caso in cui i dipoli magnetici esterni neri siano posizionati simmetricamente alla distanza $d$ vicino alla posizione di equilibrio del pendolo (vedi Fig. 1) e l’ampiezza delle oscillazioni sia piccola, lo “spostamento della frequenza magnetica” è:

${\omega }_{\text{mag}}^2=\frac{6{\mu }_0}{I\pi }\cdot \frac{j_1\cdot j_2\cdot l^2}{d^5}(2)$

dove ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ è la permeabilità magnetica del vuoto, $I$ è il momento di inerzia del pendolo magnetico rispetto all’asse di rotazione, $j_1$ è il momento magnetico combinato dei magneti sul pendolo, $j_2$ è il momento magnetico di ogni dipolo esterno, e $l$ è la distanza dei magneti sul pendolo dall’asse di rotazione. Per la forza relativa dei momenti di dipolo si può ipotizzare $j_2=2.4\cdot j_1$. La gravità locale è $g=9.81{\text{m/s}}^2$.

a) Misurare le frequenze del pendolo per diverse distanze $d$ dei magneti, usando ampiezze di oscillazione molto piccole. Accertarsi di coprire tutto il range di frequenze accessibili.

b) Determinare la “magnetizzazione media” (momento magnetico per unità di massa) del materiale di cui sono fatti i magneti del pendolo e i dipoli magnetici esterni. Tracciare un grafico fatto bene dei dati per sostenere l’analisi.

Domanda E1.3 — I magneti esterni incogniti (3.0 punti)

Ciascuno dei due magneti esterni incogniti blu comprende diversi dipoli magnetici. I dipoli di F1 sono invertiti rispetto a quelli di F2. Lo spostamento di frequenza magnetica in una configurazione analoga a quella di Fig. 1 segue anch’esso una legge di potenza del tipo:

${\omega }_{\text{mag},F}^2\propto d^{\alpha }(3)$

a) Misurare le frequenze del pendolo a diverse distanze $d$, utilizzando ampiezze di oscillazione molto piccole. Scegliere le impostazioni che consentono di trovare lo spostamento della frequenza magnetica nel modo più accurato possibile.

b) Determinare l’esponente della legge di potenza $\alpha$.

c) Disegna uno schema della possibile configurazione interna di dipoli magnetici F1 ed F2 e motiva la tua scelta.

Domanda E1.4 — Pendolo non lineare (2.0 punti)

Riporta il montaggio alla configurazione utilizzata nella Domanda E1.2, con i dipoli magnetici esterni neri disposti come in Fig. 1. Utilizzando la Eq. 1, la frequenza delle piccole oscillazioni del pendolo può essere completamente azzerata, $\omega \to 0$.

a) Determina con la massima precisione possibile la separazione del magnete $d$ necessaria per questo azzeramento completo.

b) Studia la dipendenza del periodo del pendolo dalla sua ampiezza quando è regolato sul migliore azzeramento che si è riusciti a ottenere. Suggerisci una dipendenza funzionale e confrontala con i tuoi dati. Discuti l’origine delle possibili discrepanze.

Topic: Oscillations & Waves, Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Physical Modeling, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Measurement & Instrumentation Objects: Pendulum, Magnetic Dipole, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

E1 - Magnetic Pendulum (10 pts)

The oscillation frequency of a pendulum can be modified by magnetic forces between the pendulum and its support. In this experiment you will study pendulum motion in a combined potential from gravitational and magnetic interaction terms, using the setup shown in Fig. 3.

Equipment (see also Fig. 3)

• A: Pendulum body with point-like supports and mirror for angle measurement
• B: Pendulum tower with hard points to support the pendulum, and laser module for angle measurement
• C: Rails to support external magnets
• D: 2 small dipole magnets to be attached to pendulum body (may be green, red, white or yellow)
• E: 2 identical external dipole magnets (black)
• F: 2 unknown external magnets F1, F2 (blue, F2 is marked with white dots at its ends)
• G: Screen for laser spot for angle measurement
• H: Stopwatch
• I: Masking tape, e.g. to fasten pendulum tower to table
• J: Pencil and ruler

The magnets are quite strong. Be careful not to hurt yourself or damage the magnets. Do not look directly into the laser beam, and turn the laser off when not needed. When experimenting with the pendulum, make sure the supporting screws are resting in the grooves on the pendulum tower. Feel free to mark the pendulum with your pencil if needed.

Task E1.1 - Masses (1.0 pts)

The total mass of the pendulum body with attached small dipole magnets is $M_{\text{pen}}+M_{\text{mag}}=(52.3\pm 0.2)\text{g}$. Determine both $M_{\text{pen}}$ and $M_{\text{mag}}$ as accurately as possible.

Task E1.2 - Magnetic dipole moments (4.0 pts)

With external magnets nearby, the magnetic pendulum moves in a combined potential formed by gravity and magnetic interaction. The resulting pendulum frequency $\omega$ can be written as a function of natural frequency ${\omega }_1$ and “magnetic frequency shift” ${\omega }_{\text{mag}}$:

${\omega }^2={\omega }_1^2\pm {\omega }_{\text{mag}}^2(1)$

For the case of two black external dipole magnets, symmetrically placed at a distance $d$ around the pendulum equilibrium position (see Fig. 1), and small amplitude oscillations the magnetic frequency shift is:

${\omega }_{\text{mag}}^2=\frac{6{\mu }_0}{I\pi }\cdot j_1\cdot j_2\cdot \frac{{\ell }^2}{d^5}(2)$

where ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ is the permeability of vacuum, $I$ is the moment of inertia of the magnetic pendulum around the axis of rotation, $j_1$ is the combined magnetic moment of the pendulum magnets, $j_2$ is the magnetic moment of each external dipole, and $\ell$ is the distance of the pendulum magnet to the rotation axis. For the relative strength of the dipole moments you may assume $j_2=2.4\cdot j_1$. Local gravity is $g=9.81{\text{m/s}}^2$.

a) Measure the pendulum frequencies for different magnet distances $d$, using very small amplitudes. Make sure to cover the whole accessible frequency range.

b) Determine the “average magnetization” (magnetic moment per unit mass) of the material of pendulum magnets and external dipole magnets. Create a relevant graph for your analysis. Auxiliary measurements may be necessary to determine all unknowns. You may neglect the mass and thickness of the non-magnetic coating of the magnets.

Precise alignment of the rails is important. Make sure that, with the pendulum in its equilibrium position, the centers of all magnets are on a single line. Make sure to use symmetric configurations to cancel the force on the pendulum magnets along the direction of the rails.

Task E1.3 - Unknown external magnets (3.0 pts)

The two blue unknown external magnets (F1, F2) each contain several magnetic dipoles. The dipoles inside F1 are reversed with respect to those inside F2. The magnetic frequency shift in a setup analogous to Fig. 1 also follows a power law:

${\omega }_{\text{mag},F}^2\propto d^{\alpha }(3)$

a) Measure the pendulum frequencies for different distances $d$, using very small amplitudes. Choose settings that allow finding the magnetic frequency shift as accurately as possible.

b) Determine the power law exponent $\alpha$.

c) Sketch a possible configuration of magnetic dipoles inside F1 and F2 and justify your choice.

Task E1.4 - Nonlinear pendulum (2.0 pts)

Return the setup to the configuration used in Task E1.2, with black external dipole magnets arranged as in Fig. 1. Following Eqn. 1, the small-amplitude pendulum frequency can be fully cancelled, $\omega \to 0$.

a) Determine as accurately as possible the magnet separation $d$ required for this full cancellation.

b) Investigate the dependence of pendulum period on its amplitude when tuned to the best cancellation you were able to obtain. Suggest a functional dependence and validate it with your data. Discuss the origin of any possible mismatch.

Topic: Oscillations & Waves, Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Physical Modeling, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Measurement & Instrumentation Objects: Pendulum, Magnetic Dipole, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

E2 — Scatola Nera Ottica (10 punti)

Il vostro compito è quello di determinare il contenuto di una scatola nera ottica senza aprirla. La scatola nera è dotata di quattro porte ottiche (A, B, C e D) per la luce e di due assi ottici (Fig. 2). Gli assi ottici sono perpendicolari tra loro. C’è al massimo un elemento ottico dietro ciascuna delle porte e un altro al centro della scatola. Per ruotare sul suo asse il laser è possibile utilizzare il laser e la rotella del supporto laser (su cui si possono apporre segni con una matita).

Materiale (vedi anche la Fig. 4)

• A: Scatola nera
• B: Modulo laser sul supporto con rotella
• C: Blocco trasparente
• D: Nastro adesivo, matita, righello, carta con scala diagonale

Domanda E2.1 — Elemento centrale (~0.3 punti)

I due assi ottici si incrociano al centro della scatola nera. All’incrocio potrebbe trovarsi: nessun elemento, uno specchio completamente riflettente (su entrambi i lati), uno specchio semitrasparente o un prisma a forma di triangolo regolare.

Determina quale elemento è posizionato al centro della scatola nera. Descrivi il suo orientamento verso le porte ottiche (A, B, C, D), ad esempio utilizzando uno schizzo. Giustifica le tue scelte.

Domanda E2.2 — Elementi negli slot restanti (~2.2 punti)

C’è un elemento elencato nella Tabella 1 in ciascuno dei quattro slot dietro le porte ottiche A, B, C, D, rispettivamente.

Determina per ogni slot il tipo di elemento presente. Giustifica le tue scelte.

Tabella 1: Elementi possibili negli slot della scatola nera

Elemento	Parametro da determinare
Nessun elemento	c’è solo aria nella fessura
Specchio	angolo tra l’asse dello specchio e uno degli assi ottici
Prisma (triangolo regolare)	angolo tra uno dei suoi lati e uno degli assi ottici della scatola nera
Lente concava o convessa	distanza dal centro della scatola, valore e segno della lunghezza focale. Nota: gli assi delle lenti sono sempre lungo gli assi ottici.
Polarizzatore	angolo di orientamento rispetto all’asse verticale della scatola nera
Singola fenditura sottile	—

Fig. 4: materiale esperimento ottica

Fig. 1: dipoli magnetici esterni vista dall’alto

Fig. 3: montaggio pendolo magnetico

Fig. 2: disposizione scatola nera e slot

Topic: Geometric Optics, Wave Optics, Electromagnetism Metodi: Ray Tracing, Experimental Data Analysis, Physical Modeling, Thin Lens & Mirror Equation, Snell’s Law Competenze: Experimental Data Analysis, Diagrammatic Reasoning, Measurement & Instrumentation Objects: Mirror, Prism, Lens, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

E2 - Optical black-box (10 pts)

WARNING! Do not open the black-box. Do not shake the black-box. Do not touch the windows of the optical ports. If you break the black-box or the windows or attempt to open the black box, you will be disqualified.

Your task is to determine the contents of an optical black box without opening it. The black-box has four optical ports (A, B, C and D) for light, and two optical axes (Fig. 2). The optical axes are perpendicular to each other. There is up to one optical element behind each of the ports as well as another one in the center of the box. You can use a laser and a laser mount with a wheel (that you can put marks on it with a pencil) in order to rotate the laser.

Equipment (see also Fig. 4)

• A: Black-box
• B: Laser module in mount with wheel (the same laser module is used for both experiments, to be placed on the table surface)
• C: Transparent block
• D: Masking tape, pencil, ruler, paper with diagonal scale

Do not look directly into the laser beam, and make sure no other people are hit by it. Do not look into the optical ports of the box if the laser is on, and turn the laser off when not needed.

Task E2.1 - Central element (~0.3 pts)

The two optical axes cross in the center of the black box. At the crossing could sit: no element, a fully reflective mirror (both sides), a semi-transparent mirror, or a regular-triangle-shaped prism.

Determine which element is placed centrally in the black box. Describe its orientation towards the optical ports (A, B, C, D) - for example by using a sketch. Justify your choices.

Task E2.2 - Elements in remaining slots (~2.2 pts)

There is one element from Table 1 in each of the four slots behind the optical ports A, B, C, D, respectively.

Determine for each slot the type of element present. Justify your choices.

Task E2.3 - Properties (~7.5 pts)

In Table 1, you can find a second column containing characteristic properties of the possible elements.

Determine these characteristic properties for the optical elements used inside the box at slots A, B, C and D as precisely as possible.

Table 1: Possible elements in the slots of the black-box

Element	Characteristic properties
no element	there is just air in the slot
mirror	angle between the mirror axis and one of the optical axes
prism	angle between one of its sides and one of the optical axes of the black box, shaped like regular triangle
concave or convex lens	distance to the center of the box, magnitude and sign of the focal length. Note: Axes of lenses are always along optical axes.
polarizer	angle of orientation relative to the vertical axis of the black-box
single, thin slit	distance to the center of the box, width of the slit
diffraction grating	distance to the center of the box, direction of stripes, distance between the stripes
pin hole	distance to the center of the box, hole diameter

Important hints:

• The wavelength of the laser is $(650\pm 5)\text{nm}$.
• The refractive index of transparent elements can be assumed to be 1.5.

Figure 4: Setup and equipment for experimental problem E2

Figure 1: Frequency shifting using external dipole magnets (top view)

Figure 3: Setup and equipment for experimental problem E1

Figure 2: Layout of the black box and the slots of the unknown elements

Topic: Geometric Optics, Wave Optics, Electromagnetism Metodi: Ray Tracing, Experimental Data Analysis, Physical Modeling, Thin Lens & Mirror Equation, Snell’s Law Competenze: Experimental Data Analysis, Diagrammatic Reasoning, Measurement & Instrumentation Objects: Mirror, Prism, Lens, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)