EuPhO 2024 — Sperimentale

Task E.1 — Elasticità della palla (2.0 punti)

Delle due palle di gomma in dotazione, una è più elastica dell’altra.

Per la palla di gomma più elastica, determinare la frazione di energia cinetica che viene persa durante la collisione con una superficie solida. Determinate questa frazione per tre diversi valori dell’energia cinetica iniziale.

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics, Elasticity & Materials Metodi: Energy Conservation Method, Experimental Data Analysis, Kinematic Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task E.1 — Elasticity of the ball (2.0 pts)

Of the two rubber balls you are provided with, one is more elastic than the other.

For the more elastic rubber ball, determine the fraction of kinetic energy which is lost during a collision with a solid surface. Determine this fraction for three different values of the initial kinetic energy.

Task E.2 — Proprietà piezoelettriche (10.0 punti)

a) Misura la capacità $C$ del condensatore (Fig. 3b). (2.0 punti)

b) Le piastre metalliche ai lati dell’elemento piezoelettrico funzionano anche da condensatore. Trovare la capacità $C_{p}$ dell’elemento piezoelettrico. (2.5 punti)

c) Misurare e tracciare il grafico di come la tensione tra le piastre dell’elemento piezoelettrico dipende dalla forza perpendicolare totale, che viene distribuita uniformemente sulla superficie del dispositivo piezoelettrico attraverso la sua piastra di copertura in legno. Per forze piccole, la dipendenza è lineare; trovare la pendenza $β$ in questo regime. (4.0 punti)

d) Le molecole dei cristalli possono avere solo polarizzazioni inferiori a un certo valore critico. Trovare la tensione massima (di saturazione) del dispositivo piezoelettrico, la pressione $p_{sat}$ alla saturazione e la densità superficiale massima $σ_{m a x}$ della carica sulla superficie dell’elemento piezoelettrico. (1.5 punti)

Diodo collegato al condensatore con simbolo circuitale

Topic: Electrostatics, Electromagnetic Induction, Elasticity & Materials Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Electric Potential Method Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task E.2 — Piezoelectric properties (10.0 pts)

a) Measure the capacitance $C$ of the capacitor (Fig. 3b). (2.0 pts)

b) The metallic plates on the sides of the piezo element also act as a capacitor. Find the capacitance $C_{p}$ of the piezo element. (2.5 pts)

c) Measure and plot how the voltage between the plates of the piezo element depends on the total perpendicular force, which is evenly distributed over the surface of the piezo via its wooden cover plate. For low forces, the dependence is linear; find the slope $β$ in this regime. (4.0 pts)

d) The molecules of the crystals can only have polarizations lower than a certain critical value. Find the maximal (saturation) voltage of the piezo, the pressure $p_{sat}$ at saturation and the maximal surface density $σ_{m a x}$ of the charge on the surface of the piezo element. (1.5 pts)

Diode connected to the capacitor with circuit symbol

Task E.3 — Comportamento su piccole aree (1.0 punto)

Quando si applica una forza a una piccola regione del cristallo piezoelettrico, a causa dell’accoppiamento elettromeccanico, il cristallo cercherà di curvarsi. Tuttavia, le piastre di legno lo impediscono e, di conseguenza, le sollecitazioni meccaniche si manifestano anche in altre parti del cristallo.

Di quanto cambia la risposta elettrica quando la forza viene applicata a una piccola area del cristallo? Considerate solo l’intervallo lineare della risposta.

Topic: Electrostatics, Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Symmetry Argument, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task E.3 — Small area behaviour (1.0 pts)

When a force is applied to a small region of the piezo crystal, due to electro-mechanical coupling, the crystal will try to curve. However, the wooden plates will prevent this, and as a result, mechanical stress will appear in other parts of the crystal, too.

How much will the electrical response change when the force is applied to a small area of the crystal? Consider only the linear range of the response.

Task E.4 — Deformazione della palla (4.5 punti)

In questa parte farete cadere la palla di gomma più elastica sull’elemento piezoelettrico. Durante la collisione tra la sfera e l’elemento piezoelettrico, la sfera subisce delle deformazioni. Si può ipotizzare che la forza $F$ che agisce sulla sfera dipenda dalla sua deformazione elastica $x$ come una legge di potenza:

$F = k x^{α} (1)$

Trovare l’esponente $α$ e la costante del materiale $k$ .

Topic: Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Curve Fitting Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Ball, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task E.4 — Deformation of the ball (4.5 pts)

In this part you will be dropping the more elastic rubber ball on the piezo element. During the collision between the ball and the piezo, the ball experiences deformations. You can assume that the force $F$ acting on the ball depends on the ball’s elastic deformation $x$ as a power law:

$F = k x^{α} (1)$

Find the exponent $α$ and the material constant $k$ .

Task E.5 — Tempo di interazione (2.5 punti)

Con il risultato del task precedente, sarebbe possibile determinare il tempo di interazione $τ$ della sfera più elastica con la superficie di legno. Tuttavia, per la palla meno elastica non esiste una descrizione semplice come l’Eq. 1. In alternativa, possiamo fare la seguente ipotesi. Se, per una certa velocità di collisione $v_{0}$ , la forza sperimentata dalla sfera in funzione del tempo può essere descritta come $F_{0} (t) = f (t)$ , allora per qualsiasi altra velocità $v_{1}$ , la dipendenza dal tempo assume una forma simile e possiamo esprimere la forza come:

$F_{1} (t) = a_{1} f (b_{1} t) (2)$

Stimare e tracciare il grafico di come il tempo di interazione $τ$ scala con la velocità di collisione $v$ per le collisioni della palla di gomma meno elastica con una superficie solida.

Topic: Newtonian Mechanics, Elasticity & Materials, Conservation of Momentum Metodi: Dimensional Analysis, Physical Modeling, Graph Linearization Competenze: Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Task E.5 — Interaction time (2.5 pts)

With the result from the previous task, it would be possible to determine the interaction time $τ$ of the more elastic ball with the wooden surface. However, for the less elastic ball, there is no simple description such as Eq. 1. Alternatively, we can make the following assumption.

If, for a certain collision speed $v_{0}$ , the force experienced by the ball as a function of time can be described as $F_{0} (t) = f (t)$ , then for any other speed $v_{1}$ , the time dependence takes a similar shape and we can express the force as:

$F_{1} (t) = a_{1} f (b_{1} t) (2)$

Estimate and plot how the interaction time $τ$ scales with the collision speed $v$ for collisions of the less elastic rubber ball with a solid surface.

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