OII 2024 Teorica

T1: Un disco che scorre (10 punti)

Un disco di raggio $r$ e densità uniforme si muove su un piano orizzontale con velocità $v_{0}$ senza ruotare. Il disco incontra una parete semicircolare fissa con raggio $R ≫ r$ e inizia a muoversi lungo la parete. Il coefficiente di attrito con la parete è $μ$ , e l’attrito con il piano orizzontale è trascurabile.

a) (8 punti) Trovare la velocità del disco $v_{e}$ quando lascia il muro.

b) (2 punti) Disegnare il grafico $v_{e} (μ)$ . Indicare le caratteristiche importanti del grafico. Siete invitati a disegnare il grafico anche se non avete trovato la formula esatta per $v_{e}$ .

p.1 — Disco con velocita iniziale contro parete semicircolare

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation of Energy, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**T1: A disc that flows (10 points) **

A disc of $r$ radius and uniform density moves on a horizontal plane at $v_{0}$ speed without rotation. The disc meets a fixed semicircular wall with a radius $R ≫ r$ and begins to move along the wall. The friction coefficient with the wall is $μ$ , and the friction with the horizontal plane is negligible.

(a) (8 points) Find the disk speed $v_{e}$ when it leaves the wall.

(b) (2 points) Draw the graph $v_{e} (μ)$ . Indicate the important characteristics of the chart. You are asked to draw the graph even if you have not found the exact formula for $v_{e}$ .

p.1 Disk with initial speed against a semicircular wall

T2: Astronavi (10 punti)

Alice e Bob sono gemelli e lavorano come due astronauti in una lunga missione spaziale. Dopo molti anni, si stanno finalmente avvicinando per ricongiungersi. L’astronave di Alice si muove verso l’astronave di Bob a una velocità di $u = \frac{3}{5} c$ , dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto.

Durante il loro avvicinamento, Alice e Bob si inviano reciprocamente dei regali. Alice invia doni a Bob a intervalli regolari di tempo $Δ t_{0}$ nel proprio sistema di riferimento, con ogni dono che viaggia a una velocità $v = \frac{4}{5} c$ (sempre nel suo sistema di riferimento). Allo stesso modo, Bob invia regali ad Alice agli stessi intervalli di tempo regolari $Δ t_{0}$ nel proprio sistema di riferimento, con ogni regalo che viaggia anch’esso a una velocità $v = \frac{4}{5} c$ nel suo sistema di riferimento. Supponiamo che la distanza $L$ tra Alice e Bob sia abbastanza grande da avere molti regali in transito in ogni momento.

a) (5 punti) Nel sistema di riferimento di Bob, si calcoli:

(i) la distanza fra due regali consecutivi inviati da Alice e

(ii) la distanza temporale $Δ t_{1}$ alla quale questi regali di Alice arrivano all’astronave di Bob.

b) (5 punti) In ogni momento, Alice può vedere un numero di regali che si allontanano da lei e un numero di regali che si muovono verso di lei. Qual è il rapporto tra questi due numeri?

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Relativistic Energy-Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T2: Astronavi (10 punti)

Alice and Bob are twins and work as two astronauts on a long space mission. After many years, they’re finally getting closer to getting back together. Alice’s spacecraft moves towards Bob’s spacecraft at a speed of $u = \frac{3}{5} c$ , where $c$ is the speed of light in the vacuum.

During their approach, Alice and Bob send each other presents. Alice sends gifts to Bob at regular intervals of time $Δ t_{0}$ in her reference system, with each gift traveling at a speed $v = \frac{4}{5} c$ (always in her reference system). Allo stesso modo, Bob invia regali ad Alice agli stessi intervalli di tempo regolari $Δ t_{0}$ nel proprio sistema di riferimento, con ogni regalo che viaggia anch’esso a una velocità $v = \frac{4}{5} c$ nel suo sistema di riferimento. Supponiamo che la distanza $L$ tra Alice e Bob sia abbastanza grande da avere molti regali in transito in ogni momento.

(a) (5 points) In the Bob reference system, the following is calculated:

(i) the distance between two consecutive gifts sent by Alice; and

(ii) the time distance $Δ t_{1}$ at which these Alice gifts arrive at Bob’s spaceship.

b) (5 points) At any given moment, Alice can see a number of gifts moving away from her and a number of gifts moving towards her. What’s the relationship between these two numbers?

T3: Interferometro di Fabry–Pérot (10 punti)

Un interferometro di Fabry-Pérot è costituito da due specchi piani paralleli identici separati da una distanza $L$ . Lo spazio tra gli specchi e all’esterno degli specchi è riempito d’aria. Gli specchi sono parzialmente riflettenti; quando la luce è diretta verso uno di questi specchi lungo la direzione normale, il fascio riflesso ha un’intensità $R < 1$ volte l’intensità del fascio incidente.

Si supponga che gli specchi siano simmetrici, cioè ciascuno dei due interagisce da entrambi i lati allo stesso modo con la luce incidente, e che siano privi di perdite. Si supponga inoltre che siano altamente riflettenti, ossia che $1 - R ≪ 1$ . Un raggio laser monocromatico di potenza $P$ viene diretto verso l’interferometro perpendicolarmente agli specchi. La distanza $L$ è scelta in modo che il fascio riflesso all’indietro svanisca, cioè che tutta la potenza ottica venga trasmessa attraverso l’interferometro.

a) (3 punti) Si dimostri che il fascio laser deve acquisire una differenza di fase $φ$ non nulla quando passa attraverso uno degli specchi.

b) (2 punti) Si trovi il valore di $φ$ .

c) (4 punti) A un certo punto, il raggio laser incidente viene spento rapidamente. Si trovi l’energia totale della luce che, dopo lo spegnimento del laser, torna dall’interferometro verso il laser stesso.

d) (1 punto) Si stimi la durata temporale dell’impulso di luce che ritorna verso il laser.

p.1 — Interferometro Fabry-Perot con due specchi

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following table shows the results of the calculations:

A Fabry-Pérot interferometer consists of two identical parallel flat mirrors separated by a distance $L$ . The space between mirrors and the outside of mirrors is filled with air. The mirrors are partially reflective; when light is directed towards one of these mirrors in the normal direction, the reflected beam has an intensity $R < 1$ times the intensity of the incident beam.

Suppose mirrors are symmetrical, that is, they interact with incident light on both sides in the same way, and they are lossless. It is also assumed that they are highly reflective, i.e. $1 - R ≪ 1$ . A monochrome laser beam $P$ shall be directed to the interferometer perpendicular to the mirrors. The $L$ distance is chosen so that the reflected beam backwards disappears, i.e. all optical power is transmitted through the interferometer.

(a) (3 points) It is shown that the laser beam must acquire a phase difference $φ$ not anything when passing through one of the mirrors.

(b) (2 points) The value of $φ$ is found.

(c) (4 points) At some point, the incident laser beam is quickly turned off. It’s the total energy of light that, after the laser is turned off, goes back from the interferometer to the laser itself.

(d) (1 point) Estimate the time duration of the pulse of light returning to the laser.

Fabry-Perot interferometer with two mirrors

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