EuPhO 2025 — Teorica

T1: Sunny (10 pts)

You are asked to study the features of the brightly lit circle and dark rings in the figures below. Make your calculations for an idealized situation: the chair leg is strictly cylindrical of radius $a$, strictly vertical, with a perfectly smooth, cylindrical, and perfectly reflecting surface. You may make any additional model assumptions and approximations you deem reasonable that will simplify your calculations.

a) (5 pts) Determine how the illuminance surplus $I(r,\theta )$ inside the brightly lit circle on the floor depends on the polar coordinates $r\gg a$ and $\theta$. The illuminance quantifies the amount of incoming light per area. By “surplus” we mean the additional illuminance introduced due to the presence of the cylinder. Express the answer in terms of $I_0$ defined as the illuminance difference between points A and B in the figure.

b) (5 pts) In the following figure some fingers are blocking some of the light from reaching the chair leg. Let $R(\theta )$ denote the radial distance of the middle dark ring as a function of the angle $\theta$ and let $R_{\min }$ be the minimal value of $R(\theta )$. Determine $R(\theta )-R_{\min }$.

Brightly lit circle and dark rings around chair leg

Fingers blocking light, dark ring R(θ)

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Ray Tracing, Superposition Principle, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T1: Sunny (10 punti)

Ti viene chiesto di studiare le caratteristiche del cerchio luminoso e degli anelli scuri nelle figure seguenti. Esegui i calcoli per una situazione idealizzata: la gamba della sedia è rigorosamente cilindrica di raggio $a$, rigorosamente verticale, con una superficie perfettamente liscia, cilindrica e perfettamente riflettente. Puoi fare qualsiasi ulteriore ipotesi di modello e approssimazione che ritieni ragionevole e che semplificherà i tuoi calcoli.

a) (5 punti) Determina come il surplus di illuminamento $I(r,\theta )$ all’interno del cerchio luminoso sul pavimento dipende dalle coordinate polari $r\gg a$ e $\theta$. L’illuminamento quantifica la quantità di luce incidente per area. Per “surplus” intendiamo l’illuminamento aggiuntivo introdotto a causa della presenza del cilindro. Esprimi la risposta in termini di $I_0$ definito come la differenza di illuminamento tra i punti A e B nella figura.

b) (5 punti) Nella figura seguente alcune dita bloccano parte della luce che raggiunge la gamba della sedia. Sia $R(\theta )$ la distanza radiale dell’anello scuro centrale in funzione dell’angolo $\theta$ e sia $R_{\min }$ il valore minimo di $R(\theta )$. Determina $R(\theta )-R_{\min }$.

Brightly lit circle and dark rings around chair leg

Fingers blocking light, dark ring R(θ)

Soluzione: Soluzioni (PDF)

T2: Floating table (10 pts)

A table is made by fastening a metal frame to a massive uniform plate (so they form a rigid body) and attaching it with chains to another frame that is fixed on the horizontal ground. The motion of the table is limited to the plane of the side view (right picture).

a) (4 pts) Show that in the configuration on the side view, the table is in a stable equilibrium.

b) (6 pts) Find the period $T$ of the small oscillations.

The masses of the chains and the frame can be neglected. The chains are frictionless, inextensible, and remain tensioned in oscillations. The grid step is $a=0.100$ m, the acceleration of gravity $g=9.81$ m/s${}^2$.

Floating table with chains, side view diagram

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T2: Tavolo flottante (10 punti)

Un tavolo è realizzato fissando un telaio metallico a una lastra massiccia omogenea (in modo che formino un corpo rigido) e collegandolo con catene a un altro telaio fissato al suolo orizzontale. Il moto del tavolo è limitato al piano della vista laterale (figura a destra).

a) (4 punti) Mostrare che nella configurazione della vista laterale, il tavolo è in equilibrio stabile.

b) (6 punti) Trovare il periodo $T$ delle piccole oscillazioni.

Le masse delle catene e del telaio possono essere trascurate. Le catene sono prive di attrito, inestensibili e rimangono in tensione durante le oscillazioni. Il passo della griglia è $a=0.100$ m, l’accelerazione di gravità $g=9.81$ m/s${}^2$.

Floating table with chains, side view diagram

Soluzione: Soluzioni (PDF)

T3: Crossed wires (10 pts)

a) (1 pt) Current flows through an infinite, straight, thin wire. There is an externally imposed, uniform magnetic field directed parallel to the wire. Qualitatively sketch one of the magnetic field lines.

b) (5 pts) Now consider two infinite, straight, thin wires (wires $X$ and $Y$), each carrying a current $I$ as shown in the figure. The $x$-axis coincides with wire $X$, while wire $Y$ is parallel to the $y$-axis and passes through the point $(0,0,-a)$. Let P be the point $(3a,0,r)$. Assuming $r\ll a$, calculate $d$, the distance of closest approach of the magnetic field line that passes through P to the wire $X$.

Two crossed current-carrying wires X and Y with point P

c) (4 pts) Let $L$ be the length of this field line between P and its point of closest approach to wire $X$. Using values $a=10$ cm and $r=1.0$ mm, calculate $L$ to within 20% relative error.

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Biot-Savart Law, Superposition Principle, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

T3: Fili incrociati (10 punti)

a) (1 punto) Una corrente scorre attraverso un filo infinito, rettilineo e sottile. È presente un campo magnetico uniforme imposto dall’esterno, diretto parallelamente al filo. Disegna qualitativamente una delle linee del campo magnetico.

b) (5 punti) Considera ora due fili infiniti, rettilinei e sottili (fili $X$ e $Y$), ciascuno percorso da una corrente $I$ come mostrato in figura. L’asse $x$ coincide con il filo $X$, mentre il filo $Y$ è parallelo all’asse $y$ e passa per il punto $(0,0,-a)$. Sia P il punto $(3a,0,r)$. Assumendo $r\ll a$, calcola $d$, la distanza di massimo avvicinamento della linea del campo magnetico che passa per P al filo $X$.

Two crossed current-carrying wires X and Y with point P

c) (4 punti) Sia $L$ la lunghezza di questa linea di campo tra P e il suo punto di massimo avvicinamento al filo $X$. Usando i valori $a=10$ cm e $r=1.0$ mm, calcola $L$ con un errore relativo entro il 20%.

Soluzione: Soluzioni (PDF)