EuPhO 2026 — Teorica

T1: Jumper (10 pts)

Two uniform rods, each of mass $m$ and length $\ell$, are connected at one end by a hinge equipped with a torsional spring. The spring exerts equal and opposite restoring torques $\tau$ on the rods about the hinge, $\tau =2k\theta ,$ where $2\theta$ is the angle between the rods (in radians), and $k$ ($k\gg mg\ell$) is the torsional spring constant.

The system is placed on a flat horizontal surface with the free ends of the rods resting on the floor and the hinge above them. The hinge is then pushed downward until the rods lie flat on the floor in opposite directions, corresponding to $\theta =\pi /2$. Friction between the rods and the floor is negligible.

Jumper jumps after the hinge is released. Determine the maximum height $h$ reached by the center of mass of the system to a precision better than $1\%$.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Conservation of Energy, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod (object) Fonte: Testo (PDF) Soluzione: Soluzioni (PDF)

T1: Saltatore (10 punti)

Due aste omogenee, ciascuna di massa $m$ e lunghezza $\ell$, sono collegate a un’estremità da una cerniera dotata di una molla torsionale. La molla esercita sulle aste, rispetto alla cerniera, momenti richiamanti uguali e opposti $\tau$, $\tau =2k\theta ,$ dove $2\theta$ è l’angolo tra le aste (in radianti), e $k$ ($k\gg mg\ell$) è la costante elastica torsionale della molla.

Il sistema è posto su una superficie piana orizzontale con le estremità libere delle aste appoggiate al pavimento e la cerniera sopra di esse. La cerniera viene quindi spinta verso il basso finché le aste giacciono piatte sul pavimento in direzioni opposte, corrispondenti a $\theta =\pi /2$. L’attrito tra le aste e il pavimento è trascurabile.

Il saltatore salta dopo che la cerniera è stata rilasciata. Determina l’altezza massima $h$ raggiunta dal centro di massa del sistema con una precisione migliore di $1\%$.

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T2: Hysteresis (10 pts)

Consider a solenoid with $N\gg 1$ turns, radius $R$ and length $\ell \gg R$. The solenoid has a ferromagnetic core with hysteresis curve as shown in the picture. $M$ denotes the magnetization of the core and would be zero without core material. It is related to $H$, the magnetic field strength generated by the current in the solenoid coil, and $B$ by $B={\mu }_0(H+M)$. $M_0$ and $H_0$ are of the same order of magnitude. Assume that $M$ can only change if $|H|\ge H_0$.

An ideal capacitor with capacitance $C$ is now connected to the solenoid forming a closed circuit. Assume that all wires have negligible resistance.

a) (3.0 pts) Initially there is a current $I_i$ flowing through the circuit and the capacitor is uncharged. $I_i$ is large enough that $H(I_i)\gg H_0$. After one oscillation the current again reaches a maximum value. Determine the difference between $I_i$ and this value.

b) (2.3 pts) Find the maximum current that can be attained after many oscillations.

c) (4.7 pts) The current $I(t)$ exhibits two qualitatively distinct phases of behaviour, A and B. The system can remain in phase A indefinitely, whereas any single interval spent in phase B has bounded duration. Find the maximal possible duration of a phase-B interval, if $I_i$ is chosen optimally.

Topic: Magnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Faraday’s Law of Induction, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Solenoid (object) Fonte: Testo (PDF) Soluzione: Soluzioni (PDF)

T2: Isteresi (10 punti)

Si consideri un solenoide con $N\gg 1$ spire, raggio $R$ e lunghezza $\ell \gg R$. Il solenoide ha un nucleo ferromagnetico con curva di isteresi come mostrato in figura. $M$ denota la magnetizzazione del nucleo e sarebbe zero senza il materiale del nucleo. Essa è legata a $H$, l’intensità del campo magnetico generato dalla corrente nella bobina del solenoide, e a $B$ da $B={\mu }_0(H+M)$. $M_0$ e $H_0$ sono dello stesso ordine di grandezza. Si assuma che $M$ possa cambiare solo se $|H|\ge H_0$.

Un condensatore ideale con capacità $C$ è ora collegato al solenoide formando un circuito chiuso. Si assuma che tutti i fili abbiano resistenza trascurabile.

a) (3.0 punti) Inizialmente nel circuito scorre una corrente $I_i$ e il condensatore è scarico. $I_i$ è sufficientemente grande affinché $H(I_i)\gg H_0$. Dopo un’oscillazione la corrente raggiunge nuovamente un valore massimo. Determinare la differenza tra $I_i$ e questo valore.

b) (2.3 punti) Trovare la corrente massima che può essere raggiunta dopo molte oscillazioni.

c) (4.7 punti) La corrente $I(t)$ presenta due fasi di comportamento qualitativamente distinte, A e B. Il sistema può rimanere nella fase A indefinitamente, mentre qualsiasi singolo intervallo trascorso nella fase B ha durata limitata. Trovare la massima durata possibile di un intervallo in fase B, se $I_i$ è scelto in modo ottimale.

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T3: Dry ice hockey (10 pts)

At pressure $p_0=100\mathrm{kPa}$, solid ${\mathrm{CO}}_2$ (dry ice) sublimates (goes from solid to gaseous state) at $T_s=-78.5{}^{\circ }\mathrm{C}$. Its saturated vapour pressure follows the Clausius—Clapeyron relation: $\frac{\mathrm{d}{p}_{\mathrm{sat}}}{\mathrm{d}T}=\frac{\mu \lambda p_{\mathrm{sat}}}{R{T}^2},$ where the latent heat of sublimation is $\lambda =600kJ/kg$, the molar mass is $\mu =0.044kg/mol$, and the gas constant is $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$. The thermal conductivity of the ${\mathrm{CO}}_2$ gas is $\kappa =10mW/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ and its dynamic viscosity is $\eta =10\mu \mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$. The density of dry ice is $\rho =1500{kg/m}^3$ and the gravitational acceleration is $g=10{m/s}^2$.

A puck of radius $r=10\mathrm{mm}$ consists of a disc of dry ice of thickness $h=1\mathrm{mm}$, and a metal disc of mass $M=0.01\mathrm{kg}$ on top of it. The initial temperature of the puck is $T_s$ and the ambient pressure is $p_0$.

The puck is placed on a horizontal metal plate which is held at a constant temperature $T=T_s+\Delta T$, and given an initial horizontal velocity $v=10mm/s$. After a very long time, the horizontal displacement $L$ of the metal disc is measured.

a) (2 pts) When $\Delta T$ is sufficiently small, $L$ is negligible and independent of $\Delta T$. However, when $\Delta T$ reaches a critical value $\Delta T_c$, the function $L(\Delta T)$ starts to grow. Estimate $\Delta T_c$.

b) (8 pts) Estimate the maximal value $L_{\max }$ of the function $L(\Delta T)$.

Treat the ${\mathrm{CO}}_2$ gas as ideal. Assume no tilting of the puck at any moment, all surfaces are perfectly smooth, and the thermal conductivities of the metal, dry ice, and gas satisfy ${\kappa }_{\mathrm{metal}}\gg {\kappa }_{\mathrm{ice}}\gg \kappa$.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Puck Fonte: Testo (PDF) Soluzione: Soluzioni (PDF)

T3: Hockey su ghiaccio secco (10 punti)

Alla pressione $p_0=100\mathrm{kPa}$, il ${\mathrm{CO}}_2$ solido (ghiaccio secco) sublima (passa dallo stato solido a quello gassoso) a $T_s=-78.5{}^{\circ }\mathrm{C}$. La sua pressione di vapore saturo segue la relazione di Clausius—Clapeyron: $\frac{\mathrm{d}{p}_{\mathrm{sat}}}{\mathrm{d}T}=\frac{\mu \lambda p_{\mathrm{sat}}}{R{T}^2},$ dove il calore latente di sublimazione è $\lambda =600kJ/kg$, la massa molare è $\mu =0.044kg/mol$, e la costante dei gas è $R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$. La conducibilità termica del gas ${\mathrm{CO}}_2$ è $\kappa =10mW/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ e la sua viscosità dinamica è $\eta =10\mu \mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$. La densità del ghiaccio secco è $\rho =1500{kg/m}^3$ e l’accelerazione di gravità è $g=10{m/s}^2$.

Un disco di raggio $r=10\mathrm{mm}$ è costituito da un disco di ghiaccio secco di spessore $h=1\mathrm{mm}$, e da un disco metallico di massa $M=0.01\mathrm{kg}$ sopra di esso. La temperatura iniziale del disco è $T_s$ e la pressione ambiente è $p_0$.

Il disco è posto su una piastra metallica orizzontale mantenuta a temperatura costante $T=T_s+\Delta T$, e gli viene data una velocità orizzontale iniziale $v=10mm/s$. Dopo un tempo molto lungo, si misura lo spostamento orizzontale $L$ del disco metallico.

a) (2 punti) Quando $\Delta T$ è sufficientemente piccolo, $L$ è trascurabile e indipendente da $\Delta T$. Tuttavia, quando $\Delta T$ raggiunge un valore critico $\Delta T_c$, la funzione $L(\Delta T)$ inizia a crescere. Stimare $\Delta T_c$.

b) (8 punti) Stimare il valore massimo $L_{\max }$ della funzione $L(\Delta T)$.

Trattare il gas ${\mathrm{CO}}_2$ come ideale. Assumere che il disco non si inclini in alcun momento, che tutte le superfici siano perfettamente lisce, e che le conducibilità termiche del metallo, del ghiaccio secco e del gas soddisfino ${\kappa }_{\mathrm{metal}}\gg {\kappa }_{\mathrm{ice}}\gg \kappa$.

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