[IPhO2022 2022 Experimental Q1]

Pianeta (12 punti)

Ti ritrovi su un pianeta alieno senza sapere come ci sei arrivato. La prima cosa che provi a fare è conoscere meglio il pianeta in cui ti trovi. Ricordi come Galileo sperimentò la caduta delle sfere e, ispirato da questo, costruisci una torre perfettamente verticale di altezza $H=2000\text{m}$. Ottenuta la torre, ora puoi iniziare a far cadere sfere da qualsiasi altezza $h$ dalla torre (misurata tra il terreno e la parte inferiore della sfera immediatamente prima che viene lasciata libera). A causa delle limitazioni dei materiali a tua disposizione, puoi far cadere solo sfere di raggio compreso tra $5\text{cm}\le r\le 50\text{cm}$ e densità compresa tra $0,1{\text{g/cm}}^3\le \rho \le 10{\text{g/cm}}^3$.

Ogni volta che lasci cadere una sfera, la lasci andare da ferma e sei in grado di misurare la durata $t$ della caduta e la distanza orizzontale $s$ tra il punto in cui la sfera tocca terra e il punto perpendicolare al punto in cui è stata lasciata cadere.

Prima di iniziare i tuoi esperimenti, hai effettuato le seguenti osservazioni sul pianeta:

• Basandoti sul movimento del Sole, hai scoperto di essere da qualche parte sull’equatore del pianeta.
• Il pianeta ha un’atmosfera; la densità dell’aria è abbastanza piccola da trascurare la forza di galleggiamento dovuta ad essa.
• La temperatura al suolo vale $T_0=20{}^{\circ }\text{C}$.
• Sembra che ci sia un vento che soffia lungo l’equatore uniforme per tutta l’altezza della torre; trascurare l’effetto della torre sulla velocità del vento.

Dati e relazioni utili:

• Costante gravitazionale: $G=6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
• Costante dei gas perfetti: $R=8,314\text{J}{\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$, con $0{}^{\circ }\text{C}=273,15\text{K}$
• La resistenza dell’aria per una sfera di area della sezione trasversale $A$ e velocità $v$ nell’aria di densità ${\rho }_a$ è:

$F_d=0,24A{\rho }_a{v}^2$

• Un’atmosfera adiabatica ha un profilo di densità:

${\rho }_a(h)={\rho }_{a0}{\left(1-\frac{\gamma -1}{\gamma }\frac{\mu gh}{R{T}_0}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}={\rho }_{a0}{\left(1-\frac{h}{H_0}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}$

valida fino all’estremità superiore dell’atmosfera dove $T=0\text{K}$. Nella formula $\gamma$ è il coefficiente adiabatico, $\mu$ la massa molare dell’aria, $g$ l’accelerazione di caduta libera e $h$ l’altezza da terra.

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Parte A. Le proprietà del pianeta (3,0 punti)

A.1 (2,0 pt) — Determinare l’accelerazione di caduta libera $g$ sul pianeta effettuando una serie adeguata di misurazioni e disegnando un grafico appropriato. Fornire un’analisi dell’incertezza nel risultato.

A.2 (0,5 pt) — Allontanandoti dalla torre lungo l’equatore, scopri di poter vedere la torre fino a una certa distanza $L=230\text{km}$ (misurata come la distanza tra te e la cima della torre). Qual è il raggio $R$ del pianeta? Puoi presumere che la tua altezza sia molto inferiore all’altezza della torre.

A.3 (0,5 pt) — Stimare la massa $M$ del pianeta. Fornire un’analisi dell’incertezza nel risultato. Quale effetto fisico contribuisce maggiormente all’accuratezza della tua stima per $M$? Spunta l’effetto appropriato nel foglio delle risposte.

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Parte B. Le proprietà dell’atmosfera (6,5 punti)

B.1 (2,0 pt) — Determinare la velocità $u$ del vento sulla superficie del pianeta effettuando un’opportuna serie di misurazioni e disegnando un grafico appropriato. Fornire un’analisi dell’incertezza nel risultato.

B.2 (1,0 pt) — Determinare la densità dell’aria ${\rho }_{a0}$ sulla superficie del pianeta raccogliendo dati aggiuntivi o riutilizzando i dati precedenti e disegnando un grafico appropriato. Fornire un’analisi dell’incertezza nel risultato.

B.3 (3,0 pt) — Supponendo che l’atmosfera sia adiabatica con un coefficiente adiabatico $\gamma =1,4$, determinare lo spessore $H_0$ dell’atmosfera effettuando un opportuno insieme di misurazioni e disegnando un grafico appropriato. Fornire un’analisi dell’incertezza nel risultato.

B.4 (0,5 pt) — Determinare la massa molare $\mu$ dell’aria e la pressione $p_0$ dell’aria alla base della torre. Fornire un’analisi dell’incertezza nel risultato.

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Parte C. La durata di un giorno (2,5 punti)

C.1 (2,5 pt) — Determinare la durata, $T_p$, di un giorno sul pianeta effettuando un opportuno insieme di misurazioni e disegnando un grafico appropriato. Fornire un’analisi dell’incertezza nel risultato.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Free-Body Diagram, Graph Linearization, Ideal Gas Law, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Planet, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Pianeta (12 punti)

You’re on an alien planet and you don’t know how you got there. The first thing you try to do is get to know the planet you’re on. Ricordi come Galileo sperimentò la caduta delle sfere e, ispirato da questo, costruisci una torre perfettamente verticale di altezza $H=2000\text{m}$. Once you have the tower, you can now start dropping balls from any height $h$ from the tower (measured between the ground and the bottom of the ball immediately before it is released). Because of the limitations of the materials at your disposal, you can drop only spheres of radius between $5\text{cm}\le r\le 50\text{cm}$ and density between $0,1{\text{g/cm}}^3\le \rho \le 10{\text{g/cm}}^3$.

Ogni volta che lasci cadere una sfera, la lasci andare da ferma e sei in grado di misurare la durata $t$ della caduta e la distanza orizzontale $s$ tra il punto in cui la sfera tocca terra e il punto perpendicolare al punto in cui è stata lasciata cadere.

Before you began your experiments, you made the following observations on the planet:

Based on the sun’s motion, you found out you were somewhere on the planet’s equator.

• The planet has an atmosphere; the density of the air is small enough to overlook the force of float due to it.
• The soil temperature is $T_0=20{}^{\circ }\text{C}$.
• It looks like there’s a wind blowing along the equator uniformly for the entire height of the tower; neglecting the effect of the tower on wind speed.

Useful data and reports:

• Gravitational constant: $G=6,67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
• Perfect gas constant: $R=8,314\text{J}{\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$, with $0{}^{\circ }\text{C}=273,15\text{K}$
• The air resistance for a cross section sphere $A$ and speed $v$ in density air ${\rho }_a$ is:

$F_d=0,24A{\rho }_a{v}^2$

• A diabetic atmosphere has a density profile:

${\rho }_a(h)={\rho }_{a0}{\left(1-\frac{\gamma -1}{\gamma }\frac{\mu gh}{R{T}_0}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}={\rho }_{a0}{\left(1-\frac{h}{H_0}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}$

valid up to the upper end of the atmosphere where $T=0\text{K}$. In the formula $\gamma$ is the adiabatic coefficient, $\mu$ the molar mass of the air, $g$ the free-fall acceleration and $h$ the ground height.

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Part A. Property of the planet (3.0 points)

A.1 (2,0 pt) Determine the free fall acceleration $g$ on the planet by performing an appropriate series of measurements and drawing an appropriate chart. Provide an analysis of the uncertainty in the outcome.

**A.2 ** (0.5 pt) Moving away from the tower along the equator, you discover that you can see the tower up to a certain distance $L=230\text{km}$ (measured as the distance between you and the top of the tower). Qual è il raggio $R$ del pianeta? You can assume your height is much lower than the height of the tower.

A.3 (0,5 pt) — Stimare la massa $M$ del pianeta. Provide an analysis of the uncertainty in the outcome. What physical effect contributes most to the accuracy of your estimate for $M$? Point to the appropriate effect in the reply sheet.

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Part B. The properties of the atmosphere (6.5 points)

B.1 (2,0 pt) Determine the wind speed $u$ on the planet’s surface by performing a suitable series of measurements and drawing an appropriate chart. Provide an analysis of the uncertainty in the outcome.

B.2 (1,0 pt) Determine the air density ${\rho }_{a0}$ on the planet’s surface by collecting additional data or reusing previous data and drawing an appropriate chart. Provide an analysis of the uncertainty in the outcome.

B.3 (3,0 pt) Assuming the atmosphere is adiabatic with an adiabatic coefficient $\gamma =1,4$, determine the atmosphere thickness $H_0$ by performing an appropriate set of measurements and drawing an appropriate chart. Provide an analysis of the uncertainty in the outcome.

B.4 (0,5 pt) Determine the molar mass $\mu$ of the air and the pressure $p_0$ of the air at the base of the tower. Provide an analysis of the uncertainty in the outcome.

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Part C. Duration of one day (2.5 points)

C.1 (2.5 pts) Determine the duration, $T_p$, of a day on the planet by making an appropriate set of measurements and drawing an appropriate chart. Provide an analysis of the uncertainty in the outcome.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Free-Body Diagram, Graph Linearization, Ideal Gas Law, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Planet, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)