Theory Q1-1 Italiano (Italy) Fisica planetaria (10 punti) Questo problema consiste di due problemi indipendenti relativi all’interno dei pianeti. Gli effetti della curvatura della superficie dei pianeti può essere trascurata. Potrebbe essere utile usare la formula (1 + + εx, quando |x| . (1) Parte A. Dorsale oceanica (5.0 punti) Consideriamo un grande recipiente d’acqua situato in un campo gravitazionale uniforme con accelerazione di caduta libera g. Due piastre rettangolari verticali parallele l’una all’altra sono montate nel recipiente in modo che i bordi verticali delle piastre siano a stretto contatto senza spazi con le pareti verticali del recipiente. Un tratto di lunghezza hdi ogni piastra è immerso in acqua (Fig. 1). La larghezza delle piastre lungo l’asse y è w, la densità dell’acqua è ρ0. Figura 1. Piastre parallele in acqua. Olio di densità ρoil (ρoil < ρ0) viene versato nello spazio tra le piastre fino a quando il livello inferiore dell’olio ha raggiunto i bordi inferiori delle piastre. Supponiamo che le piastre e i bordi del recipiente siano abbastanza alti da non far traboccare l’olio. La tensione superficiale e la miscelazione dei fluidi possono essere trascurate. A.1 Qual è la componente xdella forza totale Fxche agisce sulla piastra destra (intensità e direzione)? 0.8pt La Fig. 2 mostra una sezione trasversale di una dorsale oceanica. Consiste di strati sovrapposti di mantello, crosta e acqua oceanica. Il mantello è composto da rocce che supponiamo possano scorrere in tempi geologici. Perciò in questo problema sarà trattato come un fluido. Lo spessore della crosta è molto più piccolo della lunghezza caratteristica nella direzione x, quindi la crosta si comporta come una piastra liberamente pieghevole. Una tale dorsale può essere modellata con alta precisione come un sistema bidimensionale, senza alcuna variazione delle quantità lungo l’asse y, che è perpendicolare al piano di Fig. 2. Assumiamo che la lunghezza Ldella dorsale lungo l’asse ysia molto più grande di qualsiasi altra lunghezza introdotta in questo problema. Al centro della dorsale si assume che lo spessore della crosta sia nullo. La crosta si fa più spessa al crescere della distanza orizzontale xdal centro e si avvicina ad uno spessore costante Dquando . Di conseguenza, il fondale oceanico si abbassa di un’altezza verticale hsotto la sommità della dorsale O, che definiamo come l’origine del nostro sistema di coordinate (vedi Fig. 2). La densità dell’acqua ρ0
Theory Q1-2 Italiano (Italy) e la sua temperatura T0 possono essere assunte uniformi nello spazio e costanti nel tempo. La stessa assunzione può essere fatta per la densità del mantello ρ1 e la sua temperatura T1. Anche la temperatura della crosta Tè costante nel tempo ma può dipendere dalla posizione. E’ noto che, con elevata precisione, il materiale crostale si espande linearmente con la temperatura T. Poiché si presume che le temperature dell’acqua e del mantello siano costanti, è conveniente utilizzare un’espressione adimensionale del coefficiente di espansione termica. Pertanto l(T) = l1 [1 ) /(T1 , dove lè la lunghezza di un tratto del materiale della crosta, l1 è la sua lunghezza alla temperatura T1, e klè il coefficiente di espansione termico adimensionale, che può essere assunto come costante. Figura 2. Dorsale oceanica. Notare che l’asse z punta verso il basso A.2 Assumendo che la crosta sia isotropica, trovare come la sua densità ρdipende dalla sua temperatura T. Assumendo che |kl| , scrivere la risposta nella forma appropriata ρ(T) [1 + kT1 T1 ] , (2) dove i termini dell’ordine k2 le superiori sono trascurati. Successivamente, identificare la costante k. 0.6pt E’ noto che k> 0. Inoltre, la conducibilità termica κdella crosta può essere assunta come costante. Di conseguenza, molto lontano dall’asse della dorsale la temperatura della crosta dipende linearmente con la profondità. A.3 Assumendo che il mantello e l’acqua si comportino come un fluido incomprimibile in equilibrio idrostatico, esprimere lo spessore della crosta a grande distanza Din funzione di h, ρ0, ρ1e k. Qualsiasi movimento del materiale può essere trascurato. 1.1pt
Theory Q1-3 Italiano (Italy) A.4 Trova, al prim’ordine in k, la forza orizzontale totale Fche agisce sulla metà destra (x> 0) della crosta in funzione di ρ0, ρ1, h, L, ke g. 1.6pt Supponiamo che la crosta sia isolata termicamente dal resto della Terra. Come risultato della conduzione del calore, le temperature delle superfici superiore e inferiore della crosta si avvicineranno l’una all’altra fino a quando la crosta raggiungerà l’equilibrio termico. Il calore specifico della crosta è ce si può ritenere costante. A.5 Utilizzando l’analisi dimensionale o l’ordine di grandezza, stimare il tempo caratteristico τin cui la differenza tra la temperatura superficiale superiore e quella inferiore della crosta lontana dall’asse della dorsale diminuirà approssimativamente a zero. Puoi presumere che τnon dipende dalle due temperature superficiali iniziali della crosta. 0.9pt Parte B. Onde sismiche in un mezzo stratificato (5.0 punti) Supponiamo che si verifichi un breve terremoto sulla superficie di un pianeta. Si può ipotizzare che le onde sismiche provengano da una sorgente lineare situata a z= x= 0, dove xè la coordinata orizzontale e zè la profondità sotto la superficie (Fig. 3). Si può presumere che la sorgente dell’onda sismica sia molto più lunga di qualsiasi altra lunghezza considerata in questa domanda. A seguito del terremoto, viene emesso un flusso uniforme delle cosiddette onde longitudinali P lungo tutte le direzioni nel piano x-zche ha componente positiva lungo l’asse z. Poiché la teoria delle onde in un solido è generalmente complicata, in questo problema trascuriamo tutte le altre onde emesse dal terremoto. La crosta del pianeta è stratificata in modo che il modulo della velocità vdell’onda P dipende dalla profondità zsecondo la formula v= v0(1+z/z0), dove v0 è la velocità in superficie e z0 è una costante positiva nota. Figura 3. Sistema di coordinate utilizzato nella parte B. B.1 Consideriamo un singolo raggio emesso dal terremoto che forma un angolo iniziale 0 < θ0 < π/2 con l’asse ze si muove nel piano x-z. Qual è la coordinata orizzontale x1(θ0) alla quale questo raggio può essere individuato sulla superficie del pianeta? E’ noto che il percorso del raggio è un arco di circonferenza. Scrivere la risposta nella forma x1(θ0) = Acot(bθ0), dove Ae bsono costanti che devono essere determinate. 1.5pt
Theory Q1-4 Italiano (Italy) Se non sei riuscito a trovare Ae b, nelle domande successive puoi usare il risultato x1(θ0) = Acot(bθ0) come fornito. Supponiamo che l’energia totale, per unità di lunghezza della sorgente, rilasciata come onde P nella crosta durante il terremoto sia E. Supponiamo che le onde siano completamente assorbite quando raggiungono la superficie del pianeta proveniendo dal basso. B.2 Trova come la densità di energia per unità di area ε(x) assorbita dalla superficie dipende dalla distanza lungo la superficie x. Disegna l’andamento di ε(x). 1.5pt D’ora in poi, supponiamo che le onde siano invece completamente riflesse quando raggiungono la superficie. Immagina un dispositivo posizionato a z= x= 0 che ha la stessa geometria della sorgente sismica considerata in precedenza. Il dispositivo è in grado di emettere onde P in una distribuzione angolare liberamente scelta. Facciamo in modo che il dispositivo emetta un segnale con una gamma ristretta di angoli di emissione. In particolare, l’angolo iniziale che il segnale forma con la verticale appartiene all’intervallo [θ0 2δθ0, θ0 + 1 2δθ0], dove 0 < θ0 < π/2, δθ0 e δθ0 . B.3 A quale distanza xmax lungo la superficie dalla sorgente si trova il punto più lontano che non viene raggiunto dal segnale? Scrivere la risposta in funzione di θ0, δθ0 e delle altri costanti fornite sopra. 2.0pt
p.1 — Colonne A e B, dorsale oceanica
p.2 — Sezione interno pianeta, profilo densita
p.3 — Sistema coordinate onde sismiche P
Topic: Fluid Mechanics, Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Approximation & Series Expansion, Dimensional Analysis, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)
Theory Q1-1 English (International) Planetary Physics (10 points) This problem consists of two independent parts related to planetary physics. The effects of the curvature of planetary surfaces may be neglected. It might be useful to use the formula (1 + + εx, when |x| . (1)
Part A. Oceanic Ridge (5.0 points) Consider a large container filled with water, located in a uniform gravitational field with free-fall acceleration g. Two parallel rectangular vertical plates are mounted inside the container such that their vertical edges are in tight contact without gaps with the vertical walls of the container. A length h of each plate is submerged in water (Fig. 1). The width of the plates along the y-axis is w, and the density of water is ρ0.
Figure 1. Parallel plates in water.
Oil of density ρoil (ρoil < ρ0) is poured into the space between the plates until the lower level of oil reaches the bottom edges of the plates. Assume that the plates and container edges are sufficiently high to prevent oil overflow. Surface tension and fluid mixing may be neglected.
A.1 What is the x-component Fx of the total force acting on the right plate (magnitude and direction)? 0.8pt Figure 2 shows a cross-section of an oceanic ridge. It consists of superimposed layers of mantle, crust, and oceanic water. The mantle is composed of rocks that we assume can flow over geological timescales. Therefore, in this problem it will be treated as a fluid. The crust thickness is much smaller than the characteristic length in the x-direction, so the crust behaves as a freely bending plate. Such a ridge can be accurately modeled as a two-dimensional system, with no variation of quantities along the y-axis, which is perpendicular to the plane shown in Figure 2. We assume that the length L of the ridge along the y-axis is much greater than any other length introduced in this problem.
At the center of the ridge, the crust thickness is assumed to be zero. The crust thickens with increasing horizontal distance x from the center and approaches a constant thickness D as . As a result, the ocean floor subsides vertically by a height h below the ridge’s crest, which we define as the origin of our coordinate system (see Figure 2). The density of water ρ0
Theory Q1-2 Italian (Italy) and its temperature T0 may be assumed uniform in space and constant in time. The same assumption can be made for the mantle density ρ1 and its temperature T1. The crust temperature T is constant in time but may depend on position. It is known that, with high precision, the crustal material expands linearly with temperature T. Since it is assumed that the temperatures of water and mantle are constant, it is convenient to use a dimensionless expression for the thermal expansion coefficient. Thus, l(T) = l1 [1 ) /(T1 , where l is the length of a segment of crustal material, l1 is its length at temperature T1, and k is the dimensionless thermal expansion coefficient, which may be assumed constant.
Figure 2. Oceanic ridge. Note that the z-axis points downward.
A.2 Assuming the crust is isotropic, find how its density ρ depends on temperature T. Assuming that |k| , write the answer in the appropriate form ρ(T) [1 + kT1 / T1 ] , (2) where terms of order k² and higher are neglected. Subsequently, identify the constant k.
0.6pt It is known that k > 0. Moreover, the thermal conductivity κ of the crust may be assumed constant. Consequently, far away from the ridge axis, the temperature of the crust depends linearly on depth.
A.3 Assuming that the mantle and water behave as an incompressible fluid in hydrostatic equilibrium, express the crust thickness far from the ridge D in terms of h, ρ0, ρ1, and k. Any material motion may be neglected.
1.1pt
Theory Q1-3 Italiano (Italy) A.4 Find, to first order in k, the total horizontal force F acting on the right half (x > 0) of the crust in terms of ρ₀, ρ₁, h, L, k, and g. 1.6pt
Assume the crust is thermally isolated from the rest of Earth. As a result of heat conduction, the temperatures at the upper and lower surfaces of the crust will approach each other until thermal equilibrium is reached. The specific heat capacity of the crust is cₑ, which may be considered constant.
A.5
Using dimensional analysis or order-of-magnitude estimation, estimate the characteristic time τ during which the difference between the upper surface temperature and lower surface temperature of the crust, far from the ridge axis, will approximately vanish. You may assume that τ does not depend on the two initial surface temperatures of the crust.
0.9pt
Part B. Seismic waves in a stratified medium (5.0 points)
Suppose a brief earthquake occurs on the surface of a planet. It may be assumed that the seismic waves originate from a linear source located at z = x = 0, where x is the horizontal coordinate and z is depth below the surface (Fig. 3). It may be assumed that the seismic source is much longer than any other length considered in this problem. Following the earthquake, a uniform flow of so-called P longitudinal waves is emitted in all directions within the x-z plane, having a positive component along the z-axis. Since the theory of wave propagation in solids is generally complicated, in this problem we neglect all other waves emitted by the earthquake. The planet’s crust is stratified such that the wave P speed modulus v depends on depth z according to the formula v = v₀(1 + z/z₀), where v₀ is the surface velocity and z₀ is a known positive constant.
Figure 3. Coordinate system used in part B.
B.1 Consider a single ray emitted by the earthquake that initially forms an angle 0 < θ₀ < π/2 with the z-axis and propagates in the x-z plane. What is the horizontal coordinate x₁(θ₀) at which this ray can be detected on the planet’s surface? It is known that the ray path is an arc of a circle. Express the answer in the form x₁(θ₀) = A cot(bθ₀), where A and b are constants to be determined. 1.5pt
Theory Q1–4 Italian (Italy) If you were unable to find A and b in the previous questions, you may use the result x₁(θ₀) = Acot(bθ₀) as provided. Suppose that the total energy, per unit length of the source, released in P-waves into the crust during the earthquake is E. Suppose that the waves are completely absorbed when reaching the planet’s surface from below.
B.2 Find how the energy density per unit area ε(x) absorbed by the surface depends on the distance along the surface x. Draw the dependence of ε(x). 1.5 pt
From now on, suppose that the waves are instead completely reflected when reaching the surface. Imagine a device located at z = x = 0, having the same geometry as the seismic source previously considered. The device is capable of emitting P-waves with a freely chosen angular distribution. We arrange for the device to emit a signal within a narrow range of emission angles. In particular, the initial angle that the signal makes with the vertical lies in the interval [θ₀ , θ₀ + ½δθ₀], where 0 < θ₀ < π/2, δθ₀ , and δθ₀ .
B.3 At what distance xmax along the surface from the source is located the farthest point not reached by the signal? Write your answer as a function of θ₀, δθ₀, and any other constants provided above. 2.0 pt
p.1 — Columns A and B, oceanic ridge
p.2 — Internal planetary section, density profile
p.3 — Coordinate system for seismic P waves
Solution: Soluzioni (PDF)