IPhO 2022 — Teorica — Q1

Theory Q1-1 Italiano (Italy) Magneti permanenti (10 punti) I magneti permanenti molto intensi sono realizzati in lega NdFeB e hanno un ciclo di isteresi molto esteso, cosicché la magnetizzazione $J$ può essere assunta costante in un’ampia gamma di applicazioni; in questo problema, assumiamo $J\equiv 1.5\text{T}/{\mu }_0$, dove ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ e la magnetizzazione di tutti i magneti permanenti è omogenea. La magnetizzazione è definita come la densità di volume del momento di dipolo magnetico della materia. Suggerimento 1: La seguente uguaglianza potrebbe essere utile: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}.$ Suggerimento 2. Il campo magnetico creato da un magnete sferico è identico a quello di un dipolo puntiforme. I campi magnetici creati da magneti di altre forme geometriche diventano equivalenti a campi di dipolo puntiformi solo a distanze molto maggiori della loro lunghezza caratteristica. Suggerimento 3. Le formule dei campi elettrici e magnetici dei dipoli puntiformi elettrici e magnetici in funzione delle coordinate e del corrispondente momento di dipolo sono simili, cioè si possono ottenere l’uno dall’altro moltiplicandolo per un fattore costante. Suggerimento 4. Il campo indotto dovuto a una condizione al contorno può sempre essere sostituito da una configurazione di sorgenti di campo al di fuori dei limiti dati. Parte A. Interazione tra magneti (4,5 punti) In un punto la cui distanza da un magnete è molto maggiore delle dimensioni del magnete stesso, il campo magnetico creato dal magnete può essere approssimato con il campo magnetico del suo momento di dipolo $\vec{m}$, $\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}(2{\vec{m}}_{\parallel }-{\vec{m}}_{\perp }).$ Qui $r=|\vec{r}|$, e abbiamo scomposto il momento del dipolo in componenti parallele e perpendicolari al vettore raggio $\vec{r}$ tracciato dal dipolo al punto di osservazione, $\vec{m}={\vec{m}}_{\perp }+{\vec{m}}_{\parallel }$. A.1 Trovare l’intensità della forza di interazione tra due magneti cilindrici coassiali ciascuno di diametro $d=20\text{mm}$ e altezza $h=2\text{mm}$, magnetizzati parallelamente al loro asse, se la distanza tra i centri dei magneti è $L=20\text{cm}$. Si può ipotizzare che $L\gg d$, $h$. 0.6pt A.2 Per distanze molto maggiori di $\frac{h}{2}$ il campo creato dal magnete della domanda A.1 è uguale a quello creato da una corrente circolare $I$. Trovare $I$. 0.4pt

Theory Q1-2 Italiano (Italy) A.3 Trovare la forza di interazione tra i magneti nella configurazione della domanda A.1 nel caso $L=5\text{mm}$. Si può assumere che $d\gg L\gg h$. 1.0pt A.4 Una catena è formata da sfere magnetiche identiche di diametro $\delta =5\text{mm}$, tenute insieme dall’attrazione magnetica. Qual è la lunghezza massima $l$ di una catena che non si spezza sotto il suo stesso peso quando è appesa sotto il magnete più alto? La densità dei magneti NdFeB vale $\rho =7500{\text{kg/m}}^3$. 1.0pt A.5 Si consideri la catena della domanda precedente A.4. Ottenere l’espressione per l’intensità del campo magnetico $B$ in un punto $P$ che si trova a distanza $r$ da uno degli estremi della catena $O$, con un angolo tra la catena e la linea $OP$ pari a $\theta$ (cfr. figura seguente), assumendo che $l\gg r$ e $r\sin \theta \gg \delta$ … … 1.5pt Parte B. Interazione con i ferromagneti (3,5 punti) Ora assumiamo che oltre ai magneti permanenti abbiamo anche piastre realizzate con un materiale ferromagnetico, simile a quello utilizzato nei nuclei dei trasformatori. Nelle situazioni di cui ci occupiamo, si può considerare che abbia una permeabilità relativa costante ma molto ampia ${\mu }_r\sim 10^5$. Suggerimento 5. Grande permeabilità significa che le linee del campo magnetico vicino alla superficie esterna di un oggetto fatto di questo materiale sono quasi perpendicolari alla superficie. Questo è simile al comportamento delle linee di campo elettrico vicino alla superficie esterna di un conduttore.

Theory Q1-3 Italiano (Italy) B.1 Una sfera magnetizzata come nella domanda A.4 si trova a una distanza $s=\delta$ da una spessa piastra ferromagnetica infinita (vedi il foglio risposte). La magnetizzazione della sfera è orientata perpendicolarmente alla piastra. Disegnare le linee di campo nella sezione trasversale mostrata nel foglio delle risposte. Nella figura sono riportati tre punti (indicati come 1, 2 e 3); è necessario mostrare interamente le linee di campo che passano per ciascuno di questi punti, per quanto è possibile inserire nello spazio della figura. 1.0pt B.2 Ora la sfera magnetizzata viene messa a diretto contatto con la piastra. Quale direzione e verso assume il vettore magnetizzazione della sfera magnetizzata in equilibrio stabile e qual è la forza normale tra la piastra e la sfera? Segnate la direzione e verso corretta con un segno di spunta nella casella corrispondente del foglio risposte. I segni di spunta errati ridurranno il punteggio. 1.0pt B.3 Ora un magnete della domanda A.1 è posto tra due spesse piastre ferromagnetiche circolari di diametro $D=2d$ in modo che le facce piane del magnete siano premute contro le piastre e tutti e tre i dischi siano coassiali. Trovare la forza magnetica $F$ che agisce su ciascuna piastra. Suggerimento: puoi trascurare il campo magnetico sia quello esterno alle piastre ferromagnetiche e sia quello esterno nella fessura tra le stesse. 1.5pt Parte C. Ordine (anti)ferromagnetico (2 punti) Le proprietà magnetiche dei materiali sono dovute ai momenti di dipolo magnetico degli elettroni e dei nuclei atomici. Se i momenti di dipolo si orientano parallelamente l’uno all’altro, il campo da essi creato è amplificato: si tratta di materiali ferromagnetici. D’altra parte, se per ogni momento di dipolo c’è un altro momento di dipolo antiparallelo nelle vicinanze, i campi si annullano: si tratta di materiali antiferromagnetici. Nella parte che segue, consideriamo un numero molto elevato di sfere magnetizzate come nella domanda A.4, disposte ai nodi di un reticolo bidimensionale; sono mostrate foto reali delle configurazioni di equilibrio stabile. Si supponga che tutti i vettori di magnetizzazione giacciano nel piano della figura. Considerate nei vostri calcoli solo le interazioni dei primi vicini (nella figura di C.1 ogni magnete ha quattro vicini, mentre in quella di C.2 ne ha sei).

Theory Q1-4 Italiano (Italy) C.1 Mostrate le direzioni e verso di magnetizzazione dei magneti nella figura sottostante. Non sei tenuto a dimostrare che la configurazione che hai suggerito è l’unica possibile. Devi comunque giustificare che la configurazione che hai suggerito è effettivamente stabile. Trovate l’energia necessaria per estrarre un magnete da questo reticolo da un punto centrale del reticolo, assumendo che gli altri magneti siano mantenuti fermi. Questa configurazione si adatta all’ordine dei materiali ferromagnetici o antiferromagnetici? 0.8pt C.2 Rispondete alle stesse domande di C.1 per la configurazione mostrata nella figura seguente. 1.2pt

p.1 — Due magneti cilindrici coassiali, magnetizzazione J

p.2 — Catena verticale di magneti, lunghezza l, angolo theta

p.4 — Reticolo esagonale di sfere magnetiche

p.4 — Reticolo quadrato di sfere magnetiche

Topic: Magnetism, Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Physical Modeling, Vector Decomposition, Symmetry Argument, Superposition Principle, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Magnet, Cylinder, Sphere, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Theory Q1-1 English (International) Permanent Magnets (10 points) Very strong permanent magnets are made from NdFeB alloy and have a very extended hysteresis loop, so that the magnetization $J$ can be assumed constant over a wide range of applications; in this problem, we assume $J\equiv 1.5\text{T}/{\mu }_0$, where ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ is the magnetization of all permanent magnets and is homogeneous. Magnetization is defined as the volume density of the magnetic dipole moment of matter.

Hint 1: The following identity might be useful: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}.$

Hint 2. The magnetic field produced by a spherical magnet is identical to that of a point dipole. Magnetic fields generated by magnets of other geometries become equivalent to those of point dipoles only at distances much larger than their characteristic length.

Hint 3. The formulas for the electric and magnetic fields of point electric and magnetic dipoles, as functions of coordinates and their respective dipole moments, are similar; that is, one can be obtained from the other by multiplying by a constant factor.

Hint 4. The induced field due to a boundary condition can always be replaced by a source configuration located outside the given boundaries.

Part A. Interaction between magnets (4.5 points) At a point whose distance from a magnet is much greater than the magnet’s dimensions, the magnetic field produced by the magnet can be approximated by the magnetic field of its dipole moment $\vec{m}$, $\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}(2{\vec{m}}_{\parallel }-{\vec{m}}_{\perp }).$ Here $r=|\vec{r}|$, and we have decomposed the dipole moment into components parallel and perpendicular to the radius vector $\vec{r}$ drawn from the dipole to the observation point, $\vec{m}={\vec{m}}_{\perp }+{\vec{m}}_{\parallel }$.

A.1 Find the magnitude of the interaction force between two coaxial cylindrical magnets, each with diameter $d=20\text{mm}$ and height $h=2\text{mm}$, magnetized parallel to their axis, if the distance between the centers of the magnets is $L=20\text{cm}$. It may be assumed that $L\gg d$, $h$.

0.6pt

A.2 For distances much greater than $\frac{h}{2}$, the field produced by the magnet in question A.1 is equivalent to that produced by a circular current $I$. Find $I$.

0.4pt

Theory Q1-2 Italiano (Italy)

A.3 Find the interaction force between the magnets in the configuration of question A.1 in the case $L=5\text{mm}$. It may be assumed that $d\gg L\gg h$. 1.0pt

A.4 A chain is made of identical magnetic spheres with diameter $\delta =5\text{mm}$, held together by magnetic attraction. What is the maximum length $l$ of such a chain that does not break under its own weight when suspended from the topmost magnet? The density of NdFeB magnets is $\rho =7500{\text{kg/m}}^3$. 1.0pt

A.5 Consider the chain from previous question A.4. Derive the expression for the magnetic field strength $B$ at a point $P$ located at distance $r$ from one end of the chain $O$, with an angle between the chain and the line $OP$ equal to $\theta$ (see following figure), assuming that $l\gg r$ and $r\sin \theta \gg \delta$ … … 1.5pt

Part B. Interaction with Ferromagnets (3.5 points) Now we assume that, in addition to permanent magnets, we also have plates made of a ferromagnetic material similar to that used in transformer cores. In the situations we consider, it may be assumed that this material has a constant but very large relative permeability ${\mu }_r\sim 10^5$.

Hint 5. High permeability implies that magnetic field lines near the external surface of an object made from this material are almost perpendicular to the surface. This behavior is similar to that of electric field lines near the external surface of a conductor.

Theory Q1-3 Italiano (Italy)

B.1 A magnetized sphere, as in question A.4, is located at a distance $s=\delta$ from an infinite thick ferromagnetic plate (see answer sheet). The magnetization of the sphere is oriented perpendicular to the plate. Draw the magnetic field lines in the cross-sectional view shown on the answer sheet. Three points are indicated in the figure (labeled 1, 2, and 3); you must fully draw the field lines passing through each of these points, as much as possible within the space provided in the figure. 1.0pt B.2 Now, the magnetized sphere is brought into direct contact with the plate. What direction and sense does the magnetization vector of the sphere take in stable equilibrium? What is the normal force between the plate and the sphere? Mark the correct direction and sense by placing a checkmark in the corresponding box on the answer sheet. Incorrect checkmarks will reduce your score. 1.0pt B.3 Now, a magnet from question A.1 is placed between two thick circular ferromagnetic plates of diameter $D=2d$, such that the flat faces of the magnet are pressed against the plates and all three disks are coaxial. Find the magnetic force $F$ acting on each plate. Hint: You may neglect the magnetic field both outside the ferromagnetic plates and outside the gap between them. 1.5pt Part C. Antiferromagnetic (or ferromagnetic) order (2 points) The magnetic properties of materials arise from the magnetic dipole moments of electrons and atomic nuclei. If the dipole moments align parallel to one another, the resulting magnetic field is amplified: these are ferromagnetic materials. Conversely, if for every dipole moment there exists another nearby dipole moment oriented antiparallel, the fields cancel each other out: these are antiferromagnetic materials.

In the following section, we consider a very large number of magnetized spheres as in question A.4, arranged at the nodes of a two-dimensional lattice; actual photographs of stable equilibrium configurations are shown. Assume that all magnetization vectors lie in the plane of the figure. In your calculations, consider only interactions with nearest neighbors (in Figure C.1 each magnet has four neighbors, while in Figure C.2 it has six).

Theory Q1–4 Italian (Italy)

C.1 Show the directions and senses of magnetization of the magnets in the figure below. You are not required to prove that the configuration you suggest is the only possible one. However, you must justify why the configuration you propose is indeed stable. Determine the energy required to extract a magnet from this lattice starting from a central point of the lattice, assuming that the other magnets are held fixed. Does this configuration correspond to the ordering in ferromagnetic or antiferromagnetic materials? 0.8 pt

C.2 Answer the same questions as in C.1 for the configuration shown in the following figure. 1.2 pt

p.1 — Two coaxial cylindrical magnets, magnetization J

p.2 — Vertical chain of magnets, length l, angle theta

p.4 — Hexagonal lattice of magnetic spheres

p.4 — Square lattice of magnetic spheres

Solution: Soluzioni (PDF)