OII na Teorica

Theory Q1-1 Italiano (Italy) Magneti permanenti (10 punti) I magneti permanenti molto intensi sono realizzati in lega NdFeB e hanno un ciclo di isteresi molto esteso, cosicché la magnetizzazione $J$ può essere assunta costante in un’ampia gamma di applicazioni; in questo problema, assumiamo $J\equiv 1.5\text{T}/{\mu }_0$, dove ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ e la magnetizzazione di tutti i magneti permanenti è omogenea. La magnetizzazione è definita come la densità di volume del momento di dipolo magnetico della materia. Suggerimento 1: La seguente uguaglianza potrebbe essere utile: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}.$ Suggerimento 2. Il campo magnetico creato da un magnete sferico è identico a quello di un dipolo puntiforme. I campi magnetici creati da magneti di altre forme geometriche diventano equivalenti a campi di dipolo puntiformi solo a distanze molto maggiori della loro lunghezza caratteristica. Suggerimento 3. Le formule dei campi elettrici e magnetici dei dipoli puntiformi elettrici e magnetici in funzione delle coordinate e del corrispondente momento di dipolo sono simili, cioè si possono ottenere l’uno dall’altro moltiplicandolo per un fattore costante. Suggerimento 4. Il campo indotto dovuto a una condizione al contorno può sempre essere sostituito da una configurazione di sorgenti di campo al di fuori dei limiti dati. Parte A. Interazione tra magneti (4,5 punti) In un punto la cui distanza da un magnete è molto maggiore delle dimensioni del magnete stesso, il campo magnetico creato dal magnete può essere approssimato con il campo magnetico del suo momento di dipolo $\vec{m}$, $\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}(2{\vec{m}}_{\parallel }-{\vec{m}}_{\perp }).$ Qui $r=|\vec{r}|$, e abbiamo scomposto il momento del dipolo in componenti parallele e perpendicolari al vettore raggio $\vec{r}$ tracciato dal dipolo al punto di osservazione, $\vec{m}={\vec{m}}_{\perp }+{\vec{m}}_{\parallel }$. A.1 Trovare l’intensità della forza di interazione tra due magneti cilindrici coassiali ciascuno di diametro $d=20\text{mm}$ e altezza $h=2\text{mm}$, magnetizzati parallelamente al loro asse, se la distanza tra i centri dei magneti è $L=20\text{cm}$. Si può ipotizzare che $L\gg d$, $h$. 0.6pt A.2 Per distanze molto maggiori di $\frac{h}{2}$ il campo creato dal magnete della domanda A.1 è uguale a quello creato da una corrente circolare $I$. Trovare $I$. 0.4pt

Theory Q1-2 Italiano (Italy) A.3 Trovare la forza di interazione tra i magneti nella configurazione della domanda A.1 nel caso $L=5\text{mm}$. Si può assumere che $d\gg L\gg h$. 1.0pt A.4 Una catena è formata da sfere magnetiche identiche di diametro $\delta =5\text{mm}$, tenute insieme dall’attrazione magnetica. Qual è la lunghezza massima $l$ di una catena che non si spezza sotto il suo stesso peso quando è appesa sotto il magnete più alto? La densità dei magneti NdFeB vale $\rho =7500{\text{kg/m}}^3$. 1.0pt A.5 Si consideri la catena della domanda precedente A.4. Ottenere l’espressione per l’intensità del campo magnetico $B$ in un punto $P$ che si trova a distanza $r$ da uno degli estremi della catena $O$, con un angolo tra la catena e la linea $OP$ pari a $\theta$ (cfr. figura seguente), assumendo che $l\gg r$ e $r\sin \theta \gg \delta$ … … 1.5pt Parte B. Interazione con i ferromagneti (3,5 punti) Ora assumiamo che oltre ai magneti permanenti abbiamo anche piastre realizzate con un materiale ferromagnetico, simile a quello utilizzato nei nuclei dei trasformatori. Nelle situazioni di cui ci occupiamo, si può considerare che abbia una permeabilità relativa costante ma molto ampia ${\mu }_r\sim 10^5$. Suggerimento 5. Grande permeabilità significa che le linee del campo magnetico vicino alla superficie esterna di un oggetto fatto di questo materiale sono quasi perpendicolari alla superficie. Questo è simile al comportamento delle linee di campo elettrico vicino alla superficie esterna di un conduttore.

Theory Q1-3 Italiano (Italy) B.1 Una sfera magnetizzata come nella domanda A.4 si trova a una distanza $s=\delta$ da una spessa piastra ferromagnetica infinita (vedi il foglio risposte). La magnetizzazione della sfera è orientata perpendicolarmente alla piastra. Disegnare le linee di campo nella sezione trasversale mostrata nel foglio delle risposte. Nella figura sono riportati tre punti (indicati come 1, 2 e 3); è necessario mostrare interamente le linee di campo che passano per ciascuno di questi punti, per quanto è possibile inserire nello spazio della figura. 1.0pt B.2 Ora la sfera magnetizzata viene messa a diretto contatto con la piastra. Quale direzione e verso assume il vettore magnetizzazione della sfera magnetizzata in equilibrio stabile e qual è la forza normale tra la piastra e la sfera? Segnate la direzione e verso corretta con un segno di spunta nella casella corrispondente del foglio risposte. I segni di spunta errati ridurranno il punteggio. 1.0pt B.3 Ora un magnete della domanda A.1 è posto tra due spesse piastre ferromagnetiche circolari di diametro $D=2d$ in modo che le facce piane del magnete siano premute contro le piastre e tutti e tre i dischi siano coassiali. Trovare la forza magnetica $F$ che agisce su ciascuna piastra. Suggerimento: puoi trascurare il campo magnetico sia quello esterno alle piastre ferromagnetiche e sia quello esterno nella fessura tra le stesse. 1.5pt Parte C. Ordine (anti)ferromagnetico (2 punti) Le proprietà magnetiche dei materiali sono dovute ai momenti di dipolo magnetico degli elettroni e dei nuclei atomici. Se i momenti di dipolo si orientano parallelamente l’uno all’altro, il campo da essi creato è amplificato: si tratta di materiali ferromagnetici. D’altra parte, se per ogni momento di dipolo c’è un altro momento di dipolo antiparallelo nelle vicinanze, i campi si annullano: si tratta di materiali antiferromagnetici. Nella parte che segue, consideriamo un numero molto elevato di sfere magnetizzate come nella domanda A.4, disposte ai nodi di un reticolo bidimensionale; sono mostrate foto reali delle configurazioni di equilibrio stabile. Si supponga che tutti i vettori di magnetizzazione giacciano nel piano della figura. Considerate nei vostri calcoli solo le interazioni dei primi vicini (nella figura di C.1 ogni magnete ha quattro vicini, mentre in quella di C.2 ne ha sei).

Theory Q1-4 Italiano (Italy) C.1 Mostrate le direzioni e verso di magnetizzazione dei magneti nella figura sottostante. Non sei tenuto a dimostrare che la configurazione che hai suggerito è l’unica possibile. Devi comunque giustificare che la configurazione che hai suggerito è effettivamente stabile. Trovate l’energia necessaria per estrarre un magnete da questo reticolo da un punto centrale del reticolo, assumendo che gli altri magneti siano mantenuti fermi. Questa configurazione si adatta all’ordine dei materiali ferromagnetici o antiferromagnetici? 0.8pt C.2 Rispondete alle stesse domande di C.1 per la configurazione mostrata nella figura seguente. 1.2pt

p.1 — Due magneti cilindrici coassiali, magnetizzazione J

p.2 — Catena verticale di magneti, lunghezza l, angolo theta

p.4 — Reticolo esagonale di sfere magnetiche

p.4 — Reticolo quadrato di sfere magnetiche

Topic: Magnetism, Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Physical Modeling, Vector Decomposition, Symmetry Argument, Superposition Principle, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Magnet, Cylinder, Sphere, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Theory Q1-1 Italian (Italy) Permanent magnets (10 points) The very intense permanent magnets are made of NdFeB alloy and have a very long hysteresis cycle. So that magnetization $J$ can be assumed constantly in a wide range of applications; in this case, problema, assumiamo $J\equiv 1.5\text{T}/{\mu }_0$, dove ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ e la magnetizzazione di tutti i magneti The permanent is homogeneous. Magnetization is defined as the volume density of the dipole moment The magnetic field of matter. Tip 1: The following equation may be useful: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}.$ Suggestion two. The magnetic field created by a spherical magnet is identical to that of a pointed dipole. Magnetic fields created by magnets of other geometric shapes become equivalent to fields. The main features of the method are the use of a high-speed linearly oriented, pointed dipole only at distances much greater than their characteristic length. Suggestion three. Electric and magnetic field formulas of electric and magnetic point dipoles in The coordinates and the corresponding dipole moment function are similar, i.e. you can get So we’re going to multiply it by a constant. Suggestion four. The induced field due to a circumference condition can always be replaced by a configuration of field sources outside data limits. Part A. Interaction between magnets (4,5 points) At a point where the distance from a magnet is much larger than the magnets themselves, the magnetic field created by the magnet can be approximated by the magnetic field of its moment a diameter of $\vec{m}$, $\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}(2{\vec{m}}_{\parallel }-{\vec{m}}_{\perp }).$ Here $r=|\vec{r}|$, and we broke the dipole moment into parallel and perpendicular components to the The vehicle beam $\vec{r}$ traced from the dipole to the observation point, $\vec{m}={\vec{m}}_{\perp }+{\vec{m}}_{\parallel }$. A.1 Find the intensity of the interaction force between two coaxial cylindrical magnets Each of $d=20\text{mm}$ diameter and $h=2\text{mm}$ height, magnetized parallel to their axis, if the distance between the centres of the magnets is $L=20\text{cm}$. You can ipotizzare che $L\gg d$, $h$. 0.6pt A.2 For distances much greater than $\frac{h}{2}$ the field created by the magnet in question A.1 is equal to that created by a circular current $I$. Find $I$. 0.4pt

Theory Q1-2 Italian (Italy) A.3 Find the force of interaction between magnets in the configuration of the demand A.1 in the case of $L=5\text{mm}$. It can be assumed that $d\gg L\gg h$. 1.0pt A.4 A chain is made up of identical magnetic spheres of $\delta =5\text{mm}$ diameter held together by magnetic attraction. What is the maximum length $l$ of a chain that does not break under its own weight when suspended under the magnet higher? The density of NdFeB magnets is $\rho =7500{\text{kg/m}}^3$. 1.0pt A.5 Consider the chain of the previous application A.4. Obtaining the expression for the magnetic field intensity $B$ at a point $P$ located at a distance $r$ from one of the ends of the $O$ chain, with an angle between the chain and the $OP$ line equal to $\theta$ (see also The following figure), assuming that $l\gg r$ and $r\sin \theta \gg \delta$ … … 1.5pt Part B. Interaction with ferromagnetic agents (3,5 points) Now let’s assume that in addition to permanent magnets, we also have plates made of a material. The ferromagnetic material, similar to that used in the transformers’ cores. In the situations we deal with, It can be considered to have a constant but very wide relative permeability ${\mu }_r\sim 10^5$. Suggestion five. High permeability means that magnetic field lines near the surface The outer surface of an object made of this material is almost perpendicular to the surface. This is similar. the behaviour of electric field lines near the outer surface of a conductor.

Theory Q1-3 Italian (Italy) B.1 A magnetized sphere as in question A.4 is located at a distance $s=\delta$ The resulting material is a thick, infinite ferromagnetic plate (see the answer sheet). The magnetization of the sphere is oriented perpendicular to the plate. Drawing the field lines in the cross section shown in the answer sheet. Figure 3 shows three points (called 1, 2 and 3); the entire field lines passing through each of these points, for How much space can be inserted into the figure space. 1.0pt B.2 Now the magnetized sphere is put in direct contact with the plate. Which one? direction and direction of the magnetisation vector of the magnetised sphere What is the normal force between the plate and the sphere? Sign the Direction and direction correctly with a check mark in the corresponding box The answer sheet. The wrong kick marks will reduce the score. 1.0pt B.3 Now a magnet in question A.1 is placed between two thick circular ferromagnetic plates of $D=2d$ diameter so that the flat surfaces of the magnet are Press against the plates and all three discs are co-axial. Finding the Strength magnetic $F$ acting on each plate. Suggestion: you can ignore the The magnetic field is either the external magnetic field of the ferromagnetic plates and the The outside in the crack between them. 1.5pt Part C. The following is the list of the types of products which are used in the manufacture of the product: The magnetic properties of the materials are due to the magnetic dipole moments of the electrons and The nuclear energy of the atomic nucleus. If the dipole moments are oriented parallel to each other, the field from them is the The Commission has already adopted a proposal for a directive on the protection of workers’ rights. On the other hand, if for any time of the There’s another time of counterparallel dipole nearby, the fields cancel out: it’s materials. The manufacturer shall be responsible for the operation of the equipment. In the following part, we consider a very high number of magnetized spheres as in question A.4, arranged at the nodes of a two-dimensional lattice; real photos of the configurations are shown. The Commission shall adopt the following measures: Suppose all magnetization vectors lie in the plane of the figure. Consider in your calculations only the interactions of the first neighbors (in Figure C.1 each magnet has a The Commission has four neighbours, while C2 has six.

Theory Q1-4 Italian (Italy) C.1 Show the magnetization directions and directions of the magnets in the figure below. You’re not required to prove that the configuration you suggested is the only possible one. You must justify that the configuration you have The proposed system is actually stable. Find the energy needed to extract a magnet from this lattice from a the centre of the lattice, assuming that the other magnets are maintained Stop it, please. This configuration is suitable for the order of the ferromagnetic materials or What about the anti-ferromagnetic? 0.8pt C.2 Answer the same questions as C.1 for the configuration shown in the following figure. 1.2pt

p.1 — Due magneti cilindrici coassiali, magnetizzazione J

p.2 — Catena verticale di magneti, lunghezza l, angolo theta

p.4 — Reticolo esagonale di sfere magnetiche

p.4 — Reticolo quadrato di sfere magnetiche

Topic: Magnetism, Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Physical Modeling, Vector Decomposition, Symmetry Argument, Superposition Principle, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Magnet, Cylinder, Sphere, Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)