OII na Teorica

James Webb Space Telescope (12 punti)

Questo è un problema sulla fisica del James Webb Space Telescope. La luce proveniente da una stella colpisce lo specchio primario, che ha un’area di $A_{\text{mirror}}=25{\text{m}}^2$, e la riflette sullo specchio secondario. La lunghezza focale del sistema è $f=130\text{m}$. La luce viene focalizzata nell’ISIM (Integrated Science Instrument Module), che contiene il sensore CCD (Charge-Coupled-Device).

Fonte dell’immagine: NASA

Parte A. Visualizzare una stella (1.8 punti)

La stella gigante rossa più vicina si trova ad una distanza di 89 anni-luce, ha una temperatura di $T_{\text{star}}=3600\text{K}$, e un diametro $d_o=1.7\times 10^{11}\text{m}$.

A.1 Calcola il diametro dell’immagine della stella focalizzata sulla superficie sensibile del sensore CCD. 0.4pt

A.2 Stima il diametro del massimo centrale di diffrazione sulla superficie sensibile del sensore CCD. Assumi una lunghezza d’onda $\lambda =800\text{nm}$, che è la lunghezza d’onda del massimo di intensità della stella gigante rossa. 0.4pt

A.3 Se il sensore del CCD non viene raffreddato e può perdere calore solo irradiandolo dalla parte superiore della superficie sensibile, quale sarebbe la temperatura di equilibrio del CCD nell’area ove si forma l’immagine della gigante rossa? Si assuma che la superficie del CCD sia quella di un corpo nero. Si fornisca una formula ed una stima numerica. 1.0pt

Parte B. Contare i fotoni (1.8 punti)

L’assorbimento di un fotone dal sensore del CCD provoca l’emissione di un elettrone nell’apparato. Questo avviene solo se il fotone ha energia sufficiente per eccitare un elettrone a superare il gap di energia $\Delta E_g$. Si assuma che ogni fotone che ha energia sufficiente ecciti un elettrone. Esiste anche una fuoriuscita di elettroni attraverso il gap dovuta alla temperatura del sensore CCD; questa è la corrente di buio $i_d$ e viene misurata in numero di elettroni al secondo. È una funzione della temperatura secondo relazione

$i_d=i_0{e}^{-|\Delta E_g|/6k_{B}T}.(1)$

dove $i_0$ è una costante.

Il grafico mostra come varia la corrente di buio con la temperatura. Le unità per la corrente di buio, $e^{-}/\text{s}$ devono essere interpretate come espressione del conteggio del numero di elettroni per secondo.

B.1 Dal grafico della corrente di buio, fornisci una stima dell’ordine di grandezza della temperatura di una sorgente lontana di fotoni termici di soglia che sarebbero in grado di eccitare appena un elettrone in quel pixel. 0.4pt

Gli elettroni sono raccolti in un condensatore, e dopo un tempo di esposizione $\tau$, vengono contati. Ci sono tre sorgenti principali di errori nel processo: una incertezza fissa nel processo di conteggio chiamata errore di lettura; un errore distribuito secondo la distribuzione di Poisson associato con la corrente di buio, un errore distribuito secondo la distribuzione di Poisson associato con la rivelazione del fotone incidente. Gli errori distribuiti secondo la distribuzione di Poisson sono uguali alla radice quadrata del numero di conteggi associati con quel processo.

Il numero di fotoni misurato è uguale al numero di elettroni nel condensatore meno il numero di elettroni associati con la corrente di buio.

B.2 Scrivi una espressione per l’incertezza totale del conteggio ${\sigma }_t$, in presenza di un errore di lettura ${\sigma }_l$, una corrente di buio $i_d$, un numero di fotoni incidenti per secondo $p$, e un tempo di esposizione $\tau$. 0.4pt

Per le rimanenti domande di questa parte si assuma per il tempo di esposizione $\tau =10^4\text{s}$ e l’errore di lettura è fissato al valore ${\sigma }_r=14$.

B.3 Si assuma una temperatura di esercizio pari a $T_p=7.5\text{K}$. Si calcoli il numero minimo di fotoni incidenti al secondo $p$ affinché il conteggio dei fotoni sia dieci volte l’incertezza del conteggio. 0.5pt

B.4 Assumendo che tutti i fotoni siano appena in grado di eccitare un elettrone attraverso il gap di energia qual è l’intensità della sorgente di fotoni trovata in B.3 sullo specchio primario? Si esprima il risultato in ${\text{W/m}}^2$. 0.5pt

Parte C. Raffreddamento passivo (4.4 punti)

Un sensore CCD deve essere mantenuto a bassa temperatura. La prima accortezza è mettere uno schermo per proteggerlo dalla radiazione del sole.

Lo schermo solare consiste di cinque strati separati riflettenti in fogli sottili (in colore scuro nella figura); l’energia radiante (in colore chiaro nella figura) del sole incide sul primo foglio a sinistra e una certa quantità di energia sfugge tra ogni coppia di fogli.

Schema del flusso di energia: le linee verticali (scure) rappresentano i fogli, il flusso di energia (grigio) avviene da sinistra a destra ma, tra i fogli, una parte dell’energia fluisce verso l’alto e fuori nello spazio.

A sinistra Un semplice modello di due fogli adiacenti, 1 e 2 separati da una distanza $h$. I fogli non si toccano e il perimetro comunica con lo spazio. Per semplicità si assuma che i fogli siano paralleli. La radiazione termica può essere scambiata tra i fogli e la radiazione termica può sfuggire attraverso lo spazio aperto nel perimetro. A destra lo spazio del perimetro è stato ombreggiato per aiutare la visualizzazione.

Si assumano le seguenti approssimazioni:

• I fogli sono quadrati ciascuno con un’area pari a $A_{\text{sheet}}=200{\text{m}}^2$.
• I fogli sono paralleli e separati di $h=25\text{cm}$ lungo il perimetro.
• I fogli hanno un coefficiente di emissività $ϵ\ll 1$. Si assuma che tutte le riflessioni al di fuori delle superfici del foglio sono diffuse.
• I fogli sono sottili e la temperatura sulle facce anteriori e posteriori sono uguali e uniformi.
• La frazione di flusso radiante emessa da un foglio e assorbita dal foglio adiacente è $\alpha \le 1$. Ciò significa che se la superficie 1 in figura emette una quantità di calore $Q_1$ verso la superficie 2 allora la superficie 2 assorbirà una quantità di calore $\alpha Q_1$ dalla superficie 1.
• La quantità di flusso radiante espulsa dallo spazio lungo il perimetro tra i due fogli viene approssimata come $\beta Q_{12}$ mentre $\alpha Q_{12}$ è il flusso netto tra i due fogli. Si assuma $\beta <1$. Questo equivale a dire che il calore perso nello spazio tra i due fogli è proporzionale al calore netto scambiato tra i due fogli. Questa è una approssimazione brutale nel problema.
• La temperatura di fondo dello spazio è trascurabile.

C.1 Si ricavi l’espressione per le temperature di equilibrio del primo foglio e del quinto foglio in termini della intensità della radiazione solare incidente $I_0$, le costanti $\alpha$ e $\beta$, e le necessarie costanti fisiche. Per semplificare l’espressione è possibile definire ulteriori costanti espresse in funzione di $\alpha$ e $\beta$, etc. 2.4pt

C.2 Si ricavino stime numeriche per $\alpha$ e $\beta$ dalle informazioni sulla geometria dei fogli assumendo un coefficiente di emissività $ϵ=0.05$. Si raccomanda di considerare il modello a scatola rettangolare dei fogli presentato sopra, dove la superficie laterale agisce effettivamente come un assorbitore ideale di energia radiante. 1.6pt

C.3 Determina numericamente le temperature dei fogli 1 e 5. L’intensità solare è $I_0=1360{\text{W/m}}^2$. 0.4pt

Parte D. Refrigeratore criogenico. (4 punti)

L’ultimo stadio del sistema di raffreddamento raffredda direttamente il CCD. Un sistema di raffreddamento a ciclo chiuso ha un tubo di ingresso che immette elio gassoso a pressione costante $P_1$. L’elio fluisce attraverso una intercapedine porosa spugnosa (porous plug) in un tubo a pressione costante $P_2$. Il tubo trasporta il gas che raffredda il CCD. L’elio gassoso passa quindi attraverso una pompa prima di ritornare alla linea di ingresso.

Elio gassoso, fornito a sinistra ad una pressione ben definita $P_1$ e temperatura $T_1$ viene forzato attraverso una intercapedine ad una pressione $P_2$ e temperatura $T_2$, ben definite e viene rimosso da destra.

Quando il gas attraversa l’interfaccia porosa, l’attrito viscoso con le pareti sottili dei canali nella parte spugnosa ha un effetto rilevante; invece, non vi è scambio di calore dal gas durante questo processo. La velocità della massa di gas nella regione 2 è solo marginalmente maggiore della velocità della massa di gas nella regione 1.

L’elio non è un gas perfetto, ma rimane allo stato gassoso durante tutto il processo.

D.1 Si consideri una mole di gas che attraversa da sinistra a destra l’interfaccia. Si completi la tabella nel foglio risposte scrivendo ’>’ o ’<’ per identificare la quantità che deve essere maggiore, ’=’ per identificare le quantità che devono essere uguali, o ’?’ se non è possibile sapere quale è maggiore o uguale senza ulteriori informazioni. 1.0pt

D.2 Si identifichi una grandezza fisica conservata costruita a partire da $U$ (energia interna), $P$ (pressione), e $V$ (volume) quando una mole di gas attraversa l’interfaccia; si mostrino i passaggi esplicativi di come viene derivata la grandezza fisica conservata. 0.6pt

Il foglio risposte contiene grafici di energia interna per unità di massa in funzione del volume per unità di massa per l’elio insieme con le isoterme e le linee ad entropia costante.

D.3 Assumendo $V_2=0.100{\text{m}}^3/\text{kg}$ e $T_2=7.5\text{K}$, si utilizzi il grafico per trovare un valore numerico per la grandezza fisica conservata trovata nella domanda D.2. Si mostri la costruzione sul grafico. 1.4pt

D.4 Si trovi la temperatura massima possibile per $T_1$. Si mostri la costruzione sul grafico! 0.8pt

D.5 Si assuma per il massimo $T_1$ il valore trovato in D.4, si trovi il valore numerico per $P_1$. 0.2pt

p.1 — Schema del James Webb Space Telescope

p.2 — Grafico corrente di buio in funzione della temperatura

p.3 — Schema del flusso di energia tra cinque fogli

p.4 — Geometria dei due fogli a distanza d

p.5 — Schema refrigeratore criogenico flusso plug

Topic: Geometric Optics, Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Interference & Diffraction Analysis, Photon Energy Relation, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Statistical Averaging, Graph Linearization Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Mirror, Photon, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The James Webb Space Telescope (12 points)

This is a problem with the physics of the James Webb Space Telescope. Light from a star hits the primary mirror, which has an area of $A_{\text{mirror}}=25{\text{m}}^2$, and reflects it onto the secondary mirror. The focal length of the system is $f=130\text{m}$. The light is focused in the Integrated Science Instrument Module (ISIM), which contains the CCD (Charge-Coupled-Device) sensor.

The report was published in the journal Science and Technology.

Part A. Display a star (1.8 points)

The nearest red giant star is 89 light-years away, has a temperature of $T_{\text{star}}=3600\text{K}$, and a diameter of $d_o=1.7\times 10^{11}\text{m}$.

A.1 Calculate the diameter of the image of the star focused on the sensitive surface of the CCD sensor. 0.4pt

A.2 Estimate the diameter of the maximum centre of diffraction on the sensitive surface of the CCD sensor. Assume a wavelength $\lambda =800\text{nm}$, which is the wavelength of the maximum intensity of the red giant star. 0.4pt

A.3 If the CCD sensor is not cooled and can lose heat only by radiating it from the top of the sensitive surface, what would be the equilibrium temperature of the CCD in the area where the image of the red giant is formed? It is assumed that the surface of the CCD is that of a black body. A formula and a numerical estimate are provided. 1.0pt

Part B. Counting of photons (1.8 points)

The absorption of a photon by the CCD sensor causes an electron to be emitted into the apparatus. This only happens if the photon has enough energy to excite an electron to overcome the energy gap $\Delta E_g$. It’s assumed that every photon with enough energy excites an electron. There is also an electron leak through the gap due to the temperature of the CCD sensor; this is the dark current $i_d$ and is measured in number of electrons per second. It’s a function of temperature according to the ratio.

$i_d=i_0{e}^{-|\Delta E_g|/6k_{B}T}.(1)$

where $i_0$ is a constant.

The graph shows how the dark current varies with temperature. The units for the dark current, $e^{-}/\text{s}$ shall be interpreted as an expression of the number of electrons per second count.

B.1 From the dark current chart, give an estimate of the order of magnitude of the temperature of a distant source of threshold thermal photons that would be able to excite just one electron in that pixel. 0.4pt

The electrons are collected in a capacitor, and after a exposure time $\tau$, they are counted. There are three main sources of process errors: a fixed uncertainty in the counting process called a reading error; a distribution error according to the Poisson distribution associated with the dark current; a distribution error according to the Poisson distribution associated with the disclosure of the incident photon. The errors distributed according to Poisson distribution are equal to the square root of the number of counts associated with that process.

The number of photons measured is equal to the number of electrons in the capacitor minus the number of electrons associated with the dark current.

B.2 Write an expression for the total uncertainty of the ${\sigma }_t$ count, in the event of a reading error ${\sigma }_l$, a dark current $i_d$, a number of incident photons per second $p$, and an exposure time $\tau$. 0.4pt

For the remaining questions in this Part, the exposure time $\tau =10^4\text{s}$ is assumed and the reading error is set to ${\sigma }_r=14$.

B.3 An operating temperature of $T_p=7.5\text{K}$ is assumed. The minimum number of incident photons per second $p$ shall be calculated so that the number of photons is ten times the uncertainty of the count. 0.5pt

B.4 Assuming all photons are barely able to excite an electron through the energy gap what is the intensity of the photon source found in B.3 on the primary mirror? The result is expressed in ${\text{W/m}}^2$. 0.5pt

Part C. Passive cooling (4.4 points)

A CCD sensor shall be kept at a low temperature. The first thing to do is put a screen on to protect it from the sun’s rays.

The solar panel consists of five separate reflective layers of thin sheets (in dark color in the figure); the radiant energy (in light color in the figure) of the sun affects the first leaf on the left and a certain amount of energy escapes between each pair of sheets.

Energy flow pattern: vertical (dark) lines represent the sheets, the energy flow (grey) takes place from left to right but, between the sheets, some of the energy flows upwards and outwards into space.

Left A simple model of two adjacent sheets, 1 and 2 separated by a distance $h$. The leaves don’t touch each other and the perimeter communicates with space. For simplicity’s sake, it’s assumed that the sheets are parallel. The heat radiation can be exchanged between the sheets and the heat radiation can escape through the open space in the perimeter. The perimeter space on the right has been shaded to help with the viewing.

The following approximations shall be taken:

• The sheets are square, each with an area of $A_{\text{sheet}}=200{\text{m}}^2$.
• The leaves are parallel and separated by $h=25\text{cm}$ along the perimeter.
• The sheets have an emission coefficient $ϵ\ll 1$. It is assumed that all reflections outside the surface of the sheet are diffuse. The leaves are thin and the temperature on the front and back faces are the same and uniform.
• The radiant flow fraction emitted by one sheet and absorbed by the adjacent sheet is $\alpha \le 1$. This means that if surface 1 in figure 1 emits a quantity of heat $Q_1$ towards surface 2 then surface 2 will absorb a quantity of heat $\alpha Q_1$ from surface 1.
• The amount of radiant flow expelled from the space along the perimeter between the two sheets is approximated as $\beta Q_{12}$ while $\alpha Q_{12}$ is the net flow between the two sheets. Si assuma $\beta <1$. This means that the heat lost in the space between the two sheets is proportional to the net heat exchanged between the two sheets. This is a brutal approximation of the problem. The bottom temperature of space is negligible.

C.1 The first and fifth sheet balance temperatures are expressed in terms of the intensity of incident solar radiation $I_0$, the constants $\alpha$ and $\beta$, and the necessary physical constants. To simplify the expression, additional constants expressed as a function of $\alpha$ and $\beta$, etc. can be defined. 2.4pt

C.2 Numerical estimates for $\alpha$ and $\beta$ are obtained from the information on the geometry of the sheets by assuming an emission coefficient $ϵ=0.05$. It is recommended to consider the rectangular box model of the sheets presented above, where the side surface actually acts as an ideal absorber of radiant energy. 1.6pt

C.3 Determine the temperature of sheets 1 and 5 numerically. The solar intensity is $I_0=1360{\text{W/m}}^2$. 0.4pt

The following is the list of the following: Cryogenic fridge. (Four points)

The final stage of the cooling system directly cools the CCD. A closed-loop cooling system has an input tube that inserts gaseous helium at constant pressure $P_1$. The helium flows through a spongy porous plug into a continuous pressure tube $P_2$. The tube carries the gas that cools the CCD. The gas helium then passes through a pump before returning to the input line.

Gas helium, supplied on the left at a well-defined $P_1$ pressure and temperature $T_1$ is forced through an intercavator to a well-defined $P_2$ pressure and temperature $T_2$ temperature and is removed from the right.

When the gas passes through the porous interface, the viscous friction with the thin walls of the channels in the spongy part has a significant effect; instead, there is no heat exchange from the gas during this process. The gas mass velocity in region 2 is only marginally greater than the gas mass velocity in region 1.

The helium is not a perfect gas, but it remains in the gas state throughout the process.

D.1 Consider a mole of gas that crosses the interface from left to right. Complete the table in the answer sheet by writing ’>’ or ’<’ to identify the quantity to be greater, ’=’ to identify the quantities to be equal, or ’?’ if it is not possible to know which is greater or equal without further information. 1.0pt

D.2 A conserved physical quantity constructed from $U$ (internal energy), $P$ (pressure), and $V$ (volume) when a mole of gas passes through the interface is identified; the explanatory steps for how the conserved physical quantity is derived are shown. 0.6pt

The response sheet contains internal energy charts per unit mass in relation to volume per unit mass for helium together with isotherms and constant entropy lines.

D.3 Assuming $V_2=0.100{\text{m}}^3/\text{kg}$ and $T_2=7.5\text{K}$, the graph is used to find a numerical value for the conserved physical size found in question D.2. You can see the construction on the chart. 1.4pt

D.4 The maximum possible temperature is $T_1$. Show the building on the chart! 0.8pt

D.5 Assume for the maximum $T_1$ the value found in D.4, the numerical value for $P_1$ is found. 0.2pt

p.1 — Schema del James Webb Space Telescope

p.2 — Grafico corrente di buio in funzione della temperatura

p.3 Scheme of energy flow between five sheets

**p.4 ** Geometry of two sheets at a distance d

p.5 — Schema refrigeratore criogenico flusso plug

Topic: Geometric Optics, Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Interference & Diffraction Analysis, Photon Energy Relation, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Statistical Averaging, Graph Linearization Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Mirror, Photon, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)