Theory Q3-1 Italiano (Italy) Particelle e onde (10 punti) Uno dei concetti centrali della meccanica quantistica afferma che ogni particella può essere descritta come un’onda e viceversa. In questo problema, faremo affidamento su questa nozione e solo su alcuni altri presupposti di base per esplorare una selezione di fenomeni quantistici che coprono i due distinti tipi di particelle del micromondo: fermioni e bosoni. Parte A. Particella quantistica in una scatola (1.4 punti) Consideriamo una particella di massa mche si muove in una buca di potenziale unidimensionale, dove la sua energia potenziale V(x) è data da V(x) = {0, 0 ; , x< 0 o x> L. (1) Mentre la particella classica può muoversi in un tale potenziale con una qualsiasi energia cinetica, per la particella quantistica sono consentiti solo alcuni specifici livelli discreti di energia positiva. In uno qualsiasi di tali stati consentiti, la particella può essere descritta come un’onda stazionaria di de Broglie con nodi alle pareti. A.1 Determinare la minima energia possibile Emin della particella quantistica nella buca. Esprimere la risposta in funzione di m, L, e la costante di Planck h. 0.4pt Lo stato della particella con la minima energia possibile è chiamato stato fondamentale e tutti gli altri stati consentiti sono chiamati stati eccitati. Ordiniamo tutti i possibili valori energetici in ordine crescente e denotiamoli come En, a partire da E1 per lo stato fondamentale. A.2 Trovare l’espressione generale per l’energia En(con n= 1, 2, 3, …). 0.6pt A.3 La particella può subire una transizione istantanea da uno stato all’altro solo emettendo o assorbendo un fotone della corrispondente differenza di energia. Trovare la lunghezza d’onda λ21 del fotone emesso durante la transizione della particella dal primo stato eccitato (E2) allo stato fondamentale (E1). 0.4pt Parte B. Proprietà ottiche delle molecole (2.1 punti) In questa parte, studieremo diverse proprietà ottiche della molecola di cianina Cy5, una molecola colorante ampiamente utilizzata, mostrata schematicamente in Fig. 1a. Le sue proprietà ottiche sono determinate principalmente dalla struttura principale formata da carbonio, composta dall’alternanza di legami singoli e doppi tra atomi di carbonio, mostrati in Fig. 1b, mentre l’influenza degli anelli alle estremità della molecola e dei radicali R è molto più piccola. Tre dei quattro elettroni di valenza di ogni atomo C (e degli atomi N) nella struttura principale formano i legami chimici, mentre i restanti elettroni di valenza sono “condivisi” e possono muoversi lungo tutta la struttura principale. L’energia potenziale netta di ciascuno di questi elettroni è mostrata con una linea sottile oscillante in Fig. 1c, con minimi corrispondenti alle posizioni degli atomi C e N.
Theory Q3-2 Italiano (Italy) Figura 1. (a) Struttura chimica della molecola di cianina Cy5 (per semplicità, gli atomi di idrogeno non sono mostrati e R denota alcuni radicali). (b) La struttura principale della molecola Cy5, con distanza interatomica media l. (c) Energia potenziale dell’elettrone lungo la struttura principale (linea sottile) e sua approssimazione mediante la funzione a gradino data dall’Eq. 1 (linea spessa). Per semplicità, si approssima questo profilo di energia potenziale con una semplice funzione data nella eq. 1 con la larghezza L= 10.5l(vedi linea spessa in Fig. 1c), dove l= 140 pm è la distanza interatomica media (vedi anche Fig. 1b). Si ottiene così il “gas elettronico” composto da 10 elettroni (7 dagli atomi C, 2 dall’atomo N e 1 dallo ione N+) che si muove in una buca di potenziale unidimensionale discussa nella Parte A. Nella nostra valutazione, possiamo trascurare l’interazione reciproca di questi elettroni; tuttavia, dovremmo rendere conto del fatto che gli elettroni sono fermioni e quindi obbediscono al principio di esclusione di Pauli. Trascuriamo anche l’influenza di altri elettroni così come il movimento dei nuclei. B.1 Valutare la massima lunghezza d’onda λdel fotone che può essere assorbito dalla molecola Cy5 assumendo che il sistema di elettroni sia inizialmente allo stato fondamentale. Esprimere la risposta in funzione di l, costanti fisiche e qualche fattore numerico, e quindi calcolare il valore numerico. 0.8pt B.2 Un’altra molecola colorante Cy3 ha una struttura simile, ma la sua struttura principale è più corta di 2 atomi di carbonio. Il suo spettro di assorbimento è spostato verso la regione spettrale più blu o più rossa rispetto alla molecola Cy5? Valuta numericamente l’ampiezza questo spostamento spettrale. Puoi presumere che la rimozione di due atomi di carbonio non cambi la forma della molecola e accorcia solo la lunghezza della struttura principale di due distanze interatomiche. 0.4pt Essendo in uno stato eccitato la molecola può subire un decadimento spontaneo allo stato fondamentale mediante l’emissione di un fotone. Il tasso medio Kdi questi eventi (cioè la variazione relativa del numero di molecole presenti nello stato eccitato, dN/N, nell’intervallo tempo dt, K= 1 N dN dt) dipende dalla lunghezza d’onda λdel fotone emesso, dal momento di dipolo elettrico della transizione d(che è dell’ordine di , dove eè la carica elementare) come pure dalla costante dielettrica ε0 e dalla costante di Planck h.
Theory Q3-3 Italiano (Italy) B.3 Utilizzando l’analisi dimensionale, determinare l’espressione per il tasso di emissione spontanea in termini di ε0, h, λe d. Il fattore numerico dell’espressione vale k= 16 3 π3. 0.7pt B.4 Per la molecola Cy5, . Valutare la durata media della fluorescenza dello stato eccitato più basso della molecola Cy5, τCy5che è reciproco del tasso della sua transizione emissiva allo stato fondamentale. 0.2pt Parte C. Condensazione di Bose-Einstein (1.5 punti) Questa parte non è direttamente correlata alle Parti A e B. Qui studieremo il comportamento collettivo delle particelle bosoniche. I bosoni non rispettano il principio di esclusione di Pauli e, a basse temperature o ad alta densità, sperimentano un fenomeno drammatico noto come condensazione di Bose-Einstein (BEC). Questa è una transizione di fase verso un intrigante stato quantistico collettivo: un gran numero di particelle identiche si ”condensano” in un singolo stato quantico e iniziano a comportarsi come una singola onda. La transizione viene tipicamente raggiunta raffreddando un numero fisso di particelle al di sotto della temperatura critica. In linea di principio, può anche essere indotto mantenendo fissata la temperatura e portando la densità delle particelle oltre il suo valore critico. Iniziamo esplorando la relazione tra la temperatura e la densità delle particelle alla transizione. Come risulta, le stime dei loro valori critici possono essere dedotte da una semplice osservazione: la condensazione di Bose-Einstein avviene quando la lunghezza d’onda di de Broglie corrispondente alla velocità quadratica media delle particelle è uguale alla distanza caratteristica tra le particelle in un gas . C.1 Dato un gas non interagente di atomi di 87Rb in equilibrio termico, scrivere le espressioni per la loro quantità di moto tipica pe la tipica lunghezza d’onda di de Broglie λdB in funzione della massa dell’atomo m, la temperatura Te costanti fisiche. 0.4pt C.2 Calcolare la distanza tipica tra le particelle in un gas, l, in funzione della densità delle particelle n. Poi dedurre la temperatura critica Tcin funzione della massa degli atomi, della loro densità e delle costanti fisiche. 0.5pt Per realizzare la BEC in laboratorio, gli sperimentatori devono raffreddare i gas a temperature fino a Tc = 100 nK. C.3 Qual è la densità di particelle del gas Rb ncse la transizione avviene a tale temperatura? Per fare un confronto, calcola anche la densità di particelle ”ordinaria” n0 di un gas perfetto alla temperatura e pressione standard (STP), cioè T0 = 300 K e p0 = 105 Pa. Quante volte il gas ”normale” è più denso? Puoi assumere che la massa degli atomi sia uguale a 87 uni
p.2 — Struttura catena cianina e buca di potenziale
p.4 — Reticolo esagonale, vettori e superficie di energia
Topic: Modern-Quantum Physics, Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: de Broglie Relation, Photon Energy Relation, Dimensional Analysis, Bohr Model & Quantization, Kinetic Theory of Gases, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Electron, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)
Theory Q3-1 Italian (Italy) Particles and waves (10 points) One of the central concepts of quantum mechanics states that every particle can be described Like a wave and vice versa. In this problem, we will rely on this notion and only on some Other basic prerequisites for exploring a selection of quantum phenomena covering the two distinct The type of particles in the micro-world: fermions and bosons. Part A. Quantum particle in a box (1.4 points) Consider a mass particle m that moves into a one-dimensional potential hole, where Its potential energy V(x) is given by V(x) = {0, 0 ; , x< 0 o x> L. (1) Whereas the classical particle can move at such a potential with any kinetic energy, for the Quantum particles are only allowed to have certain discrete levels of positive energy. In any of such permitted states, the particle can be described as a de Broglie stationary wave with nodes
- The walls. A.1 Determine the minimum possible energy eminence of the quantum particle in the The hole. Express the answer as a function of m, L, and Planck’s constant h. 0.4pt The state of the particle with the least energy possible is called the fundamental state and all the other The states allowed are called excited states. We’re sorting all the possible energy values in increasing order. And let’s denote them as En, starting with E1 for the base state. A.2 Find the general expression for the energy En with n = 1, 2, 3, …). 0.6pt A.3 The particle can only undergo an instantaneous transition from one state to another by emitting or absorbing a photon of the corresponding energy difference. Find the λ21 wavelength of the photon emitted during the transition of the Particle from first excited state (E2) to base state (E1). 0.4pt Part B. Optical properties of molecules (2.1 points) In this part, we will study several optical properties of the cyane molecule Cy5, a widely used coloring molecule, shown in Fig. 1a. Its optical properties are mainly determined by the main structure formed by carbon, composed of alternating bonds The carbon atomic number of the carbon atom is shown in Figure 1. 1b, while the influence of the rings at the ends of the The R-radicals are much smaller. Three of the four valence electrons of each C atom (and of the The atoms in the main structure form chemical bonds, while the remaining valence electrons are shared and can move along the entire main structure. Net potential energy of each of these electrons is shown with a thin oscillating line in Fig. 1c, with minimum corresponding to positions of the C and N atoms.
Theory Q3-2 Italian (Italy) Figure 1 is shown. (a) Chemical structure of cyanine molecule Cy5 (for simplicity, hydrogen atoms are not shown and R denotes some radicals). (b) The main structure of the molecule Cy5, with mean interatomic distance l. (c) Potential energy of the electron along the structure The main (thin line) and its approximation by the step function given by Eq. 1 (Texas) For simplicity, we approximate this potential energy profile with a simple function given in the eq. 1 with width L=10.5 l. 1c), where l=140 pm is the interatomic distance The average of the two samples is approximately 0. 1b). This results in the electron gas consisting of 10 electrons (7 C atoms, 2 from the N atom and 1 from the N+ ion) moving into a one-dimensional potential hole discussed in the Part A. In our assessment, we can overlook the interaction of these electrons; however, We should realize that electrons are fermions and therefore obey the principle of excluding Pauli. We also trace the influence of other electrons as well as the movement of nuclei. B.1 Assess the maximum wavelength of the photon that can be absorbed The molecular formula Cy5 is the same as the molecular formula Cy5, assuming that the electron system is initially at the base state. Express the answer in terms of l, physical constants and And then we calculate the numerical value. 0.8pt B.2 Another colouring molecule Cy3 has a similar structure, but its structure is The main one is shorter than two carbon atoms. Its absorption spectrum Is it shifted to the spectral region bluer or reder than the Cy5 molecule? Values numerically the width of this spectral shift. You can assume that removing two carbon atoms doesn’t change the shape of the molecule and just shorten the length of the main structure by two. The distance between the atoms. 0.4pt Being in an excited state the molecule can spontaneously decay to the fundamental state by the emission of a photon. The average rate of these events (i.e. the relative variation in the number of molecules present in the excited state, dN/N, in the time interval dt, K= 1 N dN (d) depends on the The electron is the electron emitted by the electron by the transition period. of the order , where the elementary charge is) as well as the dielectric constant ε0 and the constant The Commission has not yet adopted a proposal for a regulation.
Theory Q3-3 Italian (Italy) B.3 Using dimensional analysis, determine the expression for the spontaneous emission rate in terms of ε0, h, λe d. The numerical factor of the expression is k=16 3 π3. 0.7pt B.4 For the molecule Cy5, . Evaluate the average fluorescence duration of the fluorescent medium The cyclic cyclic rate of the cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic cyclic The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2009. 0.2pt Part C. The total value of the input data shall be the sum of the input data. This part is not directly related to Parts A and B. We’re going to study collective behavior here. The boson particles. The bosons do not respect the Pauli exclusion principle and, at low temperatures, or high density, they experience a dramatic phenomenon known as Bose-Einstein condensation. (BEC) This is a phase transition to an intriguing quantum collective state: a large number of The particles of the same type condense into a single quantum state and begin to behave like a One wave. The transition is typically achieved by cooling a fixed number of particles to below the critical temperature. In principle, it can also be induced by keeping the The temperature and density of the particles are beyond their critical value. Let’s start by exploring the relationship between temperature and particle density at the transition. As it turns out, the estimates of their critical values can be deduced from a simple observation: Bose-Einstein condensation occurs when de Broglie’s wavelength corresponds to the square velocity The mean of the particles is equal to the characteristic distance between the particles in a gas . C.1 Given a non-interacting gas of 87Rb atoms in thermal equilibrium, write the following: Expressions for their typical motion quantity for the typical wavelength of De Broglie λdB in terms of the mass of the atom m, temperature I’m not a physicist. 0.4pt C.2 Calculate the typical distance between particles in a gas, l, in terms of density of particles n. Then deduce the critical temperature Tcin function of mass of atoms, their density and physical constants. 0.5pt To produce BEC in the laboratory, the experimenters must cool the gases to temperatures up to Tc = 100 nK. C.3 What is the particle density of the Rb gas when the transition occurs at this temperature? For comparison, calculate also the particle density ordinaryn0 of a gas at standard temperature and pressure (STP), i.e. T0 = 300 K e p0 = 105 Pa. How many times is the normal gas denser? You can assume that the atomic mass equal to 87
Cyanine chain structure and potential hole
The following table shows the results of the calculations:
Topic: Modern-Quantum Physics, Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: de Broglie Relation, Photon Energy Relation, Dimensional Analysis, Bohr Model & Quantization, Kinetic Theory of Gases, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Electron, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)