OII na Teorica

Leggi di scala (8 punti)

Le leggi di scala descrivono la relazione funzionale tra due grandezze fisiche che sono collegate tra loro in un intervallo di variabilità molto ampio. Questa relazione funzionale in genere è una legge di potenza, ma esistono anche altre possibilità. Spesso è assai difficile scrivere l’espressione esatta della relazione, tuttavia si riescono comunque a ricavare le leggi di scala.

Parte A. Uno ’Spaghetto’ (2,0 punti)

A.1 Uno spaghetto di diametro $d$ viene bilanciato orizzontalmente nel suo centro come in figura. Se $d=1\text{mm}$, lo spaghetto si rompe sotto il suo stesso peso quando la sua lunghezza raggiunge $l=50\text{cm}$. Qual è la lunghezza massima $l^{\prime }$ di uno spaghetto di diametro $d^{\prime }=1\text{cm}$ prima che si rompa sotto il suo stesso peso? 2.0pt

Parte B. Castello di sabbia (2,0 punti)

B.1 Il volume medio dei grani della sabbia a grana grossa è 10 volte superiore a quello della sabbia a grana fine. La sabbia a grana fine bagnata e la sabbia a grana grossa bagnata hanno entrambe un contenuto ottimale di acqua (da cui si assuma che si abbia la massima forza di resistenza) e vengono utilizzate per costruire due cilindri esattamente della stessa forma e dimensione. La resistenza di ciascun cilindro viene testata premendolo tra due piastre parallele. Il cilindro fatto di sabbia a grana grossa si distrugge quando la forza applicata per premere le piastre raggiunge $F_c=10\text{N}$. Quanto è grande la forza $F_f$ necessaria per distruggere il cilindro di sabbia a grana fine? Potete ignorare gli effetti della gravità. 2.0pt

Parte C. Viaggi interstellari (2,0 punti)

C.1 L’astronave di una spedizione interstellare viaggia ad una accelerazione costante $g=10{\text{m/s}}^2$, cioè questa è l’accelerazione dell’astronave nel sistema di riferimento inerziale dove è istantaneamente ferma. I passeggeri devono essere in grado di tornare sulla Terra entro la loro vita residua prevista di 50 anni. La distanza massima dalla Terra raggiunta dall’astronave è $d$. Se l’accelerazione viene aumentata a $g^{\prime }=15{\text{m/s}}^2$, l’astronave può raggiungere una distanza maggiore $d^{\prime }$. Qual è il rapporto $d^{\prime }/d$? Suggerimento 1. Potresti voler usare la formula di addizione relativistica della velocità, tuttavia, ci sono anche altri approcci. Suggerimento 2. Potrebbe essere necessario gestire le funzioni iperboliche definite come segue: $\cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$, $\sinh x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$, $\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$. Suggerimento 3. A seconda del tuo approccio, potresti aver bisogno di uno o più di questi integrali: $\int \frac{dx}{1-x^2}=\mathrm{atanh}x+C$, $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\mathrm{asinh}x+C$, $\int \sinh xdx=\cosh x+C$, dove $\mathrm{asinh}x$ e $\mathrm{atanh}x$ sono le funzioni inverse delle rispettive funzioni iperboliche. 2.0pt

Parte D. La sensazione di affondamento (2,0 punti)

D.1 Una palla di legno solida di raggio $r_0$ galleggia nell’acqua. Ignorando gli effetti dell’attrito, la frequenza delle piccole oscillazioni sarebbe ${\omega }_0$, ma a causa dell’attrito viscoso, dopo essere stata spostata verticalmente, la frequenza delle oscillazioni decrescenti è in realtà $0.99{\omega }_0$. Qual è il raggio minimo $r_{\text{min}}$ di una sfera di legno che galleggia in acqua e che subisce piccole oscillazioni quando viene spostata? Suggerimento: la forza di resistenza viscosa che agisce su un dato corpo è proporzionale alla sua velocità rispetto al fluido e alla viscosità $\eta$ del fluido stesso in cui si sta muovendo. L’unità della viscosità è $\text{kg/(m}\cdot \text{s)}$ . 2.0pt

p.1 — Spaghetto bilanciato sul fulcro, lunghezza l e diametro d

Topic: Elasticity & Materials, Special Relativity, Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis, Stress-Strain Analysis, Lorentz Transformation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Rod, Cylinder, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following information is provided by the Commission:

The laws of scale describe the functional relationship between two physical quantities that are connected to each other. In a very wide range of variability. This functional relationship is generally a law of power. But there are other possibilities. It is often very difficult to write the exact expression of the report. But we can still get the laws of scale.

Part A. One Spaghetti (2.0 points)

A.1 A spaghetti of $d$ diameter shall be balanced horizontally in its centre As shown in the figure. If $d=1\text{mm}$, the spaghetti breaks under its own weight when its length reaches $l=50\text{cm}$. What is the maximum length $l^{\prime }$ of a thickness $d^{\prime }=1\text{cm}$ before breaking underneath its own weight? 2.0pt

Part B. Sand castle (2,0 points)

B.1 The average volume of grains of grain sand is 10 times higher than the average volume of grain sand. The one with the fine grain sand. Wet fine grain sand and sand Wet bulk grains have an optimal water content (from The maximum strength of the resistance is assumed to be at the highest level) and are used To build two cylinders of exactly the same shape and size. The resistance of each cylinder is tested by pressing it between two parallel plates. Il The cylinder made of sand with a thick grain of sand is destroyed when the force applied to the the pressure on the plates reaches $F_c=10\text{N}$. How large is the force $F_f$ required To destroy the fine grain sand cylinder? You can ignore the effects of gravity. 2.0pt

Part C. The following is the list of the countries of the European Union:

C.1 The spacecraft of an interstellar expedition travels at a constant acceleration $g=10{\text{m/s}}^2$, i.e. this is the acceleration of the spacecraft in the inertial reference system where it is instantly stationary. Passengers must be in They can return to Earth within their remaining expected life span of 50 years. The maximum distance from Earth reached by the spacecraft is $d$. If the acceleration is coming Increased to $g^{\prime }=15{\text{m/s}}^2$, the vessel can reach a greater distance $d^{\prime }$. What is the $d^{\prime }/d$ ratio? Suggestion one. You might want to use the relativistic addition formula of The Commission has already taken a number of measures to improve the efficiency of the Community’s transport system. Suggestion two. It may be necessary to manage the hyperbolic functions defined as follows: $\cosh x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$, $\sinh x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$, $\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$. Suggestion three. Depending on your approach, you may need one or more of these integers: $\int \frac{dx}{1-x^2}=\mathrm{atanh}x+C$, $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\mathrm{asinh}x+C$, $\int \sinh xdx=\cosh x+C$, where $\mathrm{asinh}x$ and $\mathrm{atanh}x$ are the inverse functions of the respective the hyperbolic functions. 2.0pt

The following is the list of the following: The feeling of sinking (2.0 points)

D.1 A solid wooden ball of $r_0$ radius floats in the water. Ignoring the Effects The frequency of small oscillations would be ${\omega }_0$, but because of the viscous friction, after being moved vertically, the frequency of the The resulting oscillations are actually $0.99{\omega }_0$. What is the minimum radius $r_{\text{min}}$ of a a wooden ball floating in water and subject to slight oscillations when is it being moved? Suggestion: the viscous resistance force acting on a given body is proportional to its speed with respect to the fluid and viscosity $\eta$ of the fluid itself where it’s moving. The viscosity unit is $\text{kg/(m}\cdot \text{s)}$. 2.0pt

**p.1 ** Balanced spaghetti on the core, length l and diameter d

Topic: Elasticity & Materials, Special Relativity, Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis, Stress-Strain Analysis, Lorentz Transformation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Rod, Cylinder, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)