OII na Teorica

Acqua e oggetti (10 pt)

In questo problema consideriamo i fenomeni causati dall’interazione tra acqua e oggetti collegati alla tensione superficiale. La parte A tratta situazioni di moto, mentre le parti B e C riguardano situazioni statiche.

Se necessario, si può usare il fatto che se la funzione $y(x)$ soddisfa l’equazione differenziale $y^{\prime \prime }(x)=ay(x)$ ($a$ è una costante positiva), allora la sua soluzione generale è $y(x)=A{e}^{\sqrt{a}x}+B{e}^{-\sqrt{a}x}$, dove $A$ e $B$ sono costanti arbitrarie.

Parte A. Fusione di gocce d’acqua (2.0 punti)

Come mostrato in Fig. 1, consideriamo due gocce d’acqua sferiche stazionarie sulla superficie di un materiale super-idrofobo, cioè per il quale esistono intense forze repulsive tra il materiale e l’acqua.

Sulla superficie sono posizionate due gocce d’acqua sferiche identiche inizialmente vicine tra loro; successivamente queste due gocce si fondono dopo essersi toccate e formano una goccia d’acqua sferica più grande, che improvvisamente salta verso l’alto.

A.1 Il raggio $a$ di entrambe le gocce d’acqua prima della fusione è $100\mu \text{m}$. La densità dell’acqua $\rho$ è $1.00\times 10^3{\text{kg/m}}^3$. La tensione superficiale $\gamma$ è $7.27\times 10^{-2}{\text{J/m}}^2$. Una frazione $k$ della differenza di energia di superficie $\Delta E$ tra prima e dopo la fusione è trasformata in energia cinetica della sfera che salta verso l’alto. Determinare quindi la velocità iniziale di salto, $v$, della goccia d’acqua fusa con due cifre significative in base alle seguenti ipotesi:

• $k=0.06$
• Prima e dopo la fusione, il volume totale di acqua viene conservato.

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Fig. 1: Fusione di due gocce d’acqua e salto della goccia d’acqua fusa.

Parte B. Una tavola posizionata verticalmente (4.5 punti)

Una tavola piatta viene immersa verticalmente in acqua. Le figure 2(a) e 2(b) mostrano rispettivamente le forme della superficie dell’acqua per materiali idrofili (attrattivi) e idrofobi. Si trascuri lo spessore della tavola.

La superficie della tavola si trova sul piano $yz$ e la superficie orizzontale dell’acqua lontana dalla tavola si trova sul piano $xy$ con $z=0$. La forma della superficie non dipende dalla coordinata $y$. Sia $\theta (x)$ l’angolo tra la superficie dell’acqua e il piano orizzontale in un punto $(x,z)$ della superficie dell’acqua nel piano $xz$. Qui $\theta (x)$ è misurato rispetto all’asse positivo $x$ e la rotazione antioraria è considerata positiva. Sia $\theta (x)$ pari a ${\theta }_0$ nel punto di contatto tra la tavola e la superficie dell’acqua ($x=0$). Nel seguito, ${\theta }_0$ è fissato dalle proprietà del materiale della tavola.

La densità dell’acqua $\rho$ e la tensione superficiale dell’acqua $\gamma$ sono uniformi. L’accelerazione gravitazionale è data da $g$. Si assuma uniforme la pressione atmosferica $P_0$. Si noti che l’unità di misura della tensione superficiale è ${\text{J/m}}^2$ ma anche N/m. Si determini la forma della superficie dell’acqua con i seguenti passaggi.

Fig. 2: Tavole immerse verticalmente nell’acqua. (a) Nel caso di tavola idrofila; (b) nel caso di tavola idrofoba.

B.1 Si consideri il caso di una tavola idrofila, come mostrato nella Fig. 2(a). Si noti che la pressione dell’acqua, $P$, soddisfa le condizioni $P<P_0$ per $z>0$ e $P=P_0$ per $z=0$. Si determini $P$ alla quota $z$ in funzione di $\rho$, $g$, $z$, e $P_0$.

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B.2 Si consideri un blocco d’acqua la cui forma è mostrata ombreggiata in Fig.3(a). La sua sezione trasversale nel piano $xz$ è mostrata dall’area tratteggiata in Fig.3(b). Siano $z_1$ e $z_2$ rispettivamente le coordinate del bordo sinistro e destro del confine (superficie dell’acqua) tra il blocco d’acqua e l’aria. Ricavare la componente orizzontale (componente $x$) $f_x$ della forza risultante per unità di lunghezza lungo l’asse $y$, esercitata sul blocco d’acqua a causa della pressione, in funzione di $\rho$, $g$, $z_1$ e $z_2$. Si noti che la presenza della pressione atmosferica $P_0$ non determina una forza orizzontale netta sul blocco d’acqua.

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Fig. 3: Forma del blocco d’acqua. (a) Vista a volo d’uccello e (b) vista in sezione.

B.3 La tensione superficiale che agisce sul blocco d’acqua è bilanciata dalla forza $f_x$ discussa in B.2. Si definiscano rispettivamente ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$ gli angoli tra la superficie dell’acqua e il piano orizzontale ai bordi sinistro e destro. Ricavare $f_x$ in funzione di $\gamma$, ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$.

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B.4 La seguente equazione vale in un punto arbitrario $(x,z)$ sulla superficie dell’acqua,

$\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{\ell }\right)}^a+\cos \theta (x)=\text{constant.}(1)$

Determinare l’esponente $a$ ed esprimere la costante $\ell$ in funzione di $\gamma$ e $\rho$. Si noti che questa equazione è valida per materiali della tavola sia idrofili sia idrofobi.

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B.5 Nell’equazione (1) in B.4, si assuma che la variazione della superficie dell’acqua sia lieve, cioè $|z^{\prime }(x)|\ll 1$, in modo da poter sviluppare $\cos \theta (x)$ in serie di $z^{\prime }(x)$ fino al secondo ordine. Successivamente, differenziando l’equazione risultante rispetto a $x$, si ottiene l’equazione differenziale soddisfatta da $z(x)$. Risolvere questa equazione differenziale e determinare $z(x)$ per $x\ge 0$ in funzione di $\tan {\theta }_0$ e $\ell$. Si noti che le dimensioni verticali nelle Fig. 2 e 3 sono esagerate per ragioni grafiche e non soddisfano la condizione $|z^{\prime }(x)|\ll 1$.

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Parte C. Interazione tra due aste (3.5 punti)

Le aste identiche A e B, di uno stesso materiale, galleggiano parallelamente tra loro sulla superficie dell’acqua e sono poste simmetricamente alla stessa distanza dall’asse $y$ (Fig. 4).

Fig. 4: Due aste A e B che galleggiano sulla superficie dell’acqua.

C.1 Nei punti di contatto tra l’asta B e l’acqua, si definiscano le coordinate $z$ e gli angoli come mostrato in Fig. 5. Determinare la componente orizzontale della forza, $F_x$, sull’asta B per unità di lunghezza lungo l’asse $y$ in funzione di ${\theta }_a$, ${\theta }_b$, $z_a$, $z_b$, $\rho$, $g$, e $\gamma$.

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Fig. 5: Vista in sezione verticale di due aste che galleggiano sulla superficie dell’acqua.

C.2 Si definisca $z_0$ la coordinata $z$ della superficie dell’acqua nel punto medio tra le due aste nel piano $xz$. Esprimere la forza $F_x$ ottenuta in C.1 senza utilizzare ${\theta }_a$, ${\theta }_b$, $z_a$ e $z_b$.

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C.3 Sia $x_a$ la coordinata $x$ del punto di contatto tra la superficie dell’acqua e la parte sinistra dell’asta B. Utilizzando l’equazione differenziale ottenuta in B.4, esprimere la coordinata $z_0$ del livello dell’acqua del punto medio di queste due aste A e B in funzione di $x_a$ e $z_a$. Si può utilizzare la costante $\ell$ introdotta in B.4.

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p.1 — Fusione di due gocce d’acqua

p.2 — Tavola immersa verticalmente nell’acqua

p.3 — Forma del blocco d’acqua e sezione

p.4 — Due aste A e B galleggianti

p.4 — Sezione verticale aste A e B

Topic: Fluid Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Energy Conservation Method, Hydrostatic Equilibrium, Differential Equations, Free-Body Diagram, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Droplet, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**Water and articles (10 pts) **

In this problem we consider the phenomena caused by the interaction between water and surface tension-related objects. Part A deals with motor situations, while Parts B and C deal with static situations.

If necessary, the fact that if the $y(x)$ function satisfies the differential equation $y^{\prime \prime }(x)=ay(x)$ ($a$ is a positive constant) can be used, then its general solution is $y(x)=A{e}^{\sqrt{a}x}+B{e}^{-\sqrt{a}x}$, where $A$ and $B$ are arbitrary constants.

Part A. Fusion of water drops (2.0 points)

As shown in Fig. 1, consider two spherical water droplets stationary on the surface of a superhydrophobic material, i.e. for which there are intense repulsive forces between the material and the water.

On the surface are two identical spherical water droplets, initially close together; later these two droplets merge after touching each other and form a larger spherical water drop, which suddenly leaps upwards.

A.1 The radius $a$ of both drops of water before melting is $100\mu \text{m}$. The density of the water $\rho$ is $1.00\times 10^3{\text{kg/m}}^3$. The surface tension $\gamma$ is $7.27\times 10^{-2}{\text{J/m}}^2$. A fraction $k$ of the surface energy difference $\Delta E$ between before and after fusion is converted into kinetic energy of the upward-jumping sphere. Determine the initial jump speed, $v$, of the melt water drop with two significant figures based on the following assumptions:

• $k=0.06$
• Before and after fusion, the total volume of water is retained.

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• What? 1: Fusion of two drops of water and leap of the melted water drop.

Part B. A table positioned vertically (4.5 points)

A flat table is immersed vertically in water. Figures 2 (a) and 2 (b) show the surface shapes of water for hydrophilic (attractive) and hydrophobic materials respectively. You’re neglecting the thickness of the table.

The surface of the table is on the $yz$ plane and the horizontal surface of the water away from the table is on the $xy$ plane with $z=0$. The shape of the surface does not depend on the $y$ coordinate. Whether $\theta (x)$ the angle between the surface of the water and the horizontal plane at a point $(x,z)$ of the surface of the water in the plane $xz$. Here $\theta (x)$ is measured against the positive axis $x$ and the anti-clock rotation is considered positive. Either $\theta (x)$ equal to ${\theta }_0$ at the point of contact between the table and the surface of the water ($x=0$). The following ${\theta }_0$ is determined by the properties of the material on the board.

The water density $\rho$ and the water surface tension $\gamma$ are uniform. The gravitational acceleration is given by $g$. The atmospheric pressure $P_0$ is assumed to be uniform. Note that the surface tension measurement unit is ${\text{J/m}}^2$ but also N/m. The shape of the water surface is determined by the following steps.

• What? 2: Tables vertically submerged in water. (a) in the case of a hydrophilic table; (b) in the case of a hydrophobic table.

B.1 Consider the case of a hydrophilic table, as shown in Figure 1. 2(a). Note that the water pressure, $P$, meets the conditions $P<P_0$ for $z>0$ and $P=P_0$ for $z=0$. The $P$ is determined at the $z$ ratio according to $\rho$, $g$, $z$, and $P_0$.

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B.2 Consider a block of water whose shape is shown in Figure 3. Its cross-section in the $xz$ plane is shown by the area drawn in Fig.3 ((b). The coordinates of the left and right edge of the boundary (water surface) between the water and air blocks are $z_1$ and $z_2$ respectively. Find the horizontal component (component $x$) $f_x$ of the resulting force per unit length along the $y$ axis, applied to the water block due to pressure, as a function of $\rho$, $g$, $z_1$ and $z_2$. Note that the presence of atmospheric pressure $P_0$ does not cause a net horizontal force on the water block.

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• What? 3: The shape of the water block. (a) bird’s eye view and (b) section view.

B.3 The surface tension acting on the water block is balanced by the force $f_x$ discussed in B.2. The angles between the water surface and the horizontal plane at the left and right edges shall be ${\theta }_1$ and ${\theta }_2$ respectively. Ricavare $f_x$ in funzione di $\gamma$, ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$.

0.8pt

B.4 The following equation applies at an arbitrary point $(x,z)$ on the surface of the water,

$\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{\ell }\right)}^a+\cos \theta (x)=\text{constant.}(1)$

Determine the $a$ exponent and express the $\ell$ constant as a function of $\gamma$ and $\rho$. Note that this equation is valid for both hydrophilic and hydrophobic table materials.

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B.5 In equation (1) in B.4, the change in the water surface is assumed to be slight, i.e. $|z^{\prime }(x)|\ll 1$, so that $\cos \theta (x)$ can be developed in series of $z^{\prime }(x)$ up to the second order. Subsequently, by differentiating the resulting equation from $x$, the differential equation satisfied by $z(x)$ is obtained. Solve this differential equation and determine $z(x)$ for $x\ge 0$ as a function of $\tan {\theta }_0$ and $\ell$. Note that the vertical dimensions in Fig. 2 and 3 are exaggerated for graphic reasons and do not meet the condition $|z^{\prime }(x)|\ll 1$.

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Part C. Interaction between two auctions (3.5 points)

The same axes A and B, of the same material, float parallel to each other on the surface of the water and are placed symmetrically at the same distance from the $y$ axis (Fig. 4).

• What? 4: Two A and B axes floating on the surface of the water.

C.1 In the contact points between the B-beam and the water, the $z$ coordinates and angles are defined as shown in Figure 1. 5. Determine the horizontal component of the force, $F_x$, on the B-axis per unit length along the $y$ axis as a function of ${\theta }_a$, ${\theta }_b$, $z_a$, $z_b$, $\rho$, $g$, and $\gamma$.

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• What? 5: View in vertical section of two axes floating on the surface of the water.

C.2 $z_0$ is the coordinate $z$ of the water surface at the midpoint between the two axes in the plane $xz$. Express the force $F_x$ obtained in C.1 without using ${\theta }_a$, ${\theta }_b$, $z_a$ and $z_b$.

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C.3 The coordinate $x_a$ of the contact point $x$ between the surface of the water and the left side of the B axis. Using the differential equation obtained in B.4, express the coordinate $z_0$ of the water level of the mean point of these two axes A and B as a function of $x_a$ and $z_a$. The $\ell$ constant introduced in B.4 may be used.

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**p.1 ** Fusion of two drops of water

p.2 Vertically submerged table in water

p.3 Form of water block and section

p.4 — Due aste A e B galleggianti

p.4 — Sezione verticale aste A e B

Topic: Fluid Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Energy Conservation Method, Hydrostatic Equilibrium, Differential Equations, Free-Body Diagram, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Droplet, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)