Spagna 2023

Problema 1: Campo gravitatorio (obligatorio). Un conocido millonario ha planteado construir un complejo hotelero de gran lujo de diez plantas en el espacio. La ubicación propuesta para situarlo es el denominado punto de Lagrange $L_4$, debido a su gran estabilidad y magníficas vistas. El punto $L_4$, junto con la Tierra y la Luna, forman un triángulo equilátero como se muestra en la figura (la distancia entre los astros no está a escala) y los tres cuerpos giran alrededor del origen O con la misma velocidad angular y se mantienen siempre en un mismo plano.

Magnitud Valor $G$ $6,67\cdot 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$ $M_L$ $7,35\cdot 10^{22}\text{kg}$ $M_T$ $5,97\cdot 10^{24}\text{kg}$ $d$ $3,84\cdot 10^8\text{m}$ $r_T$ $6371\text{km}$

a. Calcule la energía potencial que tendría el complejo hotelero en el punto $L_4$ sabiendo que la masa de cada planta es de 50 toneladas.

• B. Determine la energía cinética mínima en la superficie terrestre para que el complejo pudiera llegar a $L_4$. ¿Cuál debería ser la velocidad en la superficie terrestre?
• C. Imagine como serían las vistas desde el complejo hotelero: ¿se vería siempre la misma cara de la Luna? ¿Y de la Tierra?

Topic: Gravitation, Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 1: Campo gravitazionale (obbligo). Un noto milionario ha chiesto costruire un hotel di lusso di dieci piani nello spazio. Lo spazio proposto para situarlo es el denominado punto de Lagrange $L_4$, debido a su gran estabilidad y magníficas vista. Il punto $L_4$, insieme alla Terra e alla Luna, formano un triangolo equilaterale come se mostra nella figura (la distanza tra le stelle non è a scala) e i tre corpi girano O con la stessa velocità angolare e si mantengono sempre in una stessa piano.

Magnitud Valore $G$ $6,67\cdot 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$ $M_L$ $7,35\cdot 10^{22}\text{kg}$ $M_T$ $5,97\cdot 10^{24}\text{kg}$ $d$ $3,84\cdot 10^8\text{m}$ $r_T$ $6371\text{km}$

a. Calcola l’energia potenziale che il complesso alberghiero avrebbe al punto $L_4$ sapendo che la massa di ogni pianta è di 50 tonnellate.

• B. Determina l’energia cinetica minima sulla superficie terrestre per consentire al complesso di raggiungere $L_4$. Qual è la velocità sulla superficie terrestre?
• C. Imagine como serían las vistas desde el complejo hotelero: ¿se vería siempre la misma Il volto della luna? E la Terra?

Topic: Gravitation, Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 1: Gravitational field (mandatory). A well-known millionaire has raised Build a luxury ten-story hotel complex in space. The proposed location para situarlo es el denominado punto de Lagrange $L_4$, debido a su gran estabilidad y magníficas The view. The point $L_4$ together with the Earth and the Moon form an equilateral triangle as The distance between the stars is not on the scale, and the three bodies are spinning. around the origin or with the same angular velocity and always stay on the same It’s flat.

Magnitude Value $G$ $6,67\cdot 10^{-11}{\text{N m}}^2{\text{kg}}^{-2}$ $M_L$ $7,35\cdot 10^{22}\text{kg}$ $M_T$ $5,97\cdot 10^{24}\text{kg}$ $d$ $3,84\cdot 10^8\text{m}$ $r_T$ $6371\text{km}$

a. Calculate the potential energy the hotel complex would have at the point $L_4$ knowing that The mass of each plant is 50 tons.

• B. Determine the minimum kinetic energy on the earth’s surface so that the complex can reach $L_4$. What should be the speed on the Earth’s surface?
• C. Imagine como serían las vistas desde el complejo hotelero: ¿se vería siempre la misma The face of the moon? What about the Earth?

Topic: Gravitation, Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 2: Oscilaciones (opcional). En el experimento de Rüchardt (ver figura) se encierra a presión atmosférica ($p$) aire en un matraz de volumen $V$, mediante un tapón de longitud $L$ y sección $S$ que puede oscilar en el cuello de dicho matraz. Se empuja ligeramente el tapón una distancia mucho menor que su longitud. Este desplazamiento origina una disminución del volumen $(\Delta V)$ y un aumento de la presión $(\Delta p)$ del aire contenido en el matraz. Tras esto, se suelta el tapón y se observa como el mismo describe un movimiento oscilatorio armónico simple. Bajo ciertas condiciones, la velocidad angular de dicho movimiento viene descrita por

$\omega =\sqrt{\frac{Sp\gamma }{\rho LV}}$

donde $\rho$ es la densidad del aire y $\gamma$ es el llamado coeficiente adiabático.

• A. Razone los motivos por los cuales el tapón describe este movimiento.
• B. Recordando la ley de los gases ideales: $pV=nRT$, donde $n$ es el número de moles, $T$ la temperatura y $R$ la constante de los gases ideales, demuestre que la frecuencia angular del movimiento del tapón está descrita por

$\omega =\sqrt{\frac{SRT\gamma }{p_{m}LV}}$

donde $p_m$ es el peso molecular del aire. c. Este experimento permite obtener de manera más o menos simple el coeficiente adiabático del aire. Determínelo sabiendo que las oscilaciones del tapón presentan un periodo de oscilación de $t=12,82$ ms.

Magnitud Valor $T$ $300\text{K}$ $V$ $1,0\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$ $S$ $1,0\cdot 10^{-4}{\text{m}}^2$ $L$ $5,0\cdot 10^{-2}\text{m}$ $R$ $8,314{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ $p_m$ $2,9\cdot 10^{-2}{\text{kg mol}}^{-1}$

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Gas, Container, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 2: Oscillazioni (opzionale). L’esperimento di Rüchardt (vedi figura) chiude all’aria a pressione atmosferica ($p$) un materasso di volume $V$, mediante un tappo di lunghezza $L$ e $S$ che può oscillare sul collo di detto materasso. Sposta leggermente la tappa una distanza molto inferiore alla sua lunghezza. Questo spostamento provoca una diminuzione del volume $(\Delta V)$ e un aumento della pressione $(\Delta p)$ dell’aria contenuta nel materasso. Dopo questo, si solleva il tappo e si osserva come esso descrive un movimento oscillatorio armonioso

• semplice. In determinate condizioni, la velocità angolare di tale movimento viene descritta da

$\omega =\sqrt{\frac{Sp\gamma }{\rho LV}}$

dove $\rho$ è la densità dell’aria e $\gamma$ è il cosiddetto coefficiente adiabatico.

• A. Raziona i motivi per cui la tappa descrive questo movimento.
• B. Ricordando la legge dei gas ideali: $pV=nRT$, dove $n$ è il numero di molli, $T$ la temperatura e $R$ la costante dei gas ideali, dimostrano che la frequenza angolare Il movimento del tappo è descritto da

$\omega =\sqrt{\frac{SRT\gamma }{p_{m}LV}}$

dove $p_m$ è il peso molecolare dell’aria. c. Questo esperimento permette di ottenere in modo più o meno semplice il coefficiente adiabatico dell’aria. Determina con la consapevolezza che le oscillazioni del tappo presentano un periodo di oscillazione di $t=12,82$ ms.

Magnitud Valore $T$ $300\text{K}$ $V$ $1,0\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$ $S$ $1,0\cdot 10^{-4}{\text{m}}^2$ $L$ $5,0\cdot 10^{-2}\text{m}$ $R$ $8,314{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ $p_m$ $2,9\cdot 10^{-2}{\text{kg mol}}^{-1}$

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Gas, Container, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 2: Oscillations (optional) In the Rüchardt experiment (see figure), air is locked at atmospheric pressure ($p$) into a mattress of $V$ volume by means of a length cap. $L$ and $S$ section which may oscillate on the neck of the mattress. Push the plug slightly a distance much shorter than its length. This shift leads to a decrease in the The air pressure of the mattress is increased by $(\Delta V)$ and the air pressure of the mattress $(\Delta p)$ is increased by $(\Delta V)$. After this, The cap is released and you see how it describes a harmonic oscillatory motion. It’s simple. Under certain conditions, the angular velocity of such motion is described by

$\omega =\sqrt{\frac{Sp\gamma }{\rho LV}}$

where $\rho$ is the density of air and $\gamma$ is the so-called adiabatic coefficient.

• A. Reason why the cap describes this movement.
• B. Recalling the ideal gas law: $pV=nRT$, where $n$ is the number of moles, $T$ The temperature and $R$ of the ideal gas constant, shows that the angular frequency The movement of the cap is described by

$\omega =\sqrt{\frac{SRT\gamma }{p_{m}LV}}$

where $p_m$ is the molecular weight of air. c. This experiment allows us to obtain the adiabatic coefficient more or less simply. from the air. Determine this by knowing that the oscillations of the cap present a period of oscilación de $t=12,82$ ms.

Magnitude Value $T$ $300\text{K}$ $V$ $1,0\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3$ $S$ $1,0\cdot 10^{-4}{\text{m}}^2$ $L$ $5,0\cdot 10^{-2}\text{m}$ $R$ $8,314{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ $p_m$ $2,9\cdot 10^{-2}{\text{kg mol}}^{-1}$

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Gas, Container, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 3: Experimental (opcional). Para medir la densidad de un fluido es posible recurrir al principio de Arquímedes, el cual se basa en que los cuerpos sumergidos total o parcialmente en un fluido experimentan la acción de una fuerza ascendente denominada empuje E. Esto hace que parezca que pesan menos dentro del fluido que fuera. El valor de dicho empuje está determinado por

$E={\rho }_{f}Vg$

donde $V$ es el volumen del cuerpo que está sumergido, $g$ la aceleración de la gravedad y ${\rho }_f$ la densidad del fluido. Se quiere determinar la densidad de un fluido problema utilizando el principio de Arquímedes. Para ello, en el laboratorio, se ha medido el empuje ($E_0$) realizado por un fluido de densidad conocida $({\rho }_0)$ sobre un cuerpo sumergido y el empuje (E) realizado por el fluido problema sobre el mismo cuerpo. A partir de los datos mostrados en la tabla:

Cuerpo $E_0\pm 0.02$ (N) $E\pm 0.02$ (N) 1 0.08 0.06 2 0.10 0.08 3 0.18 0.20 4 0.26 0.28 5 0.32 0.38 6 0.40 0.48

• A. Realice una gráfica representando los valores de E frente a los de $E_0$.
• B. Calcule el valor de la pendiente y estime su incertidumbre.
• C. Calcule la ordenada en el origen y su incertidumbre. Discuta el valor obtenido.
• D. A partir del valor de la pendiente y conociendo la densidad del agua $({\rho }_0=1.00$ g ${\text{cm}}^{-3})$ determine la densidad del fluido problema, realizando una estimación del error del resultado obtenido.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 3: sperimentale (opzionale). Per misurare la densità di un fluido è possibile ricorrere al principio di Archimede, che si basa sul fatto che i corpi immersi in tutto o in tutto in un fluido, si subiscono l’azione di una forza ascendente chiamata spinta E. Questo rende sembrare che pesino meno all’interno del fluido che in superficie. Il valore di tale spinta è determinato da

$E={\rho }_{f}Vg$

dove $V$ è il volume del corpo immerso, $g$ l’accelerazione della gravità e ${\rho }_f$ la densità del fluido. Si vuole determinare la densità di un fluido problematico utilizzando il Principio di Archimede. Per questo, in laboratorio, è stato misurato il pulso ($E_0$) per un fluido di densità nota $({\rho }_0)$ su un corpo immerso e il pulso (E) effettuato per il problema del fluido sul corpo stesso. Dalle informazioni riportate nella tabella:

Corpo $E_0\pm 0.02$ (N) $E\pm 0.02$ (N) 1 0.08 0.06 2 0.10 0.08 3 0.18 0.20 4 0.26 0.28 5 0.32 0.38 6 0.40 0.48

• A. Realizzare un grafico che rappresenta i valori di E rispetto a quelli di $E_0$.
• B. Calcola il valore della pendenza e stima la sua incertezza.
• C. Calcola la sequenza di origine e la sua incertezza. Discutere il valore ottenuto.
• D. Dal valore della pendenza e conoscendo la densità dell’acqua $({\rho }_0=1.00$ g ${\text{cm}}^{-3})$ determinare la densità del fluido problematico, effettuando una stima dell’errore del risultato ottenuto.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problem 3: Experimental (optional) To measure the density of a fluid is possible The principle of the Archimedes principle, which is based on the principle that all submerged bodies or In a fluid they partly experience the action of an upward force called a push. E. This makes it look like they weigh less inside the fluid than they did outside. The value of such a push is determined by

$E={\rho }_{f}Vg$

where $V$ is the volume of the body submerged, $g$ gravity acceleration and ${\rho }_f$ the density of the fluid. The density of a problem fluid is to be determined using the The principle of Archimedes. For this purpose, the thrust ($E_0$) was measured in the laboratory. by a fluid of known density $({\rho }_0)$ over a submerged body and the thrust (E) It’s the fluid problem over the same body. From the data shown in the table:

Body $E_0\pm 0.02$ (N) $E\pm 0.02$ (N) 1 0.08 0.06 2 0.10 0.08 3 0.18 0.20 4 0.26 0.28 5 0.32 0.38 6 0.40 0.48

• A. Draw a graph representing the values of E versus those of $E_0$.
• B. Calculate the value of the slope and estimate its uncertainty.
• C. Calculate the order of origin and its uncertainty. Discuss the value obtained.
• D. From the slope value and the water density $({\rho }_0=1.00$ g ${\text{cm}}^{-3})$ determine the density of the problem fluid by making an estimate of the error of the result obtained.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 4: Electromagnetismo (opcional). La brújula de su teléfono móvil puede medir campos magnéticos gracias a un sensor diminuto como el que se muestra en la figura. Se compone de un fragmento rectangular de material conductor o semiconductor de medidas $L$, $d$, y $x$ por el que se hace pasar una corriente $I$. En este caso, el campo magnético $B$ incide perpendicular sobre una de las caras del dispositivo como se muestra en la figura. Al pasar la corriente, los electrones se acumulan en la parte superior del material, y la parte inferior se carga positivamente. Como consecuencia, aparece una diferencia de potencial entre los extremos superior e inferior, $V_{\text{Hall}}$ (llamada así en honor a su descubridor), la cual es muy fácil de medir.

material $n$ (electrones/m${}^3$) $x$ (m) cobre $8,5\cdot 10^{28}$ $1,1\cdot 10^{-4}$ germanio $2,4\cdot 10^{19}$ $1,1\cdot 10^{-6}$ silicio $1,4\cdot 10^{16}$ $1,2\cdot 10^{-4}$

a. Explique por qué los electrones se acumulan en la cara superior, y por qué la cara inferior se carga positivamente. b. Dentro del material circulan, en cada instante, $n$ electrones/m${}^3$ (se ha dibujado solo uno). Demuestre que el número total de electrones que circulan dentro del dispositivo es $N=nLxd$, y que la carga total asociada es $Q=enLxd$, siendo $e$ la carga de un electrón. c. Los electrones se acumulan en la cara superior hasta alcanzar el equilibrio entre la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga total $Q$, y la fuerza magnética que actúa sobre la corriente $I$. Demuestre que

$V_{\text{Hall}}=\frac{BI}{enx}.$

Recuerde que, como en un condensador de caras plano-paralelas, $E=\frac{V_{\text{Hall}}}{d}$. d. La tabla muestra datos referentes a diferentes sensores, cada uno de un material y espesor específicos. ¿Cuál es el más sensible de todos? Justifique su respuesta.

Topic: Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Electron, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 4: elettromagnetismo (opzionale). La compassa del tuo cellulare può misurare i campi magnetici grazie a un piccolo sensore come quello che mostra la figura. Se composto da un frammento rettangolare di materiale conduttore o semiconduttore di misura $L$, $d$, e $x$ attraverso il quale viene trasmesso un corrente $I$. In questo caso, il campo magnetico $B$ incide su perpendicolare a una delle facce del dispositivo come mostrato nella figura. # Quando passa La corrente, gli elettroni si accumulano nella parte superiore del materiale, e la parte inferiore si accumula carica positivamente. Di conseguenza, si presenta una differenza di potenziale tra gli estremi superiore e inferiore, $V_{\text{Hall}}$ (chiamato così per il suo scopritore), che è molto facile da misurare.

materiale $n$ (elettroni/m${}^3$) $x$ (m) Copro $8,5\cdot 10^{28}$ $1,1\cdot 10^{-4}$ tedesco $2,4\cdot 10^{19}$ $1,1\cdot 10^{-6}$ di silicio $1,4\cdot 10^{16}$ $1,2\cdot 10^{-4}$

a. Spiega perché gli elettroni si accumulano nella parte superiore e perché la parte inferiore si carica positivamente. b. All’interno del materiale circolano, in ogni istante, $n$ elettroni/m${}^3$ (solo disegnata uno). Dimostra che il numero totale di elettroni circolanti all’interno del dispositivo è $N=nLxd$, e che il carico totale associato è $Q=enLxd$, essendo $e$ il carico di un l’elettrone. c. Gli elettroni si accumulano nella faccia superiore fino a raggiungere l’equilibrio tra la forza la forza elettrica che agisce su una carica totale $Q$ e la forza magnetica che agisce su una corrente $I$. Dimostrare che

$V_{\text{Hall}}=\frac{BI}{enx}.$

Ricorda che, come in un condensatore di facce piane-parallellose, $E=\frac{V_{\text{Hall}}}{d}$. d. Il tabella mostra dati relativi a diversi sensori, ognuno di un materiale e di un spessore

• specifici. Qual è il più sensibile di tutti? giustifica la tua risposta.

Topic: Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Electron, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem 4: Electromagnetism (optional) Your cell phone compass can measure magnetic fields thanks to a tiny sensor like the one shown in the figure. Se consisting of a rectangular fragment of conductive or semiconductor material measuring $L$, $d$, and $x$ through which a current $I$ is passed. In this case, the magnetic field $B$ perpendicular to one of the faces of the device as shown in the figure. On the way The electrons are accumulated on the top of the material, and the bottom is It’s charging positively. As a consequence, a potential difference between the extremes appears. The upper and lower, $V_{\text{Hall}}$ (named after its discoverer), which is very easy to measure.

Other materials $n$ (electrones/m${}^3$) $x$ (m) Copper $8,5\cdot 10^{28}$ $1,1\cdot 10^{-4}$ German $2,4\cdot 10^{19}$ $1,1\cdot 10^{-6}$ Other, of a kind used for the manufacture of cement $1,4\cdot 10^{16}$ $1,2\cdot 10^{-4}$

a. Explain why electrons accumulate on the upper face, and why the lower face It’s charging positively. b. Within the material, at any given moment, $n$ electrons/m${}^3$ are circulated (only drawn One . Demonstrate that the total number of electrons circulating within the device is $N=nLxd$, and the associated total load is $Q=enLxd$, with $e$ being the load of a electron. c. The electrons accumulate on the upper face until the balance between the force is reached. The electrical force acting on the total load $Q$ and the magnetic force acting on the corriente $I$. Proving that

$V_{\text{Hall}}=\frac{BI}{enx}.$

Remember, like in a parallel plane-faced capacitor, $E=\frac{V_{\text{Hall}}}{d}$. d. The table shows data on different sensors, each of a material and thickness specific. Which one is the most sensitive of them all? Justify your answer.

Topic: Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Electron, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.4