Svizzera 2019

Physikolympiade 2019 Bestimmung der Dichte von Öl Lösungen

1 (a)

Messresultate Als Bezugspunkt für die Messungen wählt man sinnvollerweise den oberen Rand des RG (damit vermeidet man lästige negative Messwerte, die zu Fehlern führen können). Die Werte der zusätzlichen Flüssigkeitssäule $h^{'}$ und Eintauchtiefe $t^{'}$ lassen sich daraus einfach berechnen. Sie werden grafisch dargestellt.

Wasser (ohne Muttern) y = 0.879x - 0.302 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 10 20 30 40 50 Einfüllhöhe Wasser $h^{'}$ (mm) zusätzliche Eintauchtiefe $t^{'}$ in Wasser (mm)

Steigung 0.879

Bemerkungen Der Messbereich wird auf der einen Seite durch die Stabilität, auf der anderen durch die begrenzte Eintauchtiefe des RG begrenzt (das RG steht auf dem Boden auf!). Liegt der letzte Messpunkt deutlich nicht auf einer Geraden, kann man annehmen, dass das RG im Becherglas unten aufsteht, und damit unsorgfältig experimentiert wurde.

An Stelle der Grössen $h^{'}$ und $t^{'}$ kann man auch $h$ und $t$ aufzeichnen. Bei der Auswertung kommt es nur auf die Steigung an!

Man erhält mit beiden Methoden die gleiche Steigung. t (mm) h (mm) h’ = 97 - h (mm) t’ = 54 - t (mm) 54 97 0 0 41 81 16 13 32 72 25 22 26 65 32 28 13 50 47 41 t Wasserspiegel t’ ohne Zusatzwasser (bzw. Oel)

mit Zusatzwasser (bzw. Oel) h h’ t h h’ = 0 Wasser (ohne Muttern y = 0.879x - 30.986 0 10 20 30 40 50 60 40 50 60 70 80 90 100 Einfüllhöhe Wasser von oben gemessen (mm) Länge RG über dem Wasserspiegel (mm)

Physikolympiade 2019 Bestimmung der Dichte von Öl Lösungen

2 (b) Optimierung des Messbereichs

Methode Messung der Eintauchtiefe als Funktion der Anzahl Muttern

Anzahl Muttern ins RG geben

Mit Wasser auffüllen, bis RG stabil

$t$ und $h$ messen (zusätzlich Wasser nachfüllen, bis RG maximal eingetaucht: $t_{max}$ und $h_{max}$ )

Messresultate

muttern t h t_max h_max d_h 0 53 96 15 53 43 1 60 107 15 56 51 2 64 116 15 60 56 3 67 125 15 64 61 4 70 132 15 69 63 5 72 138 15 73 65 6 73 144 15 77 67 7 72 147 15 80.5 66.5

Die mögliche Eintauchtiefe ist bei ca. 6 Muttern maximal (73 mm). Dies ist mehr, als bei 13 Muttern (64 mm).

Methode in leeres RG Muttern zugeben, bis das RG gerade stabil schwimmt

Dann die Muttern mit Wasser überdecken

Dann mit der Messung beginnen

Messresultate (es sind 13 Muttern notwendig)

Man kann nun 49 mm Wasser auffüllen (gegenüber früher 41 mm)

Steigung 0.873 (Abweichung gegenüber (a): 0.7 %

Auch hier gilt: Der Messbereich wird auf der einen Seite durch die Stabilität, auf der anderen durch die begrenzte Eintauchtiefe des RG begrenzt. Liegt der letzte Messpunkt deutlich nicht auf einer Geraden, kann man annehmen, dass das RG im Becherglas unten aufsteht, und damit unsorgfältig experimentiert wurde.

Im Grunde genommen ist die Zuladung im RG etwas zu gross, denn man benötigt zusätzlich zu den Muttern noch Wasser, um im RG in den linearen Querschnittsbereicht zu gelangen.

Wasser (mit 33 Muttern) y = 0.873x + 0.168 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 zusätzliche Einfüllhöhe $h^{'}$ Wasser (mm) zusätzliche Eintauchtiefe $t^{'}$ in Wasser (m) t mm h mm h’ = 155 - h mm t’ = 49 - t mm 64 155 0 0 55 145 10 9 47 136 19 17 37 124 31 27 27 113 42 37 15 99 56 49 Eintauchtiefe als Fkt Anzahl Muttern 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Anzahl Muttern Eintauchtiefe t (mm)

Physikolympiade 2019 Bestimmung der Dichte von Öl Lösungen

3 Wasser/Wasser mit 6 Muttern M5 y = 0.869x + 0.274 $R^{2} = 1.000$ 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Einfüllhöhe Wasser (mm) Eintauchtiefe in Wasser (mm) Messung Wasser/Wasser mit 6 Muttern

Die Messung wurde mit 6 Muttern durchgeführt (analog zu (a)

t h h’ = 144 - h t’ = 74 - t mm mm mm mm 74 144 0 0 62 130 14 12 52 119.5 24.5 22 41 107 37 33 30 94 50 44 13 73.5 70.5 61

Der Messbereich ist mit Muttern deutlich grösser als ohne, aber auch besser als mit 13 Muttern.

Diese Messung liefert wohl den besten Wert für die Steigung.

$s_{W} = 0.869$

Physikolympiade 2019 Bestimmung der Dichte von Öl Lösungen

4 (d) Messung mit Oel

(d1) Messung mit Muttern (6 Stk., gute Methode)

t h h’ = 134 - h t’ = 69.5 - t mm mm mm mm 69.5 134 0 0 60 120.5 13.5 9.5 49 106 28 20.5 39 92.5 41.5 30.5 29.5 79.5 54.5 40 12.5 56.5 77.5 57

Der Messbereich für Oel ist 77.5 mm, die Änderung der Eintauchtiefe ist 57 mm

Die Steigung ist $s_{O} = 0.738$ .

Mit der Messung für Wasser (Steigung $s_{W} = 0.869$ ) ergibt sich die Dichte von Oel zu

$ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = (0.783/0.869) \cdot 10 \cdot 1.00 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3} = 0.849 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3}$

(gemessener Wert mit Araeometer: $0.846 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3}$ , Abweichung 0.35 %)

(d2) Messung ohne Muttern (schlechte Methode)

t h h’ = 56.5 - h t’ = 34.5 - t mm mm mm mm 34.5 56.5 0 0 28 47.5 9 6.5 21 38.5 18 13.5 13 27.5 29 21.5

Messbereich für Einfüllhöhe Oel: 29 mm Eintauchtiefe 21.5 mm. Das ist nur 37 % verglichen mit der Messung mit 6 Muttern!

Dies wirkt sich direkt auf den Messfehler aus!

Fehlerabschätzung Fehler einer Steigung (typ. Fehler) 1 mm auf 77.5 mm: rel. Fehler 1.3 %.

Bei 2 Steigungen typ. 2.5 %, absoluter Fehler der Dichte: 2.5 % von 0.85 $\to$ 0.02

Angabe der Dichte $ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = 0.849 \cdot 1 0^{3} \pm 0.020 kg/m^{3}$

oder

$ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = 0.85 \cdot 1 0^{3} \pm 0.02 kg/m^{3}$

Vermutlich ist die Fehlerschätzung etwas pessimistisch.

18.3.2019 Schweizerische Physikolympiade / Markus Meier Oel/Wasser mit 6 Muttern M5 y = 0.738x - 0.183 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Einfüllhöhe Oel (mm) Eintauchtiefe Wasser (mm) Oel/Wasser ohne Muttern y = 0.745x - 0.049 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 30 35 Einfüllhöhe Oel (mm) Eintauchtiefe (mm)

Topic: Fluid Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.1

Fisica Olimpiade 2019 Determinazione della densità dell’olio Soluzioni

1 (a)

Risultati sperimentali Come punto di riferimento per le misurazioni si sceglie ragionevolmente il bordo superiore del RG (in questo modo si evitano fastidiosi valori negativi che potrebbero generare errori). I valori dell’altezza aggiuntiva della colonna di liquido $h^{'}$ e della profondità immersa $t^{'}$ si possono facilmente calcolare da questi dati. Essi vengono rappresentati graficamente.

Acqua (senza dadi) y = 0.879x - 0.302 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 10 20 30 40 50 Altezza di riempimento acqua $h^{'}$ (mm) profondità immersa aggiuntiva $t^{'}$ in acqua (mm)

Pendenza 0.879

Osservazioni L’intervallo di misura è limitato da un lato dalla stabilità del RG, dall’altro dal limite di immersione massima (il RG poggia sul fondo del becher!). Se l’ultimo punto sperimentale risulta chiaramente non allineato con la retta, si può supporre che il RG abbia toccato il fondo del becher e quindi l’esperimento è stato condotto con poca cura.

Al posto delle grandezze $h^{'}$ e $t^{'}$ si possono registrare anche $h$ e $t$ . Nell’analisi dei dati conta soltanto la pendenza!

Si ottiene la stessa pendenza con entrambi i metodi.

t (mm) h (mm) h’ = 97 - h (mm) t’ = 54 - t (mm) 54 97 0 0 41 81 16 13 32 72 25 22 26 65 32 28 13 50 47 41 t Livello dell’acqua t’ senza acqua aggiuntiva (o olio)

con acqua aggiuntiva (o olio) h h’ t h h’ = 0

Acqua (senza dadi) y = 0.879x - 30.986 0 10 20 30 40 50 60 40 50 60 70 80 90 100 Altezza di riempimento acqua misurata dall’alto (mm) Lunghezza del RG sopra il livello dell’acqua (mm)

Fisica Olimpiade 2019 Determinazione della densità dell’olio Soluzioni

2 (b) Ottimizzazione del campo di misura

Metodo Misurazione della profondità d’immersione in funzione del numero di viti

Inserire il numero di viti nel cilindro graduato (CG)

Riempire con acqua fino al raggiungimento della stabilità del CG

Misurare $t$ e $h$ (riempire ulteriormente con acqua fino al massimo immersione: $t_{max}$ e $h_{max}$ )

Risultati delle misure

viti t h t_max h_max d_h 0 53 96 15 53 43 1 60 107 15 56 51 2 64 116 15 60 56 3 67 125 15 64 61 4 70 132 15 69 63 5 72 138 15 73 65 6 73 144 15 77 67 7 72 147 15 80,5 66,5

La profondità massima d’immersione si ha per circa 6 viti (73 mm). Questo è maggiore rispetto al valore ottenuto con 13 viti (64 mm).

Metodo inizialmente vuoto: aggiungere viti al CG fino a quando il CG galleggia appena stabilmente

Poi coprire le viti con acqua

Iniziare quindi la misurazione

Risultati delle misure (sono necessarie 13 viti)

È ora possibile aggiungere 49 mm di acqua (rispetto ai precedenti 41 mm)

Pendenza: 0,873 (deviazione rispetto al caso (a): 0,7 %)

Anche in questo caso vale che: Il campo di misura è limitato da un lato dalla stabilità, dall’altro dalla profondità massima d’immersione del CG. Se l’ultimo punto misurato è chiaramente non allineato con la retta, si può supporre che il CG abbia toccato il fondo del becher e quindi l’esperimento è stato condotto in modo non accurato.

In sostanza, il carico aggiunto nel CG è leggermente eccessivo, poiché oltre alle viti si deve aggiungere acqua per raggiungere la regione con sezione trasversale lineare.

Acqua (con 3 dadi) y = 0,873x + 0,168 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 altezza aggiunta $h^{'}$ Acqua (mm) profondità immersa aggiuntiva $t^{'}$ in acqua (m) t mm h mm h’ = 155 - h mm t’ = 49 - t mm 64 155 0 0 55 145 10 9 47 136 19 17 37 124 31 27 27 113 42 37 15 99 56 49

Profondità immersa in funzione del numero di dadi 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Numero di dadi Profondità immersa t (mm)

Olimpiade di Fisica 2019 Determinazione della densità dell’olio Soluzioni

3 Acqua/acqua con 6 dadi M5 y = 0,869x + 0,274 $R^{2} = 1.000$ 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 altezza di riempimento acqua (mm) profondità immersa in acqua (mm) Misurazione acqua/acqua con 6 dadi

La misura è stata effettuata con 6 dadi (analogo a (a))

t h h’ = 144 - h t’ = 74 - t mm mm mm mm 74 144 0 0 62 130 14 12 52 119,5 24,5 22 41 107 37 33 30 94 50 44 13 73,5 70,5 61

Il campo di misura con i dadi è significativamente più ampio rispetto a quello senza, ma anche migliore di quello con 13 dadi.

Questa misurazione fornisce probabilmente il valore migliore per la pendenza.

$s_{W} = 0.869$

Olimpiade di Fisica 2019 Determinazione della densità dell’olio Soluzioni

4 (d) Misurazione con olio

(d1) Misurazione con dadi (6 pezzi, buona metodologia)

t h h’ = 134 - h t’ = 69,5 - t mm mm mm mm 69,5 134 0 0 60 120,5 13,5 9,5 49 106 28 20,5 39 92,5 41,5 30,5 29,5 79,5 54,5 40 12,5 56,5 77,5 57

Il campo di misura per l’olio è 77,5 mm, la variazione della profondità immersa è 57 mm.

La pendenza è $s_{O} = 0.738$ .

Con la misurazione per l’acqua (pendenza $s_{W} = 0.869$ ) si ricava la densità dell’olio come

$ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = (0.783/0.869) \cdot 10 \cdot 1.00 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3} = 0.849 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3}$

(valore misurato con idrometro: $0.846 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3}$ , deviazione 0.35 %)

(d2) Misurazione senza dadi (metodo poco accurato)

t h h’ = 56.5 - h t’ = 34.5 - t mm mm mm mm 34.5 56.5 0 0 28 47.5 9 6.5 21 38.5 18 13.5 13 27.5 29 21.5

Campo di misura per l’altezza di riempimento olio: 29 mm Profondità di immersione 21.5 mm. Questo rappresenta solo il 37 % rispetto alla misurazione con 6 dadi!

Ciò si riflette direttamente sull’errore di misura!

Stima dell’errore Errore di una pendenza (errore tipico) 1 mm su 77.5 mm: errore relativo 1.3 %.

Per due pendenze, tipico 2.5 %, errore assoluto della densità: 2.5 % di 0.85 $\to$ 0.02

Indicazione della densità $ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = 0.849 \cdot 1 0^{3} \pm 0.020 kg/m^{3}$

oppure

$ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = 0.85 \cdot 1 0^{3} \pm 0.02 kg/m^{3}$

Probabilmente la stima dell’errore è un po’ pessimistica.

18.3.2019 Olimpiade Svizzera di Fisica / Markus Meier Olio/acqua con 6 dadi M5 y = 0.738x - 0.183 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Altezza di riempimento olio (mm) Profondità di immersione acqua (mm) Olio/acqua senza dadi y = 0.745x - 0.049 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 30 35 Altezza di riempimento olio (mm) Profondità di immersione (mm)

Physics Olympiad 2019 Determination of the Density of Oil Solutions

1 (a)

Measurement Results For the measurements, it is more practical to choose the upper edge of the glass rod (RG) as the reference point (thus avoiding inconvenient negative measurement values that may lead to errors). The values of the additional fluid column $h^{'}$ and immersion depth $t^{'}$ can be easily calculated from this. These values are plotted graphically.

Water (without nuts) y = 0.879x - 0.302 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 10 20 30 40 50 Filling height of water $h^{'}$ (mm) Additional immersion depth $t^{'}$ in water (mm)

Slope 0.879

Remarks The measurement range is limited on one side by stability and on the other by the maximum immersion depth of the RG (the RG rests on the bottom!). If the last measurement point clearly does not lie on a straight line, one may assume that the RG touches the bottom of the beaker, indicating careless experimentation.

Instead of quantities $h^{'}$ and $t^{'}$ , one may also record $h$ and $t$ . For evaluation, only the slope matters!

Both methods yield the same slope.

t (mm) h (mm) h’ = 97 - h (mm) t’ = 54 - t (mm) 54 97 0 0 41 81 16 13 32 72 25 22 26 65 32 28 13 50 47 41 t Water level t’ without additional water (or oil)

with additional water (or oil) h h’ = 0 Water (without nuts) y = 0.879x - 30.986 0 10 20 30 40 50 60 40 50 60 70 80 90 100 Filling height of water measured from above (mm) Length of RG above the water surface (mm)

Physics Olympiad 2019 Determination of the Density of Oil Solutions

2 (b) Optimization of the Measurement Range

Method Measurement of immersion depth as a function of the number of nuts

Insert nuts into the glass container (RG)

Fill with water until RG is stable

Measure $t$ and $h$ (add additional water until RG is maximally immersed: measure $t_{max}$ and $h_{max}$ )

Measurement results

nuts t h t_max h_max d_h 0 53 96 15 53 43 1 60 107 15 56 51 2 64 116 15 60 56 3 67 125 15 64 61 4 70 132 15 69 63 5 72 138 15 73 65 6 73 144 15 77 67 7 72 147 15 80.5 66.5

The maximum possible immersion depth is approximately at 6 nuts (73 mm). This exceeds the value for 13 nuts (64 mm).

Method Add nuts to empty RG until the RG just floats stably

Then cover the nuts with water

Begin measurements at this point

Measurement results (13 nuts required)

Now 49 mm of water can be added (compared to previously 41 mm)

Slope: 0.873 (deviation compared to (a): 0.7 %)

In both cases: The measurement range is limited on one side by stability and on the other side by the maximum immersion depth of the RG. If the last measurement point clearly does not lie on a straight line, one may assume that the RG has touched the bottom of the beaker, indicating careless experimentation.

In principle, the loading in the RG is slightly too large, because additional water is needed besides the nuts to reach the linear cross-sectional region within the RG.

Water (with 33 nuts) y = 0.873x + 0.168 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 additional filling height $h^{'}$ Water (mm) additional immersion depth $t^{'}$ in water (m) t mm h mm h’ = 155 - h mm t’ = 49 - t mm 64 155 0 0 55 145 10 9 47 136 19 17 37 124 31 27 27 113 42 37 15 99 56 49 Immersion depth as function of number of nuts 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Number of nuts Immersion depth t (mm)

Physics Olympiad 2019 Determination of the density of oil Solutions

3 Water/Water with 6 nuts M5 y = 0.869x + 0.274 $R^{2} = 1.000$ 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Filling height water (mm) Immersion depth in water (mm)

Measurement Water/Water with 6 nuts

The measurement was performed using 6 nuts (analogous to (a))

t h h’ = 144 - h t’ = 74 - t mm mm mm mm 74 144 0 0 62 130 14 12 52 119.5 24.5 22 41 107 37 33 30 94 50 44 13 73.5 70.5 61

The measurement range with nuts is significantly larger than without, but also better than with 13 nuts.

This measurement likely provides the best value for the slope.

$s_{W} = 0.869$

Physics Olympiad 2019 Determination of the density of oil Solutions

4 (d) Measurement with oil

(d1) Measurement with nuts (6 pieces, good method)

t h h’ = 134 - h t’ = 69.5 - t mm mm mm mm 69.5 134 0 0 60 120.5 13.5 9.5 49 106 28 20.5 39 92.5 41.5 30.5 29.5 79.5 54.5 40 12.5 56.5 77.5 57

The measurement range for oil is 77.5 mm, the change in immersion depth is 57 mm.

The slope is $s_{O} = 0.738$ .

Using the measurement for water (slope $s_{W} = 0.869$ ), the density of oil is found to be

$ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = (0.783/0.869) \cdot 10 \cdot 1.00 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3} = 0.849 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3}$

(measured value using hydrometer: $0.846 \cdot 1 0^{3} kg/m^{3}$ , deviation 0.35 %)

(d2) Measurement without nuts (poor method)

t h h’ = 56.5 - h t’ = 34.5 - t mm mm mm mm 34.5 56.5 0 0 28 47.5 9 6.5 21 38.5 18 13.5 13 27.5 29 21.5

Measurement range for oil filling height: 29 mm Immerged depth: 21.5 mm. This is only 37 % compared to the measurement with 6 nuts!

This directly affects the measurement error!

Error estimation Error of a slope (typical error) 1 mm on 77.5 mm: relative error 1.3 %.

For 2 slopes, typical error is 2.5 %, absolute error of density: 2.5 % of 0.85 $\to$ 0.02

Reporting the density $ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = 0.849 \cdot 1 0^{3} \pm 0.020 kg/m^{3}$

$ρ_{O} = (s_{O} / s_{W}) \cdot ρ_{W} = 0.85 \cdot 1 0^{3} \pm 0.02 kg/m^{3}$

Probably, the error estimation is somewhat pessimistic.

18.3.2019 Swiss Physics Olympiad / Markus Meier Oil/water with 6 nuts M5 y = 0.738x - 0.183 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Oil filling height (mm) Water immersed depth (mm) Oil/water without nuts y = 0.745x - 0.049 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 30 35 Oil filling height (mm) Immersed depth (mm)

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