IPhO 2010 — Sperimentale — Problema 2

41-esima Olimpiade Internazionale della Fisica — Prova sperimentale — Croazia, 21 Luglio 2010

Ci sono due problemi sperimentali. L’apparato sperimentale sul tuo tavolo serve per entrambi. Hai 5 ore di tempo per completare entrambi i problemi.

Problema sperimentale 2: Forze tra magneti, concetti di stabilità e simmetria

Introduzione

Una corrente elettrica $I$ che gira attorno ad una spira di area $S$ crea un momento magnetico di intensità $m=IS$ [vedi Fig. 1(a)]. Un magnete permanente può essere schematizzato come una collezione di piccoli momenti magnetici di ferro (Fe), ciascuno dei quali è analogo al momento magnetico generato da una spira percorsa da corrente. Questo modello (il modello di Ampere) di un magnete è illustrato in Fig. 1(b). Il momento magnetico totale è la somma di tutti i piccoli momenti magnetici ed è diretto dal polo sud al polo nord.

(Fig. 1: (a) Schizzo della corrente che circola in una spira e del campo magnetico prodotto di conseguenza. (b) Modello di Ampere di un magnete visto come collezione di piccole spire.)

Forze tra magneti

Calcolare la forza esercitata tra due magneti non è un compito facile dal punto di vista teorico, anche se è risaputo che poli simili si respingono e poli opposti si attraggono. La forza tra due spire percorse da corrente dipende dall’intensità delle correnti, dalla forma delle spire e dalla loro distanza. Se invertiamo il flusso di corrente in una delle due spire, la forza esercitata tra di esse diventa l’opposto della forza originale (uguale in modulo e direzione, opposta in verso).

In questo problema cercherai di determinare sperimentalmente la forza esercitata tra due magneti, in particolare tra un anello magnetico e un cilindretto magnetico. Considera solo il caso in cui i due assi di simmetria dei magneti coincidono (vedi Fig. 2). Il cilindretto magnetico si può muovere lungo l’asse $Z$ da sinistra attraversando l’anello e poi proseguendo verso destra (vedi Fig. 2). Tra le altre richieste, ti verrà anche chiesto di misurare sperimentalmente la forza esercitata tra i magneti in funzione di $Z$. L’origine $z=0$ corrisponde al punto in cui i centri dei magneti coincidono.

(Fig. 2: Il cilindretto magnete e l’anello magnete sono allineati. La forza esercitata dall’uno sull’altro varia facendo muovere il cilindretto lungo l’asse $Z$.)

Per costringere il cilindretto magnete a muoversi lungo il suo asse di simmetria (l’asse $Z$), l’anello magnete è saldamente incollato a un cilindro trasparente con un piccolo buco cilindrico lungo l’asse $Z$. Il cilindretto magnete in questo modo è costretto a muoversi lungo questo buco e quindi lungo l’asse $Z$ (vedi Fig. 3). Entrambi i momenti magnetici sono diretti lungo l’asse $Z$; inoltre il buco garantisce la stabilità del cilindretto magnete rispetto al movimento trasversale.

(Fig. 3: Foto di uno dei due magneti e del cilindro forato di plastica; il cilindretto magnete si muove lungo il buco del cilindro trasparente.)

Apparato sperimentale (problema 2)

Sul banco di lavoro sono a tua disposizione i seguenti strumenti (da utilizzare per il secondo problema):

1. Una pressa (con un blocchetto di marmo); leggi le istruzioni specifiche se necessario.
2. Una bilancia in grado di misurare masse fino a 5000 g in diverse unità di misura e con la funzione di TARA (leggi le istruzioni specifiche se necessario).
3. Un cilindro forato di plastica trasparente con fissato ad uno dei suoi estremi un anello magnete.
4. Un cilindretto magnete.
5. Un sottile bastoncino di legno che può essere usato per tirare fuori il cilindretto magnete dal cilindro di plastica.

L’apparato deve essere usato come in Fig. 4 allo scopo di misurare la forza che agisce tra i due magneti. La tavoletta superiore della pressa deve essere girata sottosopra rispetto al problema precedente. Il bastoncino di alluminio fissato alla tavoletta serve per spingere il cilindretto magnete all’interno del cilindro di plastica durante le misure. La bilancia misura la forza (o meglio la massa equivalente). La tavoletta superiore della pressa può essere mossa su e giù tramite un dado a farfalla. Importante: il dado a farfalla si muove verticalmente di 2 mm per ogni giro completo (cioè quando ruota di 360 gradi).

(Fig. 4: Fotografia dell’apparato sperimentale e di come deve essere utilizzato per misurare la forza tra i due magneti.)

Richieste

1. Determina con osservazioni qualitative tutte le posizioni di equilibrio dei due magneti, assumendo che l’asse $Z$ sia disposto in orizzontale come in Fig. 2, e disegnale (schizzale) sul foglio risposte. Per ogni posizione, determina se è stabile (S) o instabile (U) e indica il tipo di polo magnetico con un’ombreggiatura, come si vede nell’esempio di una posizione stabile riportata nel foglio risposte. Puoi rispondere a questa domanda utilizzando le tue mani e il bastoncino di legno. (2.5 punti)

2. Usando l’apparato sperimentale misura la forza tra i due magneti in funzione della coordinata $Z$. Per convenzione, scegli come positiva la direzione di $Z$ che punta dentro al cilindro trasparente (ricorda: la forza è positiva se è diretta come la direzione positiva dell’asse di riferimento). Quando i due momenti magnetici sono paralleli, chiama la forza magnetica $F_{\uparrow \uparrow }(z)$, mentre quando sono antiparalleli chiamala $F_{\uparrow \downarrow }(z)$. Importante: va trascurata la massa del cilindretto magnetico (ovvero trascura la forza di gravità) e utilizza considerazioni di simmetria delle forze esercitate tra i magneti per determinare altre parti delle due curve. Scrivi chiaramente nel foglio risposte le simmetrie, che hai utilizzato, soddisfatte dalla forza magnetica. Riporta sul foglio risposte anche le misure che effettui e per ogni tabella schizza la configurazione dei magneti che hai studiato (segui l’esempio sul foglio risposte). (3.0 punti)

3. Usando le misure della richiesta 2, disegna in dettaglio sulla carta millimetrata un grafico di $F_{\uparrow \uparrow }(z)$ per $z>0$. Disegna schematicamente anche la forma delle curve $F_{\uparrow \uparrow }(z)$ e $F_{\uparrow \downarrow }(z)$ (per valori sia positivi che negativi di $Z$). Su ciascun grafico schematico evidenzia le posizioni di equilibrio stabile del sistema e schizza la corrispondente configurazione dei magneti (in maniera analoga alla richiesta 1). (4.0 punti)

4. Se non trascuriamo la massa del cilindretto magnete e l’asse $Z$ è diretto in verticale, cerca qualitativamente se ci sono nuove posizioni di equilibrio stabile per il sistema. Se sì, disegnale sul foglio risposta in maniera analoga alla richiesta 1. (0.5 punti)

p.1 — Campo magnetico spira e cilindro magnetico

p.2 — Cilindro magnete con asse Z

p.2 — Foto magneti e cilindro forato

p.3 — Foto apparato misura forza tra magneti

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Free-Body Diagram Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning Objects: Magnet, Magnetic Dipole, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

41st International Physics Olympiad — Experimental Competition — Croatia, July 21, 2010

There are two experimental problems. The experimental setup on your table is intended for both problems. You have 5 hours to complete both problems.

Experimental Problem 2: Forces between Magnets, Concepts of Stability and Symmetry

Introduction

An electric current $I$ flowing around a loop of area $S$ generates a magnetic moment of magnitude $m=IS$ [see Fig. 1(a)]. A permanent magnet can be modeled as a collection of small magnetic moments due to iron (Fe), each analogous to the magnetic moment produced by a current-carrying loop. This model (the Ampère model) of a magnet is illustrated in Fig. 1(b). The total magnetic moment is the vector sum of all these small magnetic moments and points from the south pole to the north pole.

(Fig. 1: (a) Sketch of current circulating in a loop and the resulting magnetic field. (b) Ampère’s model of a magnet viewed as a collection of small current loops.)

Forces between Magnets

Calculating the force exerted between two magnets is not an easy theoretical task, even though it is well known that like poles repel and opposite poles attract. The force between two current-carrying loops depends on the current intensities, the shape of the loops, and their separation distance. If we reverse the direction of current flow in one of the two loops, the force between them becomes opposite to the original force (equal in magnitude and direction, but opposite in sign).

In this problem you will attempt to determine experimentally the force exerted between two magnets, specifically between a ring magnet and a small cylindrical magnet. Consider only the case in which the two symmetry axes of the magnets coincide (see Fig. 2). The cylindrical magnet can move along axis $Z$ from the left, passing through the ring and continuing to the right (see Fig. 2). Among other tasks, you will also be asked to measure experimentally the force between the magnets as a function of $Z$. The origin $z=0$ corresponds to the point where the centers of the magnets coincide.

(Fig. 2: The cylindrical magnet and ring magnet are aligned. The force between them varies by moving the cylinder along axis $Z$.)

To force the small magnet cylinder to move along its axis of symmetry (the $Z$ axis), the ring magnet is firmly glued to a transparent plastic cylinder with a small cylindrical hole along the $Z$ axis. The small magnet cylinder is thus constrained to move through this hole and therefore along the $Z$ axis (see Fig. 3). Both magnetic moments are directed along the $Z$ axis; furthermore, the hole ensures stability of the small magnet cylinder against transverse motion.

(Fig. 3: Photo of one of the two magnets and the transparent plastic cylinder with a hole; the small magnet cylinder moves along the hole in the transparent cylinder.)

Experimental Setup (Problem 2)

On your workbench, you have the following equipment available for use in the second problem:

1. A press (with a marble block); read the specific instructions if necessary.
2. A balance capable of measuring masses up to 5000 g in various units and equipped with a TARE function (read the specific instructions if necessary).
3. A transparent plastic cylinder with a hole, attached at one end to a ring magnet.
4. A small magnet cylinder.
5. A thin wooden stick that can be used to pull the small magnet cylinder out of the plastic cylinder.

The apparatus must be used as shown in Fig. 4, in order to measure the force acting between the two magnets. The upper plate of the press must be inverted compared to the previous problem. The aluminum rod attached to the upper plate serves to push the magnet cylinder into the plastic tube during measurements. The balance measures the force (or more precisely, the equivalent mass). The upper plate of the press can be moved up and down via a butterfly nut. Important: the butterfly nut moves vertically by 2 mm per each complete turn (i.e., when rotating by 360 degrees).

(Fig. 4: Photograph of the experimental apparatus and how it must be used to measure the force between the two magnets.)

Requirements

1. Determine, through qualitative observations, all equilibrium positions of the two magnets, assuming that axis $Z$ is oriented horizontally as in Fig. 2, and draw them (sketch them) on the answer sheet. For each position, determine whether it is stable (S) or unstable (U), and indicate the type of magnetic pole using shading, as shown in the example of a stable position provided on the answer sheet. You may use your hands and the wooden rod to answer this question. (2.5 points)

2. Using the experimental apparatus, measure the magnetic force between the two magnets as a function of the coordinate $Z$. By convention, choose as positive the direction of $Z$ pointing into the transparent cylinder (remember: a force is positive if it points in the same direction as the positive axis reference). When the two magnetic moments are parallel, denote the magnetic force $F_{\uparrow \uparrow }(z)$; when they are antiparallel, denote it $F_{\uparrow \downarrow }(z)$. Important: neglect the mass of the small cylindrical magnet (i.e., ignore gravitational force) and use symmetry considerations of the forces exerted between the magnets to determine other parts of both curves. Clearly write on the answer sheet the symmetries you have used, which are satisfied by the magnetic force. Also record on the answer sheet the measurements you perform and for each table sketch the configuration of the magnets you have studied (follow the example on the answer sheet). (3.0 points)

3. Using the measurements from request 2, draw in detail on millimeter paper a graph of $F_{\uparrow \uparrow }(z)$ versus $z>0$. Also sketch schematically the shapes of the curves $F_{\uparrow \uparrow }(z)$ and $F_{\uparrow \downarrow }(z)$ (for both positive and negative values of $Z$). On each schematic graph, highlight the positions of stable equilibrium of the system and sketch the corresponding magnet configuration (in a manner analogous to request 1). (4.0 points)

4. If we do not neglect the mass of the small magnet cylinder and the axis $Z$ is oriented vertically, qualitatively investigate whether there are new stable equilibrium positions for the system. If so, draw them on the answer sheet in a manner analogous to request 1. (0.5 points)

p.1 — Magnetic field of the current loop and magnetic cylinder

p.2 — Magnetic cylinder with Z-axis

p.2 — Photo of magnets and perforated cylinder

p.3 — Photo of apparatus for measuring force between magnets

Solution: Soluzioni (PDF)