Svizzera 2025

Viel Erfolg!

Physik-Olympiade Finalrunde 15. - 16. März 2025 Teil 1 : 3 lange Aufgaben Zeit : 150 Minuten Total : 48 Punkte (3 $\times$ 16) Erlaubte Hilfsmittel : Einfacher Taschenrechner Schreib- und Zeichenmaterial Viel Erfolg! neue kantonsschule aarau Supported by :

Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation Bärbel & Paul Geissbühler Stiftung Deutschschweizerische Physikkommission VSMP / DPK EMPA - Materials Science & Technology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne ETH Zurich Department of Physics Fondation Claude & Giuliana Ernst Göhner Stiftung, Zug Hasler Stiftung, Bern Huawei Metrohm Stiftung, Herisau Neue Kantonsschule Aarau Novartis Swiss Physical Society Università della Svizzera italiana Universität Bern FB Physik/Astronomie Universität Zürich FB Physik Mathematik

Naturkonstanten

Cäsium-Hyperfeinfrequenz $\Delta {\nu }_{\text{Cs}}$ 9.192 631 770 $\times 10^9$ ${\text{s}}^{-1}$ Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c$ 2.997 924 58 $\times 10^8$ $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ Planck-Konstante $h$ 6.626 070 15 $\times 10^{-34}$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$ Elementarladung $e$ 1.602 176 634 $\times 10^{-19}$ $\text{A}\cdot \text{s}$ Boltzmann-Konstante $k_B$ 1.380 649 $\times 10^{-23}$ ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-2}$ Avogadro-Konstante $N_A$ 6.022 140 76 $\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Photometrisches Strahlungsäquivalent $K_{\text{cd}}$ 6.83 $\times 10^2$ $\text{cd}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{s}}^3\cdot \text{sr}$ Magnetische Konstante ${\mu }_0$ 1.256 637 062 12(19) $\times 10^{-6}$ ${\text{A}}^{-2}\cdot \text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Elektrische Konstante ${ϵ}_0$ 8.854 187 812 8(13) $\times 10^{-12}$ ${\text{A}}^2\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-3}\cdot {\text{s}}^4$ Gaskonstante $R$ 8.314 462 618… ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Stefan-Boltzmann-Konstante $\sigma$ 5.670 374 419… $\times 10^{-8}$ ${\text{K}}^{-4}\cdot \text{kg}\cdot {\text{s}}^{-3}$ Gravitationskonstante $G$ 6.674 30(15) $\times 10^{-11}$ ${\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^3\cdot {\text{s}}^{-2}$ Elektronenmasse $m_e$ 9.109 383 701 5(28) $\times 10^{-31}$ $\text{kg}$ Neutronenmasse $m_n$ 1.674 927 498 04(95) $\times 10^{-27}$ $\text{kg}$ Protonenmasse $m_p$ 1.672 621 923 69(51) $\times 10^{-27}$ $\text{kg}$ Normfallbeschleunigung $g_n$ 9.806 65 $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Physik-Olympiade: Finalrunde 15 - 16.03.2025 Lange Aufgaben Zeit: 150 Minuten Maximalpunktzahl: 48 Punkte (3 $\times$ 16) Beginne jede Aufgabe auf einem neuen Blatt, um das Korrigieren zu erleichtern. Allgemeiner Hinweis: Die Aufgaben bestehen aus zum Teil unabhängigen Teilaufgaben, falls Du stecken bleibst lohnt es sich weiterzulesen und bei einer einfacheren Teilaufgabe wieder einzusteigen. Lange Aufgabe 1.1: Faradaysche Scheibe (16 Punkte) Eine Faradaysche Scheibe ist ein einfacher elektrischer Generator. Sie besteht aus einer Metallscheibe aus Eisen (einem leitenden Material) mit einem Innenradius $r_1$, einem Aussenradius $r_2$ und einer Breite $h$. Sie befindet sich in einem konstanten und gleichmässigen Magnetfeld der Stärke $B$, das senkrecht zur Scheibe steht, wie in Abbildung 1 dargestellt. Eisen hat die Leitfähigkeit $\sigma$. $\omega$ $\vec{B}$ $\vec{B}$ $r_2$ $r_1$ $h$ $R$ Abbildung 1: Diagramm einer Faradayschen Scheibe. Teil A. Offener Stromkreis (5 Punkte) Betrachten wir zunächst einfach die Scheibe, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ dreht, wie in der Abbildung 1 dargestellt. i. (3 Pkte.) Ermittle das elektrische Feld $\vec{E}$ im Inneren der Scheibe und die Potentialdifferenz $V_0$ zwischen dem Zentrum und dem äusseren Umfang der Scheibe. Hinweis: Erinnere dich daran, dass sich die freien Ladungen in einem Leiter so anordnen, dass keine Gesamtkraft auf sie einwirkt. ii. (2 Pkte.) Was ist der Widerstand $R_0$ der Scheibe? Teil B. Generator (5 Punkte) Nun werden der innere und der äussere Umfang der Scheibe mit einem Draht an einen Widerstand $R$ verbunden, wie in der Abbildung 1 blau dargestellt. Die Kontakte drehen sich nicht mit der Scheibe. Nimm an, dass die Kontakte frei von Widerstand und Reibung sind. i. (1 Pkt.) Wie gross ist die Potentialdifferenz $V$ zwischen dem Zentrum und und dem äusseren Umfang der Scheibe? Hinweis: Die Scheibe verhält sich wie ein nicht idealer Generator. ii. (1 Pkt.) Wie gross ist die Gesamtleistung $P_0$ und die elektrische Leistung $P$ dieses Generators? iii. (1 Pkt.) Wie hoch ist der Wirkungsgrad $\eta$ des Generators? iv. (2 Pkte.) Ermittle die maximale elektrische Leistung $P_{\text{max}}$ und den Wirkungsgrad des Generators, wenn er mit dieser Leistung arbeitet. Teil C. Regeneratives Bremsen (6 Punkte) $N$ dieser Metallscheiben werden als Räder verwendet und sind mechanisch mit einem Zug verbunden. Der Zug hat eine Masse $M=400\text{t}$, einen effektiven Widerstand $R$ und jedes Rad hat eine Masse $m=300\text{kg}$. Das einzige rotierende Teil des Zuges sind die Räder. Eisen hat Leitfähigkeit $\sigma =1.0\cdot 10^7{\text{m}}^{-1}\cdot {\Omega }^{-1}$, Wärmekapazität $c=4.5\cdot 10^2\text{J}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ und Schmelzpunkt $T=1800\text{K}$. i. (1.5 Pkte.) Gib die kinetische Energie des Zuges in der Form $E=\frac{1}{2}{I}_{\text{eff}}{\omega }^2$ als Funktion der gegebenen Werte an, wenn die Räder mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ rotieren. Welchem Wert entspricht $I_{\text{eff}}$? Hinweis: Das Trägheitsmoment einer Scheibe mit Teil 1 - 1/21

Physik-Olympiade: Finalrunde 15 - 16.03.2025 der Masse $M$, dem Innenradius $R_1$ und dem Aussenradius $R_2$ in Bezug auf ihre Achse ist $\frac{1}{2}M\left(R_2^2+R_1^2\right)$. ii. (0.5 Pkte.) Gib die kinetische Energie des Zuges unter der Annahme an, dass $mN\ll M$. Du kannst für den Rest von Teil C davon ausgehen, dass $mN\ll M$. iii. (2 Pkte.) Ermittle die zeitliche Entwicklung von $\omega$. iv. (0.5 Pkte.) Wie lange dauert es, bis sich die Geschwindigkeit des Zuges halbiert hat? Angenommen, der Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von $200\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$. v. (1 Pkt.) Wenn der Zug durch Kurzschliessen der Mitte und des äusseren Umfangs der Scheibe gebremst wird (also $R=0$), schätze, wie viele Rä- der erforderlich sind, damit sie nicht zu schmelzen beginnen. vi. (0.5 Pkte.) Ist die Beschleunigung beim Bremsen für die Fahrgäste sicher? Nimm $B=0.1\text{T}$, $r_1=10\text{cm}$, $r_2=50\text{cm}$ und $h=1.0\text{cm}$. Teil 1 - 2/21

Physik-Olympiade: Finalrunde 15 - 16.03.2025 Lange Aufgabe 1.2: Nichtlineare Optik (16 Punkte) Nichtlineare Optik tritt auf, wenn sich Lichtstrahlen mit sehr hoher Intensität, in der Regel kurze Laserpulse, durch Materialien ausbreiten. Unter diesen extremen Bedingungen kann das Material sogar die Wellenlänge des Lichts verändern. Die allgemeine Theorie ist recht komplex; es gibt jedoch einige Schlüsselphänomene, die mit Hilfe der Quantenmechanik erklärt werden können. Teil A. Aufwärmen (3 Punkte) Erinnern wir uns zunächst an einige Konzepte der Quantenmechanik. Betrachten wir ein Photon der Wellenlänge $\lambda$, das sich durch Vakuum bewegt. In diesem Teil sollen die Antworten als Funktionen von $\lambda$ und fundamentalen Konstanten ausgedrückt werden. i. (0.5 Pkte.) Gib die Frequenz $f$ des Photons an. ii. (0.5 Pkte.) Gib die Energie $E_0$ des Photons an. iii. (1 Pkt.) Gib den Impuls $p_0$ des Photons an. Betrachten wir nun einen Laser, der Photonen der Wellenlänge $\lambda$ aussendet. Die Leistung des Lasers ist $P$. iv. (1 Pkt.) Gib die Anzahl der pro Sekunde emittierten Photonen an. Teil B. Die zweite Harmonische (5.5 Punkte) Studieren wir nun die nichtlineare Optik. Betrachten wir einen Laserpuls mit zentraler Wellenlänge ${\lambda }_1$ und entsprechender Frequenz $f_1$, der auf einen nichtlinearen Kristall geschossen wird. Die Intensität ist so hoch, dass es möglich ist, dass der Kristall zwei Photonen gleichzeitig absorbiert, dann aber nur ein Photon emittiert. Da es sich um einen Puls handelt, enthält der Puls eine ganze Reihe von Frequenzen oder Wellenlängen. i. (1.5 Pkte.) Gib unter Anwendung der Energieerhaltung die Zentralfrequenz $f_2$ und ${\lambda }_2$ des emittierten Photons an. ii. (1 Pkt.) Angenommen, der Puls hat eine Dauer $\Delta t$, wie gross ist die entsprechende minimale Bandbreite $\Delta f_1$ des Pulses? Hinweis: Verwende die Heisenbergsche Unschärferelation $\Delta t\Delta E\ge h$ iii. (0.5 Pkte.) Gib die kleinste $(f_1^{-})$ und grösste $(f_1^{+})$ Frequenz innerhalb der Bandbreite an (d. h. das Intervall der möglichen Frequenzen). iv. (1.5 Pkte.) Da zwei Photonen mit unterschiedlichen Frequenzen gleichzeitig absorbiert werden können und ein neues Photon mit ihrer Gesamtenergie emittiert werden kann, entsteht ein Puls um $f_2$ mit einer bestimmten Bandbreite. Berechne diese Bandbreite $\Delta f_2$. Nimm an, dass der ursprüngliche Puls nur aus Photonen mit Frequenzen im Bereich von $f_1^{-}$ bis $f_1^{+}$ besteht. v. (1 Pkt.) Gib die Dauer des neuen Pulses an. Kommentiere das Ergebnis. Teil C. Impulserhaltung (7.5 Punkte) Bisher wurde nur

Topic: Electromagnetic Induction, Modern-Quantum Physics, Circuits Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lorentz Force Analysis, Photon Energy Relation, Conservation of Energy, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Disk, Resistor, Wire, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1

In bocca al lupo!

Olimpiade di Fisica Fase finale 15. - 16. marzo 2025 Parte 1: 3 problemi lunghi Tempo: 150 minuti Totale: 48 punti (3 $\times$ da 16)

Materiali consentiti: Calcolatrice semplice Carta e strumenti da disegno

In bocca al lupo! nuova scuola cantonale di Aarau

Sostenuta da:

Segretariato federale per l’istruzione, la ricerca e l’innovazione Fondazione Bärbel & Paul Geissbühler Commissione svizzera di fisica VSMP / DPK EMPA - Scienza e tecnologia dei materiali École Polytechnique Fédérale de Lausanne Dipartimento di Fisica dell’ETH Zurigo Fondazione Claude & Giuliana Fondazione Ernst Göhner, Zug Fondazione Hasler, Berna Huawei Fondazione Metrohm, Herisau Nuova scuola cantonale di Aarau Novartis Società svizzera di fisica Università della Svizzera italiana Dipartimento di Fisica e Astronomia dell’Università di Berna Dipartimento di Fisica e Matematica dell’Università di Zurigo

Costanti naturali

Frequenza iperfine del cesio $\Delta {\nu }_{\text{Cs}}$ 9,192 631 770 $\times 10^9$ ${\text{s}}^{-1}$ Velocità della luce nel vuoto $c$ 2,997 924 58 $\times 10^8$ $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ Costante di Planck $h$ 6,626 070 15 $\times 10^{-34}$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$ Carica elementare $e$ 1,602 176 634 $\times 10^{-19}$ $\text{A}\cdot \text{s}$ Costante di Boltzmann $k_B$ 1,380 649 $\times 10^{-23}$ ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-2}$ Costante di Avogadro $N_A$ 6,022 140 76 $\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Equivalente radiometrico della luminosità fotometrica $K_{\text{cd}}$ 6,83 $\times 10^2$ $\text{cd}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{s}}^3\cdot \text{sr}$ Costante magnetica ${\mu }_0$ 1,256 637 062 12(19) $\times 10^{-6}$ ${\text{A}}^{-2}\cdot \text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Costante elettrica ${ϵ}_0$ 8,854 187 812 8(13) $\times 10^{-12}$ ${\text{A}}^2\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-3}\cdot {\text{s}}^4$ Costante dei gas $R$ 8,314 462 618… ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Costante di Stefan-Boltzmann $\sigma$ 5,670 374 419… $\times 10^{-8}$ ${\text{K}}^{-4}\cdot \text{kg}\cdot {\text{s}}^{-3}$ Costante gravitazionale $G$ 6,674 30(15) $\times 10^{-11}$ ${\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^3\cdot {\text{s}}^{-2}$ Massa dell’elettrone $m_e$ 9,109 383 701 5(28) $\times 10^{-31}$ $\text{kg}$ Massa del neutrone $m_n$ 1,674 927 498 04(95) $\times 10^{-27}$ $\text{kg}$ Massa del protone $m_p$ 1,672 621 923 69(51) $\times 10^{-27}$ $\text{kg}$ Accelerazione standard del gravità $g_n$ 9,806 65 $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Olimpiade di Fisica: Tappa finale 15 - 16 marzo 2025 Problemi lunghi Tempo: 150 minuti Punteggio massimo: 48 punti (3 $\times$ 16) Inizia ogni problema su un foglio nuovo, per agevolare la correzione. Avvertenza generale: I problemi sono composti da parti spesso indipendenti; se ti blocchi, potrebbe valere la pena continuare a leggere e riprendere da una parte più semplice. Problema lungo 1.1: Disco di Faraday (16 punti) Un disco di Faraday è un semplice generatore elettrico. È costituito da un disco metallico di ferro (un materiale conduttore) con un raggio interno $r_1$, un raggio esterno $r_2$ e una Larghezza $h$. Si trova in un campo magnetico costante e uniforme di intensità $B$, perpendicolare al piano della lamina, come mostrato in Figura 1. Il ferro ha una conducibilità $\sigma$.

$\omega$ $\vec{B}$ $\vec{B}$ $r_2$ $r_1$ $h$ $R$

Figura 1: Disegno di una lamina di Faraday.

Parte A. Circuito aperto (5 punti) Consideriamo inizialmente solo la lamina che ruota con velocità angolare costante $\omega$, come mostrato in Figura 1.

i. (3 punti) Determina il campo elettrico $\vec{E}$ all’interno della lamina e la differenza di potenziale $V_0$ tra il centro e il bordo esterno della lamina. Suggerimento: Ricorda che le cariche libere in un conduttore si dispongono in modo tale da non subire alcuna forza netta.

ii. (2 punti) Qual è la resistenza $R_0$ della lamina?

Parte B. Generatore (5 punti) Ora il bordo interno e quello esterno della lamina sono collegati tramite un filo a una resistenza $R$, come mostrato in blu nella Figura 1. I contatti non ruotano insieme alla lamina. Supponi che i contatti siano privi di resistenza e attrito.

i. (1 punto) Quanto vale la differenza di potenziale $V$ tra il centro e il bordo esterno della lamina?

Suggerimento: La lamina si comporta come un generatore non ideale.

ii. (1 punto) Quanto vale la potenza totale $P_0$ e la potenza elettrica $P$ di questo generatore?

iii. (1 punto) Quanto vale il rendimento $\eta$ del generatore? iv. (2 punti) Determinare la massima potenza elettrica $P_{\text{max}}$ e il rendimento del generatore quando funziona con questa potenza.

Parte C. Frenatura rigenerativa (6 punti) $N$ queste lastre di metallo vengono utilizzate come ruote e sono collegate meccanicamente a un treno. Il treno ha una massa $M=400\text{t}$, una resistenza efficace $R$ e ciascuna ruota ha una massa $m=300\text{kg}$. L’unico elemento rotante del treno sono le ruote. Il ferro ha una conducibilità $\sigma =1.0\cdot 10^7{\text{m}}^{-1}\cdot {\Omega }^{-1}$, un calore specifico $c=4.5\cdot 10^2\text{J}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ e un punto di fusione $T=1800\text{K}$.

i. (1,5 punti) Scrivere l’energia cinetica del treno nella forma $E=\frac{1}{2}{I}_{\text{eff}}{\omega }^2$ come funzione dei valori dati, quando le ruote ruotano con velocità angolare $\omega$. A quale valore corrisponde $I_{\text{eff}}$? Suggerimento: Il momento d’inerzia di un disco con

Fisica Olimpiade: Fase finale 15 - 16.03.2025 della massa $M$, del raggio interno $R_1$ e del raggio esterno $R_2$ rispetto al suo asse è $\frac{1}{2}M\left(R_2^2+R_1^2\right)$.

ii. (0,5 punti) Fornisci l’espressione dell’energia cinetica del treno nell’ipotesi che $mN\ll M$. Puoi assumere per il resto della parte C che $mN\ll M$.

iii. (2 punti) Determina l’evoluzione temporale di $\omega$.

iv. (0,5 punti) Quanto tempo impiega perché la velocità del treno si dimezzi? Supponiamo che il treno viaggi a una velocità di $200\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$.

v. (1 punto) Se il treno viene frenato cortocircuitando il centro e il bordo esterno del disco (cioè $R=0$), stimare quanti giri sono necessari affinché non inizino a fondersi.

vi. (0,5 punti) L’accelerazione durante il frenaggio è sicura per i passeggeri? Considera $B=0.1\text{T}$, $r_1=10\text{cm}$, $r_2=50\text{cm}$ e $h=1.0\text{cm}$.

Parte 1 - 2/21

Fisica Olimpiade: Fase finale 15 - 16.03.2025 Lungo Problema 1.2: Ottica non lineare (16 punti) L’ottica non lineare si verifica quando i raggi luminosi con intensità molto elevata, di solito impulsi laser brevi, si propagano nei materiali. In queste condizioni estreme il materiale può persino modificare la lunghezza d’onda della luce. La teoria generale è abbastanza complessa; tuttavia esistono alcuni fenomeni chiave che possono essere spiegati con la meccanica quantistica.

Parte A. Riscaldamento (3 punti) Ricordiamo innanzitutto alcuni concetti della meccanica quantistica. Consideriamo un fotone di energia Lunghezza d’onda $\lambda$, che si muove nel vuoto. In questa parte le risposte devono essere espresse come funzioni di $\lambda$ e delle costanti fondamentali.

i. (0,5 punti) Scrivi la frequenza $f$ del fotone.

ii. (0,5 punti) Scrivi l’energia $E_0$ del fotone.

iii. (1 punto) Scrivi il momento $p_0$ del fotone.

Consideriamo ora un laser che emette fotoni della lunghezza d’onda $\lambda$. La potenza del laser è $P$.

iv. (1 punto) Scrivi il numero di fotoni emessi al secondo.

Parte B. La seconda armonica (5,5 punti)

Ora studiamo l’ottica non lineare. Consideriamo un impulso laser con lunghezza d’onda centrale ${\lambda }_1$ e la corrispondente frequenza $f_1$, che viene sparato su un cristallo non lineare. L’intensità è tale da rendere possibile che il cristallo assorba contemporaneamente due fotoni, ma ne emetta solo uno. Poiché si tratta di un impulso, l’impulso contiene una serie completa di frequenze o lunghezze d’onda.

i. (1,5 punti) Utilizzando la conservazione dell’energia, scrivi la frequenza centrale $f_2$ e ${\lambda }_2$ del fotone emesso.

ii. (1 punto) Supponiamo che l’impulso abbia una durata $\Delta t$, quanto vale la larghezza di banda minima $\Delta f_1$ corrispondente dell’impulso?

Suggerimento: Usa l’equazione di indeterminazione di Heisenberg $\Delta t\Delta E\ge h$.

iii. (0,5 punti) Scrivi la frequenza minima $(f_1^{-})$ e massima $(f_1^{+})$ all’interno della larghezza di banda (cioè l’intervallo delle frequenze possibili). iv. (1,5 punti) Poiché due fotoni con frequenze diverse possono essere assorbiti contemporaneamente e un nuovo fotone può essere emesso con energia totale pari alla somma delle energie dei due fotoni, si forma un impulso con $f_2$ e una certa larghezza di banda. Calcola questa larghezza di banda $\Delta f_2$. Supponi che l’impulso iniziale sia composto esclusivamente da fotoni con frequenze comprese tra $f_1^{-}$ e $f_1^{+}$.

v. (1 punto) Indica la durata del nuovo impulso. Commenta il risultato.

Parte C. Conservazione della quantità di moto (7,5 punti) Finora è stato considerato solo

Good luck!

Physics Olympiad Final Round March 15–16, 2025 Part 1: 3 long problems Time: 150 minutes Total: 48 points (3 $\times$ 16) Allowed aids: Simple pocket calculator Writing and drawing materials Good luck!

New Cantonal School Aarau Supported by:

State Secretariat for Education, Research and Innovation Bärbel & Paul Geissbühler Foundation Swiss Commission for Physics Education VSMP / DPK EMPA - Materials Science & Technology École Polytechnique Fédérale de Lausanne ETH Zurich Department of Physics Foundation Claude & Giuliana Ernst Göhner Foundation, Zug Hasler Foundation, Bern Huawei Metrohm Foundation, Herisau New Cantonal School Aarau Novartis Swiss Physical Society Università della Svizzera italiana University of Bern, Faculty of Physics/Astronomy University of Zurich, Faculty of Physics and Mathematics

Natural constants

Cesium hyperfine frequency $\Delta {\nu }_{\text{Cs}}$ 9.192 631 770 $\times 10^9$ ${\text{s}}^{-1}$

Speed of light in vacuum $c$ 2.997 924 58 $\times 10^8$ $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Planck constant $h$ 6.626 070 15 $\times 10^{-34}$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$

Elementary charge $e$ 1.602 176 634 $\times 10^{-19}$ $\text{A}\cdot \text{s}$

Boltzmann constant $k_B$ 1.380 649 $\times 10^{-23}$ ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-2}$

Avogadro constant $N_A$ 6.022 140 76 $\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$

Photometric radiation equivalent $K_{\text{cd}}$ 6.83 $\times 10^2$ $\text{cd}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{s}}^3\cdot \text{sr}$

Magnetic constant ${\mu }_0$ 1.256 637 062 12(19) $\times 10^{-6}$ ${\text{A}}^{-2}\cdot \text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Electric constant ${ϵ}_0$ 8.854 187 812 8(13) $\times 10^{-12}$ ${\text{A}}^2\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-3}\cdot {\text{s}}^4$

Gas constant $R$ 8.314 462 618… ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Stefan-Boltzmann constant $\sigma$ 5.670 374 419… $\times 10^{-8}$ ${\text{K}}^{-4}\cdot \text{kg}\cdot {\text{s}}^{-3}$

Gravitational constant $G$ 6.674 30(15) $\times 10^{-11}$ ${\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^3\cdot {\text{s}}^{-2}$

Electron mass $m_e$ 9.109 383 701 5(28) $\times 10^{-31}$ $\text{kg}$

Neutron mass $m_n$ 1.674 927 498 04(95) $\times 10^{-27}$ $\text{kg}$

Proton mass $m_p$ 1.672 621 923 69(51) $\times 10^{-27}$ $\text{kg}$

Standard acceleration due to gravity $g_n$ 9.806 65 $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Physics Olympiad: Final Round March 15–16, 2025 Long Problems Time: 150 minutes Maximum score: 48 points (3 $\times$ 16)

Begin each problem on a new sheet to facilitate grading. General note: The problems consist of partially independent subproblems; if you get stuck, it may still be worthwhile to read ahead and return later to a simpler subproblem.

Long Problem 1.1: Faraday’s disc (16 points) A Faraday disc is a simple electrical generator. It consists of a metallic disc made of iron (a conducting material) with an inner radius $r_1$, an outer radius $r_2$ and a Width $h$. It is located in a constant and uniform magnetic field of strength $B$, perpendicular to the disc, as shown in Figure 1. Iron has electrical conductivity $\sigma$.

$\omega$ $\vec{B}$ $\vec{B}$ $r_2$ $r_1$ $h$ $R$

Figure 1: Diagram of a Faraday disc.

Part A. Open Circuit (5 points) Consider first the disc rotating with constant angular velocity $\omega$, as shown in Figure 1.

i. (3 points) Determine the electric field $\vec{E}$ inside the disc and the potential difference $V_0$ between the center and the outer rim of the disc. Hint: Recall that free charges in a conductor arrange themselves so that no net force acts on them.

ii. (2 points) What is the resistance $R_0$ of the disc?

Part B. Generator (5 points) Now, the inner and outer rims of the disc are connected via a wire to a resistor $R$, as shown in blue in Figure 1. The contacts do not rotate with the disc. Assume that the contacts have zero resistance and no friction.

i. (1 point) What is the potential difference $V$ between the center and the outer rim of the disc? Hint: The disc behaves like a non-ideal generator.

ii. (1 point) What is the total power $P_0$ and the electrical power $P$ of this generator?

iii. (1 point) What is the efficiency $\eta$ of the generator? iv. (2 points) Determine the maximum electrical power $P_{\text{max}}$ and the efficiency of the generator when operating at this power.

Section C. Regenerative Braking (6 points) $N$ these metal discs are used as wheels and are mechanically connected to a train. The train has a mass $M=400\text{t}$, an effective resistance $R$, and each wheel has a mass $m=300\text{kg}$. The only rotating parts of the train are the wheels. Iron has electrical conductivity $\sigma =1.0\cdot 10^7{\text{m}}^{-1}\cdot {\Omega }^{-1}$, specific heat capacity $c=4.5\cdot 10^2\text{J}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$, and melting point $T=1800\text{K}$.

i. (1.5 points) Express the kinetic energy of the train in the form $E=\frac{1}{2}{I}_{\text{eff}}{\omega }^2$ as a function of the given values, when the wheels rotate with angular velocity $\omega$. To which value does $I_{\text{eff}}$ correspond?

Hint: The moment of inertia of a disc with

Physics Olympiad: Final Round 15 - 16.03.2025 of mass $M$, the inner radius $R_1$ and the outer radius $R_2$ with respect to its axis is $\frac{1}{2}M\left(R_2^2+R_1^2\right)$. ii. (0.5 points) Give the kinetic energy of the train under the assumption that $mN\ll M$. For the rest of Part C, you may assume that $mN\ll M$. iii. (2 points) Determine the time evolution of $\omega$. iv. (0.5 points) How long does it take until the speed of the train has halved? Assume that the train travels at a speed of $200\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$. v. (1 point) If the train is braked by short-circuiting the center and the outer circumference of the disk (i.e. $R=0$), estimate how many wheels are required so that they do not begin to melt. vi. (0.5 points) Is the acceleration during braking safe for the passengers? Take $B=0.1\text{T}$, $r_1=10\text{cm}$, $r_2=50\text{cm}$ and $h=1.0\text{cm}$. Part 1 - 2/21

Physics Olympiad: Final Round 15 - 16.03.2025 Long Problem 1.2: Nonlinear Optics (16 points) Nonlinear optics occurs when light rays with very high intensity, usually short laser pulses, propagate through materials. Under these extreme conditions, the material can even change the wavelength of the light. The general theory is quite complex; however, there are some key phenomena that can be explained with the help of quantum mechanics. Part A. Warm-up (3 points) Let us first recall some concepts of quantum mechanics. Let us consider a photon of Wavelength $\lambda$, moving through vacuum. In this part, answers should be expressed as functions of $\lambda$ and fundamental constants.

i. (0.5 points) Give the frequency $f$ of the photon.

ii. (0.5 points) Give the energy $E_0$ of the photon.

iii. (1 point) Give the momentum $p_0$ of the photon.

Now consider a laser emitting photons of wavelength $\lambda$. The laser’s power is $P$.

iv. (1 point) Give the number of photons emitted per second.

Part B. Second Harmonic Generation (5.5 points)

Now consider nonlinear optics. Consider a laser pulse with central wavelength ${\lambda }_1$ and corresponding frequency $f_1$, incident on a nonlinear crystal. The intensity is high enough that the crystal can simultaneously absorb two photons and then emit only one photon. Since it is a pulse, the pulse contains a range of frequencies or wavelengths.

i. (1.5 points) Using energy conservation, give the central frequency $f_2$ and ${\lambda }_2$ of the emitted photon.

ii. (1 point) Suppose the pulse has a duration $\Delta t$, what is the corresponding minimum bandwidth $\Delta f_1$ of the pulse?

Hint: Use the Heisenberg uncertainty relation $\Delta t\Delta E\ge h$.

iii. (0.5 points) Give the smallest $(f_1^{-})$ and largest $(f_1^{+})$ frequency within the bandwidth (i.e., the interval of possible frequencies). iv. (1.5 points) Since two photons with different frequencies can be absorbed simultaneously and a new photon emitted with their total energy, a pulse arises around $f_2$ with a certain bandwidth. Calculate this bandwidth $\Delta f_2$. Assume that the original pulse consists only of photons with frequencies in the range from $f_1^{-}$ to $f_1^{+}$.

v. (1 point) Give the duration of the new pulse. Comment on the result.

Part C. Conservation of Momentum (7.5 points) So far, only