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Physics Olympiad Final Round 15 - 16 March 2025 Part 1 : 3 long problems Duration : 150 minutes Total : 48 points (3 $\times$ 16) Authorized material : Simple calculator Writing and drawing material Good luck! neue kantonsschule aarau Supported by :

Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation Bärbel & Paul Geissbühler Stiftung Deutschschweizerische Physikkommission VSMP / DPK EMPA - Materials Science & Technology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne ETH Zurich Department of Physics Fondation Claude & Giuliana Ernst Göhner Stiftung, Zug Hasler Stiftung, Bern Huawei Metrohm Stiftung, Herisau Neue Kantonsschule Aarau Novartis Swiss Physical Society Università della Svizzera italiana Universität Bern FB Physik/Astronomie Universität Zürich FB Physik Mathematik

Natural constants Caesium hyperfine frequency $\Delta {\nu }_{\text{Cs}}$ 9.192 631 770 $\times 10^9$ ${\text{s}}^{-1}$ Speed of light in vacuum c 2.997 924 58 $\times 10^8$ $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ Planck constant h 6.626 070 15 $\times 10^{-34}$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$ Elementary charge e 1.602 176 634 $\times 10^{-19}$ $\text{A}\cdot \text{s}$ Boltzmann constant $k_{\text{B}}$ 1.380 649 $\times 10^{-23}$ ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-2}$ Avogadro constant $N_{\text{A}}$ 6.022 140 76 $\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Luminous efficacy of radiation $K_{\text{cd}}$ 6.83 $\times 10^2$ $\text{cd}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{s}}^3\cdot \text{sr}$ Magnetic constant ${\mu }_0$ 1.256 637 062 12(19) $\times 10^{-6}$ ${\text{A}}^{-2}\cdot \text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Electric constant ${ϵ}_0$ 8.854 187 812 8(13) $\times 10^{-12}$ ${\text{A}}^2\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-3}\cdot {\text{s}}^4$ Gas constant R 8.314 462 618… ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Stefan-Boltzmann constant $\sigma$ 5.670 374 419… $\times 10^{-8}$ ${\text{K}}^{-4}\cdot \text{kg}\cdot {\text{s}}^{-3}$ Gravitational constant G 6.674 30(15) $\times 10^{-11}$ ${\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^3\cdot {\text{s}}^{-2}$ Electron mass $m_{\text{e}}$ 9.109 383 701 5(28) $\times 10^{-31}$ kg Neutron mass $m_{\text{n}}$ 1.674 927 498 04(95) $\times 10^{-27}$ kg Proton mass $m_{\text{p}}$ 1.672 621 923 69(51) $\times 10^{-27}$ kg Standard acceleration of gravity $g_{\text{n}}$ 9.806 65 $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Physics Olympiad: Final Round 15 - 16.03.2025 Long problems Duration: 150 minutes Marks: 48 points (3 $\times$ 16) Start each problem on a new sheet in order to ease the correction. General hint: The problems consist of partially independent problem parts, so if you get stuck, it is a good idea to read further ahead and to continue with an easier part. Long problem 1.1: Faraday disk (16 points) A Faraday disk is a simple electrical generator. It consists of a metallic disk made of iron (a conducting meterial) with internal radius $r_1$, external radius $r_2$ and width h. It is placed in a constant and uniform magnetic field of intensity B which is orthogonal to the disk as shown in Figure 1. Iron has conductivity $\sigma$. $\omega$ $\vec{B}$ $\vec{B}$ $r_2$ $r_1$ h R Figure 1: Diagram of a Faraday disk. Part A. Open circuit (5 points) First, simply consider the disk rotating with constant angular velocity $\omega$, as shown in Figure 1, without the circuit shown in blue. i. (3 pts) Find the electric field $\vec{E}$ inside the disk and the potential difference $V_0$ between the center and external circumference of the disk. Hint: Recall that in a conductor, the free charges rearrange themselves such that there is no total force on them. ii. (2 pts) What is the resistance $R_0$ of the disk? Part B. Generator (5 points) Now the internal and the external circumference of the disk are connected with a wire to a resistance R as shown in blue in Figure 1. The contacts do not rotate with the disk. Assume the contacts to be free of resistance and friction. i. (1 pt) What is the potential difference V between the center and external circumference of the disk? Hint: The disk behaves like a non ideal generator. ii. (1 pt) What is the total power $P_0$ and the electrical power P of this generator? iii. (1 pt) What is the efficiency $\eta$ of the generator? iv. (2 pts) Find the maximal electrical power $P_{\text{max}}$ and the efficiency of the generator when working at this power output. Part C. Regenerative braking (6 points) N of these metallic disks are used as wheels and are mechanically connected to a train. The train has a mass $M=400\text{t}$ and an efective resistance R and each wheel has a mass $m=300\text{kg}$. The only rotating part of the train are the wheels. Iron has conductivity $\sigma =1.0\cdot 10^7{\text{m}}^{-1}\cdot {\Omega }^{-1}$, heat capacity $c=4.5\cdot 10^2\text{J}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ and melting point $T=1800\text{K}$. i. (1.5 pts) Express the kinetic energy of the train in the form $E=\frac{1}{2}{I}_{\text{eff}}{\omega }^2$ as a function of given values when the wheels are rotating with angular velocity $\omega$. What does $I_{\text{eff}}$ correspond to? Hint: The moment of inertia of a disk of mass M, internal radius $R_1$ and external radius $R_2$ with respect to its axis is $\frac{1}{2}M\left(R_2^2+R_1^2\right)$. ii. (0.5 pts) Express the kinetic energy of the train assuming that $mN\ll M$. You may assume that $mN\ll M$ for the rest of part C. Part 1 - 1/20

Physics Olympiad: Final Round 15 - 16.03.2025 iii. (2 pts) Find the time evolution of $\omega$. iv. (0.5 pts) How long does it take to half the velocity of the train? Suppose the train is travelling with a speed of 200 $\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$. v. (1 pt) If the train is braked by short-circuiting the center and the external circumference of the disk (so R = 0), estimate how many wheels are required so that they don’t beginning melting. vi. (0.5 pts) Is the acceleration during the braking safe for the passengers ? Take $B=0.1\text{T}$, $r_1=10$ cm, $r_2=50$ cm and $h=1.0$ cm. Part 1 - 2/20

Physics Olympiad: Final Round 15 - 16.03.2025 Long problem 1.2: Non linear optics (16 points) Non-linear optics occurs when light beams of very high intensity, usually short laser pulses, propagate through materials. Under these extreme conditions, the material can even change the wavelength of the light. The general theory is quite complex, but there are several key phenomena that can be explained using quantum mechanics. Part A. Warm up (3 points) Let’s first recall some concepts about quantum mechanics. Consider a photon of wavelength $\lambda$ travelling through vacuum. In this part, your answers should be expressed as functions of $\lambda$ and fundamental constants. i. (0.5 pts) Express the frequency f of the photon. ii. (0.5 pts) Express the energy $E_0$ of the photon. iii. (1 pt) Express the momentum $p_0$ of the photon. Now consider a laser that emits photons of wavelength $\lambda$. The power of the laser is P. iv. (1 pt) Express the number of photons emitted per second. Part B. The second harmonics (5.5 points) Now let’s study non linear optics. Consider a laser pulse of central wavelength ${\lambda }_1$ and corresponding frequency $f_1$, which is shot on a non-linear crystal. The intensity is so high that it is possible that the crystal absorbs two photons simultaneously, but then emits only one photon. Since we have a pulse, the pulse contains a whole range of frequencies or wavelengths. i. (1.5 pts) Using conservation of energy, express the central frequency $f_2$ and ${\lambda }_2$ of the emitted photon. ii. (1 pt) Assuming the pulse has a duration $\Delta t$, what is the corresponding minimal spectral width $\Delta f_1$ of the pulse? Hint: Use Heisenberg’s uncertainty principle $\Delta t\Delta E\ge h$ iii. (0.5 pts) Express the smallest $(f_1^{-})$ and largest $(f_1^{+})$ frequencies within the bandwidth (i.e. the interval of possible frequencies). iv. (1.5 pts) Since two photons of different frequencies can be absorbed simultaneously and a new photon with their total energy can be emitted, a pulse around $f_2$ with a certain bandwidth is created. Calculate this bandwidth $\Delta f_2$. Assume that the original pulse consists only of photons with frequencies in the range $f_1^{-}$ to $f_1^{+}$. v. (1 pt) Express the duration of the new pulse. Comment on the result. Part C. Momentum conservation (7.5 points) So far, only conservation of energy has been considered. However, momentum should also be conserved. For this, the refractive index must be taken into account. In general, the refractive index is wavelength dependent (the relation is called dispersion). Assume that the refractive index of the crystal of the original laser pulse has a value $n_1=n({\lambda }_1)$ (constant over the whole spectral width $\Delta f_1$) and analogously $n_2=n({\lambda }_2)$ is the refractive index of the same crystal for the new pulse of wavelength ${\lambda }_2$. In this whole part, assume that the incident pulse hits the crystal perpendicular to its surface, so according to Snell’s law, the pul

Topic: Electromagnetic Induction, Modern-Quantum Physics, Rotational Dynamics Metodi: Lorentz Force Analysis, Faraday’s Law of Induction, Torque & Angular Momentum Analysis, Photon Energy Relation, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Disk, Resistor, Wire, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1

Buona fortuna!

Olimpiada di fisica Rondo finale 15 - 16 marzo 2025 Parte 1: 3 problemi lunghi Durata: 150 minuti Total: 48 punti (3 $\times$ 16) Materiale autorizzato: semplice calcolatore Materiale di scrittura e di disegno

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Il segretariato di Stato per l’istruzione, la ricerca e l’innovazione Bärbel & Paul Geissbühler Stiftung Deutsche Schweizerische Physikkommission VSMP / DPK EMPA - Materiali Scienza e tecnologia Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Dipartimento di fisica dell’ETH Zurigo Fondazione Claude & Giuliana Ernst Göhner Stiftung, Zug Hasler Stiftung, Berna Huawei Metrohm Stiftung, Herisau Neue Kantonsschule Aarau Novartis Società fisica svizzera Università della Svizzera italiana Universität Bern FB Fisica/Astronomia Universität Zürich FB Fisica e Matematica

Costanti naturali Frequenza iperfina di cesio $\Delta {\nu }_{\text{Cs}}$ 9.192 631 770 $\times 10^9$ ${\text{s}}^{-1}$ Velocità della luce nel vuoto c 2.997 924 58 $\times 10^8$ $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ Costante di Planck h 6.626 070 15 $\times 10^{-34}$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$ Carga elementare e 1.602 176 634 $\times 10^{-19}$ $\text{A}\cdot \text{s}$ Costante di Boltzmann $k_{\text{B}}$ 1.380 649 $\times 10^{-23}$ ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-2}$ Costante di Avogadro $N_{\text{A}}$ 6.022 140 76 $\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Effettività luminosa delle radiazioni $K_{\text{cd}}$ 6.83 $\times 10^2$ $\text{cd}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{s}}^3\cdot \text{sr}$ Costante magnetica ${\mu }_0$ 1.256 637 062 12(19) $\times 10^{-6}$ ${\text{A}}^{-2}\cdot \text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Costante elettrica ${ϵ}_0$ 8.854 187 812 8(13) $\times 10^{-12}$ ${\text{A}}^2\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-3}\cdot {\text{s}}^4$ Costante del gas R 8.314 462 618… ${\text{K}}^{-1}\cdot \text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$ Costante di Stefan-Boltzmann $\sigma$ 5.670 374 419… $\times 10^{-8}$ ${\text{K}}^{-4}\cdot \text{kg}\cdot {\text{s}}^{-3}$ Costante gravitazionale G 6.674 30(15) $\times 10^{-11}$ ${\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^3\cdot {\text{s}}^{-2}$ Massa degli elettroni $m_{\text{e}}$ 9.109 383 701 5(28) $\times 10^{-31}$ kg Massa di neutroni $m_{\text{n}}$ 1.674 927 498 04(95) $\times 10^{-27}$ kg Massa dei protoni $m_{\text{p}}$ 1.672 621 923 69(51) $\times 10^{-27}$ kg Accelerazione standard della gravità $g_{\text{n}}$ 9.806 65 $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Olimpiada di fisica: round finale 15 - 16.03.2025 Problemi lunghi Durata: 150 minuti Marchi: 48 punti (3 $\times$ 16) Inizia ogni problema su un nuovo foglio per facilitare la correzione. Suggerimento generale: i problemi sono costituiti da parti di problemi indipendenti, quindi se si blocca, è un buon L’idea è di leggere ulteriormente e di continuare con una parte più facile. Problema lungo 1.1: disco di Faraday (16 punti) Un disco Faraday è un semplice generatore elettrico. It costituito da un disco metallico di ferro (un conduttore meteri) con raggio interno $r_1$, raggio esterno $r_2$ e larghezza h. È posizionato in una costante e uniforme campo magnetico di intensità B ortogonale a il disco come mostrato alla figura 1. Il ferro ha una conductività $\sigma$. $\omega$ $\vec{B}$ $\vec{B}$ $r_2$ $r_1$ h R Figura 1: Diagramma di un disco di Faraday. Parte A. Circuito aperto (5 punti) In primo luogo, basta considerare il disco che ruota con velocità angolare costante $\omega$, come mostrato nella figura 1, senza il circuito mostrato in blu. i. (3 punti) Trova il campo elettrico $\vec{E}$ all’interno del disco e la differenza potenziale $V_0$ tra il centro e la circonferenza esterna del disco. Ricordate che in un conduttore, le spese gratuite riorganizzarsi in modo tale che non ci sia totale forza su di loro. ii. (2 pts) Qual è la resistenza $R_0$ del disco? Parte B. Generatore (5 punti) Ora la circonferenza interna ed esterna di il disco è collegato con un filo ad una resistenza R come mostrato in blu nella figura 1. I contatti lo fanno non ruotare con il disco. Assumi i contatti per essere liberi da resistenza e attrito. i. (1 pt) Qual è la differenza potenziale V tra il centro e la circonferenza esterna della

• Il disco? Il disco si comporta come un generatore non ideale. ii. (1 pt) Qual è la potenza totale $P_0$ e la Potenza elettrica P di questo generatore? iii. (1 pt) Qual è l’efficienza $\eta$ del generatore? iv. (2 punti) Trova la potenza elettrica massima $P_{\text{max}}$ e l’efficienza del generatore quando si lavora a questa potenza di uscita. Parte C. Ferrucciamento rigenerativo (6 punti) N di questi dischi metallici sono utilizzati come ruote e sono collegati meccanicamente a un treno. Il treno ha una massa $M=400\text{t}$ e una resistenza effettiva R e ogni ruota ha una massa $m=300\text{kg}$. L’unica la parte rotante del treno sono le ruote. Il ferro ha Conducibilità $\sigma =1.0\cdot 10^7{\text{m}}^{-1}\cdot {\Omega }^{-1}$, capacità termico $c=4.5\cdot 10^2\text{J}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ e punto di fusione $T=1800\text{K}$. i. (1,5 pts) Esprimere l’energia cinetica del treno in forma $E=\frac{1}{2}{I}_{\text{eff}}{\omega }^2$ in funzione di dati dati quando le ruote ruotano con velocità angolare $\omega$. A cosa corrisponde $I_{\text{eff}}$? Indicazione: Il momento di inerzia di un disco di massa M, di raggio interno $R_1$ e di raggio esterno $R_2$ rispetto per il suo asse è $\frac{1}{2}M\left(R_2^2+R_1^2\right)$. ii. (0,5 pts) Esprimere l’energia cinetica del treno presumendo che $mN\ll M$. Si può supporre che $mN\ll M$ per il resto della parte C. Parte 1 - 1/20

Olimpiada di fisica: round finale 15 - 16.03.2025 iii. (2 punti) Trova l’evoluzione temporale di $\omega$. iv. (0,5 pts) Quanto tempo ci vuole per la metà del velocità del treno? Supponiamo che il treno stia viaggiando a una velocità di 200 $\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$. v. (1 pt) Se il treno è frenato da cortocircuito il centro e la circonferenza esterna del disco (così R = 0), stimare quante ruote sono

• E’ necessario che non iniziino a sciogliersi. vi. (0,5 pts) È l’accelerazione durante la frenata Sicuro per i passeggeri ? Prendere $B=0.1\text{T}$, $r_1=10$ cm, $r_2=50$ cm e $h=1.0$ cm. Parte 1 - 2/20

Olimpiada di fisica: round finale 15 - 16.03.2025 Lungo problema 1.2: Optica non lineare (16 punti) L’ottica non lineare si verifica quando i fasci luminosi di di alta intensità, di solito con impulsi laser brevi, si propagano attraverso materiali. In queste condizioni estreme, il materiale può anche cambiare la lunghezza d’onda del

• La luce. La teoria generale è piuttosto complessa, ma c’è sono diversi fenomeni chiave che possono essere spiegati usando la meccanica quantistica. Parte A. Calore (3 punti) Ricordiamo prima alcuni concetti sulla meccanica quantistica. Considera un fotone di lunghezza d’onda $\lambda$ che viaggia attraverso il vuoto. In questa parte, le tue risposte Le funzioni di $\lambda$ e le costanti fondamentali devono essere espresse. i. (0,5 pts) Esprimere la frequenza f del fotone. ii. (0,5 pts) Esprimere l’energia $E_0$ del fotone. iii. (1 pt) Esprimere il momento $p_0$ del fotone. Ora consideriamo un laser che emette fotoni di lunghezza d’onda $\lambda$. La potenza del laser è P. iv. (1 pt) Esprimere il numero di fotoni emessi
• Per secondo. Parte B. La seconda armonica (5,5 punti) Ora studiamo l’ottica non lineare. Considerate un laser . pulso di lunghezza d’onda centrale ${\lambda }_1$ e corrispondente frequenza $f_1$, che viene scattata su un cristallo non lineare. L’intensità è così elevata che è possibile che il cristallo assorbe due fotoni contemporaneamente, ma E’ un’unica cosa che emette. Dato che abbiamo un polso, il pulso contiene un’intera gamma di frequenze o lunghezze d’onda. i. 1, 5 pts) Con l’utilizzo di risparmi energetici, espresso la frequenza centrale $f_2$ e ${\lambda }_2$ del fotone emesso. ii. (1 pt) Supponendo che il polso abbia una durata $\Delta t$, Qual è la larghezza spettrale minima corrispondente $\Delta f_1$ del polso?
• Insignia: Utilizzare il principio di incertezza di Heisenberg $\Delta t\Delta E\ge h$ iii. (0,5 pts) Esprimere il più piccolo $(f_1^{-})$ e il più grande Frequenze $(f_1^{+})$ all’interno della larghezza di banda (cioè l’intervallo di frequenze possibili). iv. La concentrazione di fotoni di frequenze diverse può essere assorbita contemporaneamente e un nuovo il fotone con la sua energia totale può essere emesso, un si crea un impulso intorno a $f_2$ con una certa larghezza di banda. Calcolare questa larghezza di banda $\Delta f_2$. Supponiamo che il Il pulso originale è costituito solo da fotoni con frequenze nell’intervallo $f_1^{-}$ a $f_1^{+}$. v. (1 pt) Indicare la durata del nuovo impulso. Commenta il risultato. Parte C. Conservazione del momento (7,5 punti) Finora è stata presa in considerazione solo la conservazione dell’energia. Tuttavia, occorre anche conservare l’impulso. Per questo, occorre tenere conto dell’indice di rifrazione. In generale, l’indice di rifrazione è lunghezza d’onda La relazione si chiama dispersione. Supponiamo che l’indice di rifrazione del cristallo del Il laser originale ha un valore $n_1=n({\lambda }_1)$ (constante) per l’intera larghezza dello spettro $\Delta f_1$) e analogamente $n_2=n({\lambda }_2)$ è l’indice di rifrazione dello stesso cristallo per il nuovo impulso di lunghezza d’onda ${\lambda }_2$. In tutto questo parte, supponiamo che l’impulso incidente colpisca il cristallo perpendicolare alla sua superficie, quindi secondo Snells Legge, il pulso

Topic: Electromagnetic Induction, Modern-Quantum Physics, Rotational Dynamics Metodi: Lorentz Force Analysis, Faraday’s Law of Induction, Torque & Angular Momentum Analysis, Photon Energy Relation, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Disk, Resistor, Wire, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.1