Svizzera 2026

Sekunden anzeigen

1. Dieses Oszilloskop kann den Verlauf der Spannung für ein Zeitfenster von 10 Nanosekunden bis 100 Sekunden anzeigen.

Topic: Oscillations & Waves, Circuits Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.35

Visualizzazione in secondi

1. Questo oscilloscopio può mostrare l’andamento della tensione per un intervallo temporale da 10 nanosecondi a 100 secondi.

2. Um eine stabile Kurve anzuzeigen (d. h. ohne umherzuspringen), musst Du nicht nur die entsprechende Spannung in das Oszilloskop einspeisen, sondern auch einen geeigneten Trigger einstellen. Der Trigger teilt dem Oszilloskop mit, wann die nächste Kurve gezeichnet werden soll. Wenn der Trigger nicht richtig eingestellt ist, „friert“ das Oszilloskop entweder ein, d. h. es aktualisiert sich überhaupt nicht, oder die angezeigte Kurve springt herum und es kann nichts abgelesen werden. Der Trigger wird in Punkt 5 dieser Liste erläutert.

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2. Um eine stabile Kurve anzuzeigen (d. h. senza omerzuspringen), è necessario che tu non muoia Spannung in das Oszilloskop einspeisen, sondern auch einen geeigneten Trigger einstellen. Il Trigger E’ il momento di scrivere il mio libro. Quando non si scatenano In questo caso, il sistema di controllo dei dati è stato modificato. h. - l’esito attuale non è affatto O la curva angelica sprint herum e non può essere abbagliata. Il Trigger viene inserito Il punto 5 della lista è erläutert.

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3. Verbinde zunächst die BNC-Kabel mit den Kanälen, die Du anzeigen möchtest (CH1 und/oder CH2). Aktiviere die entsprechenden Kanäle, indem Du auf die Schaltfläche F oder G in Abbildung Ax1.2 klickst. Es sollten Linien erscheinen, die den einzelnen Kanälen entsprechen (gelb für CH1 und blau für CH2). Ist dies nicht der Fall, trenne das Kabel und prüfe, ob sie nun erscheinen (da es vorkommen kann, dass die angeschlossene Spannung ausserhalb des Bereichs des Fensters liegt). Wenn die Linien nicht erscheinen, klicke erneut auf die entsprechenden Schaltflächen F und/oder G. Beachte, dass jeder Kanal entweder mit einer internen Terminierung $50\Omega$ oder mit hoher Impedanz ($1\text{M}\Omega$) verwendet werden kann. Wähle sorgfältig aus, was Du benötigen.

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3. Collega inizialmente i cavi BNC ai canali che desideri visualizzare (CH1 e/o CH2). Attiva i relativi canali facendo clic sul pulsante F o G nella Figura Ax1.2. Dovrebbero comparire delle linee corrispondenti ai singoli canali (gialla per CH1 e blu per CH2). Se ciò non avviene, scollega il cavo e verifica se ora le linee compaiono (poiché può capitare che la tensione collegata sia al di fuori dell’intervallo visibile sullo schermo). Se le linee non compaiono, fai nuovamente clic sui pulsanti F e/o G corrispondenti. Nota che ogni canale può essere utilizzato con una terminazione interna $50\Omega$ oppure con un’impedenza elevata ($1\text{M}\Omega$). Scegli attentamente in base alle tue esigenze.

4. Optional: Wenn Du einen zusätzlichen externen Trigger wünscht, schliesse das entsprechende BNC-Kabel an die Buchse EXT TRIG an.

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4. Opzionale: Se si desidera un trigger esterno aggiuntivo, si può scegliere il corrispondente BNC-Kabel

• Un’esplosione di Buchse.

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5. Der richtige Trigger muss eingestellt werden. Der Trigger identifiziert ein bestimmtes Merkmal in der Spannungskurve und beginnt mit der Darstellung, sobald dieses Merkmal auftritt (eigentlich sogar schon etwas früher). Um ihn einzurichten, drücke die Taste L in Abbildung Ax1.2, um das Trigger-Menü zu öffnen, das nun auf der rechten Seite des Fensters erscheinen sollte. Stelle sicher, dass der Typ auf ”edge” eingestellt ist. Wähle den Kanal, der als Trigger dienen soll. Stelle die Steigung ein/ändere sie, d. h. ob der Trigger aktiv sein soll, wenn die Spannung steigt oder fällt. Stelle dann sicher, dass der Modus „Auto” ist, und wähle die Kopplung (AC = Wechselstrom, jeder Offset wird abgeschnitten, oder DC = Gleichstrom, auch Offset eingeschlossen).

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5. Il trigger corretto deve essere impostato. Il trigger identifica un particolare carattere nella curva della tensione e inizia la visualizzazione non appena tale carattere si verifica (in realtà già leggermente prima). Per impostarlo, premi il tasto L nella Figura Ax1.2 per aprire il menu del trigger, che dovrebbe ora comparire sul lato destro della finestra. Assicurati che il tipo sia impostato su “edge”. Scegli il canale da utilizzare come trigger. Imposta o modifica la pendenza, ossia stabilisci se il trigger deve attivarsi quando la tensione cresce o decresce. Infine, verifica che il modo sia impostato su “Auto” e seleziona la modalità di accoppiamento (AC = corrente alternata, ogni offset viene eliminato, o DC = corrente continua, anche l’offset è incluso).

6. Nimm die erforderlichen Einstellungen vor. Je nach Problem können die folgenden Schritte erforderlich sein oder wiederholt werden: • Zu Beginn ist es in der Regel sinnvoll, die AUTO-Taste zu drücken, siehe M in Abbildung Ax1.2. Dies führt in der Regel zu einer ersten guten Einstellung, in einigen Fällen schlägt dies jedoch fehl und die Einstellungen müssen manuell vorgenommen werden. • Überprüfen Sie, ob sich die Triggereinstellungen (Punkt 5) nicht geändert haben. • Stell den Triggerpegel ein/überprüfen ihn, d. h. der Zeitpunkt, zu dem die Spannung der Triggerquelle diesen Punkt überschreitet, entspricht dem Zeitpunkt Null. Der Triggerpegel kann mit dem Drehknopf J in Abbildung Ax1.2 geändert werden. • Stelle den Spannungsbereich mit dem Drehknopf D1 oder D2 (je nach Kanal) in Abbildung Ax1.2 ein. Stelle ausserdem den Offset für jeden Kanal ein, indem Du den Knopf E1 oder E2 in Abbildung Ax1.2 drehst. • Stelle den Zeitbereich durch Drehen des Knopfes H ein. Du kannst den Zeitpunkt Null auch mit dem Knopf I verschieben. Abbildung Ax1.1: Erläuterungen zur Oszilloskopanzeige: 1: Nullspannungslinie (beachte jedoch, dass die verschiedenen Kanäle vertikal verschoben sein können und möglicherweise ihre eigene Null haben. Überprüfe dies, indem Du den Kanal trennst), 2: Kurve von Kanal 1, 3: Kurve von Kanal 2, 4: Spannungsskala von Kanal

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6. Non si possono fare le cose necessarie. Je nach Problem können die folgenden Schritte erforderlich Il termine “reconnessione” è: • Zu Beginn ist es in der Regel sinnvoll, die AUTO-Taste zu drücken, si veda M in Abbildung Ax1.2. Dies führt in der Regel zu einer ersten guten Einstellung, in alcuni casi schlägt dies jedoch fehl I sistemi di controllo sono stati modificati manualmente. • Per verificare se le modalità di attivazione (punto 5) non sono state modificate. • Stell den Triggerpegel ein/überprüfen ihn, d. h. Il tempo di scadenza è pari al tempo di scadenza. Il Triggerpegel può essere La direttiva J in Abbildung Ax1.2 è stata modificata. • Stelle den Spannungsbereich mit dem Drehknopf D1 oder D2 (je nach Kanal) in Abbildung Ax1.2

• Un’altra. In particolare, il sistema di compensazione per ogni canale è stato istituito in base a un’ottica di compensazione per ogni canale.
• Ax1.2 in arrivo. • Stelle den Zeitbereich durch Drehen des Knopfes H ein. Tu puoi essere il momento di non essere
• Non lo so. Abbildung Ax1.1: Erläuterungen zur Oszilloskopanzeige: 1: Nullspannungslinie (beachte jedoch, dass die) Le varie forme verticali possono essere diverse e possibilmente possedere un loro nulo. Preparazione La cornice di un canale di navigazione è un’area di navigazione che si sviluppa in un’area di navigazione di un canale di navigazione.

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1. Der Wert entspricht einer Kachel (d. h. der Höhe von Element 9, siehe unten), 5: Spannungsskala von Kanal

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1. Il valore corrisponde a una tessera (cioè all’altezza dell’elemento 9, vedere sotto), 5: scala della tensione del canale

2. Der Wert entspricht einer Kachel (d. h. der Höhe von Punkt 9, siehe unten), 6: Zeitskala beider Kanäle, der Wert entspricht der Breite jeder Kachel (siehe 10), 7: Einstellungen des Triggers, hier wird Kanal 2 als Trigger verwendet und er löst bei der fallenden Flanke aus, wenn Kanal 2 die Triggerspannung unterschreitet (siehe auch Punkt 8). 8: Triggerpegel (hier für Kanal 2, siehe Punkt 7). 9: Höhe einer Kachel, entspricht der Spannungsskala von Punkt 4 oder Punkt 5. 10: Breite einer Kachel, entspricht der Zeitskala von Punkt 6. Die Punkte 11-15 gelten nur für das Kanalmenü: 11: Kopplung, „Welle“: ob der DC-Offset abgeschnitten wird (wird normalerweise bei hohen Frequenzen verwendet), gerade Linie über gestrichelter Linie: auch DC-Offset einbeziehen, Erdungssymbol: Kurzschluss, es kann nichts gemessen werden. 12: Invertierung der Kurve, sollte off sein. 13: Bandbreitenbegrenzung, gewisse Filterung (Abschaltung bei $20\text{MHz}$), normalerweise ausgeschaltet. 14: Zwischen Spannung und Strm umschalten, wähle Spannung 1x. 15: Art des Zooms, ”Center” sollte besser sein. Abbildung Ax1.2: Erklärung der Regler und Tasten des Oszilloskops: A: BNC-Eingangskanal 1, B: BNC- Eingangskanal 2, C: Eingang für externen Trigger (falls verwendet/benötigt), D1 und D2: Drehknopf zum Ändern der vertikalen Spannungsskala des entsprechenden Kanals, E1 und E2: vertikaler Offset des entsprechenden Kanals, F: zum Aktivieren von Kanal 1, G: zum Aktivieren von Kanal 2, H: Ändern der horizontalen Skala für beide Kanäle, I: horizontales Verschieben der beiden Kurven, J: Triggerpegel, siehe auch 7 und 8 in Abbildung Ax1.1, K: Wenn das Oszilloskop nicht triggert, kann dies erzwungen werden. Dies kann Aufschluss über die Kurve geben und bei der Einstellung des Triggers helfen. L: Trigger-Menü, erscheint auf der rechten Seite des Displays, M: Auto-Taste, setzt alle Parameter auf Werte, die das Oszilloskop für geeignet hält. Manchmal eine gute erste Einschätzung, manchmal völlig daneben. .. Anhang 2: Signalgenerator Für dieses Experiment könnte ein periodisches Signal nützlich sein. Der verfügbare Signalgenerator ermöglicht verschiedene Wellenformen in einem grossen Frequenzbereich. Für das Experiment könnte jedoch eine andere Einstellung sinnvoller sein: ein TTL-Signal, d. h. eine Rechteckwelle mit besonders scharfer Flanke. Dieses Signal ist am TTL-Anschluss verfügbar, siehe Bildunterschrift von Abbildung Ax2.1. Stelle sicher, dass alle Knöpfe gedrückt sind, insbesondere DUTY (wie standardmässig eingestellt). Abbildung Ax2.1: Erläuterung Signalgenerator: 1: Taster zum Ein- und Ausschalten. 2: Einstellen des Frequenzbereichs. 3: Anzeige der Frequenz. 4: Drehknopf zum Einstellen der Grobfrequenz, 5: Drehknopf zum Feintuning der Frequenz. 6: TTL-Ausgang. Anhang 3: Das Multimeter Für allgemeine Messungen kann ein Multimeter benutzt werden, siehe Abblidung Ax3.1. Einige allgemeine Punkte: • Das eine Kabel muss immer in der COM Buchse sein. Dies ist der Nullpunkt (üblicherweise das schwarze Kabel). • Der Eingang für die Spannungsmessung ist hochohmig, d.h. es fliesst kaum ein Strom durch das Multimeter. • Der Eingang für die Strommessung ist niederohmig, d.h. es kann ein grosser Strom durch das Multimeter fliessen • Generell bei der Messung von Strömen: Der Strom fliesst durch das Multimeter, welches einen viel tieferen Widerstand hat als bei Spannungsmessungen. Dadurch können grosse Ströme fliessen und das Multimeter (oder die Spannungsquelle) zerstören! Daher darf das Multimeter in dieser Konfiguration NIE parallel zur Spannungsquelle geschaltet werden sondern nur in Serie mit einem Verbraucher! Abbildung Ax3.1: Erläuterung der verschiedenen Punkte: 1: Aus-Position, 2: COM-Buchse, 3: Buchse für Spannung und Widerstand (und andere Größen), 4: Anschluss für kleine Ströme, 5: Buchse für große Ströme. 6: Messung kleiner Spannungen (Wechselstrom und Gleichstrom, zum Umschalten 11 verwenden), 7: Gleichspannungen, 8: Wechselspannungen, 9: Messung des ohmschen Widerstands, 10: Strommessungen (verschiedene Bereiche), 11: Umschaltung zwischen Gleich- und Wechselstrom für kleine Spannungen (6) oder Ströme (10). Die aktuelle Einstellung wird auf dem Display 12 angezeigt. 12: Display SOLUTION Experimente: Lösungen Experiment 3.1: Signalausbreitung in Koaxialkabeln Einleitung Dieses Experiment untersucht die Wellenausbreitung in Koaxialkabeln. Diese Kabel bestehen aus zwei Leitern, einem inneren, der normalerweise das Signal überträgt, und einem äusseren zylindrischen Leiter, der den inneren umschliesst. Dieser äussere Leiter ist in der Regel mit Erde verbunden. Wir betrachten den häufig verwendeten BNC-Standard (eine bestimmte Ausführung von Koaxialkabeln) und bezeichnen das verwendete Kabel fortan als BNC-Kabel. Um einen geschlossenen Stromkreis zu ermöglichen, haben Kabel in der Regel mindestens zwei Leiter, die in einer festen Geometrie zueinander angeordnet sind. Die Geometrie und die verwendeten Materialien bestimmen die Ausbreitungseigenschaften der Signale im Kabel. Sei $L^{\prime }$ und $C^{\prime }$ die Induktivität bzw. Kapazität (d.h. Induktivität und Kapazität pro Länge). Das Verhältnis zwischen der Amplitude des in den Leitungen fliessenden Stroms $I_0$ und der Spannung $V_0$ zwischen den Leitungen ist durch die charakteristische Impedanz $Z_0$ (im Grenzfall hoher Frequenzen) als

$\frac{V_0}{I_0}=Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}$

gegeben und ist eine Eigenschaft des Kabels selbst. Wenn zwei Kabel mit unterschiedlicher Impedanz miteinander verbunden werden (oder ein ohmscher Widerstand am Ende des Kabels angebracht wird), kann die Welle nur dann vollständig übertragen werden, wenn die Impedanz der beiden Kabel gleich ist. Andernfalls kommt es zu einer Reflexion an der Verbindung, sodass das Verhältnis von Strom und Spannung in beiden Kabeln durch ihre entsprechenden Impedanzen gegeben ist. Darüber hinaus ist die Geschwindigkeit $v_p$, mit der sich eine Welle ausbreitet (Phasengeschwindigkeit), durch

$v_p=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}$

gegeben und unabhängig von der Frequenz (angesichts des einfachen Modells, das wir hier verwenden). Entsprechend fällt diese Geschwindigkeit mit der Geschwindigkeit eines Signals (Gruppengeschwindigkeit) zusammen. Für die Durchführung der Experimente stehen Dir folgende Materialien zur Verfügung: Material • Ein Signalgenerator, Details siehe Anhang. Verwende für dieses Experiment nur den mittleren Anschluss mit der Bezeichnung output TTL und ziehe die Knöpfe nicht heraus. Dadurch erhältst Du ein Rechtecksignal, das möglicherweise nützlich sein könnte. • Ein Oszilloskop, Details siehe Anhang. Beachte, dass jeder Kanal entweder mit einer $50\Omega$ internen Terminierung oder mit hoher Impedanz ($1\text{M}\Omega$) verwendet werden kann. Wähle sorgfältig aus, was Du benötigst. • Ein Multimeter, Details siehe Anhang. • BNC-Kabel mit einer Länge von $1\text{m}$, $2\text{m}$, $3\text{m}$ (2x). • Ein Kabel mit Klemmen an seinem Ende. • 2 Teile zum Verbinden eines BNC-Kabels mit einem anderen. • Ein T-Stück, das an das Oszilloskop angeschlossen werden kann, und zwei Kabel können verbunden werden. • Ein Satz verschiedener Widerstände. Aufgaben Teil A. Impedanzmessung Hier möchten wir die Wellenimpedanz $Z_0$ in unseren BNC-Kabeln schätzen. i. Entwickle einen Versuchsaufbau, um die Impedanz $Z_0$ des Kabels zu bestimmen. Dokumentiere Deinen Aufbau mit einer Zeichnung und beschreibe die Vorgehensweise. Falls Du Schwierigkeiten hast, ein Experiment zu auszudenken, kannst Du einen Hinweis erhalten, verlierst jedoch die Punkte für diese Aufgabe. Idea: let signal propagate through cable and change outgoing impedance by clamping resistors at the end. (give points if also implicitly clear) The reflection vanishes if the resistor meets the cab

Topic: Oscillations & Waves, Circuits, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Superposition Principle, Kirchhoff’s Laws Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.36

2. Il valore corrisponde a una tessera (cioè all’altezza del punto 9, vedere sotto), 6: scala temporale dei due canali, il valore corrisponde alla larghezza di ogni tessera (vedere 10), 7: impostazioni del trigger, qui viene utilizzato il canale 2 come trigger e si attiva sulla fronte discendente, quando il canale 2 supera la tensione di trigger (vedere anche punto 8). 8: livello del trigger (qui per il canale 2, vedere punto 7). 9: altezza di una tessera, corrisponde alla scala delle tensioni del punto 4 o del punto 5. 10: larghezza di una tessera, corrisponde alla scala temporale del punto 6. I punti 11-15 si applicano solo al menu canale: 11: accoppiamento, “onda”: se l’offset DC viene eliminato (normalmente usato a elevate frequenze), linea continua sopra linea tratteggiata: includere anche l’offset DC, simbolo di massa: cortocircuito, nulla può essere misurato. 12: inversione della curva, dovrebbe essere spenta. 13: limitazione della banda passante, alcune filtrature (disattivazione in $20\text{MHz}$), normalmente spenta. 14: commutare tra tensione e corrente, scegliere tensione 1x. 15: tipo di zoom, “centro” dovrebbe essere preferibile.

Figura Ax1.2: Spiegazione dei comandi e dei pulsanti dell’oscilloscopio: A: ingresso BNC canale 1, B: ingresso BNC Canale di ingresso 2, C: ingresso per trigger esterno (se utilizzato/ necessario), D1 e D2: rotella per modificare la scala della tensione verticale del rispettivo canale, E1 e E2: offset verticale del rispettivo canale, F: per attivare il canale 1, G: per attivare il canale 2, H: modifica della scala orizzontale per entrambi i canali, I: spostamento orizzontale delle due curve, J: livello di trigger, vedere anche 7 e 8 nella Figura Ax1.1, K: se l’oscilloscopio non si triggera, è possibile forzare il trigger. Ciò può fornire informazioni sulla curva e aiutare nella regolazione del trigger. L: menu di trigger, appare sulla destra dello schermo, M: tasto Auto, imposta tutti i parametri sui valori che l’oscilloscopio ritiene adatti. A volte una buona prima stima, a volte completamente errata.

Allegato 2: Generatore di segnali Per questo esperimento potrebbe essere utile un segnale periodico. Il generatore di segnali disponibile permette diverse forme d’onda in un ampio intervallo di frequenze. Tuttavia, per l’esperimento potrebbe essere più opportuno un’altra impostazione: un segnale TTL, ossia una onda quadra con fronte particolarmente ripido. Questo segnale è disponibile sul connettore TTL, vedere didascalia della Figura Ax2.1. Assicurarsi che tutti i pulsanti siano premuti, in particolare DUTY (come impostato di default).

Figura Ax2.1: Spiegazione generatore di segnali: 1: pulsante per accensione e spegnimento. 2: regolazione del… Fascia di frequenza. 3: Visualizzazione della frequenza. 4: Pulsante rotativo per regolare la frequenza grossolana, 5: Pulsante rotativo per il raffinamento fine della frequenza. 6: Uscita TTL.

Allegato 3: Il multimetro Per misurazioni generali può essere utilizzato un multimetro, vedi Figura Ax3.1. Alcuni punti generali: • Un cavo deve sempre essere inserito nella presa COM. Questo rappresenta il punto di riferimento zero (di solito il cavo nero). • L’ingresso per la misurazione della tensione ha alta resistenza, cioè attraverso il multimetro circola praticamente nessuna corrente. • L’ingresso per la misurazione della corrente ha bassa resistenza, cioè può circolare una grande corrente attraverso il multimetro. • In generale, durante la misurazione delle correnti: la corrente passa attraverso il multimetro, che ha una resistenza molto più bassa rispetto alla misurazione della tensione. Di conseguenza, possono circolare correnti elevate e danneggiare il multimetro (o la fonte di tensione)! Pertanto, in questa configurazione il multimetro NON DEVE MAI essere collegato in parallelo alla fonte di tensione, ma soltanto in serie con un carico.

Figura Ax3.1: Spiegazione dei vari punti: 1: Posizione spento, 2: Presa COM, 3: Presa per tensione e resistenza (e altre grandezze), 4: Collegamento per correnti piccole, 5: Presa per correnti elevate. 6: Misurazione di piccole tensioni (corrente alternata e corrente continua, per commutare usare 11). 7: Tensioni continue, 8: Tensioni alternate, 9: Misura della resistenza ohmica, 10: Misurazioni di corrente (diversi campi), 11: Commutazione tra corrente continua e alternata per piccole tensioni (6) o piccole correnti (10). La configurazione attuale viene visualizzata sul display 12. 12: Display

SOLUZIONE Esperimenti: Soluzioni Esperimento 3.1: Propagazione del segnale nei cavi coassiali

Introduzione Questo esperimento studia la propagazione delle onde nei cavi coassiali. Questi cavi sono costituiti da due conduttori, un conduttore interno che normalmente trasmette il segnale e un conduttore esterno cilindrico che avvolge quello interno. Il conduttore esterno è di solito collegato a massa. Consideriamo lo standard BNC comunemente usato (una particolare realizzazione di cavi coassiali) e indicheremo il cavo utilizzato in seguito come cavo BNC.

Per consentire un circuito chiuso, i cavi hanno di solito almeno due conduttori disposti in una geometria fissa rispetto all’altro. La geometria e i materiali impiegati determinano le proprietà di propagazione dei segnali nel cavo. Siano $L^{\prime }$ e $C^{\prime }$ l’induttanza e la capacità (cioè, induttanza e capacità per unità di lunghezza). Il rapporto tra l’ampiezza della corrente $I_0$ che scorre nei conduttori e la tensione $V_0$ tra i due conduttori è dato dall’impedenza caratteristica $Z_0$ (nel limite di alte frequenze) come

$\frac{V_0}{I_0}=Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}$

dato e rappresenta una proprietà del cavo stesso. Se due cavi con diversa impedenza vengono collegati tra loro (o viene aggiunto un resistore ohmico all’estremità del cavo), l’onda può essere completamente trasmessa solo se le impedenze dei due cavi sono uguali. In caso contrario, si verifica una riflessione all’interfaccia, in modo che il rapporto tra corrente e tensione nei due cavi sia determinato dalle rispettive impedenze. Inoltre, la velocità $v_p$ con cui si propaga un’onda (velocità di fase) è data da

$v_p=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}$

e indipendente dalla frequenza (nel quadro del semplice modello utilizzato qui). Di conseguenza, questa velocità coincide con la velocità di un segnale (velocità di gruppo).

Per eseguire gli esperimenti ti sono forniti i seguenti materiali: Materiali • Un generatore di segnali, dettagli vedere allegato. Per questo esperimento utilizza soltanto il morsetto centrale contrassegnato “output TTL” e non estrarre i pulsanti. In questo modo otterrai un segnale rettangolare, che potrebbe risultare utile. • Un oscilloscopio, dettagli vedere allegato. Nota che ogni canale può essere utilizzato con una terminazione interna $50\Omega$ o con impedenza elevata ($1\text{M}\Omega$). Scegli attentamente ciò che ti serve. • Un multimetro, dettagli vedere allegato. • Cavi BNC di lunghezza $1\text{m}$, $2\text{m}$, $3\text{m}$ (2x). • Un cavo con morsetti all’estremità. • 2 pezzi per collegare un cavo BNC a un altro. • Un tubo T che può essere collegato all’oscilloscopio, al quale possono essere collegati due cavi. • Un insieme di diverse resistenze.

Compiti Parte A. Misura dell’impedenza In questa parte vogliamo stimare l’impedenza d’onda $Z_0$ nei nostri cavi BNC.

i. Proponi un montaggio sperimentale per determinare l’impedenza $Z_0$ del cavo. Documenta il tuo montaggio con un disegno e descrivi la procedura da seguire. Se hai difficoltà a ideare un esperimento, puoi richiedere un suggerimento, ma perderai i punti per questo compito.

Idea: far propagare il segnale nel cavo e modificare l’impedenza di uscita collegando resistenze in estremità. (puoi ottenere punti anche se è implicito)

La riflessione scompare se la resistenza corrisponde all’impedenza del cavo

1. $M_R>0$ (clockwise torque): Hence, $M_R<{\mu }_{2}Fr$. Hence,

$F>Mg-{\mu }_{2}F⟹F>\frac{Mg}{1+{\mu }_2}=\frac{4}{5}Mg.$

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.52

1. $M_R>0$ (torque in senso orario): di conseguenza $M_R<{\mu }_{2}Fr$. Quindi,

$F>Mg-{\mu }_{2}F⟹F>\frac{Mg}{1+{\mu }_2}=\frac{4}{5}Mg.$

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.52

2. $M_R<0$ (counter-clockwise torque): Hence, $-M_R<{\mu }_{2}Fr$. Hence,

$F<G+{\mu }_{2}F⟹F<\frac{Mg}{1-{\mu }_2}=\frac{4}{3}Mg.$

For the smallest mass $m$, we have $F_s=\frac{4}{5}Mg$ and $mg<F_s$. Hence, by the hint,

$\frac{4}{5}Mg\le mg{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\ge \frac{4}{5}M{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$

For the largest mass $m$, we have $F_s=\frac{4}{3}Mg$ and $mg>F_s$. Hence, by the hint,

$\frac{4}{3}Mg\le mg{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\le \frac{4}{3}M{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$

A suitable sketch of the forces acting on the big ball. This point is also given, if the next point is achieved. Correct expression for the torque equilibrium (2) of the big ball. Correct condition on the torque for case 1 ($M_R<{\mu }_{2}Fr$). Correct expression for the lower bound on $F_s$ in case 1. Correct condition on the torque for case 2 ($-M_R<{\mu }_{2}Fr$). Correct expression for the upper bound on $F_s$ in case 2. Correct bound on $m$. Give only 0.5 points if only one of the two bounds on $m$ is present. Do not deduct points if $<$ instead of $\le$ is used. Kurzaufgabe 4.3: Sicherheit auf dem Dach Bob der Baumeister hat einen neuen Klettergürtel zur Absturzsicherung auf dem Dach gekauft. Dazu gehört ein Seil, welches durch einen Bolzen am First des Daches fixiert werden muss. Bevor Bob jedoch dem Ganzen sein Leben anvertraut, will er das Seil auf dem Dach testen. Zum Testen seines Seils mit Länge $l$ nimmt Bob ein Fass mit Radius $R$ wobei $R\ll l$. Das Fass hat die selben Masse $m$ wie Bob selbst und ist am Seil befestigt. Er stellt das Fass oben am First des Daches so hin, dass die Rotationsachse des Fasses senkrecht zur Falllinie steht und lässt es nach unten rollen (siehe Skizze). Falls das Seil reisst, hat es den Test nicht bestanden und Bob muss sich ein neues Seil kaufen. i. Nimm an, das Seil hat eine Federkonstante $D$ und hat ohne Belastung eine Länge $l$. Weiter sei die Länge des Daches $L$ mit einer Neigung $\alpha$. Das Fass vollführt eine reine Rollbewegung ohne Rutschen. Bob will, dass das Seil, wenn er vom First aus herunterrollt, eine maximale Länge $L$ erreicht, damit er nicht vom Dach herunterfällt. Gib die Länge des Seils $l$ ohne Belastung in Abhängigkeit von zuvor genannten Variablen an, sodass es im Test auf die maximale Länge $L$ ausgedehnt wird. Abbildung 1: Aufbau von Bobs Versuch. Fass befindet sich oben beim First (links). Fass auf dem Weg nach unten (rechts) Force acting on barrel before braking: $F_{\text{parallel}}=mg\sin \alpha$ Force acting on barrel while braking: $F_{\text{tot}}=F_{\text{spring}}-F_{\text{parallel}}=Dx-mg\sin \alpha$ where $x=L-l$ Expressing energies and using energy conservation: $E_{\text{before}}=E_{\text{while}}⟹mg\sin \alpha l=\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha x$ Inserting $l=L-x$ one finds quadratic equation: $\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha L=0$ Solution for $x$: $x=\pm \sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{D}}L$, where minus solution is unphysical. Solution for $l$: $l=L-x=L\left(1-\sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{DL}}\right)$ ii. Das Seil reisst ab einer Kraft $F$. Berechne die Kraft, die durch das Abbremsen des Fasses auf das Seil wirkt, und definiere eine untere Grenze für $F$ in Abhängigkeit von zuvor genannten Variablen. Spring force: $F_{\text{spring}}=Dx$ with $x$ from before. Result (Points only if $>$!): $F>F_{\text{spring}}=\sqrt{2mg\sin \alpha DL}$ iii. Da Bob sich nach diesem Experiment etwas für die Physik hinter diesem Experiment interessiert, möchte er noch einige Sachen zu diesem Experiment berechnen. Nimm an, dass das Verhältnis von Rotationsenergie zu kinetischer Energie für einen Zylinder $1:2$ ist. Gib das Trägheitsmoment $J$ des Zylinders in Abhängigkeit der zuvor genannten Variablen an. Using $\frac{E_{\text{rot}}}{E_{\text{kin}}}=\frac{1}{2}$ gives: $\frac{J{\omega }^2}{m{v}^2}=\frac{1}{2}⟹J=\frac{m{v}^2}{2{\omega }^2}$ Noting $\omega =\frac{v}{R}$ and inserting $J=\frac{1}{2}m{R}^2$ iv. Finde die Gleichgewichtslage des Fasses als Distanz zum First. Force equilibrium: $F_g=F_{\text{spring}}⟹mg\sin \alpha =D{x}^{\prime }$ Solving for $x^{\prime }$: $x^{\prime }=\frac{mg\sin \alpha }{D}$ Result: $x=l+x^{\prime }=l+\frac{mg\sin \alpha }{D}$ Kurzaufgabe 4.4: Schmelzendes Eis An einem warmen Sommertag platzierst du einen Eisblock der Masse $m=100\text{g}$ und einer Temperatur $T_i=-10{}^{\circ }\text{C}$ nach draussen. Die Aussentemperatur beträgt $T_a=20{}^{\circ }\text{C}$. Die spezifische Wärmekapazität von Eis beträgt $c_i=2.05\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ und die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt $c_w=4.18\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Die latente Wärme zum Schmelzen von Eis ist gegeben durch $L=334\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}$. i. Wie gross ist die Entropieänderung des Universums, wenn wir den Eisblock auf $T_e=10{}^{\circ }\text{C}$ erhitzen? Nimm an, dass die Temperatur der Umgebung konstant bleibt. The entropy change of the universe is given by the sum of the entropy changes of the ice block and the surroundings. $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}.$ We divide our process into 3 steps.

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.53

2. $M_R<0$ (torno contro il senso orario): di conseguenza $-M_R<{\mu }_{2}Fr$. Quindi,

$F<G+{\mu }_{2}F⟹F<\frac{Mg}{1-{\mu }_2}=\frac{4}{3}Mg.$

Per la massa più piccola $m$, abbiamo $F_s=\frac{4}{5}Mg$ e $mg<F_s$. Quindi, per suggerimento,

$\frac{4}{5}Mg\le mg{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\ge \frac{4}{5}M{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$

Per la massa più grande $m$, abbiamo $F_s=\frac{4}{3}Mg$ e $mg>F_s$. Quindi, per suggerimento,

$\frac{4}{3}Mg\le mg{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\le \frac{4}{3}M{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$

Un’idea appropriata delle forze che agiscono sulla palla. Questo punto viene dato anche se il punto successivo è raggiunto. Espressione corretta per l’equilibrio della coppia (2) della grande palla. Corretta condizione della coppia per il caso 1 ($M_R<{\mu }_{2}Fr$). Espressione corretta per il limite inferiore su $F_s$ nel caso 1. Corretta condizione della coppia per il caso 2 ($-M_R<{\mu }_{2}Fr$). Espressione corretta per il limite superiore di $F_s$ nel caso 2. Corretta con il limite di $m$. Se è presente solo uno dei due limiti di $m$, deve essere indicato solo 0,5 punto. Non dedurre punti se $<$ invece di $\le$ è utilizzato. Kurzaufgabe 4.3: sicurezza sul tetto Bob der Baumeister ha un nuovo Klettergürtel zur Absturzsicherung auf dem Dach (Storte di sicurezza sul tetto)

• E’ stato comprato. Dazu appartiene a un sigillo, che saluta da un bolzen am First des Daches fixiert werden
• Non lo so. Prima che Bob, tuttavia, si ritenga il suo vivere, sarà il suo sigillo sul suo pavimento
• Testare. Per il test delle reti Seils mit Länge $l$ si ottiene un’ausiliare a radius $R$, con $R\ll l$. - Il mio Fass hat die selben Masse $m$ come Bob selbst und ist am Seil befestigt. Er stellt das Fass “Sono il primo dei fiocchi così, che il fiore rotativo delle fasi si fa cadere” Stand und lässt es nach unten rollen (vedi Skizze). Calle del Sigillo, non è possibile effettuare la prova Il mio amico e Bob devono prendere un nuovo caffè. i. Nimm an, das Seil hat eine Federkonstante $D$ und hat ohne Belastung eine Länge $l$. Continuare Se si è tenuta a mantenere la dimensione dei dacchi $L$ con una tendenza $\alpha$. La Fass vollführt eine reine Rollbewegung Senza Rutschen. Bob, che è il Segillo, quando vommo prima dal suo sottorollo, un massimo Länge $L$ erreicht, damit er nicht vom Dach herunterfällt. Gib die Länge des Seils $l$ senza La situazione in cui si trova la dipendenza da una variabile di cui sopra è così La misura massima $L$ è stata effettuata. Abbildung 1: Aufbau von Bobs Versuch. Fass befindet sich oben beim Primo (leggi a) Fass auf dem Weg (Sciglia sul cammino) nach unten (a destra) Forza che agisce sul barile prima di frenare: $F_{\text{parallel}}=mg\sin \alpha$ Forza che agisce sul barile durante il frenaggio: $F_{\text{tot}}=F_{\text{spring}}-F_{\text{parallel}}=Dx-mg\sin \alpha$ in cui $x=L-l$ Espressione delle energie e utilizzo della conservazione dell’energia: $E_{\text{before}}=E_{\text{while}}⟹mg\sin \alpha l=\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha x$ Se si inserisce $l=L-x$ si trova l’equazione quadrata: $\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha L=0$ Soluzione per $x$: $x=\pm \sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{D}}L$, dove la soluzione meno è non fisica. Soluzione per $l$: $l=L-x=L\left(1-\sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{DL}}\right)$ ii. Il sigillo è stato trasmesso a una forza $F$. Berechne die Kraft, die durch das Abbremsen des Fasses auf das Seil wirkt, und definiere eine untere Grenze für $F$ in Abhängigkeit von zuvor Variabili di cui al paragrafo 1. Forza di molla: $F_{\text{spring}}=Dx$ con $x$ da prima. Risultato (Punti solo se $>$!): $F>F_{\text{spring}}=\sqrt{2mg\sin \alpha DL}$ iii. Da Bob sich nach diesem Experiment qualcosa per la fisica dietro questo esperimento Non è un problema che non si può trovare. - Non è vero. das Verhältnis von Rotationsenergie zu kinetischer Energie für einen Zylinder $1:2$ ist. Gib Das Trägheitsmoment $J$ des Zylinders in Abhängigkeit der zuvor sono citate variabili. Utilizzando $\frac{E_{\text{rot}}}{E_{\text{kin}}}=\frac{1}{2}$ si ottiene: $\frac{J{\omega }^2}{m{v}^2}=\frac{1}{2}⟹J=\frac{m{v}^2}{2{\omega }^2}$ con la nota $\omega =\frac{v}{R}$ e con l’inserimento $J=\frac{1}{2}m{R}^2$ iv. In primo luogo, il rapporto di parità tra le fasi e le distanze. Equilibrio di forza: $F_g=F_{\text{spring}}⟹mg\sin \alpha =D{x}^{\prime }$ Risoluzione per $x^{\prime }$: $x^{\prime }=\frac{mg\sin \alpha }{D}$ Risultato: $x=l+x^{\prime }=l+\frac{mg\sin \alpha }{D}$ Kurzaufgabe 4.4: Schmelzendes Eis An einem warmen Sommertag platzierst du einen Eisblock der Masse $m=100\text{g}$ und La temperatura di un’acqua di $T_i=-10{}^{\circ }\text{C}$ è di > 0,05 °C. La temperatura di produzione è di $T_a=20{}^{\circ }\text{C}$. Die spezifische Wärmekapazität von Eis beträgt $c_i=2.05\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ und die spezifische La capacità di calore di Wasser è $c_w=4.18\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Die latente Wärme zum Schmelzen von Eis ist gegeben durch $L=334\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}$. i. Wie gross ist die Entropieänderung des Universums, wenn wir den Eisblock auf $T_e=10{}^{\circ }\text{C}$ Erhitzen? In ogni caso, la temperatura della zona rimane costante. Il cambiamento di entropia dell’universo è dato dalla somma dei cambiamenti di entropia del blocco di ghiaccio e del
• Il mondo circostante. $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}.$ Dividiamo il nostro processo in 3 fasi.

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.53

1. Heating the ice from $-10{}^{\circ }\text{C}$ to $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.56

1. riscaldamento del ghiaccio da $-10{}^{\circ }\text{C}$ a $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.56

2. Melting the ice at $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.56

2. Fusione del ghiaccio a $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.56

3. Heating the water from $0{}^{\circ }\text{C}$ to $10{}^{\circ }\text{C}$. If $T$ is constant during a process the entropy change is given by

$\Delta S=\frac{Q}{T},$

where $\Delta Q=cm\Delta T$ for heating/cooling and $\Delta Q=Lm$ for phase changes. If $T$ is not constant during a process, we can divide the process into infinitesimal steps and integrate:

$\Delta S=\int dS={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{dQ}{T}={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{cmdT}{T}=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right).$

So $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{univ},1}+\Delta S_{\text{univ},2}+\Delta S_{\text{univ},3}$ where 1, 2, 3 denote the three processes. Hence, we calculate:

$$\begin{array}{rl}\Delta S_{\text{univ}}& =\Delta S_{\text{sys},1}+\Delta S_{\text{surr},1}+\Delta S_{\text{sys},2}+\Delta S_{\text{surr},2}+\Delta S_{\text{sys},3}+\Delta S_{\text{surr},3}\\ & =c_{i}m\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)+\frac{-c_{i}m(T_0-T_i)}{T_a}+\frac{Lm}{T_0}+\frac{-Lm}{T_a}+c_{w}m\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)+\frac{-c_{w}m(T_e-T_0)}{T_a}\\ & =m\left[c_i\left(\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)-\frac{T_0-T_i}{T_a}\right)+L\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_a}\right)+c_w\left(\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)-\frac{T_e-T_0}{T_a}\right)\right].\end{array}$$

where $T_0$ is the melting temperature of ice in Kelvin. Numerically, we get

$\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}.$

Noting that the total entropy change of the universe is the sum of the entropy changes of the system and the surroundings. Explicitly stating the three steps of the process. $\Delta S=\frac{Q}{T}$ Finding $\Delta Q$ for heating/cooling and phase changes. Correctly finding $\Delta S=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right)$. Correctly calculating $\Delta S_{\text{univ}}$ as the sum of the entropy changes of the three steps. Correct numerical value of $\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Kurzaufgabe 4.5: Murmeltierpfiffe Amdo, das Murmeltier, pfeift am liebsten mit seinen Freuden um die Wette. Dabei erzeugt er eine Schallwelle mit einer Frequenz von $1000\text{Hz}$. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt $c=330\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Teil A. Das Echo i. Amdo übt fleissig sein Pfeifen in den Bergen. Um seine Frequenz zu bestimmen, läuft er geradewegs auf eine Felswand zu, welche ein perfektes Echo erzeugt. Dadurch hört Amdo sein eigenes Pfeifen mit einer oszillierenden Lautstärke. Bestimme wie schnell Amdo auf die Felswand zulaufen muss, wenn die Lautstärke 10 Mal pro Sekunde maximal sein soll. When walking towards the wall, Amdo perceives a frequency shift due to the Doppler effect. The frequency of the reflected wave can be calculated as

$f^{\prime }=f\cdot \frac{c+v_s}{c-v_s}.$

What Amdo hears is the superposition of the original wave and the reflected wave. This is known as a beat frequency, which can be calculated as

$f_{\text{beat}}=\frac{|f-f^{\prime }|}{2}=f\cdot \frac{v_s}{c-v_s}.$

Further notice, that since the amplitude of the volume is always positive, the beat frequency is doubled in perception. Thus, we have $f_{\text{beat}}=5\text{Hz}$, which leads to

$v_s=\frac{f_{\text{beat}}\cdot c}{f+f_{\text{beat}}}\approx 1.6\text{m/s}.$

Notice that a doppler shift occurs when Amdo is moving towards the wall. Computing the frequency of the reflected wave using the Doppler effect. Mentioning that a beat frequency occurs due to the superposition of the original and reflected wave. Formula for the beat frequency. Final calculation of the speed $v_s$. Correct numerical result. Subtract 0.5 points in case student assumes that $f_{\text{beat}}=10\text{Hz}$ instead of $5\text{Hz}$, or does not notice that the frequency is doubled in perception. If both effects are considered the same result is obtained and thus full marks should be given. (Which method is chosen depends on how the beat frequency is defined.) Teil B. Eintritt in den Wald i. Amdo läuft entlang des Waldes, in dem einer seiner Freunde ebenfalls mit $1000\text{Hz}$ pfeift. Sein Freund steht still, jedoch befinden sich zwischen Amdo und seinem Freund zwei Bäume, mit einem Durchmesser $d=0.2\text{m}$ und einem Abstand von $b=0.9\text{m}$ zueinander. Amdo läuft nun parallel zu den Bäumen dem Weg entlang. Dabei hört er ein pulsierendes Pfeifen. Bestimme an wie vielen Orten entlang des Weges Amdo kein Pfeifen von seinem Freund hört, wenn die Bäume $s\gg b$ vom Weg entfernt stehen. Weg b s Amdo’s Freund The wavelength $\lambda$ of the sound wave can be calculated using the wave equation:

$\lambda =\frac{c}{f}.$

By Babinet’s principle, the setup is equivalent to having two slits of width $d$ and distance $b$ between them. The setup thus represents a classic double-slit interference experiment, where the condition for destructive interference is given by

$b\sin (\theta )=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda n=0,1,2,\dots ,$

Where $\theta$ is the angle between the central axis and the direction to the point of destructive interference. To find the number of points along the path where Amdo hears no sound, we need to find the maximum value of $n$ such that

$\sin (\theta )\le 1⟹\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda \le b.$

Solving for $n$, we get

$n\le \frac{b}{\lambda }-\frac{1}{2}=\mathrm{2.2.}$

Thus, the possible values for $n$ are 0, 1, 2, leading to a total of 6 points along the path where Amdo hears no sound as each value of $n$ corresponds to two points (one on each side of the central axis). Calculating the wavelength of the sound wave. Recognizing the setup as a double-slit interference problem using Babinet’s principle. Writing down the condition for destructive interference. Solving for the maximum value of $n$ that satisfies the destructive interference condition. Correct final numerical result of 6 points. Kurzaufgabe 4.6: Raum-Zeit Albert Einsteins spezielle Relativitätstheorie beruht auf dem fundamentalen Postulat, dass sich nichts schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann. In dieser Aufgabe wollen wir die Invarianz des Raum-Zeit-Intervalls mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit zeigen. Teil A. Definition Zuerst wollen wir Definitionen geben, die wir anschliessend gebrauchen werden. i. Das Raum-Zeit-Intervall spielt in der speziellen Relativitätstheorie eine zentrale Rolle. Schreibe die Gleichung für das Raum-Zeit-Intervall $\Delta s$ zwischen zwei Ereignissen $s$ und $s^{\prime }$ auf. Hinweis: Das Raumzeitintervall ist die Differenz zwischen den Quadraten der zeitlichen und räumlichen Entfernungen zwischen den beiden Ereignissen. The space-time-interval is given by: $(\Delta s{)}^2=(c\Delta t{)}^2-(\Delta x{)}^2-(\Delta y{)}^2-(\Delta z{)}^2$ Or $d{s}^2=cd{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$ (Both correct) ii. Definiere die Lorentz-Transformation in alle 4 Raum-Zeit-Komponenten für einen Boost mit Geschwindigkeit $v$ in $y$-Richtung. Beachte, dass ein Boost mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ ein Wechsel in ein Bezugssystem ist, das sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ relativ zum aktuellen System bewegt. Hinweis: Verwende den Lorentz-Faktor $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, mit $\beta =\frac{v}{c}$. For the time component we have: $t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}y\right)$ For the space component in boost direction (y) we have: $y^{\prime }=\gamma (y-vt)$ For the space component in other directions we have: $x^{\prime }=x$ and $z^{\prime }=z$ Reduce 0.5 points if boost in wrong direction but definitions correct. Teil B. Lichtgeschwindigkeit Verwenden wir nun die Definitionen aus der vorherigen Teilaufgabe, um Berechnungen durchzuführen. Betrachten wir das Einschalten einer Lampe am Raum-Zeit-Punkt $(0,0,0,0)$. Da sich das Licht mit Lichtgeschwindigkeit in alle Richtungen ausbreitet, bildet es eine Kugel. In einem Bezugssystem, in dem sich die Lampe mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, breitet sich das ausgesandte Licht ebenfalls in alle Richtungen mit Lichtgeschwindigkeit aus (dies ist eines der Postulate der speziellen Relativitätstheorie). In den folgenden Teilaufgaben werden wir zeigen, dass ein Raum-Zeit-Intervall unter einer Lorentz-Transformation invariant ist. i. Betrachte die Lichtkugel der Lampe, die sich in einem gegenüber der Lampe ruhenden Bezugssystem in alle räumlichen Dimensionen ausbreitet. Betrachte die beiden Ereignisse bei $s_1=(0,0,0,0)$ und $s_2=(t,x,y,z)$, wenn das Licht den Punkt $(x,y,z)$ erstmals erreicht, und berechne das Raum‐Zeit‐Intervall. Zeige, dass das Raum‐Zeit‐Intervall verschwindet. We say $\Delta t=t-t_0$ with $t_0=0$ hence $\Delta t=t$ and the same for x,y,z for simpler notation. For any point on the surface of the ball at time $t$ we can relate the velocity and distance as: $c\cdot t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ Inserting this into the definition of space-time-interval gives: $(\Delta s{)}^2=(\sqrt{x^2+y^2+z^2}{)}^2-x^2-y^2-z^2=x^2+y^2+z^2-x^2-y^2-z^2=0$ as desired.

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves, Special Relativity Metodi: First Law of Thermodynamics, Superposition Principle, Lorentz Transformation, Interference & Diffraction Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit Fonte: Testo (PDF) — p.56

3. Riscaldamento dell’acqua da $0{}^{\circ }\text{C}$ a $10{}^{\circ }\text{C}$. Se $T$ è costante durante un processo la variazione di entropia è data da

$\Delta S=\frac{Q}{T},$

dove $\Delta Q=cm\Delta T$ per riscaldamento/raffreddamento e $\Delta Q=Lm$ per i cambiamenti di fase. Se $T$ non è costante durante un processo, possiamo dividere il processo in passi infinitesimi e integrare:

$\Delta S=\int dS={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{dQ}{T}={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{cmdT}{T}=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right).$

Quindi $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{univ},1}+\Delta S_{\text{univ},2}+\Delta S_{\text{univ},3}$ dove 1, 2, 3 indicano i tre processi. Perciò, calcoliamo:

$$\begin{array}{rl}\Delta S_{\text{univ}}& =\Delta S_{\text{sys},1}+\Delta S_{\text{surr},1}+\Delta S_{\text{sys},2}+\Delta S_{\text{surr},2}+\Delta S_{\text{sys},3}+\Delta S_{\text{surr},3}\\ & =c_{i}m\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)+\frac{-c_{i}m(T_0-T_i)}{T_a}+\frac{Lm}{T_0}+\frac{-Lm}{T_a}+c_{w}m\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)+\frac{-c_{w}m(T_e-T_0)}{T_a}\\ & =m\left[c_i\left(\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)-\frac{T_0-T_i}{T_a}\right)+L\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_a}\right)+c_w\left(\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)-\frac{T_e-T_0}{T_a}\right)\right].\end{array}$$

dove $T_0$ è la temperatura di fusione del ghiaccio in Kelvin. Numericamente, otteniamo

$\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}.$

Notando che la variazione totale di entropia dell’universo è la somma delle variazioni di entropia del sistema e dell’ambiente circostante. Indicando esplicitamente i tre passi del processo. $\Delta S=\frac{Q}{T}$ Trovando $\Delta Q$ per riscaldamento/raffreddamento e cambiamenti di fase. Trovando correttamente $\Delta S=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right)$. Calcolando correttamente $\Delta S_{\text{univ}}$ come somma delle variazioni di entropia dei tre passi. Valore numerico corretto di $\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Esercizio breve 4.5: Fischi della marmotta Amdo, la marmotta, ama soprattutto fischiare a gara con i suoi amici. Nel farlo produce un’onda sonora con una frequenza di $1000\text{Hz}$. La velocità del suono in aria è $c=330\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Parte A. L’eco i. Amdo si esercita diligentemente a fischiare in montagna. Per determinare la sua frequenza, corre dritto verso una parete rocciosa, che produce un’eco perfetta. In questo modo Amdo sente il proprio fischio con un volume oscillante. Determina quanto velocemente Amdo deve correre verso la parete rocciosa affinché il volume sia massimo 10 volte al secondo. Camminando verso la parete, Amdo percepisce uno spostamento di frequenza dovuto all’effetto Doppler. La frequenza dell’onda riflessa può essere calcolata come

$f^{\prime }=f\cdot \frac{c+v_s}{c-v_s}.$

Ciò che Amdo sente è la sovrapposizione dell’onda originale e dell’onda riflessa. Questo è noto come frequenza di battimento, che può essere calcolata come

$f_{\text{beat}}=\frac{|f-f^{\prime }|}{2}=f\cdot \frac{v_s}{c-v_s}.$

Nota inoltre che, poiché l’ampiezza del volume è sempre positiva, la frequenza di battimento è raddoppiata nella percezione. Quindi abbiamo $f_{\text{beat}}=5\text{Hz}$, il che porta a

$v_s=\frac{f_{\text{beat}}\cdot c}{f+f_{\text{beat}}}\approx 1.6\text{m/s}.$

Nota che uno spostamento Doppler si verifica quando Amdo si muove verso la parete. Calcolo della frequenza dell’onda riflessa usando l’effetto Doppler. Menzionare che si verifica una frequenza di battimento a causa della sovrapposizione dell’onda originale e di quella riflessa. Formula per la frequenza di battimento. Calcolo finale della velocità $v_s$. Risultato numerico corretto. Sottrarre 0.5 punti nel caso in cui lo studente assuma che $f_{\text{beat}}=10\text{Hz}$ invece di $5\text{Hz}$, o non noti che la frequenza è raddoppiata nella percezione. Se si considerano entrambi gli effetti si ottiene lo stesso risultato e quindi si deve assegnare il punteggio pieno. (Quale metodo si sceglie dipende da come si definisce la frequenza di battimento.) Parte B. Ingresso nel bosco i. Amdo cammina lungo il bosco, in cui uno dei suoi amici fischia anch’esso a $1000\text{Hz}$. Il suo amico sta fermo, tuttavia tra Amdo e il suo amico si trovano due alberi, con un diametro $d=0.2\text{m}$ e una distanza di $b=0.9\text{m}$ l’uno dall’altro. Amdo cammina ora parallelamente agli alberi lungo il sentiero. Nel farlo sente un fischio pulsante. Determina in quanti punti lungo il sentiero Amdo non sente il fischio del suo amico, se gli alberi si trovano a una distanza $s\gg b$ dal sentiero. Sentiero b s L’amico di Amdo La lunghezza d’onda $\lambda$ dell’onda sonora può essere calcolata usando l’equazione delle onde:

$\lambda =\frac{c}{f}.$

Per il principio di Babinet, la configurazione è equivalente ad avere due fenditure di larghezza $d$ e distanza $b$ tra loro. La configurazione rappresenta quindi un classico esperimento di interferenza a doppia fenditura, in cui la condizione per l’interferenza distruttiva è data da

$b\sin (\theta )=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda n=0,1,2,\dots ,$

dove $\theta$ è l’angolo tra l’asse centrale e la direzione verso il punto di interferenza distruttiva. Per trovare il numero di punti lungo il sentiero in cui Amdo non sente alcun suono, dobbiamo trovare il valore massimo di $n$ tale che

$\sin (\theta )\le 1⟹\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda \le b.$

Risolvendo per $n$, otteniamo

$n\le \frac{b}{\lambda }-\frac{1}{2}=\mathrm{2.2.}$

Quindi, i possibili valori di $n$ sono 0, 1, 2, portando a un totale di 6 punti lungo il sentiero in cui Amdo non sente alcun suono, poiché ogni valore di $n$ corrisponde a due punti (uno su ciascun lato dell’asse centrale). Calcolo della lunghezza d’onda dell’onda sonora. Riconoscere la configurazione come un problema di interferenza a doppia fenditura usando il principio di Babinet. Scrivere la condizione per l’interferenza distruttiva. Risolvere per il valore massimo di $n$ che soddisfa la condizione di interferenza distruttiva. Risultato numerico finale corretto di 6 punti. Esercizio breve 4.6: Spazio-tempo La teoria della relatività ristretta di Albert Einstein si basa sul postulato fondamentale che nulla può propagarsi più velocemente della velocità della luce. In questo esercizio vogliamo mostrare l’invarianza dell’intervallo spazio-tempo con l’aiuto della velocità della luce. Parte A. Definizione Per prima cosa vogliamo dare delle definizioni, che useremo in seguito. i. L’intervallo spazio-tempo svolge un ruolo centrale nella relatività ristretta. Scrivi l’equazione per l’intervallo spazio-tempo $\Delta s$ tra due eventi $s$ e $s^{\prime }$. Suggerimento: l’intervallo spazio-tempo è la differenza tra i quadrati delle distanze temporali e spaziali tra i due eventi. L’intervallo spazio-tempo è dato da: $(\Delta s{)}^2=(c\Delta t{)}^2-(\Delta x{)}^2-(\Delta y{)}^2-(\Delta z{)}^2$ Oppure $d{s}^2=cd{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$ (Entrambe corrette) ii. Definisci la trasformazione di Lorentz in tutte e 4 le componenti spazio-tempo per un boost con velocità $v$ nella direzione $y$. Nota che un boost con velocità $\vec{v}$ è un passaggio a un sistema di riferimento che si muove con velocità $\vec{v}$ rispetto al sistema attuale. Suggerimento: usa il fattore di Lorentz $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, con $\beta =\frac{v}{c}$. Per la componente temporale abbiamo: $t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}y\right)$ Per la componente spaziale nella direzione del boost (y) abbiamo: $y^{\prime }=\gamma (y-vt)$ Per la componente spaziale nelle altre direzioni abbiamo: $x^{\prime }=x$ e $z^{\prime }=z$ Sottrarre 0.5 punti se il boost è nella direzione sbagliata ma le definizioni sono corrette. Parte B. Velocità della luce Usiamo ora le definizioni della sotto-domanda precedente per eseguire dei calcoli. Consideriamo l’accensione di una lampada nel punto spazio-tempo $(0,0,0,0)$. Poiché la luce si propaga in tutte le direzioni con la velocità della luce, forma una sfera. In un sistema di riferimento in cui la lampada si muove con velocità costante, anche la luce emessa si propaga in tutte le direzioni con la velocità della luce (questo è uno dei postulati della relatività ristretta). Nelle seguenti sotto-domande mostreremo che un intervallo spazio-tempo è invariante sotto una trasformazione di Lorentz. i. Considera la sfera di luce della lampada, che si propaga in tutte le dimensioni spaziali in un sistema di riferimento in quiete rispetto alla lampada. Considera i due eventi in $s_1=(0,0,0,0)$ e $s_2=(t,x,y,z)$, quando la luce raggiunge per la prima volta il punto $(x,y,z)$, e calcola l’intervallo spazio-tempo. Mostra che l’intervallo spazio-tempo si annulla. Poniamo $\Delta t=t-t_0$ con $t_0=0$ quindi $\Delta t=t$ e lo stesso per x,y,z per una notazione più semplice. Per ogni punto sulla superficie della sfera al tempo $t$ possiamo mettere in relazione la velocità e la distanza come: $c\cdot t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ Inserendo questo nella definizione di intervallo spazio-tempo si ottiene: $(\Delta s{)}^2=(\sqrt{x^2+y^2+z^2}{)}^2-x^2-y^2-z^2=x^2+y^2+z^2-x^2-y^2-z^2=0$ come desiderato.

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves, Special Relativity Metodi: First Law of Thermodynamics, Superposition Principle, Lorentz Transformation, Interference & Diffraction Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit Fonte: Testo (PDF) — p.56