Svizze 2026

1. This oscilloscope is able to display the evolution of the voltage for a time window ranging from 10 nanoseconds to 100 seconds.

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1. Questo osciloscopio è in grado di visualizzare l’evoluzione della tensione per una finestra temporale che va da 10 Nanosecondi a 100 secondi.

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2. In order to display a stable curve (i.e. not jumping around), you do not only need to feed the corresponding voltage into the oscilloscope but also set a proper trigger. The trigger tells the oscilloscope when to plot the next trace, if the trigger is not properly set, the oscilloscope will either ”freeze”, i.e. not update at all or it the displayed curve will jump around and nothing can be read of. The trigger is explained in point 5 of this list.

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2. Per visualizzare una curva stabile (cioè non saltare in giro), non è necessario solo nutrire il la corrispondente tensione nell’oscilloscopio ma anche impostare un trigger appropriato. Il grilletto dice all’ osciloscopio quando tracciare la traccia successiva, se il trigger non è impostato correttamente, l’oscilloscopio si congela, cioè se non si aggiorna affatto, la curva mostrata salterà e non si potrà leggere nulla. Il fattore è spiegato al punto 5 del presente elenco.

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3. To start with, connect the BNC cables with the channels you want to display (CH1 and/or CH2). Active the corresponding channels by clicking on the button F or G in figure Ax1.2. Lines corresponding to each channel (yellow for CH1 and blue for CH2) are supposed to appear. If they don’t, disconnect the cable and check if they appear (because it might happen that the connected voltage is out of range of the window). If the lines don’t appear, click the corresponding buttons F and/or G again. Note, each channel can either be used with a $50\Omega$ internal termination or with high impedance ($1\text{M}\Omega$). Chose carefully what you need.

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3. Per iniziare, collegare i cavi BNC ai canali che si desidera visualizzare (CH1 e/o CH2). Attivare i canali corrispondenti facendo clic sul pulsante F o G della figura Ax1.2. Corrispondenti linee per ogni canale (giallo per CH1 e blu per CH2) dovrebbero apparire. Se non lo fanno, disconnettersi. il cavo e verificare se appaiono (perché potrebbe accadere che la tensione connessa sia fuori gamma) di finestra). Se le righe non appaiono, fare clic nuovamente sui pulsanti F e/o G corrispondenti. Nota: ogni canale può essere utilizzato con terminazione interna $50\Omega$ o con alta impedanza ($1\text{M}\Omega$). Scegli attentamente quello che ti serve.

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with the socket EXT TRIG

4. Optional: If you want to have an additional external trigger, connect the corresponding BNC cable with the socket EXT TRIG.

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con il socket EXT TRIG

4. Opzionale: se si desidera avere un trigger esterno aggiuntivo, collegare il corrispondente cavo BNC con la presa EXT TRIG.

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5. The correct trigger has to be set. The trigger identifies a particular feature in the voltage trace and starts plotting once this feature appears (actually even a bit before). To set it up, press the button L in figure Ax1.2 to open the trigger menu which should now appear at the right of the window. Set/ensure the type is set to ”edge”. Chose the channel which shall serve as a trigger. Set/change the slope, i.e. whether the trigger shall be active if the voltage rises or falls. Then ensure the mode is ”Auto” and select the coupling (AC = alternating current, any offset is cut off or DC = direct current, also offset included).

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5. Il trigger deve essere impostato correttamente. Il trigger identifica una particolare caratteristica nella traccia di tensione e inizia a tracciare una volta che questa caratteristica appare (in realtà anche un po’ prima). Per impostarlo, premere il pulsante L Figura Ax1.2 per aprire il menu di attivazione che dovrebbe ora apparire a destra della finestra. Set/assicurazione il tipo è impostato su edge. Scegli il canale che serve come trigger. Impostare/cambiare la pendenza, ovvero se il trigger deve essere attivo se la tensione aumenta o diminuisce. Quindi assicurati che la modalità sia Auto e selezionare l’accoppiamento (AC = corrente alternata, qualsiasi compensazione è interrotta o DC = corrente continua, anche compensazione (inclusi).

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6. Set up the settings as needed. The following steps might be needed or iterated, depending on the problem: • To start with it is usually suitable to press the AUTO button, see M in figure Ax1.2. This usually gives a first good set of settings, in some cases however fails and then they have to be found manually. • Check the trigger settings (point 5) did not change. • Set/check the trigger level, i.e. the time when the voltage of the trigger source crosses this point corresponds to time zero. The trigger level can be changed by the knob J in figure Ax1.2 • Set the voltage range by the knob D1 or D2 (depending on channel) in figure Ax1.2. Also set the offset for each channel by turning knob E1 or E2 in figure Ax1.2 • Set the time range by rotating knob H, you can also shift time zero by knob I. Figure Ax1.1: Explanations display oscilloscope: 1: zero voltage line (however, take into account that the different channels can be shifted vertically and might have their own zero. Check by disconnecting the channel), 2: trace of channel 1, 3: trace of channel 2, 4: voltage scale of channel 1. The value corresponds to one tile (i.e. the height of item 9, see below), 5: voltage scale of channel 2. The value corresponds to one tile (i.e. the height of item 9, see below), 6: time scale of both channels, the value corresponds to the width of each tile (see 10), 7: settings of the trigger, here channel 2 is used as a trigger and it is triggering at the falling edge crosses the tirgger voltage of channel 2 (see also item 8). 8: Trigger level (here for channel 2, see item 7). 9: Height of one tile, corresponds to voltage scale of item 4 or item 5. 10: Width of one tile, corresponds to the time scale of item 6. The items 11-15 only apply for the channel menu: 11: coupling, ”wave”: whether DC offset is cut off (usually used at high frequencies), straight line on top of dashed: also including DC offset, ground symbol: short cut, nothing can be measured. 12: Invertierung der Kurve, sollte off sein. 13: Bandwidth limit, some filtering (cutoff at 20 MHz), usually off. 14: Switch between voltage and current, select voltage 1x. Better keep at 1. 15: Type of zoom, ”Centre” should be better Figure Ax1.2: Explanation knobs and buttons oscilloscope: A: BNC input channel 1, B: BNC input channel 2, C: Input external trigger (if used/needed), D1 and D2: knob to change vertical voltage scale of the corresponding channel, E1 and E2: vertical offset of the corresponding channel, F: to active channel 1, G: to activate channel 2, H: change horizontal scale for both channels, I horizontally shift the two curved, J: trigger level, see also 7 and 8 in figure Ax1.1, K: If the oscilloscope does not trigger, it can be forced to do so. Might give some insights into curve and help fixing the trigger. L: Trigger menu, it will appear at the right side of the display, M: Auto button, sets all parameter to values the oscilloscope considers suitable. Sometimes good first guess, sometimes completely off. .. Appendix 2: Signal generator For this experiment, a periodic signal might be useful. The available signal generator allows for different waveforms at a large frequency range. However, for the experiment a different setting might be more useful: A TTL signal, i.e. a rectangular waveform with a particularly sharp edge. This signal is available at the TTL port, see caption of figure Ax2.1. Make sure all the knobs are pushed, in particular DUTY (as set up by default). Figure Ax2.1: Explanation signal generator: 1: Knob to turn it on and off. 2: Set the frequency range. 3: Display of the frequency. 4: Knob to set the coarse frequency, 5: Knob for fine tuning of the frequency. 6: TTL output. Appendix 3: The Multimeter A multimeter can be used for general measurements, see Figure Ax3.1. Some general points: • One cable must always be in the COM socket. This is the zero point (usually the black cable). • The input for voltage measurement has high impedance, i.e. only a small current flows through the multimeter. • The input for current measurement has low impedance, i.e. a large current can flow through the multimeter. • In general, when measuring currents: the current flows through the multimeter, which has a much lower resistance than when measuring a voltage. This means that large currents can flow and destroy the multimeter (or the voltage source)! Therefore, the multimeter in this configuration must NEVER be connected in parallel to the voltage source, but only in series with a load! Figure Ax3.1: Explanation of the different items: 1: Off position, 2: COM socket, 3: socket for voltage and resistance (and other quantities), 4: port for small currents, 5: socket for large currents.6: measurement of small voltages (AC and DC, to switch use 11), 7: DC voltages,8: AC voltages, 9: Measurement of ohmic resistance, 10: current measurements (different ranges), 11: switch between DC and AC for small voltages (6) or currents (10). The current setting is displayed on the display 12. 12: Display SOLUTION Experiments: solutions Experiment 3.1: Signal Propagation in Coaxial Cables Introduction This experiment investigates the wave propagation in coaxial cables. These cables consist of two lines, an inner one usually carrying the signal and an outer cylindric one enclose the inner one. This outer line is usually connected to ground. We will look at the commonly used BNC standard (particular design of coaxial cables) and call the used cable from now on BNC cables. To enable for a closed circuit, cables usually have at least 2 lines in a fixed geometry with respect to each other. The geometry and involved materials define the propagation properties of the signals in the cable. Denote by $L^{\prime }$ and $C^{\prime }$ the inductance and capacitance respectively (i.e. inductivity and capacity per length). The ratio between amplitude of the current $I_0$ flowing in the lines and the voltage $V_0$ between the lines is given by the characteristic impedance $Z_0$ (in high frequency limit) as

$\frac{V_0}{I_0}=Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}$

and is a property of the cable itself. If two cables with different impedance are connected with each other (or an ohmic resistor is attached to the end of the cable), the wave can only be fully transmitted if the impedance of the two cables is the same. Otherwise a reflection at the connection happens such that the ratio of current and voltage in both cables is given by their corresponding impedances. Furthermore, the speed $v_p$ at which a wave propagates (phase velocity) is given by

$v_p=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}$

and is independent of the frequency (given the simple model we use here). Correspondingly, this velocity coincides with the speed of a signal (group velocity). To perform the experiments, you have the following material available: Material • A signal generator, details see appendix. For this experiment, only use the middle connection, labelled with output TTL and do not pull the knobs out. This will provide you with a rectangular signal that might be useful. • An oscilloscope, details see appendix. Note, each channel can either be used with a $50\Omega$ internal termination or with high impedance ($1\text{M}\Omega$). Chose carefully what you need. • One Multimeter, details see appendix. • BNC cables of length 1m, 2m, 3m (2x). • One cable with clamps at its end. • 2 pieces to connect one BNC cable with another one. • One T-piece which can be plugged into the oscilloscope and two cables can be connected. • A set of various resistors. SOLUTION Tasks Part A. Impedance measurement Here we want to estimate the wave impedance $Z_0$ in our BNC cables. i. Come up with an experimental setup to determine the impedance $Z_0$

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6. Imposta le impostazioni secondo le necessità. Le seguenti fasi potrebbero essere necessarie o ripetute, a seconda delle condizioni Il problema: • Per iniziare è di solito opportuno premere il pulsante AUTO, vedere M nella figura Ax1.2. Di solito questo dà un primo buon set di impostazioni, in alcuni casi tuttavia fallisce e poi devono essere trovati

• Manuale. • Verificare che le impostazioni del trigger (punto 5) non siano cambiate. • Impostare/verificare il livello di scatto, ovvero il momento in cui la tensione della fonte di scatto attraversa questo punto corrisponde al tempo zero. Il livello del trigger può essere modificato con il pulsante J nella figura Ax1.2 • Impostare la gamma di tensione con il pulsante D1 o D2 (a seconda del canale) nella figura Ax1.2. - E’ anche il compensato per ciascun canale girando il pulsante E1 o E2 nella figura Ax1.2 • Impostare il intervallo temporale rotando il pulsante H, è anche possibile spostare il tempo a zero con il pulsante I. Figura Ax1.1: Le spiegazioni mostrano l’oscilloscopio: 1: linea di tensione zero (si tenga tuttavia conto che la I canali possono essere spostati verticalmente e possono avere il loro zero. Controllare disconnetendo il canale), 2: traccia del canale 1, 3: traccia del canale 2, 4: scala di tensione del canale 1. Il valore corrisponde a una piastrella (cioè l’altezza della voce 9, cfr. sotto), 5: scala di tensione del canale 2. Il valore corrisponde a una piastrella (i.e. l’altezza della voce 9, cfr. sotto), 6: scala temporale di entrambi i canali, il valore corrisponde alla larghezza di ogni piastrella (vedi 10), 7: impostazioni del grilletto, qui il canale 2 è usato come grilletto e sta scatenando alla il bordo cadente attraversa la tensione di tiratura del canale 2 (vedere anche punto 8). 8: livello di scatto (qui per il canale 2, cfr. punto 7). 9: Altezza di una piastrella corrisponde alla scala di tensione della voce 4 o della voce 5. 10: larghezza di una piastrella, corrisponde alla scala temporale della voce 6. Le voci 11-15 si applicano solo al menu dei canali: 11: accoppiamento, onda: se il compensamento di corrente continua è tagliato (di solito utilizzato ad alte frequenze), linea retta sopra di punteggiato: anche inclusa la compensazione di corrente continua, simbolo di terra: scorciato, nulla può essere misurato. 12: Inversione della curva, dovrebbe
• Non lo so. 13: Limite di larghezza di banda, un po’ di filtrazione (interruzione a 20 MHz), di solito spento. 14: Scendi tra tensione e corrente, tensione selezionata 1x. Meglio rimanere a 1. 15: Tipo di zoom, Centre dovrebbe essere migliore Figura Ax1.2: pulsanti e pulsanti di spiegazione osciloscopo: A: canale di ingresso BNC 1, B: canale di ingresso BNC 2, C: Trigger esterno di ingresso (se utilizzato/necessario), D1 e D2: pulsante per modificare la scala di tensione verticale della canale corrispondente, E1 e E2: compensazione verticale del canale corrispondente, F: al canale attivo 1, G: per attivare il canale 2, H: cambiare la scala orizzontale per entrambi i canali, io spostare orizzontale le due curve, J: livello di scatto, vedi anche 7 e 8 nella figura Ax1.1, K: se l’oscilloscopio non scatta, può essere costretto a so. Potrebbe dare qualche idea della curva e aiutare a fissare il grilletto. L: Menù di scatenazione, apparirà alla pagina il lato destro del display, pulsante M: Auto, imposta tutti i parametri ai valori che l’oscilloscopio ritiene appropriati. A volte è una buona prima ipotesi, a volte completamente sbagliata. .. Appendice 2: Generatore di segnali Per questo esperimento, un segnale periodico potrebbe essere utile. Il generatore di segnali disponibile consente di forme d’onda ad un’ampia gamma di frequenze. Tuttavia, per l’esperimento un altro ambiente potrebbe essere più utile: Un segnale TTL, cioè una forma d’onda rettangolare con un bordo particolarmente nitido. Questo segnale è disponibile al Port TTL, vedere sottotitoli della figura Ax2.1. Assicurarsi che tutti i pulsanti siano premuti, in particolare DUTY (come impostato) per impostazione predefinita). Figura Ax2.1: Generatore di segnale di spiegazione: 1: Nodo per accenderlo e spegnerlo. 2: Imposta la gamma di frequenza. 3: Display della frequenza. 4: Nodo per impostare la frequenza grosso, 5: Nodo per regolare la frequenza. 6:
• TTL. Appendice 3: Il multimetro Per le misurazioni generali si può utilizzare un multimetro, cfr. figura Ax3.1. Alcuni punti generali: • Un cavo deve essere sempre presente nella presa COM. Questo è il punto zero (di solito il cavo nero). • L’input per la misurazione della tensione ha un’impedenza elevata, cioè Solo una piccola corrente scorre attraverso il
• Multimetro. • L’input per la misurazione della corrente ha una bassa impedenza, cioè una grande corrente può fluire attraverso il
• Multimetro. • In generale, quando si misurano correnti: la corrente scorre attraverso il multimetro, che ha un numero molto elevato di resistenza inferiore rispetto alla misurazione di una tensione. Ciò significa che le grandi correnti possono fluire e distruggere il multimetro (o la fonte di tensione)! Pertanto, il multimetro in questa configurazione non deve mai essere collegati in parallelo alla fonte di tensione, ma solo in serie con carico! Figura Ax3.1: Spiegazione delle diverse voci: 1: posizione spenta, 2: presa COM, 3: presa di tensione e resistenza (e altre quantità), 4: porta per piccole correnti, 5: presa per grandi correnti.6: misurazione di piccole tensioni (AC e DC, per cambiare uso 11), 7: tensioni di DC,8: tensioni di CA, 9: Misura di ohmi resistenza, 10: misurazioni di corrente (vari intervalli), 11: commutazione tra corrente continua e corrente alternata per piccole tensioni (6) o correnti (10). L’impostazione corrente è visualizzata sul display 12. 12: Display Soluzione Esperimenti: soluzioni Esperimento 3.1: Propagazione del segnale nei cavi coassiali Introduzione Questo esperimento indaga sulla propagazione delle onde nei cavi coassiali. Questi cavi sono costituiti da due linee, una uno interno che porta il segnale e uno cilindrico esterno circonda quello interno. Questa linea esterna è di solito collegato al suolo. La norma BNC (conformità di La Commissione ha adottato una decisione che prevede l’applicazione di un sistema di controllo dei cavi coassiali. Per consentire un circuito chiuso, i cavi hanno di solito almeno 2 linee in geometria fissa rispetto a
• Ci siamo. La geometria e i materiali coinvolti definiscono le proprietà di propagazione dei segnali nel
• Cable. Denote rispettivamente $L^{\prime }$ e $C^{\prime }$ l’inductanza e la capacitanza (cioè Induttività e capacità per lunghezza). Il rapporto tra l’ampiezza della corrente $I_0$ che scorre nelle linee e la tensione $V_0$ tra le linee sono indicate con l’impedenza caratteristica $Z_0$ (in limite di alta frequenza) come

$\frac{V_0}{I_0}=Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}$

e è una proprietà del cavo stesso. Se due cavi con impedenza diversa sono collegati tra loro (o se è collegato un resistore ohmico a L’onda può essere trasmessa completamente solo se l’impedenza dei due cavi è la

• Lo stesso. In caso contrario, si verifica un riflesso alla connessione tale che il rapporto tra corrente e tensione sia in I cavi sono dati dalle loro corrispondenti impedanze. Inoltre, la velocità $v_p$ con cui un’onda si propaga (velocità di fase) è data da

$v_p=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}$

e è indipendente dalla frequenza (dato il modello semplice che usiamo qui). In modo corrispondente, questa velocità coincide con la velocità di un segnale (velocità di gruppo). Per eseguire gli esperimenti, si dispone del seguente materiale: Materiale • Generatore di segnali, dettagli vedere appendice. Per questo esperimento, usi solo la connessione media, etichettato con TTL di uscita e non tirare fuori i pulsanti. Questo vi fornirà un rettangolo

• Un segnale che potrebbe essere utile. • Un osciloscopio, dettagli vedere l’appendice. Nota: ogni canale può essere utilizzato con un $50\Omega$ terminazione interna o ad alta impedanza ($1\text{M}\Omega$). Scegli attentamente quello che ti serve. • Un Multimetro, dettagli vedere l’appendice. • Cavi BNC di lunghezza 1m, 2m, 3m (2x). • Un cavo con le pinze alla fine. • 2 pezzi per collegare un cavo BNC ad un altro. • Un T-piece che può essere collegato all’oscilloscopio e due cavi possono essere collegati. • Un insieme di varie resistenze. Soluzione Compiti Parte A. Misurazione dell’impedenza Qui vogliamo stimare l’impedenza d’onda $Z_0$ nei nostri cavi BNC. i. Si può trovare una configurazione sperimentale per determinare l’impedenza $Z_0$

Topic: Oscillations & Waves, Circuits, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.35

1. $M_R>0$ (clockwise torque): Hence, $M_R<{\mu }_{2}Fr$. Hence, $F>Mg-{\mu }_{2}F⟹F>\frac{Mg}{1+{\mu }_2}=\frac{4}{5}Mg.$

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.51

1. $M_R>0$ (torque in senso orario): di conseguenza $M_R<{\mu }_{2}Fr$. Quindi, $F>Mg-{\mu }_{2}F⟹F>\frac{Mg}{1+{\mu }_2}=\frac{4}{5}Mg.$

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.51

2. $M_R<0$ (counter-clockwise torque): Hence, $-M_R<{\mu }_{2}Fr$. Hence, $F<G+{\mu }_{2}F⟹F<\frac{Mg}{1-{\mu }_2}=\frac{4}{3}Mg.$ For the smallest mass $m$, we have $F_s=\frac{4}{5}Mg$ and $mg<F_s$. Hence, by the hint, $\frac{4}{5}Mg\le mg{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\ge \frac{4}{5}M{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$ For the largest mass $m$, we have $F_s=\frac{4}{3}Mg$ and $mg>F_s$. Hence, by the hint, $\frac{4}{3}Mg\le mg{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\le \frac{4}{3}M{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$ A suitable sketch of the forces acting on the big ball. This point is also given, if the next point is achieved. 0.5 Correct expression for the torque equilibrium (2) of the big ball. 0.5 Correct condition on the torque for case 1 ($M_R<{\mu }_{2}Fr$). 0.25 Correct expression for the lower bound on $F_s$ in case 1. 0.5 Correct condition on the torque for case 2 ($-M_R<{\mu }_{2}Fr$). 0.25 Correct expression for the upper bound on $F_s$ in case 2. 0.5 Correct bound on $m$. 1.5 Give only 0.5 points if only one of the two bounds on $m$ is present. Do not deduct points if $<$ instead of $\le$ is used. SOLUTION Short question 4.3: Safety on the roof Bob the Builder has bought a new climbing harness for fall protection on the roof. It includes a rope that must be secured to the ridge of the roof with a bolt. However, before Bob entrusts his life to it, he wants to test the rope on the roof. To test his rope with length $l$, Bob takes a barrel with radius $R$, where $R\ll l$. The barrel has the same mass $m$ as Bob himself and is attached to the rope. He places the barrel at the top of the roof ridge so that the axis of rotation of the barrel is perpendicular to the fall line and lets it roll down (see sketch). If the rope breaks, it has failed the test and Bob has to buy a new rope. i. Assume that the rope has a spring constant $D$ and a length $l$ without load. Furthermore, assume that the length of the roof is $L$ with a slope $\alpha$. The barrel performs a pure rolling motion without slipping. Bob wants the rope to reach a maximum length $L$ when he rolls down from the ridge so that he does not fall off the roof. Specify the length of the rope $l$ without load as a function of the aforementioned variables so that it is extended to the maximum length $L$ in the test. Figure 1: Setup of Bob’s experiment. Barrel is at the top near the ridge (left). Barrel on its way down (right). Force acting on barrel before braking: $F_{\text{parallel}}=mg\sin \alpha$ 0.25 Force acting on barrel while braking: $F_{\text{tot}}=F_{\text{spring}}-F_{\text{parallel}}=Dx-mg\sin \alpha$ where $x=L-l$ 0.5 Expressing energies and using energy conservation: $E_{\text{before}}=E_{\text{while}}⟹mg\sin \alpha l=\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha x$ 0.5 Inserting $l=L-x$ one finds quadratic equation: $\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha L=0$ 0.25 Solution for $x$: $x=\pm \sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{D}L}$, where minus solution is unphysical. 0.25 Solution for $l$: $l=L-x=L\left(1-\sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{DL}}\right)$ 0.25 ii. The rope breaks at a force of $F$. Calculate the force exerted on the rope by the braking of the barrel and define a lower limit for $F$ depending on the variables mentioned above. 0.5 SOLUTION Spring force: $F_{\text{spring}}=Dx$ with $x$ from before. 0.25 Result (Points only if $>$!): $F>F_{\text{spring}}=\sqrt{2mg\sin \alpha DL}$ 0.25 iii. Since Bob is interested in the physics behind this experiment, he would like to calculate a few more things about it. Assume that the ratio of rotational energy to kinetic energy for a cylinder is 1 : 2. Specify the moment of inertia $J$ of the cylinder as a function of the aforementioned variables. 0.5 Using $\frac{E_{\text{rot}}}{E_{\text{kin}}}=\frac{1}{2}$ gives: $\frac{J{\omega }^2}{m{v}^2}=\frac{1}{2}⟹J=\frac{m{v}^2}{2{\omega }^2}$ 0.25 Noting $\omega =\frac{v}{R}$ and inserting $J=\frac{1}{2}m{R}^2$ 0.25 iv. Find the equilibrium position of the barrel as the distance to the ridge. 1 Force equilibrium: $F_g=F_{\text{spring}}⟹mg\sin \alpha =D{x}^{\prime }$ 0.5 Solving for $x^{\prime }$: $x^{\prime }=\frac{mg\sin \alpha }{D}$ 0.25 Result: $x=l+x^{\prime }=l+\frac{mg\sin \alpha }{D}$ 0.25 SOLUTION Short question 4.4: Melting Ice On a warm summer day, you place a block of ice with mass $m=100$ g at temperature $T_i=-10{}^{\circ }\text{C}$ outside. The temperature outside is $T_a=20{}^{\circ }\text{C}$. The specific heat capacity of ice is $c_i=2.05\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ and the specific heat capacity of water is $c_w=4.18\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. The latent heat for melting ice is given by $L=334\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}$. i. What is the entropy change of the universe, if we heat the ice block to $T_e=10{}^{\circ }\text{C}$? Assume the temperature of the surroundings to be constant. The entropy change of the universe is given by the sum of the entropy changes of the ice block and the surroundings. $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}.$ We divide our process into 3 steps.

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy, Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Hooke’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.52

2. $M_R<0$ (torno contro il senso orario): di conseguenza $-M_R<{\mu }_{2}Fr$. Quindi, $F<G+{\mu }_{2}F⟹F<\frac{Mg}{1-{\mu }_2}=\frac{4}{3}Mg.$ Per la massa più piccola $m$, abbiamo $F_s=\frac{4}{5}Mg$ e $mg<F_s$. Quindi, per suggerimento, $\frac{4}{5}Mg\le mg{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\ge \frac{4}{5}M{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$ Per la massa più grande $m$, abbiamo $F_s=\frac{4}{3}Mg$ e $mg>F_s$. Quindi, per suggerimento, $\frac{4}{3}Mg\le mg{e}^{-{\mu }_H\frac{\pi }{2}}⟹m\le \frac{4}{3}M{e}^{{\mu }_H\frac{\pi }{2}}.$ Un’idea appropriata delle forze che agiscono sulla palla. Questo punto viene dato anche se il punto successivo è raggiunto. 0.5 Espressione corretta per l’equilibrio della coppia (2) della grande palla. 0.5 Corretta condizione della coppia per il caso 1 ($M_R<{\mu }_{2}Fr$). 0.25 Espressione corretta per il limite inferiore su $F_s$ nel caso 1. 0.5 Corretta condizione della coppia per il caso 2 ($-M_R<{\mu }_{2}Fr$). 0.25 Espressione corretta per il limite superiore di $F_s$ nel caso 2. 0.5 Corretta con il limite di $m$. 1.5 Se è presente solo uno dei due limiti di $m$, deve essere indicato solo 0,5 punto. Non dedurre punti se $<$ invece di $\le$ è utilizzato. Soluzione Breve domanda 4.3: Sicurezza sul tetto Bob il costruttore ha comprato un nuovo arneso per la scalata per la protezione dal cadere sul tetto. It include una corda che deve essere fissata alla cresta del tetto con un bullone. Tuttavia, prima di Bob affida la sua vita a questo, vuole testare la corda sul tetto. Per testare la sua corda con lunghezza $l$, Bob prende un barile con raggio $R$, dove $R\ll l$. Il barile ha la stessa massa $m$ di Bob stesso e è attaccato alla corda. Si mette il barile a la parte superiore della cresta del tetto in modo che l’asse di rotazione del barile sia perpendicolare alla La linea di caduta e la lascia rotolare verso il basso (vedere schizzo). Se la corda si rompe, ha fallito il test e Bob

• Deve comprare una nuova corda. i. Supponiamo che la corda abbia una costante di molla $D$ e una lunghezza $l$ senza carico. Inoltre, presumere che la lunghezza del tetto sia $L$ con pendenza $\alpha$. Il barile si muove in un rollo puro movimento senza scivolare. Bob vuole che la corda raggiunga una lunghezza massima $L$ quando ruota
• E’ il mio amico. Indicare la lunghezza della corda $l$ senza carico come funzione delle variabili sopra menzionate in modo da estenderla al lunghezza massima $L$ nella prova. Figura 1: Impostazione dell’esperimento di Bob. Il barile è in cima vicino alla cresta (a sinistra). Baril in discesa
• Sì, certo. Forza che agisce sul barile prima di frenare: $F_{\text{parallel}}=mg\sin \alpha$ 0.25 Forza che agisce sul barile durante il frenaggio: $F_{\text{tot}}=F_{\text{spring}}-F_{\text{parallel}}=Dx-mg\sin \alpha$ in cui $x=L-l$ 0.5 Espressione delle energie e utilizzo della conservazione dell’energia: $E_{\text{before}}=E_{\text{while}}⟹mg\sin \alpha l=\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha x$ 0.5 Se si inserisce $l=L-x$ si trova l’equazione quadrata: $\frac{1}{2}D{x}^2-mg\sin \alpha L=0$ 0.25 Soluzione per $x$: $x=\pm \sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{D}L}$, dove la soluzione meno è non fisica. 0.25 Soluzione per $l$: $l=L-x=L\left(1-\sqrt{\frac{2mg\sin \alpha }{DL}}\right)$ 0.25 ii. La corda si rompe con una forza di $F$. Calcolare la forza esercitata sulla corda dal frenaggio di un barile e definire un limite inferiore per $F$ a seconda delle variabili sopra indicate. 0.5 Soluzione Forza di molla: $F_{\text{spring}}=Dx$ con $x$ da prima. 0.25 Risultato (Punti solo se $>$!): $F>F_{\text{spring}}=\sqrt{2mg\sin \alpha DL}$ 0.25 iii. Poiché Bob è interessato alla fisica che sta dietro questo esperimento, vorrebbe calcolare
• Un po’ di piu’ su di esso. Supponiamo che il rapporto tra energia di rotazione e energia cinetica per un cilindro è 1 : 2. Indicare il momento di inerzia $J$ del cilindro come funzione del le variabili di cui sopra. 0.5 L’uso di $\frac{E_{\text{rot}}}{E_{\text{kin}}}=\frac{1}{2}$ dà: $\frac{J{\omega }^2}{m{v}^2}=\frac{1}{2}⟹J=\frac{m{v}^2}{2{\omega }^2}$ 0.25 con la nota $\omega =\frac{v}{R}$ e l’inserimento $J=\frac{1}{2}m{R}^2$ 0.25 iv. Trova la posizione di equilibrio del barile come la distanza dalla cresta. 1 Equilibrio di forza: $F_g=F_{\text{spring}}⟹mg\sin \alpha =D{x}^{\prime }$ 0.5 Risoluzione per $x^{\prime }$: $x^{\prime }=\frac{mg\sin \alpha }{D}$ 0.25 Risultato: $x=l+x^{\prime }=l+\frac{mg\sin \alpha }{D}$ 0.25 Soluzione Breve domanda 4.4: Fusione del ghiaccio In una calda giornata estiva si colloca un blocco di ghiaccio di massa $m=100$ g a temperatura $T_i=-10{}^{\circ }\text{C}$ outside. La temperatura esterna è $T_a=20{}^{\circ }\text{C}$. La capacità termico specifica del ghiaccio è $c_i=2.05\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$ e la capacità termica specifica dell’acqua è $c_w=4.18\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Il il calore latente per la fusione del ghiaccio è dato da $L=334\text{J}\cdot {\text{g}}^{-1}$. i. Qual è la variazione di entropia dell’universo, se riscaldamo il blocco di ghiaccio a $T_e=10{}^{\circ }\text{C}$? Supponiamo la temperatura dell’ambiente circostante deve essere costante. Il cambiamento di entropia dell’universo è dato dalla somma dei cambiamenti di entropia del blocco di ghiaccio e del
• Il mondo circostante. $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}.$ Dividiamo il nostro processo in 3 fasi.

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy, Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Hooke’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Spring, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.52

1. Heating the ice from $-10{}^{\circ }\text{C}$ to $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.55

1. riscaldamento del ghiaccio da $-10{}^{\circ }\text{C}$ a $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.55

2. Melting the ice at $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.55

2. Fusione del ghiaccio a $0{}^{\circ }\text{C}$,

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.55

3. Heating the water from $0{}^{\circ }\text{C}$ to $10{}^{\circ }\text{C}$. If $T$ is constant during a process the entropy change is given by $\Delta S=\frac{Q}{T},$ where $\Delta Q=cm\Delta T$ for heating/cooling and $\Delta Q=Lm$ for phase changes. If $T$ is not constant during a process, we can divide the process into infinitesimal steps and integrate: $\Delta S=\int dS={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{dQ}{T}={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{cmdT}{T}=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right).$ So $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{univ},1}+\Delta S_{\text{univ},2}+\Delta S_{\text{univ},3}$ where 1, 2, 3 denote the three processes. Hence, we calculate: $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys},1}+\Delta S_{\text{surr},1}+\Delta S_{\text{sys},2}+\Delta S_{\text{surr},2}+\Delta S_{\text{sys},3}+\Delta S_{\text{surr},3}$ $=c_{i}m\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)+\frac{-c_{i}m(T_0-T_i)}{T_a}+\frac{Lm}{T_0}+\frac{-Lm}{T_a}+c_{w}m\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)+\frac{-c_{w}m(T_e-T_0)}{T_a}$ $=m\left[c_i\left(\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)-\frac{T_0-T_i}{T_a}\right)+L\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_a}\right)+c_w\left(\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)-\frac{T_e-T_0}{T_a}\right)\right].$ where $T_0$ is the melting temperature of ice in Kelvin. Numerically, we get $\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}.$ Noting that the total entropy change of the universe is the sum of the entropy changes of the system and the surroundings. 0.25 Explicitly stating the three steps of the process. 0.25 $\Delta S=\frac{Q}{T}$ 0.25 Finding $\Delta Q$ for heating/cooling and phase changes. 0.25 Correctly finding $\Delta S=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right)$. 1 Correctly calculating $\Delta S_{\text{univ}}$ as the sum of the entropy changes of the three steps. 1.5 Correct numerical value of $\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$. 0.5 SOLUTION Short question 4.5: Marmot whistles Amdo, the marmot, loves nothing more than whistling competitively with his friends. In doing so, he generates a sound wave with a frequency of 1000 Hz. The speed of sound in air is $c=330\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Part A. The Echo i. Amdo practises whistling diligently in the mountains. To determine his frequency, he runs straight towards a rock face that produces a perfect echo. This allows Amdo to hear his own whistling with an oscillating volume. Determine how fast Amdo must run towards the rock face if the volume is to be at its maximum 10 times per second. When walking towards the wall, Amdo perceives a frequency shift due to the Doppler effect. The frequency of the reflected wave can be calculated as $f^{\prime }=f\cdot \frac{c+v_s}{c-v_s}.$ What Amdo hears is the superposition of the original wave and the reflected wave. This is known as a beat frequency, which can be calculated as $f_{\text{beat}}=\frac{|f-f^{\prime }|}{2}=f\cdot \frac{v_s}{c-v_s}.$ Further notice, that since the amplitude of the volume is always positive, the beat frequency is doubled in perception. Thus, we have $f_{\text{beat}}=5\text{Hz}$, which leads to $v_s=\frac{f_{\text{beat}}\cdot c}{f+f_{\text{beat}}}\approx 1.6\text{m/s}.$ Notice that a doppler shift occurs when Amdo is moving towards the wall. 0.25 Computing the frequency of the reflected wave using the Doppler effect. 0.5 Mentioning that a beat frequency occurs due to the superposition of the original and reflected wave. 0.25 Formula for the beat frequency. 0.5 Final calculation of the speed $v_s$. 0.25 Correct numerical result. 0.25 Subtract 0.5 points in case student assumes that $f_{\text{beat}}=10\text{Hz}$ instead of $5\text{Hz}$, or does not notice that the frequency is doubled in perception. If both effects are considered the same result is obtained and thus full marks should be given. (Which method is chosen depends on how the beat frequency is defined.) Part B. Entering the forest i. Amdo walks along the forest where one of his friends is also whistling with 1000 Hz. His friend is standing still, but there are two trees between Amdo and his friend, with a diameter of $d=0.2$ m and a distance of $b=0.9$ m between them. Amdo now runs parallel to the trees along the path. As he does so, he hears a pulsating whistle. Determine how many places along the path Amdo cannot hear his friend whistling if the trees are $s\gg b$ away from the path. SOLUTION Road b s Amdo’s friend The wavelength $\lambda$ of the sound wave can be calculated using the wave equation: $\lambda =\frac{c}{f}.$ By Babinet’s principle, the setup is equivalent to having two slits of width $d$ and distance $b$ between them. The setup thus represents a classic double-slit interference experiment, where the condition for destructive interference is given by $b\sin (\theta )=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda n=0,1,2,\dots ,$ Where $\theta$ is the angle between the central axis and the direction to the point of destructive interference. To find the number of points along the path where Amdo hears no sound, we need to find the maximum value of $n$ such that $\sin (\theta )\le 1⟹\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda \le b.$ Solving for $n$, we get $n\le \frac{b}{\lambda }-\frac{1}{2}=\mathrm{2.2.}$ Thus, the possible values for $n$ are 0, 1, 2, leading to a total of 6 points along the path where Amdo hears no sound as each value of $n$ corresponds to two points (one on each side of the central axis). Calculating the wavelength of the sound wave. 0.25 Recognizing the setup as a double-slit interference problem using Babinet’s principle. 0.5 Writing down the condition for destructive interference. 0.5 Solving for the maximum value of $n$ that satisfies the destructive interference condition. 0.5 Correct final numerical result of 6 points. 0.25 SOLUTION Short question 4.6: Space-time Albert Einstein’s theory of special relativity is based on the fundamental postulate that nothing can travel faster than the speed of light. In this exercise, we want to demonstrate the invariance of the space-time interval using the speed of light. Part A. The definition First, let’s define the terms we will be using. i. The space-time interval plays a central role in special relativity. Write the equation for the space-time interval $(\Delta s{)}^2$ between two events $s$ and $s^{\prime }$. Note: The spacetime interval is the difference between the squares of the temporal and spatial distances between the two events. 0.5 The space-time-interval is given by: $(\Delta s{)}^2=(c\Delta t{)}^2-(\Delta x{)}^2-(\Delta y{)}^2-(\Delta z{)}^2$ Or $d{s}^2=cd{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$ (Both correct) 0.5 ii. Define the Lorentz transformation in all 4 space-time components for a boost with velocity $v$ in the y-direction. Note that a boost with velocity $\vec{v}$ is a change to a reference system moving at velocity $\vec{v}$ with respect to the current system. Note: Use the Lorentz factor $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, with $\beta =\frac{v}{c}$. For the time component we have: $t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}y\right)$ 0.5 For the space component in boost direction (y) we have: $y^{\prime }=\gamma (y-vt)$ 0.5 For the space component in other directions we have: $x^{\prime }=x$ and $z^{\prime }=z$ 0.25 Reduce 0.5 points if boost in wrong direction but definitions correct. Part B. Speed of light Now let’s use the definitions in the previous sub-task to perform calculations. Consider switching on a lamp at space-time point (0, 0, 0, 0). Since the light propagates in all direction with the speed of light it will form a sphere. In a reference frame where the lamp is moving with constant velocity, the emitted light also propagates in all directions with the speed of light (this is one of the postulates of special relativity). In the following subtasks we will demonstrate that a space-time interval is invariant under a Lorentz transformation. i. Consider the sphere of the light from the lamp spreading out in all spatial dimensions in a stationary system with respect to the lamp. Look at the two events at $s_1=(0,0,0,0)$ and $s_2=(t,x,y,z)$, when the light first reaches the point $(x,y,z)$, and calculate its space-time interval. Show that the space-time interval vanishes. 0.75 We say $\Delta t=t-t_0$ with $t_0=0$ hence $\Delta t=t$ and the same for x,y,z for simpler notation. For any point on the surface of the ball at time $t$ we can relate the velocity and distance as: $c\cdot t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 0.5 Inserting this into the definition of space-time-interval gives: $(\Delta s{)}^2=(\sqrt{x^2+y^2+z^2}{)}^2-x^2-y^2-z^2=x^2+y^2+z^2-x^2-y^2-z^2=0$ as desired. 0.25 ii. Consider the two events from B.i. in a moving reference frame moving with velocity $v$ in y-direction with respect to the original one. Use the Lorentz transformation obtained in part A ii. to transform the coordinates of these events to the moving reference frame. Show that their space-time interval vanishes also in the moving frame. 1.5 We again use $\Delta t^{\prime }=$

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Special Relativity Metodi: Superposition Principle, Wave Equation, Interference & Diffraction Analysis, Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit Fonte: Testo (PDF) — p.55

3. riscaldamento dell’acqua da $0{}^{\circ }\text{C}$ a $10{}^{\circ }\text{C}$. Se $T$ è costante durante un processo, la variazione di entropia è data da $\Delta S=\frac{Q}{T},$ dove $\Delta Q=cm\Delta T$ per il riscaldamento/ raffreddamento e $\Delta Q=Lm$ per i cambi di fase. Se $T$ non è costante durante un processo, possiamo dividere il processo in passi infinitesimali e integrare: $\Delta S=\int dS={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{dQ}{T}={\int }_{T_i}^{T_e}\frac{cmdT}{T}=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right).$ Quindi $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{univ},1}+\Delta S_{\text{univ},2}+\Delta S_{\text{univ},3}$ dove 1, 2, 3 denotano i tre processi. Quindi calcoliamo: $\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{sys},1}+\Delta S_{\text{surr},1}+\Delta S_{\text{sys},2}+\Delta S_{\text{surr},2}+\Delta S_{\text{sys},3}+\Delta S_{\text{surr},3}$ $=c_{i}m\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)+\frac{-c_{i}m(T_0-T_i)}{T_a}+\frac{Lm}{T_0}+\frac{-Lm}{T_a}+c_{w}m\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)+\frac{-c_{w}m(T_e-T_0)}{T_a}$ $=m\left[c_i\left(\ln \left(\frac{T_0}{T_i}\right)-\frac{T_0-T_i}{T_a}\right)+L\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_a}\right)+c_w\left(\ln \left(\frac{T_e}{T_0}\right)-\frac{T_e-T_0}{T_a}\right)\right].$ dove $T_0$ è la temperatura di fusione del ghiaccio in Kelvin. Numericamente, abbiamo $\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}.$ Ritenendo che il cambiamento totale di entropia dell’universo è la somma dei cambiamenti di entropia del sistema e

• l’ambiente circostante. 0.25 Esprita esplicitamente le tre fasi del processo. 0.25 $\Delta S=\frac{Q}{T}$ 0.25 Trovare $\Delta Q$ per il riscaldamento/ raffreddamento e i cambi di fase. 0.25 Ricerca corretta di $\Delta S=cm\ln \left(\frac{T_e}{T_i}\right)$. 1 Calcolare correttamente $\Delta S_{\text{univ}}$ come la somma delle variazioni di entropia dei tre passaggi. 1.5 Valore numerico corretto di $\Delta S_{\text{univ}}=9.78\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$. 0.5 Soluzione Breve domanda 4.5: fischi di marmota Amdo, il marmota, non ama niente di più che fischiare competitivo con i suoi amici. In in tal modo genera un’onda sonora con una frequenza di 1000 Hz. La velocità del suono nell’aria is $c=330\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Parte A. L’Eco i. Amdo pratica il fischietto diligentemente nelle montagne. Per determinare la sua frequenza, corre dritto verso una faccia rocciosa che produce un eco perfetto. Questo permette ad Amdo di sentire il suo fischietto con un volume oscillante. Determina la velocità verso cui deve correre Amdo la superficie della roccia se il volume deve essere massimo di 10 volte al secondo. Quando cammina verso il muro, Amdo percepe un cambiamento di frequenza dovuto all’effetto Doppler. La frequenza di onde riflesse può essere calcolato come $f^{\prime }=f\cdot \frac{c+v_s}{c-v_s}.$ Quello che Amdo sente è la sovrapposizione dell’onda originale e dell’onda riflessa. Questo è noto come un beat . frequenza, che può essere calcolata come $f_{\text{beat}}=\frac{|f-f^{\prime }|}{2}=f\cdot \frac{v_s}{c-v_s}.$ Inoltre, poiché l’ampiezza del volume è sempre positiva, la frequenza del battito è raddoppiata in
• La percezione. Quindi abbiamo $f_{\text{beat}}=5\text{Hz}$, che porta a $v_s=\frac{f_{\text{beat}}\cdot c}{f+f_{\text{beat}}}\approx 1.6\text{m/s}.$ Notate che si verifica un doppio spostamento quando Amdo si sta muovendo verso il muro. 0.25 Calcolo della frequenza dell’onda riflessa utilizzando l’effetto Doppler. 0.5 Menzionando che una frequenza di battito si verifica a causa della sovrapposizione dell’onda originale e riflessa. 0.25 Formula per la frequenza dei battiti. 0.5 Calcolo finale della velocità $v_s$. 0.25 Risultato numerico corretto. 0.25 Sottrazione di 0,5 punti nel caso in cui lo studente presumi che $f_{\text{beat}}=10\text{Hz}$ anziché $5\text{Hz}$, o non noti che il la frequenza è raddoppiata nella percezione. Se si considerano entrambi gli effetti si ottiene lo stesso risultato e pertanto si devono dare i punteggi completi. (che La scelta del metodo dipende da come la frequenza dei battiti è definita.) Parte B. Entrando nella foresta i. Amdo cammina lungo la foresta dove uno dei suoi amici sta anche fischiando con 1000 Hz. Il suo amico sta in piedi, ma ci sono due alberi tra Amdo e il suo amico, con un diametro di $d=0.2$ m e una distanza di $b=0.9$ m tra di loro. Amdo ora corre parallelo agli alberi lungo il sentiero. Mentre fa questo, sente un fischio pulsante. Determina quante località Lungo il sentiero Amdo non può sentire il suo amico fischiare se gli alberi sono $s\gg b$ lontano dal
• Il sentiero. Soluzione Strada b s Amdo’s amico La lunghezza d’onda $\lambda$ dell’onda sonora può essere calcolata utilizzando l’equazione d’onda: $\lambda =\frac{c}{f}.$ Secondo il principio di Babinet, la configurazione è equivalente ad avere due fessure di larghezza $d$ e distanza $b$ tra di loro. L’impostazione rappresenta quindi un classico esperimento di interferenza a doppia fessura, in cui la condizione per la l’interferenza è data da $b\sin (\theta )=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda n=0,1,2,\dots ,$ L’angolo di riferimento è il $\theta$, che indica l’angolo tra l’asse centrale e la direzione fino al punto di interferenza distruttiva. To Trovare il numero di punti lungo il percorso dove Amdo non sente alcun suono, dobbiamo trovare il valore massimo di $n$ in modo tale che $\sin (\theta )\le 1⟹\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda \le b.$ Risolvendo per $n$, otteniamo $n\le \frac{b}{\lambda }-\frac{1}{2}=\mathrm{2.2.}$ Quindi, i valori possibili per $n$ sono 0, 1, 2, portando a un totale di 6 punti lungo il percorso in cui Amdo sente nessun suono, poiché ogni valore di $n$ corrisponde a due punti (uno su ciascun lato dell’asse centrale). Calcolare la lunghezza d’onda dell’onda sonora. 0.25 Riconoscere l’impostazione come un problema di interferenza a doppia fessura utilizzando il principio di Babinet. 0.5 Scrivere le condizioni per l’interferenza distruttiva. 0.5 Risoluzione per il valore massimo di $n$ che soddisfa la condizione di interferenza distruttiva. 0.5 Correggere il risultato numerico finale di 6 punti. 0.25 Soluzione Breve domanda 4.6: Spazio-tempo La teoria della relatività speciale di Albert Einstein si basa sul postulato fondamentale che Niente può viaggiare più velocemente della luce. In questo esercizio, vogliamo dimostrare l’invariabilità dell’intervallo spazio-tempo utilizzando la velocità della luce. Parte A. La definizione Innanzitutto, definiamo i termini che useremo. i. L’intervallo spazio-tempo svolge un ruolo centrale nella relatività speciale. Scrivi l’equazione per l’intervallo spazio-tempo $(\Delta s{)}^2$ tra due eventi $s$ e $s^{\prime }$. Nota: l’intervallo spaziotempo è la differenza tra i quadrati del tempo e del tempo distanze spaziali tra i due eventi. 0.5 L’intervallo spazio-tempo è dato da: $(\Delta s{)}^2=(c\Delta t{)}^2-(\Delta x{)}^2-(\Delta y{)}^2-(\Delta z{)}^2$ O $d{s}^2=cd{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$ (entrambi corretti) 0.5 ii. Definire la trasformazione di Lorentz in tutti e 4 i componenti spazio-tempo per un aumento con velocità $v$ nella direzione y. Si noti che un impulso con velocità $\vec{v}$ è un cambiamento di riferimento sistema in movimento a velocità $\vec{v}$ rispetto al sistema corrente. Nota: utilizzare il fattore Lorentz $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, con $\beta =\frac{v}{c}$. Per la componente temporale abbiamo: $t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}y\right)$ 0.5 Per la componente spaziale nella direzione di impulso (y) abbiamo: $y^{\prime }=\gamma (y-vt)$ 0.5 Per la componente spaziale in altre direzioni abbiamo: $x^{\prime }=x$ e $z^{\prime }=z$ 0.25 Riduci 0,5 punti se si spinge nella direzione sbagliata ma le definizioni corrette. Parte B. Velocità della luce Ora usiamo le definizioni del sottotrasporto precedente per eseguire i calcoli. Considerate accendere una lampada al punto spazio-tempo (0, 0, 0, 0). Poiché la luce si propaga in tutte le direzioni con la velocità della luce, formera’ una sfera. In un quadro di riferimento in cui la lampada si muove Con una velocità costante, la luce emessa si propaga anche in tutte le direzioni con la velocità di la luce (questo è uno dei postulati della relatività speciale). In questi sotto compiti dimostrare che un intervallo spazio-tempo è invariante sotto una trasformazione di Lorentz. i. Considera la sfera della luce della lampada che si estende in tutte le dimensioni spaziali in un sistema fisso rispetto alla lampada. Guarda i due eventi a $s_1=(0,0,0,0)$ e $s_2=(t,x,y,z)$, quando la luce raggiunge per la prima volta il punto $(x,y,z)$, e calcola il suo spazio-tempo Intervallo. Mostrare che l’intervallo spazio-tempo scompare. 0.75 Diciamo $\Delta t=t-t_0$ con $t_0=0$ quindi $\Delta t=t$ e lo stesso per x,y,z per notazione più semplice. Per qualsiasi punto sulla superficie della palla al tempo $t$ possiamo correlare la velocità e la distanza come: $c\cdot t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 0.5 L’inserimento di questo nella definizione di intervallo spazio-tempo dà: $(\Delta s{)}^2=(\sqrt{x^2+y^2+z^2}{)}^2-x^2-y^2-z^2=x^2+y^2+z^2-x^2-y^2-z^2=0$ come desiderato. 0.25 ii. Considerate i due eventi di B.i. in un quadro di riferimento in movimento in movimento a velocità $v$ in direzione y rispetto all’originale. Utilizzare la trasformazione di Lorentz ottenuta in Parte A II. per trasformare le coordinate di questi eventi nel quadro di riferimento in movimento. - Spettacolo che il loro intervallo spazio-tempo scompare anche nel quadro in movimento. 1.5 Usare di nuovo $\Delta t^{\prime }=$

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics, Special Relativity Metodi: Superposition Principle, Wave Equation, Interference & Diffraction Analysis, Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit Fonte: Testo (PDF) — p.55