Svizzera 2017

Esercizio 1: Determinazione delle forze e del coefficiente d’attrito con massimo attrito statico (9 punti totali)

Legge di Eulero-Eytelwein

Una corda $S$ scorre su una sbarra $S_t$ con angolo di scorrimento $\phi$. Per mantenere la massa di carico $M$ in equilibrio, è necessaria una forza $F$ applicata all’altra estremità della corda. A causa della forza d’attrito tra la corda $S$ e la sbarra $S_t$, la forza $F$ necessaria è inferiore alla forza peso della massa $M$, ed è data dalla seguente relazione:

$F=F_M\cdot e^{-\mu \phi }$

dove:

• $F_M$: forza peso del carico
• $F$: forza di traino applicata
• $\phi$: angolo d’avvolgimento (in radianti)
• $\mu$: coefficiente d’attrito
• $e$: numero di Eulero

Descrizione

Bisogna determinare le forze tra la corda e la sbarra con massimo attrito statico per diverse masse di carico. L’angolo di avvolgimento deve rimanere costante $\phi =\pi$. A questo scopo si aumenta la forza applicata $F$ fino a quando la corda comincia a scorrere sulla sbarra. La massa di carico è fissata a un’estremità della corda. La forza applicata viene generata come segue: un recipiente d’acqua viene fissato all’altra estremità. Nel recipiente viene versata lentamente dell’acqua fino a quando la corda non comincia a muoversi, e la massa di carico comincia a muoversi verso l’alto. La massa del recipiente con l’acqua determina la forza di traino applicata con attrito statico. Attenzione: per evitare che il recipiente tocchi la massa di carico, il recipiente deve essere più in basso della massa all’inizio della misurazione. La corda deve sempre rimanere asciutta!

(a) Esegui la misurazione con un angolo di avvolgimento $\phi =\pi$ con 8 diverse masse di carico tra $0\text{g}$ e $160\text{g}$. Per ogni massa di carico la misurazione va ripetuta almeno tre volte per poter calcolare il valore medio. (5 punti)

(b) Per ognuna delle 8 masse di carico usa i valori calcolati in (a) per determinare il coefficiente di attrito statico ${\mu }_{\text{statico}}$ tra la corda e la sbarra. Calcola poi il valore medio per ${\mu }_{\text{statico}}$. (4 punti)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis, Statistical Averaging Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Mathematical Modeling Objects: String, Rod, Container Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problem 1: Determination of Forces and the Coefficient of Friction with Maximum Static Friction (9 points total)

Euler-Eytelwein Law

A rope $S$ slides over a rod $S_t$ with an angle of wrap $\phi$. To maintain the load mass $M$ in equilibrium, a force $F$ must be applied at the other end of the rope. Due to the frictional force between the rope $S$ and the rod $S_t$, the required force $F$ is less than the weight of the mass $M$, and it is given by the following relation:

$F=F_M\cdot e^{-\mu \phi }$

where:

• $F_M$: weight of the load
• $F$: pulling force applied
• $\phi$: angle of wrap (in radians)
• $\mu$: coefficient of friction
• $e$: Euler’s number

Description

It is necessary to determine the forces between the rope and the rod under maximum static friction for different load masses. The wrapping angle must remain constant $\phi =\pi$. To this end, the applied force $F$ is gradually increased until the rope begins to slip on the rod. The load mass is attached at one end of the rope. The applied force is generated as follows: a water container is fixed to the other end of the rope. Water is slowly poured into the container until the rope begins to move, and the load mass starts moving upward. The total mass of the container with water determines the applied pulling force under static friction. Caution: to prevent the container from touching the load mass, the container must initially be positioned lower than the load mass. The rope must always remain dry!

(a) Perform the measurement with a wrapping angle $\phi =\pi$ using 8 different load masses between $0\text{g}$ and $160\text{g}$. For each load mass, the measurement must be repeated at least three times in order to compute the average value. (5 points)

(b) For each of the 8 load masses, use the values obtained in (a) to determine the coefficient of static friction ${\mu }_{\text{statico}}$ between the rope and the rod. Then compute the average value for ${\mu }_{\text{statico}}$. (4 points)

Esercizio 2: Determinazione delle forze e del coefficiente d’attrito con attrito dinamico (17 punti totali)

Utilizza adesso una nuova corda. Useremo ancora un angolo di avvolgimento costante $\phi =\pi$. Per determinare le forze di attrito dinamiche useremo due metodi diversi avvalendoci di dinamometri. Nel primo metodo la massa di carico viene tirata verso l’alto, mentre nel secondo metodo la massa viene calata verso il basso. Per il primo metodo — vedi (a) — si aumenta la forza applicata tirando lentamente il dinamometro fino a quando la corda comincia a muoversi a contatto con la sbarra. Bisogna quindi continuare a tirare con velocità costante e leggere il valore sul dinamometro. Nel secondo metodo — vedi (b) — si usa il dinamometro per diminuire la forza applicata fino a quando la corda comincia a muoversi rispetto alla sbarra. Bisogna quindi continuare il movimento con velocità costante per leggere il valore dal dinamometro.

(a) Esegui la misurazione della forza di traino applicata per alzare la massa di carico per 8 diverse masse tra $0$ e $160\text{g}$ tenendo costante l’angolo di avvolgimento $\phi =\pi$. Per ogni massa di carico misura almeno tre valori e calcola il valore medio. (4 punti)

(b) Esegui la misurazione della forza di traino applicata facendo abbassare la massa di carico per 8 diversi valori tra $0$ e $160\text{g}$ tenendo costante l’angolo di avvolgimento $\phi =\pi$ (usa le stesse masse del punto (a)). Per ogni massa di carico misura almeno tre valori e calcola il valore medio. (4 punti)

(c) Rappresenta graficamente tutti i valori (medi) ottenuti in (a) e (b) in funzione della forza di carico. I valori sono da disegnare nello stesso grafico come due serie di dati. (3 punti)

(d) Prepara una tabella in cui per ogni forza di carico venga mostrato il rapporto tra la forza di traino applicata e la forza di carico, sia per il punto (a) che (b). Che relazione c’è tra questi due rapporti? Per ogni forza di carico calcola il coefficiente di attrito dinamico ${\mu }_{\text{dinamico}}$ tra corda e sbarra utilizzando tutti e due i valori misurati nei punti (a) e (b). Determina il valore medio dei singoli coefficienti ${\mu }_{\text{dinamico}}$. (6 punti)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: String, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem 2: Determination of forces and the coefficient of dynamic friction (17 points total)

Now use a new rope. We will again employ a constant winding angle $\phi =\pi$. To determine the dynamic friction forces, we will use two different methods based on spring scales (dynamometers). In the first method, the load mass is pulled upward; in the second method, the mass is lowered downward. For the first method — see (a) — gradually increase the applied force by slowly pulling the dynamometer until the rope begins to move relative to the rod. Then continue pulling with constant velocity and read the value on the dynamometer. For the second method — see (b) — use the dynamometer to reduce the applied force until the rope begins to move relative to the rod. Then continue moving with constant velocity and read the value on the dynamometer.

(a) Perform measurements of the pulling force required to lift the load mass for 8 different masses between $0$ and $160\text{g}$, keeping the winding angle $\phi =\pi$ constant. For each load mass, measure at least three values and compute the average value. (4 points)

(b) Perform the measurement of the applied pulling force by lowering the load mass for 8 different values between $0$ and $160\text{g}$, keeping the winding angle $\phi =\pi$ constant (use the same masses as in point (a)). For each load mass, measure at least three values and compute the average value. (4 points)

(c) Graphically represent all (average) values obtained in (a) and (b) as a function of the load force. Plot both data series on the same graph. (3 points)

(d) Prepare a table in which, for each load force, the ratio between the applied pulling force and the load force is shown, separately for point (a) and point (b). What relationship exists between these two ratios? For each load force, calculate the dynamic friction coefficient ${\mu }_{\text{dinamico}}$ between rope and rod using both values measured in points (a) and (b). Determine the average value of the individual coefficients ${\mu }_{\text{dinamico}}$. (6 points)

Esercizio 3: Determinazione delle forze con attrito dinamico in funzione dell’angolo di avvolgimento e del coefficiente di attrito dinamico (22 punti totali)

In questa parte studiamo la dipendenza delle forze dall’angolo di avvolgimento (solo quando la massa viene sollevata). Le forze vengono misurate con il dinamometro. In questo esercizio usa sempre soltanto la massa di $55\text{g}$.

(a) Determina la forza di traino applicata per almeno 6 angoli di avvolgimento tra $\phi =0$ e $\phi =8\pi$. Per ogni angolo misura la forza almeno cinque volte. (4 punti)

(b) Per ogni angolo di avvolgimento determina il valore medio così come la deviazione standard (scarto quadratico medio) per le forze di traino misurate. (3 punti)

(c) Controlla la validità della legge di Eulero-Eytelwein con un grafico appropriato. Spiega il metodo che hai scelto! (4 punti)

(d) Riporta le barre di errore per tutte le quantità rilevanti nel tuo diagramma. (4 punti)

(e) Determina il coefficiente di attrito dinamico tra corda e sbarra ${\mu }_{\text{dinamico}}$ dal grafico in (c). Stima l’errore del coefficiente di attrito dinamico nella maniera appropriata. Documenta l’analisi. (5 punti)

(f) Compara ${\mu }_{\text{dinamico}}$ ottenuto nel punto 3(e) con quello dell’esercizio 2(d) e calcola l’errore relativo del valore dall’esercizio 2(d) con quello da 3(e). (2 punti)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Error Propagation, Experimental Data Analysis Objects: String, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem 3: Determination of forces with dynamic friction as a function of winding angle and coefficient of dynamic friction (22 points total)

In this part, we study the dependence of forces on the winding angle (only when the mass is being lifted). The forces are measured using the dynamometer. In this exercise, always use only the mass $55\text{g}$.

(a) Determine the pulling force applied for at least 6 winding angles between $\phi =0$ and $\phi =8\pi$. For each angle, measure the force at least five times. (4 points)

(b) For each winding angle, determine the mean value as well as the standard deviation (root mean square deviation) for the measured pulling forces. (3 points)

(c) Check the validity of Euler-Eytelwein’s law using an appropriate graph. Explain the method you chose! (4 points)

(d) Include error bars for all relevant quantities in your graph. (4 points)

(e) Determine the coefficient of dynamic friction between rope and rod ${\mu }_{\text{dinamico}}$ from the graph in (c). Estimate the error of the coefficient of dynamic friction appropriately. Document your analysis. (5 points)

(f) Compare ${\mu }_{\text{dinamico}}$ obtained in point 3(e) with that from exercise 2(d), and calculate the relative error of the value from exercise 2(d) with respect to that from 3(e). (2 points)