IPhO 2015 — Sperimentale — E2

Parte C – Misura dell’angolo $\alpha$ tra il raggio del laser e la superficie dell’acqua

Compito C1

Muovi il sensore di luce lungo il binario scegliendo degli opportuni intervalli. Prendi nota dello spostamento lungo $X$ del sensore di luce e il corrispondente spostamento $Y$ della macchia del laser. Riporta questi dati nella Tabella C1. (Scegli il range appropriato nel misuratore di intensità luminosa.)

(1.0 punti)

Schema misura angolo laser superficie

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section C – Measurement of the angle $\alpha$ between the laser beam and the water surface

Task C1

Move the light sensor along the rail, selecting appropriate intervals. Record the displacement along $X$ of the light sensor and the corresponding displacement $Y$ of the laser spot. Enter these data into Table C1. (Choose the appropriate range on the light intensity meter.)

(1.0 points)

Diagram of laser angle measurement

Solution: Soluzioni (PDF)

Parte C – Misura dell’angolo $\alpha$ tra il raggio del laser e la superficie dell’acqua

Compito C2

Traccia un opportuno grafico (nominalo Grafico C1) e dalla sua pendenza ricava l’angolo $\alpha$ in gradi.

(0.6 punti)

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section C – Measurement of the angle $\alpha$ between the laser beam and the water surface

Task C2

Draw a suitable graph (label it Graph C1) and determine the angle $\alpha$ in degrees from its slope.

(0.6 points)

Solution: Soluzioni (PDF)

Parte D – Determinazione della tensione superficiale $\sigma$ del campione di acqua fornito

Dalla teoria della diffrazione si può ricavare l’espressione

$\sin \theta =\frac{{\lambda }_L}{{\lambda }_w}=\frac{{\lambda }_L}{2\pi }k(1)$

dove $k=2\pi /{\lambda }_w$ è il numero d’onda delle onde di tensione superficiale, ${\lambda }_w$ e ${\lambda }_L$ sono rispettivamente le lunghezze d’onda delle onde di tensione superficiale e del laser. L’angolo $\theta$ è la distanza angolare tra il massimo centrale e il massimo del prim’ordine.

La frequenza di vibrazione $f$ delle onde è legata al numero d’onda $k$ dall’espressione

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

dove $\sigma$ è la tensione superficiale, $\rho$ è la densità dell’acqua e $q$ è un numero intero.

Compito D1

Misura la lunghezza $l_1$ tra l’apertura del sensore di luce e il bordo esterno della vaschetta contenente acqua. Osserverai un segmento dove il laser colpisce la superficie dell’acqua. Il centro di questo segmento è il punto di incidenza del laser. Misura $l_2$, la distanza di questo punto dal bordo. Ricava $L$ e riportalo sul tuo foglio risposte.

(0.3 punti)

Schema apparato diffrazione onde superficiali

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Experimental Data Analysis, Interference & Diffraction Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section D – Determination of the surface tension $\sigma$ of the provided water sample

From diffraction theory, the following expression can be derived:

$\sin \theta =\frac{{\lambda }_L}{{\lambda }_w}=\frac{{\lambda }_L}{2\pi }k(1)$

where $k=2\pi /{\lambda }_w$ is the wavenumber of surface waves, and ${\lambda }_w$ and ${\lambda }_L$ are respectively the wavelengths of the surface waves and of the laser. The angle $\theta$ is the angular distance between the central maximum and the first-order maximum.

The vibration frequency $f$ of the waves is related to the wavenumber $k$ by the expression:

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

where $\sigma$ is the surface tension, $\rho$ is the density of water, and $q$ is an integer.

Task D1

Measure the length $l_1$ between the light sensor aperture and the outer edge of the water container. You will observe a segment where the laser strikes the water surface. The center of this segment is the point of incidence of the laser. Measure $l_2$, the distance from this point to the edge. Derive $L$ and record it on your answer sheet.

(0.3 points)

Diagram of the surface wave diffraction apparatus

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Parte D – Determinazione della tensione superficiale $\sigma$ del campione di acqua fornito

Compito D2

Misura la distanza tra il massimo del second’ordine posto sopra e quello posto sotto il massimo centrale. Da questa calcola $x_1$. Riporta i tuoi dati nella Tabella D1. Ripeti il procedimento aumentando la frequenza scegliendo appropriati intervalli.

Le equazioni di riferimento sono:

$\sin \theta =\frac{{\lambda }_L}{{\lambda }_w}=\frac{{\lambda }_L}{2\pi }k(1)$

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

(2.8 punti)

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section D – Determination of the surface tension $\sigma$ of the provided water sample

Task D2

Measure the distance between the maximum of the second-order fringe located above and that located below the central maximum. From this, calculate $x_1$. Record your data in Table D1. Repeat the procedure by increasing the frequency, choosing appropriate intervals.

The reference equations are:

$\sin \theta =\frac{{\lambda }_L}{{\lambda }_w}=\frac{{\lambda }_L}{2\pi }k(1)$

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

(2.8 points)

Solution: Soluzioni (PDF)

Parte D – Determinazione della tensione superficiale $\sigma$ del campione di acqua fornito

Compito D3

Individua appropriate variabili per costruire un idoneo grafico la cui pendenza fornisca il valore di $q$. Riporta i valori di queste variabili nella Tabella D2. Traccia il grafico per trovare $q$ (contrassegnalo Grafico D1). Scrivi l’equazione (2) usando un appropriato valore intero per $q$.

Equazione di riferimento:

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

(0.9 punti)

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section D – Determination of the surface tension $\sigma$ of the provided water sample

Task D3

Identify appropriate variables to construct a suitable graph whose slope provides the value of $q$. Record the values of these variables in Table D2. Plot the graph to determine $q$ (label it Graph D1). Write equation (2) using an appropriate integer value for $q$.

Reference equation:

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

(0.9 points)

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Parte D – Determinazione della tensione superficiale $\sigma$ del campione di acqua fornito

Compito D4

Considerando l’equazione (2), individua variabili appropriate per costruire un idoneo grafico la cui pendenza fornisca il valore di $\sigma$. Riporta i valori delle variabili nella Tabella D3. Traccia il grafico per trovare $\sigma$ (contrassegnalo Grafico D2). ($\rho =1000\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$).

Equazione di riferimento:

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

(1.2 punti)

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section D – Determination of the surface tension $\sigma$ of the provided water sample

Task D4

Considering equation (2), identify suitable variables to construct an appropriate graph whose slope provides the value of $\sigma$. Record the values of the variables in Table D3. Plot the graph to determine $\sigma$ (label it Graph D2). ($\rho =1000\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$)

Reference equation:

$f=q\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}\frac{k^{3/2}}{2\pi }(2)$

(1.2 points)

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Parte E – Determinazione della costante di attenuazione $\beta$ e della viscosità $\eta$ del liquido

Le onde di tensione superficiale sono smorzate a causa della viscosità dell’acqua. L’ampiezza dell’onda, $h$, decresce esponenzialmente con l’aumentare della distanza, $s$, misurata a partire dal vibratore:

$h=h_0{e}^{-\beta s}(3)$

dove $h_0$ è l’ampiezza dell’onda nella posizione del vibratore e $\beta$ è la costante di attenuazione.

Sperimentalmente, l’ampiezza $h$ è legata alla tensione elettrica $V_{\mathrm{rms}}$ applicata al vibratore dall’espressione:

$h\propto \sin (V_{\mathrm{rms}})(4)$

La costante di attenuazione è legata alla viscosità del liquido dall’espressione:

$\beta =\sqrt{\frac{2\eta k^2}{\rho \omega }}(5)$

dove $\eta$ è la viscosità del liquido.

Compito E1

Riporta nella Tabella E1 i dati registrati in ogni intervallo (posizione del vibratore e corrispondente valore di $V_{\mathrm{rms}}$ per mantenere costante la lettura del misuratore di intensità luminosa).

(1.9 punti)

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section E – Determination of the attenuation constant $\beta$ and the viscosity $\eta$ of the liquid

Surface tension waves are damped due to the viscosity of water. The wave amplitude, $h$, decreases exponentially with increasing distance, $s$, measured from the vibrator:

$h=h_0{e}^{-\beta s}(3)$

where $h_0$ is the wave amplitude at the position of the vibrator and $\beta$ is the attenuation constant.

Experimentally, the amplitude $h$ is related to the electric voltage $V_{\mathrm{rms}}$ applied to the vibrator by the expression:

$h\propto \sin (V_{\mathrm{rms}})(4)$

The attenuation constant is related to the viscosity of the liquid by the expression:

$\beta =\sqrt{\frac{2\eta k^2}{\rho \omega }}(5)$

where $\eta$ is the viscosity of the liquid.

Task E1

Record in Table E1 the data collected at each interval (position of the vibrator and corresponding value of $V_{\mathrm{rms}}$ to keep the luminous intensity meter reading constant).

(1.9 points)

Solution: Soluzioni (PDF)

Parte E – Determinazione della costante di attenuazione $\beta$ e della viscosità $\eta$ del liquido

Compito E2

Traccia un grafico idoneo (contrassegnalo Grafico E1) e dalla sua pendenza determina la costante di attenuazione $\beta$.

Equazione di riferimento:

$h=h_0{e}^{-\beta s}(3)$

(1.0 punti)

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section E – Determination of the damping constant $\beta$ and viscosity $\eta$ of the liquid

Task E2

Draw a suitable graph (label it Graph E1) and determine the damping constant $\beta$ from its slope.

Reference equation:

$h=h_0{e}^{-\beta s}(3)$

(1.0 point)

Solution: Soluzioni (PDF)

Parte E – Determinazione della costante di attenuazione $\beta$ e della viscosità $\eta$ del liquido

Compito E3

Calcola la viscosità $\eta$ del campione d’acqua fornito.

Equazione di riferimento:

$\beta =\sqrt{\frac{2\eta k^2}{\rho \omega }}(5)$

(0.3 punti)

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Section E – Determination of the attenuation constant $\beta$ and viscosity $\eta$ of the liquid

Task E3

Calculate the viscosity $\eta$ of the provided water sample.

Reference equation:

$\beta =\sqrt{\frac{2\eta k^2}{\rho \omega }}(5)$

(0.3 points)

Solution: Soluzioni (PDF)