Svizzera 2010

Buona fortuna!

SwissPhO 2010 Swiss Physics Olympiad Selezione nazionale Aarau, 27/28 marzo 2010 Parte teorica 6 Problemini Durata: 60 minuti Valutazione: 6 x 4 punti = 24 punti Nome $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Punti $\dots \dots$.. Materiale autorizzato: Calcolatrice tascabile senza raccolta di dati. Materiale per scrivere e disegnare Buona fortuna!

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 2 di 15 $1^{\circ }$ Problemino Meccanica Ombrello Durante uno scroscio di pioggia, le gocce d’acqua cadono dal cielo con una velocità costante $v_p$. Un viandante ha all’altezza $h$ un ombrello di raggio $R$. Egli si muove in direzione $x$ con una velocità $v_x$. A quale distanza $D$, davanti a sé dovrà tenere l’ombrello affinché non si bagni? a) Nel caso di assenza di vento cioè la pioggia cade verticalmente con una velocità $v_p=-3.0\text{m/s}$, inoltre $v_x=-1.0\text{m/s}$ $h=2.2\text{m}$ $R=70\text{cm}$. [2.5P] b) C’è un vento addizionale con velocità $v_v=0.50\text{m/s}$ in direzione $x$ [1.5P]

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 3 di 15 $2^{\circ }$ Problemino Gravitazione Piccolo principe Il piccolo principe di Saint Exupéry abita su un pianeta di raggio $R$ e massa $M$. Quanta energia dovrà fornire ad una cassa di pecore di massa $m$ inizialmente a riposo sulla superficie del suo pianeta alfine di: a) raggiungere una distanza $r$ dal centro del suo pianeta? (con $r>R$) [1.5P] b) metterla in orbita circolare ad una distanza $r$ dal centro del suo pianeta? [1.5P] c) impedirle di ricadere di nuovo sul pianeta?(energia di fuga) [1P]

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 4 di 15 $3^{\circ }$ Problemino Idrostatica Una bilancia a due bracci è mantenuta in equilibrio da una parte, da una sfera di piombo e dall’altra da una d’oro. I due bracci hanno la stessa lunghezza. a) Si immergono le due sfere in due recipienti pieni d’acqua, da che parte si inclinerà la bilancia? Giustificate la risposta [2.5P] b) Quale densità dovrebbe avere il liquido contenuto nel recipiente, verso il quale si inclina la bilancia, per mantenerla in equilibrio? [1.5P] Indicazione: le densità dell’oro e del piombo valgono reciprocamente ${\rho }_{Au}=19.3{\text{t/m}}^3$ e ${\rho }_{Pb}=13.4{\text{t/m}}^3$.

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 5 di 15 $4^{\circ }$ Problemino Termodinamica Bottiglietta PET Un escursionista chiude la sua bottiglia vuota di PET da 1.5 litri alla temperatura di $20{}^{\circ }\text{C}$ e alla pressione di 1015 mbar. Successivamente sale su una montagna dove apre la bottiglia dopo che la temperatura del contenuto è scesa alla temperatura esterna di $-10{}^{\circ }\text{C}$. La pressione esterna sulla montagna vale 960 mbar. a) Quando apre la bottiglia l’aria esce o entra? Giustifica la risposta. [2P] b) Quanto vale il volume dell’aria che esce o entra? [2P]

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 6 di 15 $5^{\circ }$ Problemino Magnetismo Sonda ad effetto Hall Si disponga di un’elettrocalamita che produca un campo magnetico $H$ variabile e di una sonda ad effetto Hall. a) Si spieghi l’effetto Hall a traverso uno schema e si trovi la relazione che da l’intensità del campo misurato $B$ in funzione della corrente che passa attraverso la sonda e la tensione che vi è indotta. Si suppongano conosciute le dimensioni della sonda che ha forma di parallelepipedo. [2.5P] b) Vi si dà un campione d’un materiale magnetico di cui vi si chiede di determinare la magnetizzazione residua. Si proponga un metodo per ottenere ciò. [1.5P]

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 7 di 15 $6^{\circ }$ Problemino Elettrodinamica Elettrone in un campo elettrico Un elettrone è posto tra due piastre distanti 20 cm e tra le quali c’è una differenza di potenziale di 100V. a) Fare uno schizzo con rappresentato il senso del campo elettrico $E$ e la posizione dell’elettrone [1P] b) Calcolare il campo elettrico [1P] c) Calcolare la lunghezza d’onda emessa dall’elettrone dopo aver passato tutto il potenziale [2P] Si suppone che la velocità non sia relativistica. $h=6.6262\cdot 10^{-34}\text{Js}$ $m_e=9.109\cdot 10^{-31}\text{kg}$

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 8 di 15 SwissPhO 2010 Swiss Physics Olympiad Selezione nazionale Aarau, 27/28 aprile 2010 Parte teorica 3 Problemi (3 a scelta) Nome $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Punti $\dots \dots$.. Durata: 150 minuti Valutazione: 3 x 16 punti = 48 punti Materiale autorizzato: Calcolatrice tascabile senza raccolta di dati. Materiale per scrivere e disegnare Buona fortuna!

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 9 di 15 $1^{\circ }$ Problema Meccanica Effetto Doppler Le prime tre domande servono a derivare la formula per la variazione della frequenza udita quando la sorgente sonora è in movimento (a), quando il ricevitore è in movimento (b) e quando entrambi sono in movimento(c). La velocità del suono ha il valore $c=343\text{m/s}$. Si presume che il trasmettitore e il ricevitore si muovono sempre a velocità inferiore a quella del suono. a) La sorgente sonora S (emette onde sferiche di frequenza $f$ da ferma) si allontana con una velocità radiale¹ $v$ dal ricevitore E (o verso di esso se $v<0$, vedi disegno). Il ricevitore si trova in quiete nel mezzo in cui le onde sonore si propagano, vale a dire l’aria Quale frequenza $f^{\prime }$ è percepita dal ricevitore? [2P] b) Uguale domanda nel caso in cui la sorgente S è ferma e il ricevitore E si muove verso di essa con velocità radiale $v$ (o si allontana se $v<0$). [2P] c) Quale frequenza percepisce il ricevitore se la sorgente si muove rispetto all’aria con velocità $v_s$ e il ricevitore con velocità $v_e$ rispetto all’aria? Dimostra che per velocità piccole, cioè. $v_s\ll c$ e $v_e\ll c$, la variazione di frequenza $\Delta f=f^{\prime }-f$ è proporzionale a $v_r=v_e-v_s$ (utilizzare $\frac{1}{1+x}\approx 1-x$ per $x\ll 1$). [2P] Le seguenti due domande sono applicazioni delle formule derivate in precedenza. d) Una persona E si trova a distanza $d$ da una pista² dove transita una macchina di Formula 1 a velocità costante $v$. Idealmente si assume che la macchina di F1 emetta per una determinata velocità onde sonore di un’unica frequenza $f$. All’istante $t=0$ l’auto si trova nella posizione $x=0$ (vedi disegno). Esprimere l’espressione analitica della frequenza percepita dal ricevitore in funzione del tempo $t$. [3P]

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 10 di 15 e) Due sorgenti sonore A e B (ad esempio, i suoni prodotti da due aerei) emettono suoni di frequenza a riposo $f$ mentre si muovono con velocità costante lungo una linea retta $x$. Sia $x_A<x_B$. La velocità relativa tra A e B sia $v_r=v_B-v_A=25\text{m/s}$, dove $v_A$ e $v_B$ sono le velocità degli emettitori A e B nel sistema di riferimento dell’aria ferma³. Entrambe le frequenze sono dotate di misuratori di frequenze e possono misurare la frequenza percepita dall’altra sorgente: B riceve $f_B$, A misura $f_A$. A e B si comunicano il risultato della misura e concludono che $\frac{f_B}{f_A}=1.1$. Determina $v_A$ e $v_B$. [4P] f) Domanda Bonus: Spiegare perché le formule derivate per l’effetto Doppler per le onde elettromagnetiche non sono valide quando ci si trova nella situazione analoga alla domanda c) . [3P] Osservazioni: 1 Proiezione della velocità sulla linea che collega il trasmettitore e il ricevitore. 2 Per semplicità un rettilineo infinitamente lungo 3 Questi possono essere positivi o negativi. Nel disegno sono per esempio $v_A>0$ e $v_B<0$.

SwissPho 2010 teoria Nome: Pagina 11 di 15 $2^{\circ }$ Problema Meccanica Binario a cuscinetto d’aria I. Definisci le grandezze fisiche velocità media, velocità istantanea e accelerazione. Confronta la velocità media con la velocità istantanea nel caso del moto rettilineo uniforme e del moto rettilineo uniformemente accelerato [3P] II. Per determinare la velocità istantanea del cavaliere lungo un binario a cuscinetto d’aria viene impiegata una fotocellula piazzata nei diversi punti di misura. Il cavaliere è dotato di un diaframma che quando passa davanti alla fotocellula interrompe il raggio di luce. Un cronometro elettronico registra il corrispondente intervallo di oscuramento $\Delta t$. [2P] Spiega come con questo metodo, nei diversi punti di misura, può essere determinata approssimativamente la velocità istantanea e spiega come influisce la larghezza $\Delta s$ del diaframma usato. III. Sul binario a cuscinetto d’aria, verificato orizzontale, viene analizzato un moto non uniforme. Il cavaliere di massa $m_1=200\text{g}$ vien

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation, Fluid Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Newton’s Law of Gravitation, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Lever, Planet, Electron, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.1

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SwissPhO 2010 Swiss Physics Olympiad National Selection Aarau, March 27–28, 2010 Theoretical Part 6 Mini-Problems Duration: 60 minutes Scoring: 6 × 4 points = 24 points Name $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Points $\dots \dots$ Materials allowed:

• Hand-held calculator without data storage.
• Writing and drawing materials.

Good luck!

SwissPho 2010 Theory Name: Page 2 of 15 $1^{\circ }$ Mini-Problem Mechanics Umbrella

During a heavy rainstorm, water droplets fall from the sky with constant velocity $v_p$. A traveler holds an umbrella of radius $R$ at height $h$. He moves in direction $x$ with velocity $v_x$. At what distance $D$ in front of himself must he hold the umbrella so that he does not get wet? a) In the case of no wind, i.e., rain falls vertically with velocity $v_p=-3.0\text{m/s}$, and additionally $v_x=-1.0\text{m/s}$ $h=2.2\text{m}$ $R=70\text{cm}$. [2.5P] b) There is an additional wind with velocity $v_v=0.50\text{m/s}$ in direction $x$ [1.5P]

SwissPho 2010 Theory Name: Page 3 of 15 $2^{\circ }$ Mini-Problem Gravitation Little Prince

The Little Prince from Saint-Exupéry lives on a planet of radius $R$ and mass $M$. How much energy must be supplied to a box of sheep of mass $m$ initially at rest on the surface of his planet in order to: a) reach a distance $r$ from the center of his planet? (with $r>R$) [1.5P] b) place it into a circular orbit at distance $r$ from the center of his planet? [1.5P] c) prevent it from falling back onto the planet? (escape energy) [1P]

SwissPho 2010 theory Name: Page 4 of 15 $3^{\circ }$ Problem Hydrostatics A two-arm balance is kept in equilibrium, with a lead sphere on one side and a gold sphere on the other. Both arms have the same length.

a) The two spheres are immersed in two containers completely filled with water. On which side will the balance tilt? Justify your answer. [2.5P]

b) What density should the liquid in the container toward which the balance tilts have, to keep the balance in equilibrium? [1.5P]

Hint: The densities of gold and lead are given reciprocally ${\rho }_{Au}=19.3{\text{t/m}}^3$ and ${\rho }_{Pb}=13.4{\text{t/m}}^3$.

SwissPho 2010 theory Name: Page 5 of 15 $4^{\circ }$ Problem Thermodynamics PET bottle An hiker closes his empty PET bottle of 1.5 liters at a temperature of $20{}^{\circ }\text{C}$ and a pressure of 1015 mbar. Later, he climbs up a mountain, where he opens the bottle after the internal temperature has dropped to the external temperature of $-10{}^{\circ }\text{C}$. The external pressure on the mountain is 960 mbar.

a) When he opens the bottle, does air flow out or in? Justify your answer. [2P]

b) What is the volume of air that flows out or in? [2P]

SwissPho 2010 theory Name: Page 6 of 15 $5^{\circ }$ Problemlet Magnetism Hall probe

You have an electromagnet producing a variable magnetic field $H$ and a Hall probe. a) Explain the Hall effect using a sketch, and find the relation giving the magnitude of the measured magnetic field $B$ as a function of the current passing through the probe and the voltage induced across it. Assume the dimensions of the probe, which has a rectangular parallelepiped shape, are known. [2.5P]

b) You are given a sample of a magnetic material and asked to determine its remanent magnetization. Propose a method to obtain this value. [1.5P]

SwissPho 2010 theory Name: Page 7 of 15 $6^{\circ }$ Problemlet Electrodynamics Electron in an electric field

An electron is placed between two plates separated by 20 cm, with a potential difference of 100 V between them. a) Draw a sketch showing the direction of the electric field $E$ and the position of the electron. [1P]

b) Calculate the electric field strength. [1P]

c) Calculate the wavelength emitted by the electron after it has traversed the full potential difference. [2P]

It is assumed that the electron’s speed is non-relativistic. $h=6.6262\cdot 10^{-34}\text{Js}$ $m_e=9.109\cdot 10^{-31}\text{kg}$

SwissPho 2010 theory Name: Page 8 of 15 SwissPhO 2010 Swiss Physics Olympiad National Selection Aarau, April 27–28, 2010 Theory Part 3 Problems (choose 3)

Name $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Points $\dots \dots$ Duration: 150 minutes Evaluation: 3 × 16 points = 48 points

Allowed materials: Hand-held calculator without data storage. Writing and drawing tools.

Good luck!

SwissPho 2010 theory Name: Page 9 of 15

$1^{\circ }$ Problem Mechanics Doppler Effect

The first three questions are intended to derive the formula for the frequency shift perceived when the sound source is moving (a), when the receiver is moving (b), and when both are in motion (c).

The speed of sound has the value $c=343\text{m/s}$. It is assumed that transmitter and receiver always move at speeds lower than the speed of sound.

a) The sound source S (emitting spherical waves of frequency $f$ at rest) moves away from the receiver E with radial velocity $v$ (or toward it if $v<0$, see figure). The receiver is at rest in the medium through which sound waves propagate, namely air. What frequency $f^{\prime }$ is perceived by the receiver? [2P]

b) Same question in the case where source S is at rest and receiver E moves toward it with radial velocity $v$ (or away if $v<0$). [2P]

c) What frequency is perceived by the receiver if the source moves relative to air with velocity $v_s$ and the receiver moves with velocity $v_e$ relative to air? Show that for small velocities, i.e. $v_s\ll c$ and $v_e\ll c$, the frequency change $\Delta f=f^{\prime }-f$ is proportional to $v_r=v_e-v_s$ (use $\frac{1}{1+x}\approx 1-x$ for $x\ll 1$). [2P] The following two questions are applications of the formulas derived previously. d) A person E is at a distance $d$ from a track² along which a Formula 1 car passes at constant speed $v$. Ideally it is assumed that the F1 car emits, for a given speed, sound waves of a single frequency $f$. At the instant $t=0$ the car is at position $x=0$ (see drawing). Express the analytical expression of the frequency perceived by the receiver as a function of time $t$. [3P]

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e) Two sound sources A and B (for example, the sounds produced by two airplanes) emit sounds of resting frequency $f$ while moving with constant velocity along a straight line $x$. Let $x_A<x_B$. The relative velocity between A and B is $v_r=v_B-v_A=25\text{m/s}$, where $v_A$ and $v_B$ are the velocities of emitters A and B in the reference frame of the stationary air³. Both frequencies are equipped with frequency detectors and can measure the frequency perceived by the other source: B receives $f_B$, A measures $f_A$. A and B exchange the measurement results and conclude that $\frac{f_B}{f_A}=1.1$. Determine $v_A$ and $v_B$. [4P]

f) Bonus Question: Explain why the formulas derived for the Doppler effect for electromagnetic waves are not valid when one is in a situation analogous to question c). [3P]

Observations: 1 Component of velocity along the line connecting transmitter and receiver. 2 For simplicity, an infinitely long straight line 3 These may be positive or negative. In the diagram they are for example $v_A>0$ and $v_B<0$.

SwissPho 2010 Theory Name: Page 11 of 15 $2^{\circ }$ Problem Mechanics Air Track

I. Define the physical quantities average velocity, instantaneous velocity, and acceleration. Compare average velocity with instantaneous velocity in the case of uniform linear motion and uniformly accelerated linear motion. [3P]

II. To determine the instantaneous velocity of the glider along an air track, a photocell is placed at various measurement points. The glider is equipped with a shutter that interrupts the light beam when passing in front of the photocell. An electronic timer records the corresponding duration of shadowing $\Delta t$. [2P] Explain how, using this method, the instantaneous velocity can be approximately determined at different measurement points, and explain how the width $\Delta s$ of the shutter used affects the result.

III. On the air track, verified to be horizontal, a non-uniform motion is analyzed. The glider of mass $m_1=200\text{g}$ is