Svizze 2011

Buona fortuna!

SwissPhO 2011 Swiss Physics Olympiad Selezione nazionale Aarau, 2/3 Aprile 2011 Parte teorica 6 Problemini Durata: 60 minuti Valutazione: 6 x 4 punti = 24 punti Nome $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Punti $\dots \dots$.. Materiale autorizzato: Calcolatrice tascabile senza raccolta di dati. Materiale per scrivere e disegnare Buona fortuna!

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 2 di 27 Momento d’inerzia 1 Si ha una sfera cava omogenea di massa $m$, delimitata da due sfere concentriche di raggio $r$ e $R$ rispettivamente, con $r<R$. Si noti che il momento d’inerzia di una sfera omogenea piena, di raggio $R$ e massa $M$ è dato da $I=(2/5)\cdot M\cdot R^2$. (a) [2 Pt] Si determini il momento d’inerzia $I$ in rapporto ai suoi diametri della sfera cava. (b) [1 Pt] In seguito si verifichi che la formula ottenuta è consistente con quella della sfera piena. (c) [1 Pt] Infine si calcoli il valore di $I$ quando $r$ tende verso $R$, per ottenere il momento d’inerzia di un pallone di raggio $R$ e di massa $m$. Indicazione: per calcolare $I$, non è necessario lanciarsi nel calcolo di un integrale, una riflessione fisica associata all’utilizzo giudizioso della formula data permette di raggiungere il risultato.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 3 di 27 Urto elastico 2 Una particella $\alpha$ (= nucleo di He, $m=6.64\times 10^{-27}\text{kg}$) urta con un’energia di $7.66\times 10^{-13}\text{J}$ contro un nucleo di elio e viene deviata di $30^{\circ }$ dalla sua traiettoria precedente. Come modello i due nuclei possono essere considerati quali piccole sfere e l’urto può essere considerato perfettamente elastico. (a) [2 Pt] Quale angolo formano tra loro le traiettorie del moto delle due particelle dopo l’urto? (b) [2 Pt] Quanto vale la velocità della particella prima e dopo l’urto.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 4 di 27 Gasometro 3 I cosiddetti gasometri, che oggi rappresentano dei monumenti storici industriali, erano fino al loro abbandono dei grandi contenitori di metano. Nel problema che segue il metano può essere considerato un gas ideale. Il metano veniva depositato nel gasometro cilindrico sotto un coperchio mobile (massa 1270 t). Il diametro del cilindro misurava $d=67.6\text{m}$, la massa molare del metano vale $M_{{\text{CH}}_4}=16\text{g/mol}$, la capacità termica specifica del metano a volume costante vale $c_V=1.7\text{kJ/(kg K)}$ mentre a pressione costante vale $c_p=2.2\text{kJ/(kg K)}$. (a) [1 Pt] Quanto vale la pressione del metano sotto il coperchio ? (b) [1 Pt] Determinare la massa del gas metano immagazzinata, se il coperchio si trova a un’altezza di $h_1=100\text{m}$ . La temperatura vale $T=20{}^{\circ }\text{C}$. (c) [1 Pt] Di notte il gas nel gasometro si raffredda in modo isobaro ad una temperatura di $T=10{}^{\circ }\text{C}$. A quale altezza $h_2$ si trova il coperchio se la massa di gas rimane costante ? (d) [1 Pt] Quale lavoro viene prodotto dal gas sul coperchio ?

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 5 di 27 Elettricità 4 Una piccola sfera carica elettricamente è sospesa ad un filo ben isolato di seta, di massa trascurabile, tra due piastre verticali di un condensatore a piastre. Il punto di sospensione si trova equidistante dalle due piastre. Carica della sfera: $q=-5.00\text{C}$ Massa della sfera: $m=4.00\text{g}$ Raggio della sfera: $r=1.00\text{cm}$ Distanza tra il punto di sospensione e il centro della sfera $l=50.0\text{cm}$ Distanza tra le piastre: $d=40.0\text{cm}$ Tensione applicata al condensatore: $U=100\text{V}$ Capacità del condensatore: $C=8.00\text{pF}$ Campo gravitazionale: $g=9.80\text{N/kg}$ Calcola (a) [2 Pt] l’angolo con cui si inclina il filo rispetto la verticale (b) [2 Pt] la distanza minore tra la piastra carica positivamente e la superficie della sfera. Si trascuri lo spostamento delle cariche, dovuto all’induzione elettrica, sulla sfera.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 6 di 27 Magnetismo 5 Un filo viene avvolto uniformemente attorno a un tubo di raggio $r$ formando $N$ spire. Il tubo viene poi piegato in modo da formare una bobina ad anello di raggio $R$. (a) [1.5 Pt] Trovare l’espressione del campo magnetico (diretto tangenzialmente al cerchio) nel centro del tubo in funzione della corrente nel filo. Nota: legge di Ampère $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I$ , ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}{\text{VsA}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$

(b) [2.5 Pt] Considera 2 bobine ad anello costruite in questo modo poste in modo coassiale una all’interno dell’altra. Siano dati $R_1=R_2=0.50\text{m}$ , $r_1=5.0\text{cm}$ , $r_2=3.0\text{cm}$ , $N_1=2000$ , $N_2=3000$ . La bobina esterna è percorsa da una corrente alternata di valore efficace $I_{\text{eff}}=3.0\text{A}$ e frequenza $f=50\text{Hz}$ . Quella interna è collegata ad un oscilloscopio. Ammettendo che il campo magnetico all’interno della bobina sia uguale al campo magnetico al centro del tubo, calcolare la tensione di picco visualizzata sull’oscilloscopio. Nota: nel caso in cui non si sia risposto alla domanda a) utilizzare per il campo magnetico la relazione $B=\frac{{\mu }_{0}I}{R}$ .

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 7 di 27 Corrente alternata 6 E’ dato il circuito in figura dove $D_1$ e $D_2$ sono diodi ideali (tensione di soglia 0 V, blocco ideale). Sono noti i seguenti valori: $C=\frac{1}{4{\pi }^2}\text{F}$, $L_1=1\text{H}$, $L_2=4\text{H}$. L’interruttore S è aperto e il condensatore $C$ è carico alla tensione di 1.0 V (polarità come indicata in figura). Al tempo $t=0$ l’interruttore S viene chiuso. (a) [1Pt] Calcola il periodo di oscillazione. (b) [1Pt] Disegna qualitativamente l’andamento della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo a partire da $t=0$ per un periodo dell’oscillazione generata. Indicare i tempi relativi al valore nullo e ai valori estremi. (c) [2Pt] Disegna qualitativamente l’andamento della corrente in funzione del tempo a partire da $t=0$ per un periodo dell’oscillazione generata. I due grafici in (b) e (c) devono essere disegnati in modo sovrapposto con lo stesso asse dei tempi. C L D1 L D2

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SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 8 di 27 Swiss Physics Olympiad Selezione nazionale Aarau, 2/3 Aprile 2011 Soluzione 6 Problemini

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 9 di 27 Soluzione momento d’inerzia 1 (a) [2 P] remplir la boule avec de la même matière, les masses et les moments d’inertie s’additionnent, la masse volumique est constante, après deux étapes d’algèbre on trouve $I=\frac{2}{5}m\frac{R^5-r^5}{R^3-r^3}$ (b) [1 P] poser $r=0$ (c) [1 P] $I^{\prime }=\frac{2}{3}m{R}^2$ (calcul de limite, appliquer le théorème de l’Hôpital ou factoriser numérateur et dénominateur) Soluzione urto elastico 2 Punkteverteilung (a) Energiesatz aufgestellt $\frac{1}{2}$ P Impulssatz aufgestellt $\frac{1}{2}$ P Pythagoras erkennen, daraus Winkel für Helium = $60^{\circ }$ 1P (b) Geschwindigkeit Alphateilchen vor dem Stoss 1P nach dem Stoss 1P

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 10 di 27 Soluzione gasometro 3 (d) die Arbeitsleistung am Gas ist $p\Delta V$, diejenige an der Scheibe $p\Delta V$ (Vorzeichen!) $\Delta V=\Delta hA=(h_2-h_2)A=(96.6\text{m}-100\text{m})(67.6{)}^2\text{m}=-12202.9{\text{m}}^3$ $W=mg\Delta V=1.27\times 10^6\text{kg}\cdot 9.81{\text{m/s}}^2\cdot (-12202.9{\text{m}}^3)=-1.52\times 10^6\text{J}$ [1 P]

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 11 di 27 Soluzione elettricità 4 (a) $E=U/d$ ( $=250\text{V/m}$) $F_E=q\ast E=q\ast U/d$ ( $=1.25\text{mN}$) ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $F_G=m\ast g$ ( $=39.2\text{mN}$) $\alpha =\arctan (F_E/F_G)$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\alpha =\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d))$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\alpha =0.0319\text{(rad)}$ ( $=1.83^{\circ }$) (2 P falls Endresultat richtig) (b) $x=l\ast \sin (\alpha )$ $x=l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast y)))$ ( $=1.59\text{cm}$) ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\Delta s=d/2-r-x$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\Delta s=d/2-r-l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d)))$ ( $=20\text{cm}-1\text{cm}-1.59\text{cm}$) $\Delta s=17.4\text{cm}$ (2 P falls Endresultat richtig) Abzüge:

• $\frac{1}{2}$ P bei weniger als 2 oder mehr als 4 signifikanten Stellen (oder nach Abmachung);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Verwechseln von Bogenmass und Gradmass bei a) (Also $\alpha =0.0319^{\circ }$ oder $\alpha =1.83$);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Vergessen des Radius bei b) (Also $\Delta s=18.4\text{cm}$);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Berechnen des Abstandes zur falschen

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 12 di 27 Soluzione Magnetismo 5 (a) $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi RB={\mu }_0{I}_{\text{tot}}={\mu }_{0}NI$ 1 pt. $B=\frac{{\mu }_{0}IN}{2\pi R}$ 0.5 pt. (b) $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2{N}_1\frac{I{\mu }_0}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $U=\dot{\Phi }=\sqrt{2}\omega \cos (\omega t)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $\hat{U}=\sqrt{2}(2\pi f)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2=9.05\text{V}$ 0.5 pt. falls mit alternativem Wert für B gerechnet wurde: $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2\frac{I{\mu }_0}{R}{r}_2^2$

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum, Thermodynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Nucleus, Gas, Capacitor, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1

Buona fortuna!

SwissPhO 2011 Olimpiada svizzera di fisica Selezione nazionale Aarau, 2/2/aprile 2011 Parte teorica 6 Problemi Durata: 60 minuti Valutazione: 6 x 4 punti = 24 punti Nome $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Punti $\dots \dots$.. Materiale autorizzato: Calcolatrice tascabile senza raccolta dati. Materiale per scrivere e disegnare Buona fortuna!

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 2 di 27 Momento d’inerzia 1 Se ha una sfera cava omogenea di massa $m$, delimitata da due sfere concentriche di raggio $r$ e $R$ rispettivamente, con $r<R$. Se si noti che il momento di inerzia di una sfera Omogenea piena, di raggio $R$ e massa $M$ è dato da $I=(2/5)\cdot M\cdot R^2$. (a) [2 Pt] Si determini il momento d’inerzia $I$ in rapporto ai suoi diametri della sfera cava. (b) [1 Pt] In seguito si verifica che la formula ottenuta è coerente con quella della sfera piena. (c) [1 Pt] Infine si calcola il valore di $I$ quando $r$ tende verso $R$, per ottenere il momento D’inerzia di un pallone di raggio $R$ e di massa $m$. Indicazione: per calcoli $I$, non è necessario lanciare nel calcolo di un’integrale, una riflessione La fisica associata all’utilizzo giudizioso della formula dati consentono di raggiungere il Il risultato.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 3 di 27 Urto elastico 2 Una particella $\alpha$ (= nucleo di He, $m=6.64\times 10^{-27}\text{kg}$) causa con energia di $7.66\times 10^{-13}\text{J}$ contro un Il nucleo di elio viene deviato da $30^{\circ }$ dalla sua traiettoria precedente. Come modello i due nuclei possono essere considerati come piccole sfere e l’urto può essere considerato perfettamente elastico. (a) [2 Pt] Qual è l’esistenza di un’organizzazione che si basa sulla trasformazione delle particelle dopo l’urto? (b) [2 Pt] Quanto vale la velocità della particella prima e dopo l’urto.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 4 di 27 Gasometro 3 I cosiddetti gasometri, che oggi rappresentano dei monumenti I storici industriali, erano fino al loro abbandono dei grandi contenitori di metano. Nel problema che segue il metano può essere considerato un gas ideale. Il metano veniva depositato nel gasometro cilindrico sotto un coperchio mobile (massa 1270 t). Il diametro del cilindro misurava $d=67.6\text{m}$, la massa molare del metano vale $M_{{\text{CH}}_4}=16\text{g/mol}$, la capacità termica specifica del metano a volume costante vale $c_V=1.7\text{kJ/(kg K)}$ mentre una pressione costante vale $c_p=2.2\text{kJ/(kg K)}$. (a) [1 Pt] Quanto vale la pressione del metano sotto il coperchio ? (b) [1 Pt] Determinazione della massa del metano gas immagazzinato, se il coperchio si trova a una altezza di $h_1=100\text{m}$ . La temperatura vale $T=20{}^{\circ }\text{C}$. (c) [1 Pt] Di notte il gas nel gasometro si raffredda in modo isobaro ad una temperatura di $T=10{}^{\circ }\text{C}$. Un’altezza superiore a $h_2$ se si trova il coperchio nella massa di gas di rimane costante ? (d) [1 Pt] Che lavoro viene prodotto dal gas sul coperto ?

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 5 di 27 Elettricità 4 Una piccola sfera carica elettricamente è sospesa ad un filo ben isolato di seta, di massa Trascurabile, tra due piastre verticali di un condensatore a piastre. Il punto di sospensione si trova Distanza equilibrata dalle due piastrine. Carica della sfera: $q=-5.00\text{C}$ Massa della sfera: $m=4.00\text{g}$ Raggio della sfera: $r=1.00\text{cm}$ Distanza tra il punto di sospensione e il centro della sfera $l=50.0\text{cm}$ Distanza tra il piastre: $d=40.0\text{cm}$ Tensione applicata al condensatore: $U=100\text{V}$ Capacità del condensatore: $C=8.00\text{pF}$ Campo gravitazionale: $g=9.80\text{N/kg}$ Calcola (a) [2 Pt] L’angolo con cui si inclina il filo rispetto alla verticale (b) [2 Pt] La distanza minore tra la piastra carica positivamente e la superficie della sfera. Si trascuri lo spostamento delle cariche, dovuto all’induzione elettrica, sulla sfera.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 6 di 27 Magnetismo 5 Un filo viene avvolto uniformemente attorno a un tubo di raggio $r$ formando $N$ spire. Il tubo viene poi piegato in modo da formare una bobina ad anello di raggio $R$. (a) [1.5 Pt] Trovare l’espressione del campo magnetico (diretto tangenzialmente al cerchio) nel centro del tubo in funzione della corrente nel filo. Nota: legge di Ampère $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I$ , ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}{\text{VsA}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$

(b) [2.5 Pt] Considera 2 bobine ad anello costruite in questo modo poste in modo coassiale una all’interno dell’altra. Siano dati $R_1=R_2=0.50\text{m}$ , $r_1=5.0\text{cm}$ , $r_2=3.0\text{cm}$ , $N_1=2000$ , $N_2=3000$ . La bobina esterna è percorsa da una corrente alternativa di valore efficace La frequenza $I_{\text{eff}}=3.0\text{A}$ è $f=50\text{Hz}$ . Quella interna è collegata ad un osciloscopo. Ammettere che il campo magnetico all’interno della bobina sia uguale al campo magnetico Al centro del tubo, calcolare la tensione di picco visualizzata sull’oscilloscopio. Nota: nel caso in cui non sia stata risposta la domanda a) utilizzare per il campo magnetico Relato $B=\frac{{\mu }_{0}I}{R}$ .

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 7 di 27 Corrente alternata 6 E dato il circuito in figura dove $D_1$ e $D_2$ sono diodi ideali (tensione di soglia 0 V, blocco (cfr. punto 1.2). Sono noti i seguenti valori: $C=\frac{1}{4{\pi }^2}\text{F}$, $L_1=1\text{H}$, $L_2=4\text{H}$. L’interruttore è aperto e il condensatore $C$ è carico alla tensione di 1,0 V (polarità viene indicato nella figura). Al tempo $t=0$ l’interruttore S Viene Chiuso. (a) [1Pt] Calcola il periodo di oscillazione. (b) [1Pt] Disegna qualitativamente l’andamento della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo a partire da $t=0$ per un periodo dell’oscillazione generata. Indicare i tempi relativi al valore nullo e ai valori estremi. (c) [2Pt] Disegna qualitativamente l’andamento della corrente in funzione del tempo a partire da $t=0$ per un periodo di oscillazione generata. I dovuti grafici di cui alle lettere b) e c) devono essere disegnati in modo sovrapposto con lo stesso

• Asse dei tempi. C L D1 L D2

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SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 8 di 27 Olimpiada svizzera di fisica Selezione nazionale Aarau, 2/2/aprile 2011 Soluzione 6 Problemi

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 9 di 27 Soluzione momento d’inerzia 1 (a) [2 P] riempire la boule avec de la même matière, le masse e i momenti d’inertie S’addissionante, La massa volumica è costante, dopo due fasi di algebra trie $I=\frac{2}{5}m\frac{R^5-r^5}{R^3-r^3}$ (b) [1 P] poser $r=0$ (c) [1 P] $I^{\prime }=\frac{2}{3}m{R}^2$ (calcul de limite, appliquer le théorème de l’Hôpital ou factoriser Numeratore e (in inglese) Soluzione urto elastico 2 Distribuzione di punti (a) Energiesatz in posizione $\frac{1}{2}$ P Impulso su posizione $\frac{1}{2}$ P Pitagora riconosce, daraus Winkel für Helium = $60^{\circ }$ 1P (b) Geschwindigkeit Alphateilchen Vor dem Stoss 1P nach dem Stoss 1P

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 10 di 27 Soluzione gasometro 3 (d) Le prestazioni di lavoro per il gas sono $p\Delta V$, le prestazioni di lavoro per il gas sono $p\Delta V$ (Vorzeichen!) $\Delta V=\Delta hA=(h_2-h_2)A=(96.6\text{m}-100\text{m})(67.6{)}^2\text{m}=-12202.9{\text{m}}^3$ $W=mg\Delta V=1.27\times 10^6\text{kg}\cdot 9.81{\text{m/s}}^2\cdot (-12202.9{\text{m}}^3)=-1.52\times 10^6\text{J}$ [1 P]

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 11 di 27 Soluzione elettricità 4 (a) $E=U/d$ ( $=250\text{V/m}$) $F_E=q\ast E=q\ast U/d$ ( $=1.25\text{mN}$) ($\frac{1}{2}$ P cade Endresultat fals) $F_G=m\ast g$ ( $=39.2\text{mN}$) $\alpha =\arctan (F_E/F_G)$ ($\frac{1}{2}$ P cade Endresultat fals) $\alpha =\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d))$ ($\frac{1}{2}$ P cade Endresultat fals) $\alpha =0.0319\text{(rad)}$ ( $=1.83^{\circ }$) (2 P cade Endresultat richtig) (b) $x=l\ast \sin (\alpha )$ $x=l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast y)))$ ( $=1.59\text{cm}$) ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\Delta s=d/2-r-x$ ($\frac{1}{2}$ P cade Endresultat fals) $\Delta s=d/2-r-l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d)))$ ( $=20\text{cm}-1\text{cm}-1.59\text{cm}$) $\Delta s=17.4\text{cm}$ (2 P cade Endresultat richtig)

• Abzüge:
• $\frac{1}{2}$ P bei weniger als 2 oder mehr als 4 signifikanten Stellen (oder nach Abmachung);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Verwechseln von Bogenmass und Gradmass bei a) (anche $\alpha =0.0319^{\circ }$ o $\alpha =1.83$);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Vergessen des Radius bei b) (anche $\Delta s=18.4\text{cm}$);
• $\frac{3}{4}$ P für Berechnen des Abstandes zur falschen

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 12 di 27 Soluzione Magnetismo 5 (a) $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi RB={\mu }_0{I}_{\text{tot}}={\mu }_{0}NI$ 1 pt. $B=\frac{{\mu }_{0}IN}{2\pi R}$ 0.5 pt. (b) $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2{N}_1\frac{I{\mu }_0}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $U=\dot{\Phi }=\sqrt{2}\omega \cos (\omega t)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $\hat{U}=\sqrt{2}(2\pi f)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2=9.05\text{V}$ 0.5 pt. In caso di caso di valutazione alternativa, il valore di B è stato calcolato: $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2\frac{I{\mu }_0}{R}{r}_2^2$

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum, Thermodynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Nucleus, Gas, Capacitor, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1