Svizzera 2011

Buona fortuna!

SwissPhO 2011 Swiss Physics Olympiad Selezione nazionale Aarau, 2/3 Aprile 2011 Parte teorica 6 Problemini Durata: 60 minuti Valutazione: 6 x 4 punti = 24 punti Nome $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Punti $\dots \dots$.. Materiale autorizzato: Calcolatrice tascabile senza raccolta di dati. Materiale per scrivere e disegnare Buona fortuna!

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 2 di 27 Momento d’inerzia 1 Si ha una sfera cava omogenea di massa $m$, delimitata da due sfere concentriche di raggio $r$ e $R$ rispettivamente, con $r<R$. Si noti che il momento d’inerzia di una sfera omogenea piena, di raggio $R$ e massa $M$ è dato da $I=(2/5)\cdot M\cdot R^2$. (a) [2 Pt] Si determini il momento d’inerzia $I$ in rapporto ai suoi diametri della sfera cava. (b) [1 Pt] In seguito si verifichi che la formula ottenuta è consistente con quella della sfera piena. (c) [1 Pt] Infine si calcoli il valore di $I$ quando $r$ tende verso $R$, per ottenere il momento d’inerzia di un pallone di raggio $R$ e di massa $m$. Indicazione: per calcolare $I$, non è necessario lanciarsi nel calcolo di un integrale, una riflessione fisica associata all’utilizzo giudizioso della formula data permette di raggiungere il risultato.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 3 di 27 Urto elastico 2 Una particella $\alpha$ (= nucleo di He, $m=6.64\times 10^{-27}\text{kg}$) urta con un’energia di $7.66\times 10^{-13}\text{J}$ contro un nucleo di elio e viene deviata di $30^{\circ }$ dalla sua traiettoria precedente. Come modello i due nuclei possono essere considerati quali piccole sfere e l’urto può essere considerato perfettamente elastico. (a) [2 Pt] Quale angolo formano tra loro le traiettorie del moto delle due particelle dopo l’urto? (b) [2 Pt] Quanto vale la velocità della particella prima e dopo l’urto.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 4 di 27 Gasometro 3 I cosiddetti gasometri, che oggi rappresentano dei monumenti storici industriali, erano fino al loro abbandono dei grandi contenitori di metano. Nel problema che segue il metano può essere considerato un gas ideale. Il metano veniva depositato nel gasometro cilindrico sotto un coperchio mobile (massa 1270 t). Il diametro del cilindro misurava $d=67.6\text{m}$, la massa molare del metano vale $M_{{\text{CH}}_4}=16\text{g/mol}$, la capacità termica specifica del metano a volume costante vale $c_V=1.7\text{kJ/(kg K)}$ mentre a pressione costante vale $c_p=2.2\text{kJ/(kg K)}$. (a) [1 Pt] Quanto vale la pressione del metano sotto il coperchio ? (b) [1 Pt] Determinare la massa del gas metano immagazzinata, se il coperchio si trova a un’altezza di $h_1=100\text{m}$ . La temperatura vale $T=20{}^{\circ }\text{C}$. (c) [1 Pt] Di notte il gas nel gasometro si raffredda in modo isobaro ad una temperatura di $T=10{}^{\circ }\text{C}$. A quale altezza $h_2$ si trova il coperchio se la massa di gas rimane costante ? (d) [1 Pt] Quale lavoro viene prodotto dal gas sul coperchio ?

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 5 di 27 Elettricità 4 Una piccola sfera carica elettricamente è sospesa ad un filo ben isolato di seta, di massa trascurabile, tra due piastre verticali di un condensatore a piastre. Il punto di sospensione si trova equidistante dalle due piastre. Carica della sfera: $q=-5.00\text{C}$ Massa della sfera: $m=4.00\text{g}$ Raggio della sfera: $r=1.00\text{cm}$ Distanza tra il punto di sospensione e il centro della sfera $l=50.0\text{cm}$ Distanza tra le piastre: $d=40.0\text{cm}$ Tensione applicata al condensatore: $U=100\text{V}$ Capacità del condensatore: $C=8.00\text{pF}$ Campo gravitazionale: $g=9.80\text{N/kg}$ Calcola (a) [2 Pt] l’angolo con cui si inclina il filo rispetto la verticale (b) [2 Pt] la distanza minore tra la piastra carica positivamente e la superficie della sfera. Si trascuri lo spostamento delle cariche, dovuto all’induzione elettrica, sulla sfera.

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 6 di 27 Magnetismo 5 Un filo viene avvolto uniformemente attorno a un tubo di raggio $r$ formando $N$ spire. Il tubo viene poi piegato in modo da formare una bobina ad anello di raggio $R$. (a) [1.5 Pt] Trovare l’espressione del campo magnetico (diretto tangenzialmente al cerchio) nel centro del tubo in funzione della corrente nel filo. Nota: legge di Ampère $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I$ , ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}{\text{VsA}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$

(b) [2.5 Pt] Considera 2 bobine ad anello costruite in questo modo poste in modo coassiale una all’interno dell’altra. Siano dati $R_1=R_2=0.50\text{m}$ , $r_1=5.0\text{cm}$ , $r_2=3.0\text{cm}$ , $N_1=2000$ , $N_2=3000$ . La bobina esterna è percorsa da una corrente alternata di valore efficace $I_{\text{eff}}=3.0\text{A}$ e frequenza $f=50\text{Hz}$ . Quella interna è collegata ad un oscilloscopio. Ammettendo che il campo magnetico all’interno della bobina sia uguale al campo magnetico al centro del tubo, calcolare la tensione di picco visualizzata sull’oscilloscopio. Nota: nel caso in cui non si sia risposto alla domanda a) utilizzare per il campo magnetico la relazione $B=\frac{{\mu }_{0}I}{R}$ .

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 7 di 27 Corrente alternata 6 E’ dato il circuito in figura dove $D_1$ e $D_2$ sono diodi ideali (tensione di soglia 0 V, blocco ideale). Sono noti i seguenti valori: $C=\frac{1}{4{\pi }^2}\text{F}$, $L_1=1\text{H}$, $L_2=4\text{H}$. L’interruttore S è aperto e il condensatore $C$ è carico alla tensione di 1.0 V (polarità come indicata in figura). Al tempo $t=0$ l’interruttore S viene chiuso. (a) [1Pt] Calcola il periodo di oscillazione. (b) [1Pt] Disegna qualitativamente l’andamento della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo a partire da $t=0$ per un periodo dell’oscillazione generata. Indicare i tempi relativi al valore nullo e ai valori estremi. (c) [2Pt] Disegna qualitativamente l’andamento della corrente in funzione del tempo a partire da $t=0$ per un periodo dell’oscillazione generata. I due grafici in (b) e (c) devono essere disegnati in modo sovrapposto con lo stesso asse dei tempi. C L D1 L D2

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SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 8 di 27 Swiss Physics Olympiad Selezione nazionale Aarau, 2/3 Aprile 2011 Soluzione 6 Problemini

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 9 di 27 Soluzione momento d’inerzia 1 (a) [2 P] remplir la boule avec de la même matière, les masses et les moments d’inertie s’additionnent, la masse volumique est constante, après deux étapes d’algèbre on trouve $I=\frac{2}{5}m\frac{R^5-r^5}{R^3-r^3}$ (b) [1 P] poser $r=0$ (c) [1 P] $I^{\prime }=\frac{2}{3}m{R}^2$ (calcul de limite, appliquer le théorème de l’Hôpital ou factoriser numérateur et dénominateur) Soluzione urto elastico 2 Punkteverteilung (a) Energiesatz aufgestellt $\frac{1}{2}$ P Impulssatz aufgestellt $\frac{1}{2}$ P Pythagoras erkennen, daraus Winkel für Helium = $60^{\circ }$ 1P (b) Geschwindigkeit Alphateilchen vor dem Stoss 1P nach dem Stoss 1P

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 10 di 27 Soluzione gasometro 3 (d) die Arbeitsleistung am Gas ist $p\Delta V$, diejenige an der Scheibe $p\Delta V$ (Vorzeichen!) $\Delta V=\Delta hA=(h_2-h_2)A=(96.6\text{m}-100\text{m})(67.6{)}^2\text{m}=-12202.9{\text{m}}^3$ $W=mg\Delta V=1.27\times 10^6\text{kg}\cdot 9.81{\text{m/s}}^2\cdot (-12202.9{\text{m}}^3)=-1.52\times 10^6\text{J}$ [1 P]

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 11 di 27 Soluzione elettricità 4 (a) $E=U/d$ ( $=250\text{V/m}$) $F_E=q\ast E=q\ast U/d$ ( $=1.25\text{mN}$) ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $F_G=m\ast g$ ( $=39.2\text{mN}$) $\alpha =\arctan (F_E/F_G)$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\alpha =\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d))$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\alpha =0.0319\text{(rad)}$ ( $=1.83^{\circ }$) (2 P falls Endresultat richtig) (b) $x=l\ast \sin (\alpha )$ $x=l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast y)))$ ( $=1.59\text{cm}$) ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\Delta s=d/2-r-x$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\Delta s=d/2-r-l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d)))$ ( $=20\text{cm}-1\text{cm}-1.59\text{cm}$) $\Delta s=17.4\text{cm}$ (2 P falls Endresultat richtig) Abzüge:

• $\frac{1}{2}$ P bei weniger als 2 oder mehr als 4 signifikanten Stellen (oder nach Abmachung);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Verwechseln von Bogenmass und Gradmass bei a) (Also $\alpha =0.0319^{\circ }$ oder $\alpha =1.83$);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Vergessen des Radius bei b) (Also $\Delta s=18.4\text{cm}$);
• $\frac{3}{4}$ P fürs Berechnen des Abstandes zur falschen

SwissPho 2011 teoria Nome: Pagina 12 di 27 Soluzione Magnetismo 5 (a) $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi RB={\mu }_0{I}_{\text{tot}}={\mu }_{0}NI$ 1 pt. $B=\frac{{\mu }_{0}IN}{2\pi R}$ 0.5 pt. (b) $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2{N}_1\frac{I{\mu }_0}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $U=\dot{\Phi }=\sqrt{2}\omega \cos (\omega t)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $\hat{U}=\sqrt{2}(2\pi f)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2=9.05\text{V}$ 0.5 pt. falls mit alternativem Wert für B gerechnet wurde: $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2\frac{I{\mu }_0}{R}{r}_2^2$

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum, Thermodynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Nucleus, Gas, Capacitor, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1

Good luck!

SwissPhO 2011 Swiss Physics Olympiad National Selection Aarau, April 2–3, 2011 Theoretical Part 6 Mini-Problems Duration: 60 minutes Scoring: 6 × 4 points = 24 points

Name $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ Points $\dots \dots$ Allowed Materials:

• Hand-held calculator without data storage.
• Writing and drawing materials.

Good luck!

SwissPhO 2011 Theory Name: Page 2 of 27

Moment of Inertia 1 A hollow homogeneous sphere of mass $m$ is bounded by two concentric spheres with radii $r$ and $R$, respectively, where $r<R$. Note that the moment of inertia of a solid homogeneous sphere of radius $R$ and mass $M$ is given by $I=(2/5)\cdot M\cdot R^2$.

(a) [2 Points] Determine the moment of inertia $I$ of the hollow sphere in terms of its diameters.

(b) [1 Point] Subsequently, verify that the obtained formula is consistent with that of a solid sphere.

(c) [1 Point] Finally, compute the value of $I$ when $r$ tends toward $R$, to obtain the moment of inertia of a spherical balloon of radius $R$ and mass $m$.

Hint: To compute $I$, it is not necessary to perform an integral calculation. A physical reflection combined with the judicious use of the given formula allows reaching the result directly.

SwissPho 2011 theory Name: Page 3 of 27 Elastic collision 2 A particle $\alpha$ (= He nucleus, $m=6.64\times 10^{-27}\text{kg}$) collides with an energy of $7.66\times 10^{-13}\text{J}$ against a helium nucleus and is deflected by $30^{\circ }$ from its previous trajectory. As a model, the two nuclei may be considered as small spheres and the collision may be regarded as perfectly elastic.

(a) [2 Points] What angle do the trajectories of motion of the two particles form with each other after the collision?

(b) [2 Points] What is the speed of the particle before and after the collision?

SwissPho 2011 Theory Name: Page 4 of 27 Gasometer

3 The so-called gasometers, which today represent industrial historical monuments, were until their abandonment large containers for methane. In the following problem, methane may be considered an ideal gas.

Methane was stored in the cylindrical gasometer beneath a movable lid (mass 1270 t). The cylinder diameter is $d=67.6\text{m}$, the molar mass of methane is $M_{{\text{CH}}_4}=16\text{g/mol}$, its specific heat capacity at constant volume is $c_V=1.7\text{kJ/(kg K)}$, and at constant pressure it is $c_p=2.2\text{kJ/(kg K)}$.

(a) [1 Pt] What is the pressure of the methane beneath the lid?

(b) [1 Pt] Determine the mass of stored methane, if the lid is located at a height of $h_1=100\text{m}$. The temperature is $T=20{}^{\circ }\text{C}$.

(c) [1 Pt] At night, the gas in the gasometer cools down isobarically to a temperature of $T=10{}^{\circ }\text{C}$. At what height $h_2$ is the lid located, assuming the gas mass remains constant?

(d) [1 Pt] What work is done by the gas on the lid?

SwissPho 2011 theory Name: Page 5 of 27 Electricity 4 A small electrically charged sphere is suspended by a well-insulated silk thread of negligible mass, between two vertical plates of a parallel-plate capacitor. The suspension point is equidistant from the two plates.

Sphere charge: $q=-5.00\text{C}$ Sphere mass: $m=4.00\text{g}$ Sphere radius: $r=1.00\text{cm}$ Distance from suspension point to sphere center: $l=50.0\text{cm}$ Plate separation: $d=40.0\text{cm}$ Voltage applied to the capacitor: $U=100\text{V}$ Capacitor capacitance: $C=8.00\text{pF}$ Gravitational field strength: $g=9.80\text{N/kg}$

Calculate (a) [2 Pt] the angle by which the thread is inclined with respect to the vertical.

(b) [2 Pt] the minimum distance between the positively charged plate and the sphere surface.

Neglect displacement of charges on the sphere due to electrostatic induction.

SwissPho 2011 theory Name: Page 6 of 27 Magnetism 5 A wire is uniformly wound around a tube of radius $r$, forming $N$ turns. The tube is then bent into a circular loop of radius $R$.

(a) [1.5 Pt] Find the expression for the magnetic field (directed tangentially to the circle) at the center of the tube, in terms of the current flowing through the wire.

Note: Ampère’s law $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I$, ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}{\text{VsA}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$

(b) [2.5 Points] Consider two ring-shaped coils arranged coaxially, one placed inside the other. Given $R_1=R_2=0.50\text{m}$, $r_1=5.0\text{cm}$, $r_2=3.0\text{cm}$, $N_1=2000$, $N_2=3000$. The outer coil is traversed by an alternating current with effective value $I_{\text{eff}}=3.0\text{A}$ and frequency $f=50\text{Hz}$. The inner coil is connected to an oscilloscope. Assuming that the magnetic field inside the coil is equal to the magnetic field at the center of the tube, calculate the peak voltage displayed on the oscilloscope. Note: In case part (a) was not answered, use for the magnetic field the relation $B=\frac{{\mu }_{0}I}{R}$.

SwissPho 2011 theory Name: Page 7 of 27 Alternating Current

6. The circuit shown in the figure is given, where $D_1$ and $D_2$ are ideal diodes (threshold voltage 0 V, perfect blocking). The following values are known: $C=\frac{1}{4{\pi }^2}\text{F}$, $L_1=1\text{H}$, $L_2=4\text{H}$. The switch S is open and the capacitor $C$ is charged to 1.0 V (polarity as indicated in the figure). At time $t=0$, switch S is closed.

(a) [1Pt] Calculate the oscillation period.

(b) [1Pt] Qualitatively sketch the time dependence of the voltage across the capacitor, starting from $t=0$, for one period of the generated oscillation. Indicate relative times corresponding to zero voltage and extreme values.

(c) [2Pt] Qualitatively sketch the time dependence of the current, starting from $t=0$, for one period of the generated oscillation. The two graphs in (b) and (c) must be drawn superimposed, with the same time axis.

C L D1 L D2

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SwissPho 2011 theory Name: Page 8 of 27 Swiss Physics Olympiad National Selection Aarau, April 2–3, 2011 Solution 6 Mini-problems

SwissPho 2011 theory Name: Page 9 of 27 Solution for moment of inertia 1 (a) [2 P] Fill the sphere with the same material; masses and moments of inertia add up. The mass density remains constant. After two steps of algebraic manipulation, one obtains $I=\frac{2}{5}m\frac{R^5-r^5}{R^3-r^3}$ (b) [1 P] Set $r=0$ (c) [1 P] $I^{\prime }=\frac{2}{3}m{R}^2$ (limit calculation; apply l’Hôpital’s rule or factor numerator and denominator)

Solution for elastic collision 2 Point distribution (a) Energy conservation equation established $\frac{1}{2}$ P Momentum conservation equation established $\frac{1}{2}$ P Recognize Pythagoras’ theorem, from which the angle for helium is $60^{\circ }$ 1P (b) Velocity of alpha particle before collision 1P after collision 1P

SwissPho 2011 theory Name: Page 10 of 27 Solution for gasometer 3 (d) Work done on the gas is $p\Delta V$, work done on the disk is $p\Delta V$ (sign matters!) $\Delta V=\Delta hA=(h_2-h_2)A=(96.6\text{m}-100\text{m})(67.6{)}^2\text{m}=-12202.9{\text{m}}^3$ $W=mg\Delta V=1.27\times 10^6\text{kg}\cdot 9.81{\text{m/s}}^2\cdot (-12202.9{\text{m}}^3)=-1.52\times 10^6\text{J}$ [1 P]

SwissPho 2011 theory Name: Page 11 of 27 Solution: Electricity 4 (a) $E=U/d$ ( $=250\text{V/m}$) $F_E=q\ast E=q\ast U/d$ ( $=1.25\text{mN}$) ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $F_G=m\ast g$ ( $=39.2\text{mN}$) $\alpha =\arctan (F_E/F_G)$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\alpha =\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d))$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\alpha =0.0319\text{(rad)}$ ( $=1.83^{\circ }$) (2 P falls Endresultat richtig)

(b) $x=l\ast \sin (\alpha )$ $x=l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast y)))$ ( $=1.59\text{cm}$) ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\Delta s=d/2-r-x$ ($\frac{1}{2}$ P falls Endresultat falsch) $\Delta s=d/2-r-l\ast \sin (\arctan (q\ast U/(m\ast g\ast d)))$ ( $=20\text{cm}-1\text{cm}-1.59\text{cm}$) $\Delta s=17.4\text{cm}$ (2 P falls Endresultat richtig)

Deductions:

• $\frac{1}{2}$ P for less than 2 or more than 4 significant figures (or as agreed);
• $\frac{3}{4}$ P for confusing radians and degrees in a) (i.e. $\alpha =0.0319^{\circ }$ or $\alpha =1.83$);
• $\frac{3}{4}$ P for forgetting the radius in b) (i.e. $\Delta s=18.4\text{cm}$);
• $\frac{3}{4}$ P for calculating the distance to the wrong

SwissPho 2011 theory Name: Page 12 of 27 Solution: Magnetism 5 (a) $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi RB={\mu }_0{I}_{\text{tot}}={\mu }_{0}NI$ 1 pt. $B=\frac{{\mu }_{0}IN}{2\pi R}$ 0.5 pt.

(b) $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2{N}_1\frac{I{\mu }_0}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $U=\dot{\Phi }=\sqrt{2}\omega \cos (\omega t)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2$ 1 pt. $\hat{U}=\sqrt{2}(2\pi f)I_{\text{eff}}{\mu }_0\frac{N_1{N}_2}{2R}{r}_2^2=9.05\text{V}$ 0.5 pt. if an alternative value for B was used: $\Phi =N_{2}B\pi r_2^2=N_2\frac{I{\mu }_0}{R}{r}_2^2$