Svizzera 2017

Esercizio 1 : Sincronizzazione degli orologi (16 punti) In questo problema, vogliamo derivare le trasformazioni di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentz sono le trasformazioni fondamentali dello spazio e del tempo tra due sistemi di riferimento nella relativita ristretta. Consideriamo la seguente situazione: il Capitano Hendrik e in viaggio con la sua nave spaziale nello spazio interstellare. Il suo volo e osservato dalla Terra. Il Capitano Hendrik supera la torre di controllo della Terra, e si dirige seguendo una traiettoria lineare verso una stazione spaziale geostazionaria (che quindi non si muove rispetto alla Terra). Consideriamo le seguenti definizioni ( (cf Fig.1)): Il sistema di riferimento della Terra, in cui anche la stazione spaziale geostazionaria si trova, viene considerato come sistema di riferimento a riposo. Lo indichiamo con $\Sigma$. Tutte le dimensioni misurate in rapporto a $\Sigma$ vengono indicate senza apostrofo. La torre di controllo costituisce l’origine del sistema di coordinate in $\Sigma$. Indichiamo il sistema di riferimento della nave spaziale con $\Sigma'$. Tutte le dimensioni che vengono misurate dalla torre di controllo in rapporto a $\Sigma'$ vengono indicate con un apostrofo. Il cockpit della nave spaziale si trova nella punta, e funge da origine del sistema di riferimento $\Sigma'$. Il Capitano Hendrik conduce la sua nave spaziale con velocita costante $v>0$ lungo l’asse x di $\Sigma$. L’asse x di $\Sigma$ coincide con l’asse $x^{\prime }$ di ${\Sigma }^{\prime }$. Gli assi y e z di $\Sigma$ sono paralleli agli assi $y^{\prime }$ e $z^{\prime }$ di ${\Sigma }^{\prime }$. Tutti i calcoli possono quindi essere svolti considerando il problema come monodimensionale lungo l’asse x. Non appena la punta della nave spaziale sorvola la torre di controllo, gli orologi della la torre di controllo e della nave spaziale vengono azzerati. Quindi a $t=t^{\prime }=0$ le origini dei due sistemi di riferimento coincidono. Le coordinate della stazione spaziale geostazionaria nel sistema di riferimento $\Sigma$ sono $(x_0,0,0)$ Trascuriamo gli effetti della gravita. A C B D E Fig. 1: Situazione al tempo $t = 0$. A : Terra B : nave spaziale del Capitano Hendrik C : Torre di controllo D : Stazione spaziale geostazionaria E : Assi x e $x'$ Inoltre consideriamo i seguenti fatti come conosciuti: Una lunghezza nel sistema in movimento appare minore se misurata dal sistema a riposo (contrazione delle lunghezze). Vale $\Delta l' = \gamma \cdot \Delta l$ Il tempo del sistema in movimento scorre pìu lentamente quando misurato dal sistema a riposo (dilatazione del tempo). Vale $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t'$ $\gamma$ e definito come $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ Parte A. Meccanica classica (1.25 punti) In questa prima parte consideriamo che v sia molto piccola, e per questo non sussiste alcun effetto relativistico $(\gamma \approx 1)$. Vogliamo quindi per ora considerare le trasformazioni spaziali e temporali della meccanica classica, denominate trasformazioni di Galileo. i. (0.25 pt) Qual e la coordinata x della stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t in rapporto a $\Sigma$. ii. (0.75 pt) Qual e la coordinata $x^{\prime }$ della stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t in rapporto a ${\Sigma }^{\prime }$. iii. (0.25 pt) Qual e il tempo $t'$, quando e trascorso un tempo t? SwissPhO : $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017 Parte B. Trasformazioni spaziali di Lorentz (2.25 punti) Da ora consideriamo v sufficientemente grande da imporre effetti relativistici $(\gamma \ne 1)$. Vogliamo quindi considerare le trasformazioni spaziali, e per questo ci serve la stazione spaziale geostazionaria. In un caso non relativistico, la trasformazione spaziale di Lorentz si ridurrebbe alle formule che hai calcolato nella domanda A ii). i. (0.25 pt) Qual e la posizione x della stazione spaziale geostazionaria nel sistema $\Sigma$ al tempo t? ii. (0.5 pt) Quanto e grande la distanza tra la nave spaziale (nello specifico l’origine di ${\Sigma }^{\prime }$) e la stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t nel sistema $\Sigma$? iii. (0.5 pt) La nave spaziale porta con s ́e una copia del metro di riferimento 1. Quanto apparira lungo questo oggetto, se osservato dalla torre di controllo? iv. (0.75 pt) Quanto grande appare la distanza tra la nave spaziale e la stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t, dal punto di vista della torre di controllo, in termini di unita di misura di ${\Sigma }^{\prime }$ (quindi in funzione della lunghezza del metro di riferimento nel sistema ${\Sigma }^{\prime }$)? v. (0.25 pt) Qual e la coordinata $x'$ della stazione spaziale geostazionaria nel sistema $\Sigma'$? Questa e la trasformazione spaziale di Lorentz. Parte C. Trasformazioni temporali di Lorentz (12.5 punti) Consideriamo ora le trasformazioni temporali di Lorentz. In eventi non relativistici, queste formule si riducono a quelle che hai ottenuto nella domanda A iii). Nel momento in cui il Capitano Hendrik supera la torre di controllo, sincronizza gli orologi della sua nave spaziale. Per derivare la trasformazione temporale, consideriamo la sincronizzazione degli orologi nei sistemi ${\Sigma }^{\prime }$ e $\Sigma$. Sincronizzati significa che due orologi mostrano la stessa ora in un sistema di riferimento (eventualmente, agli occhi di una persona i due orologi mostreranno un tempo diverso, poich ́e la luce impiega un po’ pìu tempo per percorrere la distanza tra l’orologio pìu lontano e gli occhi dell’osservatore). i. (0.5 pt) Di seguito vogliamo capire in che modo sia possibile sincronizzare al meglio due orologi. L’orologio nella torre di controllo, azzerato al passaggio del Capitano Hendrik, deve venir sincronizzato con quello della stazione spaziale geostazionaria. Per fare cìo, la torre di controllo lancia un impulso luminoso in direzione della stazione spaziale geostazionaria, il quale la raggiunge dopo un tempo $\Delta t_1$. Calcola $\Delta t_1$. ii. (0.5 pt) Nel momento in cui l’impulso luminoso raggiunge la stazione spaziale geostazionaria, questo viene registrato e un nuovo impulso luminoso viene spedito immediatamente (quindi senza ritardi di tempo) dalla stazione spaziale geostazionaria verso la torre di controllo. Calcola l’intervallo di tempo $\Delta t_2$ dal momento in cui la stazione spaziale geostazionaria emette l’impulso al momento in cui viene ricevuto dalla torre di controllo. iii. (0.75 pt) Per far sı che l’orologio sulla stazione spaziale geostazionaria sia sincronizzato con quello della torre di controllo, consideriamo che all’arrivo dell’impulso luminoso l’orologio sulla stazione spaziale geostazionaria indichi la meta del tempo $\Delta t_1+\Delta t_2$. Quale tempo e quindi indicato sull’orologio della stazione spaziale geostazionaria nel momento in cui riceve l’impulso luminoso? Quale ora indica al tempo $t = 10\ \text{s}$? iv. (0.5 pt) Ora abbiamo calcolato una sincronizzazione tra orologi nel sistema a riposo. Ora concentriamoci sulla sincronizzazione degli orologi sulla nave spaziale. Al passaggio dalla torre di controllo, anche il Capitano Hendrik azzera il suo orologio nel cockpit. Inoltre vuole sincronizzare anche l’orologio nella sala macchine, in fondo alla nave, con quello nel cockpit. Quindi svolge una sincronizzazione degli orologi, che osserviamo dalla Terra. Prima di iniziare con la sincronizzazione, ci serve la distanza del tragitto nel sistema $\Sigma$. Consideriamo che nelle schematiche della nave, la lunghezza della nave sia indicata con $L'$. Quanto appare lunga la nave spaziale, se vista da $\Sigma$? Consideriamo ora che per sincronizzare gli orologi la luce debba viaggiare dalla punta alla coda della nave. v. (2 pt) Possiamo ora iniziare con l’effettiva sincronizzazione degli orologi. Come per la sincronizzazione con la stazione spaziale geostazionaria, il Capitano Hendrik manda un impulso luminoso dal cockpit alla sala macchine. Calcola il tempo $\Delta t_1$ necessario alla luce per percorrere la distanza in questione nel sistema $\Sigma$. Considera: quando considerata da $\Sigma$, la nave spaziale si muove con ve- 1In passato il metro era definito come la lunghezza di una sbarra che serviva da taratura. Per questo problema significa che la lunghezza del metro di riferimento e esattamente un metro nel sistema in cui e a riposo, e quindi definisce l’unita

Topic: Special Relativity, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Transformation, Kinematic Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem 1: Synchronization of clocks (16 points) In this problem, we want to derive the Lorentz transformations. The Lorentz transformations are the fundamental transformations of space and time between two reference frames in special relativity. Let us consider the following situation: Captain Hendrik is traveling with his spaceship in interstellar space. His flight is observed from Earth. Captain Hendrik passes the control tower on Earth, and heads along a linear trajectory toward a geostationary space station (which therefore does not move relative to the Earth). Let us consider the following definitions ((cf. Fig.1)): The Earth’s reference frame, in which the geostationary space station is also located, is considered to be a reference frame at rest. We denote it by $\Sigma$. All dimensions measured relative to $\Sigma$ are indicated without a prime. The control tower constitutes the origin of the coordinate system in $\Sigma$. We denote the spaceship’s reference frame by ${\Sigma }^{\prime }$. All dimensions that are measured by the control tower relative to ${\Sigma }^{\prime }$ are indicated with a prime. The cockpit of the spaceship is located at the tip, and serves as the origin of the reference frame ${\Sigma }^{\prime }$. Captain Hendrik pilots his spaceship at constant speed $v>0$ along the x-axis of $\Sigma$. The x-axis of $\Sigma$ coincides with the $x^{\prime }$ axis of ${\Sigma }^{\prime }$. The y and z axes of $\Sigma$ are parallel to the axes $y^{\prime }$ and $z^{\prime }$ of ${\Sigma }^{\prime }$. All calculations can therefore be carried out by considering the problem as one-dimensional along the x-axis. As soon as the tip of the spaceship passes over the control tower, the clocks of the control tower and of the spaceship are set to zero. Therefore at $t=t^{\prime }=0$ the origins of the two reference frames coincide. The coordinates of the geostationary space station in the reference frame $\Sigma$ are $(x_0,0,0)$ We neglect the effects of gravity. A C B D E Fig. 1: Situation at time $t=0$. A: Earth B: Captain Hendrik’s spaceship C: Control tower D: Geostationary space station E: x and $x^{\prime }$ axes Furthermore we consider the following facts as known: A length in the moving system appears shorter when measured from the system at rest (length contraction). It holds $\Delta l^{\prime }=\gamma \cdot \Delta l$ The time of the moving system flows more slowly when measured from the system at rest (time dilation). It holds $\Delta t=\gamma \cdot \Delta t^{\prime }$ $\gamma$ is defined as $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ Part A. Classical mechanics (1.25 points) In this first part we consider that v is very small, and for this reason there is no relativistic effect $(\gamma \approx 1)$. We therefore want for now to consider the spatial and temporal transformations of classical mechanics, called Galilean transformations. i. (0.25 pts) What is the x coordinate of the geostationary space station after a time t with respect to $\Sigma$. ii. (0.75 pts) What is the $x^{\prime }$ coordinate of the geostationary space station after a time t with respect to ${\Sigma }^{\prime }$. iii. (0.25 pts) What is e il tempo $t'$, quando after a time t has elapsed? SwissPhO : $2^{\circ }$ shift Problems 25.03.2017 Part B. Lorentz spatial transformations (2.25 points) From now on we consider v large enough to impose relativistic effects $(\gamma \ne 1)$. We therefore want to consider the spatial transformations, and for this we need the geostationary space station. In a non-relativistic case, the Lorentz spatial transformation would reduce to the formulas you calculated in question A ii). i. (0.25 pt) What is the position x of the geostationary space station in the system $\Sigma$ at time t? ii. (0.5 pt) How large is the distance between the spaceship (specifically the origin of ${\Sigma }^{\prime }$) and the geostationary space station after a time t in the system $\Sigma$? iii. (0.5 pt) The spaceship carries with it a copy of the reference metre 1. How long will this object appear, if observed from the control tower? iv. (0.75 pt) How large does the distance between the spaceship and the geostationary space station appear after a time t, from the point of view of the control tower, in terms of the unit of measurement of ${\Sigma }^{\prime }$ (therefore as a function of the length of the reference metre in the system ${\Sigma }^{\prime }$)? v. (0.25 pt) What is the coordinate $x^{\prime }$ of the geostationary space station in the system ${\Sigma }^{\prime }$? This is the spatial Lorentz transformation. Part C. Temporal Lorentz transformations (12.5 points) Let us now consider the temporal Lorentz transformations. In non-relativistic events, these formulas reduce to those you obtained in question A iii). At the moment when Captain Hendrik passes the control tower, he synchronizes the clocks of his spaceship. To derive the time transformation, let us consider the synchronization of clocks in the systems ${\Sigma }^{\prime }$ and $\Sigma$. Synchronized means that two clocks show the same time in a reference frame (possibly, in the eyes of a person the two clocks will show a different time, since light takes a little longer to travel the distance between the farther clock and the eyes of the observer). i. (0.5 pt) In the following we want to understand how it is possible to synchronize two clocks in the best way. The clock in the control tower, reset when Captain Hendrik passed, must be synchronized with that of the geostationary space station. To do this, the control tower sends a light pulse in the direction of the geostationary space station, which reaches it after a time $\Delta t_1$. Calculate $\Delta t_1$. ii. (0.5 points) At the moment when the light pulse reaches the geostationary space station, this is recorded and a new light pulse is sent immediately (therefore with no time delays) from the geostationary space station toward the control tower. Calculate the time interval $\Delta t_2$ from the moment the geostationary space station emits the pulse to the moment it is received by the control tower. iii. (0.75 points) To make the clock on the geostationary space station synchronized with that of the control tower, let us consider that upon the arrival of the light pulse the clock on the geostationary space station indicates half the time $\Delta t_1+\Delta t_2$. What time is therefore indicated on the clock of the geostationary space station at the moment it receives the light pulse? What time does it indicate at time $t=10\text{s}$? iv. (0.5 pt) Now we have calculated a synchronization between clocks in the rest frame. Now let us focus on the synchronization of the clocks on the spaceship. As it passes the control tower, Captain Hendrik also sets his clock in the cockpit to zero. He also wants to synchronize the clock in the engine room, at the rear of the ship, with the one in the cockpit. So he performs a synchronization of the clocks, which we observe from Earth. Before starting with the synchronization, we need the distance of the path in the system $\Sigma$. Let us consider that in the ship’s schematics, the length of the ship is denoted by $L^{\prime }$. How long does the spaceship appear, if viewed from $\Sigma$? Let us now consider that in order to synchronize the clocks, light must travel from the bow to the stern of the ship. v. (2 points) We can now begin with the actual synchronization of the clocks. As with the synchronization with the geostationary space station, Captain Hendrik sends a light pulse from the cockpit to the engine room. Calculate the time $\Delta t_1$ required for the light to travel the distance in question in the frame $\Sigma$. Consider: when considered from $\Sigma$, the spaceship moves with ve- 1In the past the metre was defined as the length of a bar that served as a calibration standard. For this problem this means that the length of the reference metre is exactly one metre in the system in which e a riposo, e quindi definisce l’unita

Esercizio 2 : Gas di fotoni (16 punti) Nonostante i fotoni si differenzino in molti aspetti da atomi e molecole, si pùo descrivere un gas di fotoni con quantita termodinamiche usuali, come temperatura, pressione ed entropia. Per esempio, la densita di energia interna u di un gas di fotoni si pùo esprimere in funzione della temperatura come $u(T)=\frac{4\sigma T^4}{c},(1)$ dove $\sigma$ e la costante di Stefan–Boltzmann e c e la velocita della luce nel vuoto. La pressione del gas e $p(T)=\frac{u(T)}{3}.(2)$ Consideriamo adesso un ciclo reversibile del gas di fotoni composto dai seguenti quattro processi:

1. Espansione adiabatica dal volume $V_1$ e temperatura $T_1$ al volume $V_2$ e temperatura $T_2$.
2. Compressione isoterma fino al volume $V_3$.
3. Compressione adiabatica dal volume $V_3$ e temperatura $T_2$ al volume $V_4$ e temperatura $T_1$.
4. Espansione isoterma fino al volume $V_1$. i. (3 pt) Disegna un diagramma p-V e uno T-S per il ciclo termodinamico appena descritto. ii. (2 pt) Usa la prima legge della termodinamica e le equazioni (1)-(2) per determinare la quantita di calore scambiata con il gas durante ognuno dei quattro processi. iii. (2 pt) Di quanto cambia l’entropia in ogni processo? iv. (0.5 pt) Quale condizione deve soddisfare la somma dei cambiamenti di entropia? v. (1.5 pt) Con l’aiuto dei punti iii. e iv. dimostra che $$T_1^3 (V_1 - V_4) = T_2^3 (V_2 - V_3)$$ vi. (2 pt) Determina il rendimento del ciclo termodinamico e dimostra che corrisponde al rendimento del ciclo di Carnot. Aiuto: $$\eta \stackrel{\text{def}}{=} \frac{W_\text{ciclo}}{Q_\text{fornito}}$$ vii. (3 pt) Usando la relazione del punto v., dimostra che $V T^\beta$ e $p V^\gamma$ sono costanti per un processo adiabatico. Qual e il valore delle costanti $\beta$ e $\gamma$? Compara il tuo risultato con quello di un gas ideale. Aiuto: Com’e possibile soddisfare la relazione del punto v. per qualsiasi volume $V_1$? viii. (1 pt) Qual e la pressione del gas di fotoni a temperatura ambiente? E poco o molto in confronto alle pressioni che incontri nella vita quotidiana? ix. (1 pt) Descrivi un apparato sperimentale con il quale puoi realizzare il ciclo termodinamico. Quali difficolta pratiche potresti incontrare? SwissPhO : $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problem 2: Photon Gas (16 points)

Although photons differ from atoms and molecules in many aspects, a photon gas can be described similarly to an ideal gas. The internal energy u of a photon gas can be expressed as a function of temperature according to a termodinamiche usuali, come temperatura, pressione ed entropia. Per esempio, la densit where $u(T)=\frac{4\sigma T^4}{c},(1)$, $\sigma$ and e la costante di Stefan–Boltzmann e c are constants, and c is the speed of light in vacuum. The pressure of the gas is $p(T)=\frac{u(T)}{3}.(2)$

Now consider a reversible thermodynamic cycle of the photon gas composed of the following four processes:

1. Adiabatic expansion from volume $V_1$ and temperature $T_1$ to volume $V_2$ and temperature $T_2$.
2. Isothermal compression down to volume $V_3$.
3. Adiabatic compression from volume $V_3$ and temperature $T_2$ to volume $V_4$ and temperature $T_1$.
4. Isothermal expansion back to volume $V_1$.

i. (3 pt) Draw a p-V diagram and an T-S diagram for the thermodynamic cycle just described.

ii. (2 pt) Use the first law of thermodynamics and equations (1)-(2) to determine the amount of heat exchanged with the gas during each of the four processes.

iii. (2 pt) By how much does the entropy change in each process?

iv. (0.5 pt) What condition must be satisfied by the sum of entropy changes?

v. (1.5 pt) Using results from parts iii and iv, prove that $T_1^3(V_1-V_4)=T_2^3(V_2-V_3)$

vi. (2 pt) Determine the efficiency of the thermodynamic cycle and prove that it corresponds to the Carnot cycle efficiency.

Hint: $\eta \stackrel{\text{def}}{=}\frac{W_{\text{ciclo}}}{Q_{\text{fornito}}}$

vii. (3 pt) Using the relation from part v, prove that $V{T}^{\beta }$ and $p{V}^{\gamma }$ are constant during an adiabatic process. What are the values of these constants $\beta$ and $\gamma$? Compare your result with that of an ideal gas. Hint: How is it possible to satisfy the relation from point v. for any volume $V_1$?

viii. (1 pt) What is the pressure of a photon gas at room temperature? Is it small or large compared to the pressures encountered in everyday life?

ix. (1 pt) Describe an experimental setup with which you could realize the thermodynamic cycle. What practical difficulties might you encounter?

SwissPhO: $2^{\circ }$ turn Problems 25.03.2017

Esercizio 3 : Effetto Hall (16 punti) In questo problema ci interessiamo al funzionamento di un sensore a effetto Hall e alle sue potenziali applicazioni. Parte A. Mettiamo della resistenza … (3 punti) l d w ${\rho }_e$ Fig. 1: Pezzo di conduttore Nel seguito utilizzeremo un pezzo d’argento, che e un buon conduttore elettrico, avente resistivita elettrica ${\rho }_e=1.587\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$, lunghezza l, larghezza d e spessore w (cf figura 1). l A B $U_{AB}$ I Fig. 2: Schema del circuito elettrico; i quadrati rappresentano l’amperometro (I) e il generatore di tensione ($U_{AB}$). Connettiamo le due estremit`a A e B nel senso della lunghezza ad un generatore di tensione $U_{AB}$ e misuriamo la corrente I che passa nel pezzo di conduttore (cf figura 2). Ripetiamo la misura pìu volte; i risultati sono mostrati nella tabella 1.

$U_{AB}$ ($\mu \text{V}$) I (A) 1 -10 -0.252 2 -2 -0.05 3 5 0.126 4 15 0.378 Tab. 1: Misure della corrente effettuate sul pezzo di conduttore i. (2 pt) Usando le misure della tabella 1 determinate la resistenza del pezzo di conduttore. Supponete che la resistenza nel resto del circuito e trascurabile. ii. (1 pt) Determinate lo spessore w in funzione delle altre variabili sovramenzionate. (Per il calcolo numerico usate $l = 5\ \text{cm}$ e $d = 2\ \text{cm}$) Parte B. ... alla corrente (3 punti) Ci piacerebbe esprimere la corrente che scorre da A a B in funzione della velocita media degli elettroni nel materiale $v_d$, della loro densita per unita di volume media $n_e$, della loro carica e e delle dimensioni geometriche appropriate del pezzo di conduttore. i. (2 pt) Trova il valore degli esponenti nell’espressione seguente per la corrente: $I=n_e^{\alpha }{e}^{\beta }{v}_d^{\gamma }{w}^{\delta }{d}^{\epsilon }{l}^{\kappa }$ ii. (0.5 pt) In quale senso vanno gli elettroni? iii. (0.5 pt) Quali sono i parametri che dipendono dal materiale (e non dalla sua geometria)? Parte C. Nei campi (5 punti) Adesso mettiamo il pezzo di conduttore in un campo magnetico omogeneo perpendicolare a I e d (cf figura 3). La corrente scorre sempre da A a B. i. (0.5 pt) Qual e la direzione della forza di Lorentz che agisce sugli elettroni che si spostano all’interno del pezzo di conduttore? (Una risposta senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verra presa in considerazione) ii. (0.5 pt) Qual e il valore di questa forza? Se si attacca un voltmetro fra i punti C e D si misura una tensione $U_{CD}$ stabile dopo abbastanza tempo. iii. (2.5 pt) Riesci a spiegare perch ́e? (Sviluppa la tua risposta il pìu possibile. NB: E meglio rispondere a questa domanda dopo aver risposto ad altri punti della parte C) SwissPhO : $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017 A B $U_{AB}$ C D $\vec{B}$ Fig. 3: Pezzo di conduttore iv. (0.5 pt) In quale direzione punta il campo elettrico tra C e D? v. (0.5 pt) Qual e la direzione della forza elettrica che agisce sugli elettroni che si muovono all’interno del pezzo di conduttore? (Una risposta senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verra presa in considerazione) vi. (0.5 pt) Qual e il valore di questa forza? Parte D. Il culmine (5 punti) Dopo un certo periodo di tempo le forze si annullano e gli elettroni non sono pìu deviati dal loro tragitto all’interno del conduttore nonostante la tensione $U_{CD}$ sia sempre presente! i. (2 pt) Scrivi $I_{AB}$ e $U_{CD}$ in funzione di B, E, $n_e$, e e dei parametri geometrici appropriati. ii. (1 pt) La resistenza di Hall si definisce come $$R_H = \frac{U_{CD}}{I_{AB}}$$ Calcola questo valore algebricamente. iii. (0.5 pt) Trova il valore di $n_e$ se per un campo magnetico di $0.5\ \text{T}$ e $U_{AB} = 2\ \text{V}$ si misura $U_{CD} = 14\,717\ \mu\text{V}$. Adesso il nostro sensore e pronto! Lo mettiamo in un campo magnetico uniforme e misuriamo una tensione $U_{CD}=10\text{mV}$ quando si applica una tensione $U_{AB}=0.7\text{V}$. iv. (0.5 pt) Qual e l’intensita del campo magnetico nel quale `e immerso il sensore? v. (1 pt) Questo valore ci permette di conoscere la direzione del campo magnetico? (Motiva la tua risposta) Olimpiadi Svizzere di Fisica Seconda selezione Aarau, 25 marzo 2017 Parte teorica 2 : 6 domande corte Durata : 60 minuti Totale : 24 punti $(6\cdot 4)$ Materiale autorizzato : - Calcolatrice non programmabile

• Materiale per scrivere e disegnare NB : Iniziate ogni problema su un nuovo foglio Buon lavoro ! ERNST GÖHNER STIFTUNG neue kantonsschule aarau Supported by : Staatssekretariat für Bildung und Forschung und Innovation BASF (Basel) Deutschschweizerische Physikkommission VSMP / DPK Materials Science & Technology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne ETH Zurich Department of Physics Fondation Claude & Giuliana Ernst Göhner Stiftung, Zug Hasler Stiftung, Bern Metrohm Stiftung, Herisau Neue Kantonsschule Aarau Novartis International AG (Basel) Quantum Science and Technology F. Hoffman-La Roche AG (Basel) Société Valaisanne de Physique Swiss Academy of Engineering Sciences SATW Swiss Academy of Sciences Swiss Physical Society Syngenta AG Università della Svizzera italiana Universität Bern FB Physik/Astronomie Universität Zürich FB Physik Mathematik SwissPhO : Secondo girone Domande brevi 26.03.2017

Topic: Electromagnetism, Magnetism, Circuits Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Experimental Data Analysis, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problem 3: Hall Effect (16 points) In this problem we are interested in the operation of a Hall effect sensor and its potential applications. Part A. Let’s put some resistance … (3 points) l d w ${\rho }_e$ Fig. 1: Piece of conductor In the following we will use a piece of silver, which e un buon conduttore elettrico, avente resistivit electrical ${\rho }_e=1.587\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$, length l, width d and thickness w (see figure 1). l A B $U_{AB}$ I Fig. 2: Diagram of the electrical circuit; the squares represent the ammeter (I) and the voltage generator ($U_{AB}$). We connect the two ends A and B along the length to a voltage generator $U_{AB}$ and measure the current I that flows through the piece of conductor (see figure 2). We repeat the measurement several times; the results are shown in table 1.

$U_{AB}$ ($\mu \text{V}$) I (A) 1 -10 -0.252 2 -2 -0.05 3 5 0.126 4 15 0.378 Tab. 1: Current measurements made on the piece of conductor i. (2 pt) Using the measurements in table 1, determine the resistance of the piece of conductor. Assume that the resistance in the rest of the circuit is negligible. ii. (1 pt) Determine the thickness w as a function of the other variables mentioned above. (For the numerical calculation use $l=5\text{cm}$ and $d=2\text{cm}$) Part B. … to the current (3 points) We would like to express the current flowing from A to B as a function of the average velocity a media degli elettroni nel materiale $v_d$, della loro densit per unit volume $n_e$, of their charge e and of the appropriate geometric dimensions of the piece of conductor. i. (2 pt) Find the value of the exponents in the following expression for the current: $I=n_e^{\alpha }{e}^{\beta }{v}_d^{\gamma }{w}^{\delta }{d}^{\epsilon }{l}^{\kappa }$ ii. (0.5 pt) In which direction do the electrons go? iii. (0.5 pt) What are the parameters that depend on the material (and not on its geometry)? Part C. In the fields (5 points) Now we place the piece of conductor in a uniform magnetic field perpendicular to I and d (see figure 3). The current always flows from A to B. i. (0.5 pt) What e la direzione della forza di Lorentz che agisce sugli elettroni che si spostano all’interno del pezzo di conduttore? (Una risposta senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verr taken into consideration) ii. (0.5 pt) What is the value of this force? If a voltmeter is connected between points C and D, a voltage $U_{CD}$ is measured, stable after enough time. iii. (2.5 pt) Can you explain why? (Develop your answer as much as possible. NB: It is better to answer this question after having answered other points of part C) SwissPhO : $2^{\circ }$ round Problems 25.03.2017 A B $U_{AB}$ C D $\vec{B}$ Fig. 3: Piece of conductor iv. (0.5 pt) In which direction does the electric field between C and D point? v. (0.5 pt) What e la direzione della forza elettrica che agisce sugli elettroni che si muovono all’interno del pezzo di conduttore? (Una risposta senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verr taken into consideration) vi. (0.5 pt) What is the value of this force? Part D. The climax (5 points) After a certain period of time the forces cancel out and the electrons are no longer deflected from their path inside the conductor despite the voltage $U_{CD}$ still being present! i. (2 pt) Write $I_{AB}$ and $U_{CD}$ as a function of B, E, $n_e$, e and the appropriate geometric parameters. ii. (1 pt) The Hall resistance is defined as $R_H=\frac{U_{CD}}{I_{AB}}$ Calculate this value algebraically. iii. (0.5 pt) Find the value of $n_e$ if for a magnetic field of $0.5\text{T}$ and $U_{AB}=2\text{V}$ one measures $U_{CD}=14717\mu \text{V}$. Now our sensor is ready! We place it in a uniform magnetic field and measure a voltage $U_{CD}=10\text{mV}$ when a voltage $U_{AB}=0.7\text{V}$ is applied. iv. (0.5 pt) What is the e l’intensit of the magnetic field in which the sensor is immersed? v. (1 pt) Does this value allow us to know the direction of the magnetic field? (Motivate your answer) Swiss Physics Olympiad Second selection Aarau, 25 March 2017 Theoretical part 2 : 6 short questions Duration : 60 minutes Total : 24 points $(6\cdot 4)$ Authorized materials : - Non-programmable calculator

• Writing and drawing materials NB : Start each problem on a new sheet Good work ! ERNST GÖHNER STIFTUNG neue kantonsschule aarau Supported by : State Secretariat for Education and Research and Innovation BASF (Basel) German-speaking Swiss Physics Commission VSMP / DPK Materials Science & Technology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne ETH Zurich Department of Physics Fondation Claude & Giuliana Ernst Göhner Stiftung, Zug Hasler Stiftung, Bern Metrohm Stiftung, Herisau Neue Kantonsschule Aarau Novartis International AG (Basel) Quantum Science and Technology F. Hoffman-La Roche AG (Basel) Société Valaisanne de Physique Swiss Academy of Engineering Sciences SATW Swiss Academy of Sciences Swiss Physical Society Syngenta AG Università della Svizzera italiana Universität Bern FB Physik/Astronomie Universität Zürich FB Physik Mathematik SwissPhO : Second round Short questions 26.03.2017

Problema 1 : Il marziano (4 Punti) Vogliamo stimare il balzo di un astronauta di massa $70\text{kg}$. A questo scopo gli preghiamo di saltare pìu in alto che pùo nella nostra stazione di allenamento qui sulla Terra. Lui si piega dapprima sulle ginocchia, in modo da abbassare il suo baricentro di $40\text{cm}$. Nel punto pìu alto del salto il suo baricentro raggiunge un’altezza di $50\text{cm}$ maggiore rispetto a quando si trova in piedi in posizione eretta. i. (2 Pts) Calcola la forza media che le sue gambe esercitano sul pavimento durante il salto. Tralascia qualsiasi forza di attrito. ii. (1.5 Pts) Adesso vogliamo stimare quanto in alto potrebbe saltare l’astronauta su Marte. Assumi che lui effettui lo stesso movimento che ha eseguito sulla Terra e che indossi una tuta spaziale di massa $100\text{kg}$. L’accelerazione di gravita sulla superficie di Marte misura $g_\text{Marte} = 0.38 \cdot g_\text{Terra}$. L’atmosfera e molto rada, puoi quindi trascurare anche qui qualsiasi attrito. Assumendo che ci sia una stazione di base climatizzata su Marte in cui l’astronauta pùo muoversi senza tuta spaziale. iii. (0.5 Pts) Quando pùo saltare in alto in queste condizioni? (Assumi anche che saltando non picchi la testa sul soffitto)

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problem 1: The Martian (4 points) We want to estimate the jump of an astronaut of mass $70\text{kg}$. For this purpose, we ask him to jump as high as he can in our training station here on Earth. He first bends his knees, so as to lower his center of mass by $40\text{cm}$. At the highest point of the jump, his center of mass reaches a height $50\text{cm}$ greater than when he is standing upright. i. (2 Pts) Calculate the average force his legs exert on the floor during the jump. Neglect any friction force. ii. (1.5 Pts) Now we want to estimate how high the astronaut could jump on Mars. Assume that he performs the same motion he performed on Earth and that he wears a space suit of mass $100\text{kg}$. The acceleration of gravity a sulla superficie di Marte misura $g_\text{Marte} = 0.38 \cdot g_\text{Terra}$. L’atmosfera is very low, so you can also neglect any friction here. Assuming there is a climate-controlled base station on Mars in which the astronaut can move without a space suit. iii. (0.5 Pts) How high can he jump under these conditions? (Also assume that while jumping he does not hit his head on the ceiling)

Problema 2 : Un calcio al pallone medicinale (4 Punti) In palestra lasciamo cadere un pallone medicinale e una pallina da tennis dalla stessa altezza. Il pallone medicinale raggiunge per primo il pavimento e rimbalza verso l’alto. Impatta poi contro la pallina da tennis ad un’altezza $h_0=48\text{cm}$, mentre quest’ultima e ancora in caduta verso il pavimento, rispedendo quest’ultima verso l’alto. Un paio di dati: La pallina da tennis ha una massa di $m = 60\ \text{g}$ e un diametro $d = 6.7\ \text{cm}$. Il pallone medicinale ha una massa $M = 1.00\ \text{kg}$ e un diametro $D = 22\ \text{cm}$. i. (2.5 Pts) All’inizio consideriamo l’urto di entrambe le palle. Grazie ad una telecamera ad alta frequenza possiamo misurare che la velocita della palla medicinale prima dell’impatto e $v^\text{prima}_M = 2.8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, mentre per la palla da tennis $v^\text{prima}_t = 4.6\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Assumiamo un urto completamente elastico e tralasciamo gli effetti della forza peso, visto che l’impatto dura solo una piccola frazione di secondo $\Delta t < 1/40\ \text{s}$. Calcola la velocita $v_t^{\text{dopo}}$ della palla da tennis dopo l’urto. ii. (1.5 Pts) Indica un limite massimo per l’altezza che pùo essere raggiunta dalla palla da tennis. Perch ́e non raggiunger`a questa altezza?

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problem 2: A medicine ball kick (4 Points)

In the gym, we drop a medicine ball and a tennis ball from the same height. The medicine ball reaches the floor first and bounces back upward. It then collides with the tennis ball at a height $h_0=48\text{cm}$, while the latter is still falling toward the floor, sending it back upward.

Some data: The tennis ball has a mass of $m=60\text{g}$ and a diameter of $d=6.7\text{cm}$. The medicine ball has a mass of $M=1.00\text{kg}$ and a diameter of $D=22\text{cm}$.

i. (2.5 Points) Initially, we consider the collision between both balls. Thanks to a high-speed camera, we measure that just before impact, the velocity of the medicine ball is $v_M^{\text{prima}}=2.8\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, while for the tennis ball it is $v_t^{\text{prima}}=4.6\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. We assume a perfectly elastic collision and neglect the effects of gravity, since the impact lasts only a very short time $\Delta t<1/40\text{s}$. Calculate the velocity $v_t^{\text{dopo}}$ of the tennis ball after the collision.

ii. (1.5 Points) Indicate a maximum limit for the height that the tennis ball could reach. Why will it not achieve this height?

Problema 3 : Doppio tramonto (4 Punti) Vuoi trascorrere un serata romantica con la tua compagna/il tuo compagno e ti rechi con questa persona sulla spiaggia per vedere il tramonto con un elevatore meccanico. Nel momento in cui il sole tramonta, accendi l’elevatore e ti innalzi fino ad una altezza $h=6\text{m}$. L’elevatore si innalza ad una velocita $v = 0.3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Assumi che vi trovate gìa nell’elevatore quando osservate il tramonto per la prima volta, vale a dire che lo osserverete una volta all’altezza del mare, e la seconda esattamente a $6\ \text{m}$. i. (0.5 Pts) Di che angolo ha girato la Terra nel tempo che impiega l’elevatore a raggiungere l’altezza desiderata? ii. (1 Pt) Quanto ”sopra“ di te si troveranno i raggi del sole quando hai raggiunto l’altezza desiderata? Riporta il tuo risultato in forma algebrica. iii. (1.5 Pts) Potete vedere il tramonto una seconda volta? Il raggio della Terra misura $r_E = 6371\ \text{km}$. iv. (1 Pt) Se sı, potreste osservare il tramonto anche se la velocit`a dell’elevatore fosse pìu piccola di $\Delta v=-0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? Se no, potreste osservare il tramonto se l’elevatore fosse pìu veloce di $\Delta v=0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? SwissPhO : Secondo girone Domande brevi 26.03.2017 Figura 1: Source : xkcd.com

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Kinematic Equations, Small-Angle Approximation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problem 3: Double sunset (4 points) You want to spend a romantic evening with your partner and you go with this person to the beach to watch the sunset with a mechanical elevator. At the moment when the sun sets, you turn on the elevator and rise to a height $h=6\text{m}$. The elevator rises at a speed $v=0.3\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Assume that you are already in the elevator when you observe the sunset for the first time, that is, you will observe it once at sea level, and the second time exactly at $6\text{m}$. i. (0.5 Pts) By what angle has the Earth rotated in the time it takes the elevator to reach the desired height? ii. (1 Pt) How far “above” you will the sun’s rays be when you have reached the desired height? Report your result in algebraic form. iii. (1.5 Pts) Can you see the sunset a second time? The radius of the Earth measures $r_E=6371\text{km}$. iv. (1 Pt) If sı, potreste osservare il tramonto anche se la velocita of the elevator were smaller than $\Delta v=-0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? If not, could you observe the sunset if the elevator were faster than $\Delta v=0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? SwissPhO: Second round Short questions 26.03.2017 Figure 1: Source: xkcd.com

Problema 4 : Circuito oscillatorio in parallelo (4 Punti) Sia dato un circuito oscillatorio in parallelo come rappresentato nella figura. I valori delle componenti elettroniche sono $L=1\text{mH}$, $C=100\mu \text{F}$, $R=10\Omega$. Il fattore di qualita di un circuito e definito come $Q=R\cdot \sqrt{\frac{C}{L}}$. u C L R u C $L^{\prime }$ $R^{\prime }$ Figura 2: Sinistra: circuito iniziale. Destra: circuito trasformato. i. (2 Pts) Calcola la frequenza di risonanza del circuito elettrico iniziale. ii. (2 Pts) Trasforma il circuito iniziale in un circuito oscillatorio strettamente parallelo in modo che l’impedenza dei due circuiti sia uguale alla frequenza di risonanza. Sia $f_0=10\text{kHz}$ la frequenza di risonanza del circuito modificato. Qual e il fattore di qualita del circuito modificato?

Topic: Oscillations & Waves, Circuits Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Inductor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problem 4: Parallel Oscillatory Circuit (4 Points) Consider a parallel oscillatory circuit as shown in the figure. The component values are $L=1\text{mH}$, $C=100\mu \text{F}$, $R=10\Omega$. The quality factor a di un circuito is defined as $Q=R\cdot \sqrt{\frac{C}{L}}$.

u C L R u C $L^{\prime }$ $R^{\prime }$ Figure 2: Left: initial circuit. Right: transformed circuit.

i. (2 Points) Calculate the resonance frequency of the initial electric circuit. ii. (2 Points) Transform the initial circuit into a strictly parallel oscillatory circuit such that the impedance of both circuits is equal at the resonance frequency. Let $f_0=10\text{kHz}$ be the resonance frequency of the modified circuit. What is e il fattore di qualit for the modified circuit?

Problema 5 : Il flusso delle idee (4 Punti) Blaise ha costruito una nuova piscina nel suo giardino che ha progettato da solo. La piscina e un cilindro perfetto che giace su un piano orizzontale, e ha le seguenti dimensioni: un diametro di $1\ \text{m}$ e altezza di $1.5\ \text{m}$. Blaise riempie la piscina di acqua fino in cima. i. (2 Pts) Evangelista, il fratello minore di Blaise, fa un buco nella parete ad un’altezza h dal suolo. L’acqua comincia quindi ad uscire. Con che velocita fuoriesce l’acqua da questo buco? Giustifica la risposta con dei calcoli. ii. (1 Pt) A che distanza (orizzontale) dal buco l’acqua toccher`a per terra? iii. (1 Pt) A che altezza (dal suolo) Evangelista dovrebbe fare il buco affinch ́e l’acqua raggiunga la distanza massima possibile dal buco? SwissPhO : Secondo girone Domande brevi 26.03.2017

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problem 5: The Flow of Ideas (4 Points)

Blaise has built a new swimming pool in his garden, which he designed himself. The pool is a perfect cylinder lying on a horizontal plane and has the following dimensions: a diameter of $1\text{m}$ and a height of $1.5\text{m}$. Blaise fills the pool completely with water.

i. (2 Points) Evangelista, Blaise’s younger brother, makes a hole in the wall at a height h above the ground. Water then starts to exit through this hole. With what speed does water exit from this hole? Justify your answer with calculations.

ii. (1 Point) At what horizontal distance from the hole will the water hit the ground?

iii. (1 Point) At what height above the ground should Evangelista make the hole so that the water reaches the maximum possible horizontal distance from the hole?

SwissPhO: Second Round Short Questions 26.03.2017

Problema 6 : Datazione al carbonio 14 (4 Punti) ${}^{14}$C (Carbonio-14) e un isotopo radioattivo del carbonio, presente in ogni materiale organico. In natura possiamo trovare tre diversi tipi di isotopi di carbonio: $^{12}$C, presente al 99%, $^{13}$C, presente all’ 1%, e $^{14}$C presente solo in piccole tracce. Quest’ultimo e appunto radioattivo, con un tempo di dimezzamento $t_{1/2}$ di circa 5730 anni1. ${}^{14}$C decade in ${}^{14}$N, un isotopo stabile, tramite un decadimento beta. ${}^{14}$C e prodotto principalmente nell’atmosfera dai raggi cosmici. Gli organismi viventi, per esempio le piante, assorbono costantemente $^{14}$C durante il loro ciclo vitale, e possiamo considerare che contengano lo stesso rapporto di $^{14}$C presente nell’atmosfera. Appena un organismo muore, il quantitativo di $^{14}$C che contiene comincia a decadere. Misurando la quantita di ${}^{14}$C presente in un organismo possiamo quindi determinare in modo approssimativo la sua eta (vale a dire il tempo passato dalla morte dell’organismo e la misurazione). Supponiamo che oggi il campione contiene solo il 10% dell’ammontare di $^{14}$C che aveva inizialmente. i. (1 Pt) Quanto e vecchio il campione? Assumiamo adesso che il rapporto $\frac{{}^{14}\text{C}}{{}^{12}\text{C}}\approx 10^{-12}$ nell’atmosfera e pìu o meno costante e simile al passato2. Usiamo lo stesso campione della domanda precedente. Uno dei tuoi colleghi non e molto attento nel maneggiare il campione e sfortunatamente ne contamina il 5% con carbonio moderno (vale a dire che 5% del campione originale e sostituito da carbonio moderno). Tu effettui di nuovo una misurazione del campione contaminato. ii. (1.5 Pts) Il risultato della datazione sara pìu recente o antico rispetto alla prima misurazione? Che eta verra stimata per il campione contaminato? 12g di C sono equivalenti a 1 mole. Un corpo umano e composto principalmente di acqua e carbonio, contiene quindi tracce di $^{14}$C, ovvero, siamo naturalmente radioattivi! iii. (1.5 Pts) Stima l’attivita del corpo umano causato dal ${}^{14}$C (ovvero il numero di decadimenti radioattivi per secondo3). Non dimenticare di menzionare le tue assunzioni. 1Il tempo di dimezzamento e definito come segue: Dopo $t_{1/2}$ rimane solo meta della quantita iniziale dell’isotopo, l’altra meta si e trasformata in qualcosa d’altro. 2Questo non e sempre esatto. Infatti i test nucleari nell’atmosfera effettuati tra il 1955 e il 1963 hanno portato ad un aumento della produzione di ${}^{14}$C nell’atmosfera. In realta bisogna effettuare delle calibrazioni con altri metodi di datazione per poter sapere il valore esatto di $\dfrac{^{14}\text{C}}{^{12}\text{C}}$ nelle diverse epoche. 3L’unita di misura che descrive il numero di decadimenti radioattivi per secondo `e chiamata Becquerel, indicata come Bq.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Modern-Quantum Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Order-of-Magnitude Estimation, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problem 6: Carbon-14 dating (4 points) ${}^{14}$C (Carbon-14) is a radioactive isotope of carbon, present in every organic material. In nature we can find three different types of carbon isotopes: ${}^{12}$C, present at 99%, ${}^{13}$C, present at 1%, and ${}^{14}$C present only in small traces. The latter is indeed radioactive, with a half-life $t_{1/2}$ of about 5730 years1. ${}^{14}$C decays into ${}^{14}$N, a stable isotope, via beta decay. ${}^{14}$C is produced mainly in the atmosphere by cosmic rays. Living organisms, for example plants, constantly absorb ${}^{14}$C during their life cycle, and we can consider that they contain the same ratio of ${}^{14}$C present in the atmosphere. As soon as an organism dies, the amount of ${}^{14}$C it contains begins to decay. By measuring the amount of ${}^{14}$C present in an organism we can therefore approximately determine its age (that is, the time elapsed since the death of the organism and the measurement). Suppose that today the sample contains only 10% of the amount of ${}^{14}$C that it had initially. i. (1 Pt) How old is the sample? Let us now assume that the ratio $\frac{{}^{14}\text{C}}{{}^{12}\text{C}}\approx 10^{-12}$ in the atmosphere is more or less constant and similar to the past2. Let us use the same sample as in the previous question. One of your colleagues is not very careful when handling the sample and unfortunately contaminates 5% of it with modern carbon (that is, 5% of the original sample is replaced by modern carbon). You again perform a measurement of the contaminated sample. ii. (1.5 Pts) Will the result of the dating be more recent or older than the first measurement? What is the estimated agea verr for the contaminated sample? 12g of C are equivalent to 1 mole. A human body is composed mainly of water and carbon, therefore contains traces of ${}^{14}$C, that is, we are naturally radioactive! iii. (1.5 points) Estimate the activity of the human body caused by ${}^{14}$C (that is, the number of radioactive decays per second3). Do not forget to mention your assumptions. 1The half-life is defined as follows: After $t_{1/2}$ only halfa della quantit of the initial isotope remains, the other halfa si is transformed into something else. 2This is not always exact. In fact, atmospheric nuclear tests carried out between 1955 and 1963 led to an increase in the production of ${}^{14}$C in the atmosphere. In reality, calibrations with other dating methods must be carried out in order to know the exact value of $\frac{{}^{14}\text{C}}{{}^{12}\text{C}}$ in different eras. 3The unit of measurement that describes the number of radioactive decays per second is called the Becquerel, denoted as Bq.