Svizze 2017

Esercizio 1 : Sincronizzazione degli orologi (16 punti) In questo problema, vogliamo derivare le trasformazioni di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentz sono le trasformazioni fondamentali dello spazio e del tempo tra due sistemi di riferimento nella relativita ristretta. Consideriamo la seguente situazione: il Capitano Hendrik e in viaggio con la sua nave spaziale nello spazio interstellare. Il suo volo e osservato dalla Terra. Il Capitano Hendrik supera la torre di controllo della Terra, e si dirige seguendo una traiettoria lineare verso una stazione spaziale geostazionaria (che quindi non si muove rispetto alla Terra). Consideriamo le seguenti definizioni ( (cf Fig.1)): Il sistema di riferimento della Terra, in cui anche la stazione spaziale geostazionaria si trova, viene considerato come sistema di riferimento a riposo. Lo indichiamo con $\Sigma$. Tutte le dimensioni misurate in rapporto a $\Sigma$ vengono indicate senza apostrofo. La torre di controllo costituisce l’origine del sistema di coordinate in $\Sigma$. Indichiamo il sistema di riferimento della nave spaziale con $\Sigma'$. Tutte le dimensioni che vengono misurate dalla torre di controllo in rapporto a $\Sigma'$ vengono indicate con un apostrofo. Il cockpit della nave spaziale si trova nella punta, e funge da origine del sistema di riferimento $\Sigma'$. Il Capitano Hendrik conduce la sua nave spaziale con velocita costante $v>0$ lungo l’asse x di $\Sigma$. L’asse x di $\Sigma$ coincide con l’asse $x^{\prime }$ di ${\Sigma }^{\prime }$. Gli assi y e z di $\Sigma$ sono paralleli agli assi $y^{\prime }$ e $z^{\prime }$ di ${\Sigma }^{\prime }$. Tutti i calcoli possono quindi essere svolti considerando il problema come monodimensionale lungo l’asse x. Non appena la punta della nave spaziale sorvola la torre di controllo, gli orologi della la torre di controllo e della nave spaziale vengono azzerati. Quindi a $t=t^{\prime }=0$ le origini dei due sistemi di riferimento coincidono. Le coordinate della stazione spaziale geostazionaria nel sistema di riferimento $\Sigma$ sono $(x_0,0,0)$ Trascuriamo gli effetti della gravita. A C B D E Fig. 1: Situazione al tempo $t = 0$. A : Terra B : nave spaziale del Capitano Hendrik C : Torre di controllo D : Stazione spaziale geostazionaria E : Assi x e $x'$ Inoltre consideriamo i seguenti fatti come conosciuti: Una lunghezza nel sistema in movimento appare minore se misurata dal sistema a riposo (contrazione delle lunghezze). Vale $\Delta l' = \gamma \cdot \Delta l$ Il tempo del sistema in movimento scorre pìu lentamente quando misurato dal sistema a riposo (dilatazione del tempo). Vale $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t'$ $\gamma$ e definito come $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ Parte A. Meccanica classica (1.25 punti) In questa prima parte consideriamo che v sia molto piccola, e per questo non sussiste alcun effetto relativistico $(\gamma \approx 1)$. Vogliamo quindi per ora considerare le trasformazioni spaziali e temporali della meccanica classica, denominate trasformazioni di Galileo. i. (0.25 pt) Qual e la coordinata x della stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t in rapporto a $\Sigma$. ii. (0.75 pt) Qual e la coordinata $x^{\prime }$ della stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t in rapporto a ${\Sigma }^{\prime }$. iii. (0.25 pt) Qual e il tempo $t'$, quando e trascorso un tempo t? SwissPhO : $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017 Parte B. Trasformazioni spaziali di Lorentz (2.25 punti) Da ora consideriamo v sufficientemente grande da imporre effetti relativistici $(\gamma \ne 1)$. Vogliamo quindi considerare le trasformazioni spaziali, e per questo ci serve la stazione spaziale geostazionaria. In un caso non relativistico, la trasformazione spaziale di Lorentz si ridurrebbe alle formule che hai calcolato nella domanda A ii). i. (0.25 pt) Qual e la posizione x della stazione spaziale geostazionaria nel sistema $\Sigma$ al tempo t? ii. (0.5 pt) Quanto e grande la distanza tra la nave spaziale (nello specifico l’origine di ${\Sigma }^{\prime }$) e la stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t nel sistema $\Sigma$? iii. (0.5 pt) La nave spaziale porta con s ́e una copia del metro di riferimento 1. Quanto apparira lungo questo oggetto, se osservato dalla torre di controllo? iv. (0.75 pt) Quanto grande appare la distanza tra la nave spaziale e la stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t, dal punto di vista della torre di controllo, in termini di unita di misura di ${\Sigma }^{\prime }$ (quindi in funzione della lunghezza del metro di riferimento nel sistema ${\Sigma }^{\prime }$)? v. (0.25 pt) Qual e la coordinata $x'$ della stazione spaziale geostazionaria nel sistema $\Sigma'$? Questa e la trasformazione spaziale di Lorentz. Parte C. Trasformazioni temporali di Lorentz (12.5 punti) Consideriamo ora le trasformazioni temporali di Lorentz. In eventi non relativistici, queste formule si riducono a quelle che hai ottenuto nella domanda A iii). Nel momento in cui il Capitano Hendrik supera la torre di controllo, sincronizza gli orologi della sua nave spaziale. Per derivare la trasformazione temporale, consideriamo la sincronizzazione degli orologi nei sistemi ${\Sigma }^{\prime }$ e $\Sigma$. Sincronizzati significa che due orologi mostrano la stessa ora in un sistema di riferimento (eventualmente, agli occhi di una persona i due orologi mostreranno un tempo diverso, poich ́e la luce impiega un po’ pìu tempo per percorrere la distanza tra l’orologio pìu lontano e gli occhi dell’osservatore). i. (0.5 pt) Di seguito vogliamo capire in che modo sia possibile sincronizzare al meglio due orologi. L’orologio nella torre di controllo, azzerato al passaggio del Capitano Hendrik, deve venir sincronizzato con quello della stazione spaziale geostazionaria. Per fare cìo, la torre di controllo lancia un impulso luminoso in direzione della stazione spaziale geostazionaria, il quale la raggiunge dopo un tempo $\Delta t_1$. Calcola $\Delta t_1$. ii. (0.5 pt) Nel momento in cui l’impulso luminoso raggiunge la stazione spaziale geostazionaria, questo viene registrato e un nuovo impulso luminoso viene spedito immediatamente (quindi senza ritardi di tempo) dalla stazione spaziale geostazionaria verso la torre di controllo. Calcola l’intervallo di tempo $\Delta t_2$ dal momento in cui la stazione spaziale geostazionaria emette l’impulso al momento in cui viene ricevuto dalla torre di controllo. iii. (0.75 pt) Per far sı che l’orologio sulla stazione spaziale geostazionaria sia sincronizzato con quello della torre di controllo, consideriamo che all’arrivo dell’impulso luminoso l’orologio sulla stazione spaziale geostazionaria indichi la meta del tempo $\Delta t_1+\Delta t_2$. Quale tempo e quindi indicato sull’orologio della stazione spaziale geostazionaria nel momento in cui riceve l’impulso luminoso? Quale ora indica al tempo $t = 10\ \text{s}$? iv. (0.5 pt) Ora abbiamo calcolato una sincronizzazione tra orologi nel sistema a riposo. Ora concentriamoci sulla sincronizzazione degli orologi sulla nave spaziale. Al passaggio dalla torre di controllo, anche il Capitano Hendrik azzera il suo orologio nel cockpit. Inoltre vuole sincronizzare anche l’orologio nella sala macchine, in fondo alla nave, con quello nel cockpit. Quindi svolge una sincronizzazione degli orologi, che osserviamo dalla Terra. Prima di iniziare con la sincronizzazione, ci serve la distanza del tragitto nel sistema $\Sigma$. Consideriamo che nelle schematiche della nave, la lunghezza della nave sia indicata con $L'$. Quanto appare lunga la nave spaziale, se vista da $\Sigma$? Consideriamo ora che per sincronizzare gli orologi la luce debba viaggiare dalla punta alla coda della nave. v. (2 pt) Possiamo ora iniziare con l’effettiva sincronizzazione degli orologi. Come per la sincronizzazione con la stazione spaziale geostazionaria, il Capitano Hendrik manda un impulso luminoso dal cockpit alla sala macchine. Calcola il tempo $\Delta t_1$ necessario alla luce per percorrere la distanza in questione nel sistema $\Sigma$. Considera: quando considerata da $\Sigma$, la nave spaziale si muove con ve- 1In passato il metro era definito come la lunghezza di una sbarra che serviva da taratura. Per questo problema significa che la lunghezza del metro di riferimento e esattamente un metro nel sistema in cui e a riposo, e quindi definisce l’unita

Topic: Special Relativity, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Transformation, Kinematic Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 1 : Sincronizzazione degli orologi (16 punti) In questo problema, vogliamo derivare le trasformazioni di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentz sono le trasformazioni fondamentali del spazio e del tempo tra due sistemi di riferimento Nella relatività ̇a ristretta. Considerando la seguente situazione: il capitano Hendrik e in viaggio con la sua nave spaziale nello spazio interstellare. Il suo volo e osservato dalla Terra. Il Capitano Hendrik supera la torre di controllo della terra, e si dirige seguendo una Trasferimento lineare verso una stazione spaziale geostazionaria (che quindi non si muove rispetto alla Terra). Considerando le seguenti definizioni (cfr. Figura 1)): Il sistema di riferimento della Terra, in cui anche la stazione spaziale geostazionaria si Infatti, il sistema di riferimento è un sistema di riposo. L’indiciamo con $\Sigma$. Tutte le dimensioni misurate in rapporto a $\Sigma$ vengono indicate senza apostrofo. La torre di controllo costituisce l’origine del sistema di coordinate in $\Sigma$. Indichiamo il sistema di riferimento della nave spaziale con ${\Sigma }^{\prime }$. Tutte le dimensioni che vengono misurate dalla torre di controllo in rapporto a ${\Sigma }^{\prime }$ vengono indicate con un apostrofo. Il cockpit della nave spaziale si trova nella punta, e fungo da origine del sistema di riferimento ${\Sigma }^{\prime }$. Il capitano Hendrik conduce la sua nave spaziale con velocità $v>0$ lungo la strada x di $\Sigma$. L’asse x di $\Sigma$ coincide con l’asse $x^{\prime }$ di ${\Sigma }^{\prime }$. Gli assi e i z di $\Sigma$ sono paralleli agli assi $y^{\prime }$ e $z^{\prime }$ di ${\Sigma }^{\prime }$. Tutti i calcoli possono quindi essere svolti considerando il problema Monodimensionale lungo l’asse x. Non appena la punta della nave spaziale sorvola la torre di controllo, gli orologi della Torre di controllo e della nave spaziale vengono azzerati. Quindi un $t=t^{\prime }=0$ le origini I due sistemi di riferimento coincidono. Le coordinate della stazione spaziale geostazionaria nel sistema di riferimento $\Sigma$ sono $(x_0,0,0)$ Trascuramo gli effetti della gravità. A C B D E Fig. - Cosa? 1: Situazione al tempo $t=0$. A: Terra B: nave Spaziale del Capitano Hendrik C: Torre di controllo D: Stazione spaziale geostazionaria E: Assi x e $x^{\prime }$ Inoltre, consideriamo i seguenti fatti: conosciuti: Una lunghezza nel sistema in movimento appare minore se misurata dal sistema a riposo (contrazione delle lunghezze). Valletta $\Delta l^{\prime }=\gamma \cdot \Delta l$ Il tempo del sistema in movimento scorre piu lentamente quando misurato dal sistema a Riposo (dilatazione del tempo). Valletta $\Delta t=\gamma \cdot \Delta t^{\prime }$ $\gamma$ e definitivo $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$$ Parte A. Meccanica classica (1,25 punti) In questa prima parte consideriamo che il v sia molto piccola, e per questo non sussiste alcun Effetto relativistico $(\gamma \approx 1)$. Vogliamo quindi per ora considerare le trasformazioni spaziali e temporali della meccanica classica, denominati Trasformazioni di Galileo. i. (0,25 p) Qual è la coordinata x della stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t in rapporto a $\Sigma$. ii. (0.75 pt) Qual e la coordinata $x^{\prime }$ della stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t in rapporto a ${\Sigma }^{\prime }$. iii. (0,25 p) Qual e il tempo $t'$, quando e Trascorso un tempo t? SwissPhO: $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017 Parte B. Trasformazioni spaziali di Lorentz (2.25 punti) Da ora consideriamo v sufficientemente grande da imporre effetti relativistici $(\gamma \ne 1)$. Vogliamo quindi considerare le trasformazioni spaziali, e per questo servono la stazione spaziale geostazionaria. In un caso non relativistico, la trasformazione spaziale di Lorentz si ridurrebbe tutte le formula che ha calcolato nella domanda A ii). i. (0,25 p) Qual e la posizione x della stazione Il sistema di geostazionariato spaziale nel sistema $\Sigma$ al tempo t? ii. Quanto e grande la distanza tra la nave spaziale (specifico l’origine di ${\Sigma }^{\prime }$) e la Stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t nel sistema $\Sigma$? iii. (0.5 p) La nave spaziale porta con s’ una copia del metro di riferimento 1. Quanto apparir lungo questo oggetto, se osservato dalla torre di Controllo? iv. Quanto grande appare la distanza Tra la nave spaziale e la stazione spaziale geostazionaria dopo un tempo t, dal punto di vista della Torre di controllo, in termini di unità ${\Sigma }^{\prime }$ (quindi in funzione della lunghezza del metro di riferimento nel sistema ${\Sigma }^{\prime }$)? v. (0.25 pt) Qual e la coordinata $x'$ della stazione spaziale geostazionaria nel sistema $\Sigma'$? Questa e La trasformazione spaziale di Lorentz. Parte C. Trasformazioni temporali di Lorentz (12.5 Infine, il Consiglio ha adottato una decisione che prevede che il Consiglio non possa prendere decisioni in merito a tale decisione. In eventi non relativistici, queste formula si riduce una quela che hai ottenuto nella domanda A iii). Nel momento in cui il capitano Hendrik supera la torre di controllo, sincronizza gli orologi della sua nave spaziale. Per derivare la trasformazione temporale, consideriamo la sincronizzazione Gli orologi nei sistemi ${\Sigma }^{\prime }$ e $\Sigma$. Sincronizzati significa che le due orologi mostrano la stessa ora in Un sistema di riferimento (eventualmente, agli occhi di una persona i due orologi mostreranno un Tempo diverso, perché la luce impiega un po’ di più tempo per percorrere la distanza tra l’orologio piu lontano e gli occhi dell’osservatore). i. (0,5 p) Di seguito vogliamo capire in che modo sia possibile sincronizzare al meglio due orologi. L’orologio nella torre di controllo, azzerato al passaggio del capitano Hendrik, deve venire sincronizzato con quello della stazione spaziale geostazionaria. Per conto di tutti, la torre di controllo lancia un Impulso luminoso in direzione della stazione spaziale geostazionaria, il quale raggiunge dopo un tempo $\Delta t_1$. Calcola $\Delta t_1$. ii. (0,5 p) Nel momento in cui l’impulso luminoso raggiunge la stazione spaziale geostazionaria, Questo viene registrato e un nuovo impulso luminoso viene accelerato immediatamente (quando senza ritardo di tempo) dalla stazione spaziale geostazionaria verso la torre di controllo. Calcola L’intervallo di tempo $\Delta t_2$ dal momento in cui la Stazione spaziale geostazionaria emette l’impulso Al momento in cui viene ricevuto dalla torre di Controllo. iii. (0,75 p) Per il tempo che passa sulla stazione spaziale geostazionaria sia sincronizzato con quello della torre di controllo, si considera che l’arrivo dell’impulso luminoso dell’orologio sulla stazione spaziale geostazionaria indichi la met ̆a del tempo $\Delta t_1+\Delta t_2$. Quale tempo e quindi indicato sull'orologio della stazione spaziale geostazionaria nel momento in cui riceviamo un impulso luminoso? Quale ora indica al tempo $t = 10\ \text{s}$? iv. (0,5 p) Ora abbiamo calcolato una sincronizzazione tra orologi nel sistema a riposo. Ora Concentriamoci sulla sincronizzazione degli orologi sulla nave spaziale. Al passaggio dalla torre di controllo, anche il capitano Hendrik azzera il Il suo orologio e il cockpit. Inoltre vuole sincronizzare anche l'orologio nella sala macchine, in fondo Alla nave, con quella nella cabina. Quindi svolge Una sincronizzazione degli orologi, che osserviamo dalla Terra. Prima di iniziare con la sincronizzazione, si serve la distanza del tragitto nel sistema $\Sigma$. Considerando che nei schemi della nave, La lunghezza della nave è indicata con $L'$. Quanto appare lunga la nave spaziale, se vista da $\Sigma$? Consideriamo che ora per sincronizzare gli orologi la luce debba viaggiare dalla punta alla coda della nave. v. (2 p) Ora possiamo iniziare con la sincronizzazione effettiva degli orologi. Come per la sincronizzazione con la stazione spaziale geostazionaria, Il Capitano Hendrik manda un impulso luminoso Dal cockpit alla sala macchine. Calcolo del tempo $\Delta t_1$ necessario alla luce per percorrere la distanza in questione nel sistema $\Sigma$. Considerare: quando considerata da $\Sigma$, la nave spaziale si muove con ve- 1Nel passato, nell'era della metropolitana, è stata definita la lunghezza di una barra che serviva la terra. Per questo problema significa che la lunghezza del metro di riferimento e esattamente un metro nel sistema in cui e un riposo, e quindi definisce l'unità a

Topic: Special Relativity, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Transformation, Kinematic Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 2 : Gas di fotoni (16 punti) Nonostante i fotoni si differenzino in molti aspetti da atomi e molecole, si pùo descrivere un gas di fotoni con quantita termodinamiche usuali, come temperatura, pressione ed entropia. Per esempio, la densita di energia interna u di un gas di fotoni si pùo esprimere in funzione della temperatura come $u(T)=\frac{4\sigma T^4}{c},(1)$ dove $\sigma$ e la costante di Stefan–Boltzmann e c e la velocita della luce nel vuoto. La pressione del gas e $p(T)=\frac{u(T)}{3}.(2)$ Consideriamo adesso un ciclo reversibile del gas di fotoni composto dai seguenti quattro processi:

1. Espansione adiabatica dal volume $V_1$ e temperatura $T_1$ al volume $V_2$ e temperatura $T_2$.
2. Compressione isoterma fino al volume $V_3$.
3. Compressione adiabatica dal volume $V_3$ e temperatura $T_2$ al volume $V_4$ e temperatura $T_1$.
4. Espansione isoterma fino al volume $V_1$. i. (3 pt) Disegna un diagramma p-V e uno T-S per il ciclo termodinamico appena descritto. ii. (2 pt) Usa la prima legge della termodinamica e le equazioni (1)-(2) per determinare la quantita di calore scambiata con il gas durante ognuno dei quattro processi. iii. (2 pt) Di quanto cambia l’entropia in ogni processo? iv. (0.5 pt) Quale condizione deve soddisfare la somma dei cambiamenti di entropia? v. (1.5 pt) Con l’aiuto dei punti iii. e iv. dimostra che $$T_1^3 (V_1 - V_4) = T_2^3 (V_2 - V_3)$$ vi. (2 pt) Determina il rendimento del ciclo termodinamico e dimostra che corrisponde al rendimento del ciclo di Carnot. Aiuto: $$\eta \stackrel{\text{def}}{=} \frac{W_\text{ciclo}}{Q_\text{fornito}}$$ vii. (3 pt) Usando la relazione del punto v., dimostra che $V T^\beta$ e $p V^\gamma$ sono costanti per un processo adiabatico. Qual e il valore delle costanti $\beta$ e $\gamma$? Compara il tuo risultato con quello di un gas ideale. Aiuto: Com’e possibile soddisfare la relazione del punto v. per qualsiasi volume $V_1$? viii. (1 pt) Qual e la pressione del gas di fotoni a temperatura ambiente? E poco o molto in confronto alle pressioni che incontri nella vita quotidiana? ix. (1 pt) Descrivi un apparato sperimentale con il quale puoi realizzare il ciclo termodinamico. Quali difficolta pratiche potresti incontrare? SwissPhO : $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.7

Esercizio 2: Gas di fotoni (16 punti) Nonostante i fotoni si differenzino in molti Gli aspetti dell’atomo e della molecola, se non più possibile descrivere un gas di fotoni con la quantità e la termodinamica usuali, come temperatura, pressione ed entropia. Per ad esempio, la densità d’energia interna gas di fotoni si pùo esprimere in funzione della temperatura arriva $u(T)=\frac{4\sigma T^4}{c},(1)$ Dove $\sigma$ e la costante di StefanBoltzmann e c e la VelocitÃa della luce nel vuoto. La pressione del gas `e $p(T)=\frac{u(T)}{3}.(2)$ Consideriamo ora un ciclo reversibile del gas di fotoni composto dai seguenti quattro processi:

1. espansione adiabatica dal volume $V_1$ e temperatura $T_1$ al volume $V_2$ e temperatura $T_2$.
2. Compressione isoterma fino al volume $V_3$.
3. Compressione adiabatica dal volume $V_3$ e temperatura $T_2$ al volume $V_4$ e temperatura $T_1$.
4. espansione isoterma fino al volume $V_1$. i. (3 p) Disegno di un diagramma p-V e uno T-S per il ciclo termodinamico appena descritto. ii. (2 p) Usa la prima legge della termodinamica e le equazioni (1)-(2) per determinare la quantit ̆a di calore scambiato con il gas durante ognuno dei Quattro processi. iii. (2 p) Quanto cambia l’entropia in ogni

• Il processo? iv. (0,5 p) Quale condizione deve soddisfare la La somma dei cambiamenti di entropia? v. (1.5 p.t.) Con l’aiuto dei punti iii. e iv. dimostra che $T_1^3(V_1-V_4)=T_2^3(V_2-V_3)$ vi. (2 p) Determina il rendimento del ciclo termodinamico e dimostra che corrisponde al rendimento del ciclo di Carnot. Aiuto: $\eta \stackrel{\text{def}}{=}\frac{W_{\text{ciclo}}}{Q_{\text{fornito}}}$
• il numero di persone (3 pt) Usando la relazione del punto v., dimostra che $V{T}^{\beta }$ e $p{V}^{\gamma }$ sono costanti per un processo
• Adiabatico. Qual è il valore delle costanti $\beta$ e $\gamma$? Confrontare il risultato con quello di un gas ideale. Aiuto: Com`e possibile soddisfare la relazione del punto v. per qualsiasi volume $V_1$?
• Il terzo. (1 p) Qual è la pressione del gas di fotoni a temperatura ambiente? `E poco o molto in confronto alle pressioni che incontri nella vita quotidiana? ix. Descrivi un apparato sperimentale con Il quale può realizzare il ciclo termodinamico. Quali difficoltà incontrare le pratiche potresti? SwissPhO: $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.7

Esercizio 3 : Effetto Hall (16 punti) In questo problema ci interessiamo al funzionamento di un sensore a effetto Hall e alle sue potenziali applicazioni. Parte A. Mettiamo della resistenza … (3 punti) l d w ${\rho }_e$ Fig. 1: Pezzo di conduttore Nel seguito utilizzeremo un pezzo d’argento, che e un buon conduttore elettrico, avente resistivita elettrica ${\rho }_e=1.587\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$, lunghezza l, larghezza d e spessore w (cf figura 1). l A B $U_{AB}$ I Fig. 2: Schema del circuito elettrico; i quadrati rappresentano l’amperometro (I) e il generatore di tensione ($U_{AB}$). Connettiamo le due estremit`a A e B nel senso della lunghezza ad un generatore di tensione $U_{AB}$ e misuriamo la corrente I che passa nel pezzo di conduttore (cf figura 2). Ripetiamo la misura pìu volte; i risultati sono mostrati nella tabella 1.

$U_{AB}$ ($\mu \text{V}$) I (A) 1 -10 -0.252 2 -2 -0.05 3 5 0.126 4 15 0.378 Tab. 1: Misure della corrente effettuate sul pezzo di conduttore i. (2 pt) Usando le misure della tabella 1 determinate la resistenza del pezzo di conduttore. Supponete che la resistenza nel resto del circuito e trascurabile. ii. (1 pt) Determinate lo spessore w in funzione delle altre variabili sovramenzionate. (Per il calcolo numerico usate $l = 5\ \text{cm}$ e $d = 2\ \text{cm}$) Parte B. ... alla corrente (3 punti) Ci piacerebbe esprimere la corrente che scorre da A a B in funzione della velocita media degli elettroni nel materiale $v_d$, della loro densita per unita di volume media $n_e$, della loro carica e e delle dimensioni geometriche appropriate del pezzo di conduttore. i. (2 pt) Trova il valore degli esponenti nell’espressione seguente per la corrente: $I=n_e^{\alpha }{e}^{\beta }{v}_d^{\gamma }{w}^{\delta }{d}^{\epsilon }{l}^{\kappa }$ ii. (0.5 pt) In quale senso vanno gli elettroni? iii. (0.5 pt) Quali sono i parametri che dipendono dal materiale (e non dalla sua geometria)? Parte C. Nei campi (5 punti) Adesso mettiamo il pezzo di conduttore in un campo magnetico omogeneo perpendicolare a I e d (cf figura 3). La corrente scorre sempre da A a B. i. (0.5 pt) Qual e la direzione della forza di Lorentz che agisce sugli elettroni che si spostano all’interno del pezzo di conduttore? (Una risposta senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verra presa in considerazione) ii. (0.5 pt) Qual e il valore di questa forza? Se si attacca un voltmetro fra i punti C e D si misura una tensione $U_{CD}$ stabile dopo abbastanza tempo. iii. (2.5 pt) Riesci a spiegare perch ́e? (Sviluppa la tua risposta il pìu possibile. NB: E meglio rispondere a questa domanda dopo aver risposto ad altri punti della parte C) SwissPhO : $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017 A B $U_{AB}$ C D $\vec{B}$ Fig. 3: Pezzo di conduttore iv. (0.5 pt) In quale direzione punta il campo elettrico tra C e D? v. (0.5 pt) Qual e la direzione della forza elettrica che agisce sugli elettroni che si muovono all’interno del pezzo di conduttore? (Una risposta senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verra presa in considerazione) vi. (0.5 pt) Qual e il valore di questa forza? Parte D. Il culmine (5 punti) Dopo un certo periodo di tempo le forze si annullano e gli elettroni non sono pìu deviati dal loro tragitto all’interno del conduttore nonostante la tensione $U_{CD}$ sia sempre presente! i. (2 pt) Scrivi $I_{AB}$ e $U_{CD}$ in funzione di B, E, $n_e$, e e dei parametri geometrici appropriati. ii. (1 pt) La resistenza di Hall si definisce come $$R_H = \frac{U_{CD}}{I_{AB}}$$ Calcola questo valore algebricamente. iii. (0.5 pt) Trova il valore di $n_e$ se per un campo magnetico di $0.5\ \text{T}$ e $U_{AB} = 2\ \text{V}$ si misura $U_{CD} = 14\,717\ \mu\text{V}$. Adesso il nostro sensore e pronto! Lo mettiamo in un campo magnetico uniforme e misuriamo una tensione $U_{CD}=10\text{mV}$ quando si applica una tensione $U_{AB}=0.7\text{V}$. iv. (0.5 pt) Qual e l’intensita del campo magnetico nel quale `e immerso il sensore? v. (1 pt) Questo valore ci permette di conoscere la direzione del campo magnetico? (Motiva la tua risposta) Olimpiadi Svizzere di Fisica Seconda selezione Aarau, 25 marzo 2017 Parte teorica 2 : 6 domande corte Durata : 60 minuti Totale : 24 punti $(6\cdot 4)$ Materiale autorizzato : - Calcolatrice non programmabile

• Materiale per scrivere e disegnare NB : Iniziate ogni problema su un nuovo foglio Buon lavoro ! ERNST GÖHNER STIFTUNG neue kantonsschule aarau Supported by : Staatssekretariat für Bildung und Forschung und Innovation BASF (Basel) Deutschschweizerische Physikkommission VSMP / DPK Materials Science & Technology Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne ETH Zurich Department of Physics Fondation Claude & Giuliana Ernst Göhner Stiftung, Zug Hasler Stiftung, Bern Metrohm Stiftung, Herisau Neue Kantonsschule Aarau Novartis International AG (Basel) Quantum Science and Technology F. Hoffman-La Roche AG (Basel) Société Valaisanne de Physique Swiss Academy of Engineering Sciences SATW Swiss Academy of Sciences Swiss Physical Society Syngenta AG Università della Svizzera italiana Universität Bern FB Physik/Astronomie Universität Zürich FB Physik Mathematik SwissPhO : Secondo girone Domande brevi 26.03.2017

Topic: Electromagnetism, Magnetism, Circuits Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Experimental Data Analysis, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.8

Esercizio 3: Effetto Hall (16 punti) In questo problema, il funzionamento di un sensore ha un effetto negativo su tutti i sistemi di controllo e di controllo. Potenziali applicazioni. Parte A. - La resistenza . (3 punti) l d w ${\rho }_e$ Fig. - Cosa? 1: Pezzo di conduttore Nel seguito utilizzeremo un pezzo d’argento, che e un buon conduttore elettrico, avente resistivita elettrica ${\rho }_e=1.587\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$, lunghezza l, La larghezza della spessore (cfr. figura 1). l A B $U_{AB}$ I Fig. - Cosa? 2: Schema del circuito elettrico; i quadrati rappresentanti dell’ampereometro (I) e del generatore di tensione ($U_{AB}$). Connettiamo le due estremit ̆ a A e B nel senso della lunghezza ad un generatore di tensione $U_{AB}$ E misuriamo la corrente che passo nel pezzo di

• il conduttore (cfr. figura 2). Ripetiamo la misura più volte; i risultati sono indicati nella tabella 1.

$U_{AB}$ ($\mu \text{V}$) I (A) 1 -10 -0.252 2 -2 -0.05 3 5 0.126 4 15 0.378

• Tab. 1: Misura della corrente effettuata sul pezzo di conduttore i. (2 P) Utilizzando le misure della tabella 1 si determina la resistenza del pezzo di conduttore. Supponete che la resistenza nel resto del circuito `e trascurabile. ii. (1 p) Determinare il peso di W in funzione delle altre variabili sovramenzionate. (Per il Calcolo numerico usato $l=5\text{cm}$ e $d=2\text{cm}$) Parte B. … alla corrente (3 punti) Ci piacerebbe esprimere la corrente che scorre da A a B in funzione della velocità elettronica nel materiale $v_d$, della loro densità Unità di volume media $n_e$, della loro carica e delle dimensioni geometriche appropriate del pezzo di
• Conductor. i. (2 pt) Trova il Valore degli esponenti Nella seguente espressione per la corrente: $I=n_e^{\alpha }{e}^{\beta }{v}_d^{\gamma }{w}^{\delta }{d}^{\epsilon }{l}^{\kappa }$ ii. In quale senso vanno gli elettroni? iii. (0,5 p) Quali sono i parametri che dipendono dal materiale (e non dalla sua geometria)? Parte C. Nei campi (5 punti) Ora mettiamo il pezzo di conduttore in un campo magnetico omogeneo perpendicolare a e d (cfr. figura 3). La corrente scorre sempre da A a B. i. Qual è la direzione della forza di Lorentz che agisce sugli elettroni che si spostano all’interno del pezzo di conduttore? (Una risposta) senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verr a presa in considerazione) ii. Qual è il valore di questa forza? Se si attacca un voltometro fra i punti C e D si misura una tensione $U_{CD}$ stabile dopo abbastanza Il tempo. iii. Riesci un spiegar perch'e? (Sviluppa) La tua risposta è il più possibile. NB: E meglio rispondere a questa domanda dopo aver risposto ad altri punti della parte C) SwissPhO: $2^{\circ }$ turno Problemi 25.03.2017 A B $U_{AB}$ C D $\vec{B}$ Fig. - Cosa? 3: Pezzo di conduttore iv. (0,5 p) In quale direzione punta il campo
• C e D elettrico? v. (0,5 p) Qual e la direzione della forza elettrica Che cosa succede agli elettroni che si muovono all'interno del pezzo di conduttore? (Una risposta senza spiegazioni/motivazioni o schizzo non verr ̆ a presa in considerazione) vi. Qual è il valore di questa forza? Parte D. Il culmine (5 punti) Dopo un certo periodo di tempo la forza si annulla e gli elettroni non sono più deviati dal loro percorso all'interno del conduttore nonostante la tensione $U_{CD}$ sia sempre presente! i. (2 p) Scrivi $I_{AB}$ e $U_{CD}$ in funzione di B, E, $n_e$, e e dei parametri geometrici appropriati. ii. La resistenza di Hall si definisce come $$R_H = \frac{U_{CD}}{I_{AB}}$$ Calcola questo valore in algebro. iii. (0,5 p) Trova il valore di $n_e$ per un campo magnetico di $0.5\ \text{T}$ e $U_{AB} = 2\ \text{V}$ se misura $U_{CD} = 14\,717\ \mu\text{V}$. Adesso il nostro sensore è pronto! Lo mettiamo in un campo magnetico uniforme in Missouri una tensione $U_{CD} = 10\ \text{mV}$ quando si applica una tensione $U_{AB} = 0.7\ \text{V}$. iv. (0.5 pt) Qual e L’intensità del campo Magnetico nel quale è immerso il sensore? v. (1 p) Questo valore ci permette di conoscere La direzione del campo magnetico? (Motiva la tua) risposta) Olimpiadi Svizzere di Fisica Seconda selezione Aarau, 25 marzo 2017 Parte teorica 2 : 6 domande corte Durata : 60 minuti Total : 24 punti $(6\cdot 4)$ Materiale autorizzato: - Calcolatore non programmabile
• Materiale per scrivere e disegnare NB: Iniziare ogni problema su un nuovo foglio Buon lavoro !
• Il Parlamento europeo nuova kantonsschule aarau Supportato da: Il segretariato di Stato per l’istruzione e la ricerca e l’innovazione BASF (Bassel) Deutsche Schweizerische Physikkommission VSMP / DPK Materiali Scienza e tecnologia Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Dipartimento di fisica dell’ETH Zurigo Fondazione Claude & Giuliana Stichting Ernst Göhner, Zug Hasler Stiftung, Berna Metrohm Stiftung, Herisau Neue Kantonsschule Aarau Novartis International AG (Bassel) Scienza e tecnologia quantistica F. Hoffman-La Roche AG (Bassel) Società Valaisanne de Physique Accademia svizzera delle scienze dell’ingegneria SATW Accademia svizzera delle scienze Società fisica svizzera Syngenta AG Università della Svizzera italiana Universität Bern FB Fisica/Astronomia Universität Zürich FB Fisica e Matematica SwissPhO: Secondo girone Domande Brevi 26.03.2017

Topic: Electromagnetism, Magnetism, Circuits Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Experimental Data Analysis, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 1 : Il marziano (4 Punti) Vogliamo stimare il balzo di un astronauta di massa $70\text{kg}$. A questo scopo gli preghiamo di saltare pìu in alto che pùo nella nostra stazione di allenamento qui sulla Terra. Lui si piega dapprima sulle ginocchia, in modo da abbassare il suo baricentro di $40\text{cm}$. Nel punto pìu alto del salto il suo baricentro raggiunge un’altezza di $50\text{cm}$ maggiore rispetto a quando si trova in piedi in posizione eretta. i. (2 Pts) Calcola la forza media che le sue gambe esercitano sul pavimento durante il salto. Tralascia qualsiasi forza di attrito. ii. (1.5 Pts) Adesso vogliamo stimare quanto in alto potrebbe saltare l’astronauta su Marte. Assumi che lui effettui lo stesso movimento che ha eseguito sulla Terra e che indossi una tuta spaziale di massa $100\text{kg}$. L’accelerazione di gravita sulla superficie di Marte misura $g_\text{Marte} = 0.38 \cdot g_\text{Terra}$. L’atmosfera e molto rada, puoi quindi trascurare anche qui qualsiasi attrito. Assumendo che ci sia una stazione di base climatizzata su Marte in cui l’astronauta pùo muoversi senza tuta spaziale. iii. (0.5 Pts) Quando pùo saltare in alto in queste condizioni? (Assumi anche che saltando non picchi la testa sul soffitto)

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 1 : Il marziano (4 Punti) Vogliamo stimare il balzo di un astronauta di massa $70\text{kg}$. A questo scopo preghiamo di saltare piu in alto che pio nella nostra stazione di allenamento qui sulla Terra. Lui si Piga dapprima sulle ginocchia, in modo da abbassare il suo baricentro di $40\text{cm}$. Nel punto Piu alto del salto il suo baricentro raggiunge un’altezza di $50\text{cm}$ maggiore rispetto a quando Si trova in piedi in posizione eretta. i. (2 Pts) Calcolo della forza media che il pubblico esercita sul pavimento durante il Salto. Tralascia qualsiasi forza di attrito. ii. Ora vogliamo stimare quanto in alto potrebbe saltare l’astronauta su Marte. Supponiamo che lui faccia lo stesso movimento che ha eseguito sulla Terra e che indossa una tuta spaziale di massa $100\text{kg}$. L’accelerazione della gravità sulla superficie di Marte misura $g_{\text{Marte}}=0.38\cdot g_{\text{Terra}}$. L’atmosfera è molto rara, puoi quindi trascurare anche qui Qualsiasi attrito. Supponendo che si tratti di una stazione di base climatizzata su Marte in cui l’astronauta ha più “Movimenti senza tuta spaziale”. iii. Quando si può saltare in alto in queste condizioni? (Assumendo anche che salendo) non picchi la testa sul soffitto)

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 2 : Un calcio al pallone medicinale (4 Punti) In palestra lasciamo cadere un pallone medicinale e una pallina da tennis dalla stessa altezza. Il pallone medicinale raggiunge per primo il pavimento e rimbalza verso l’alto. Impatta poi contro la pallina da tennis ad un’altezza $h_0=48\text{cm}$, mentre quest’ultima e ancora in caduta verso il pavimento, rispedendo quest’ultima verso l’alto. Un paio di dati: La pallina da tennis ha una massa di $m = 60\ \text{g}$ e un diametro $d = 6.7\ \text{cm}$. Il pallone medicinale ha una massa $M = 1.00\ \text{kg}$ e un diametro $D = 22\ \text{cm}$. i. (2.5 Pts) All’inizio consideriamo l’urto di entrambe le palle. Grazie ad una telecamera ad alta frequenza possiamo misurare che la velocita della palla medicinale prima dell’impatto e $v^\text{prima}_M = 2.8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, mentre per la palla da tennis $v^\text{prima}_t = 4.6\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Assumiamo un urto completamente elastico e tralasciamo gli effetti della forza peso, visto che l’impatto dura solo una piccola frazione di secondo $\Delta t < 1/40\ \text{s}$. Calcola la velocita $v_t^{\text{dopo}}$ della palla da tennis dopo l’urto. ii. (1.5 Pts) Indica un limite massimo per l’altezza che pùo essere raggiunta dalla palla da tennis. Perch ́e non raggiunger`a questa altezza?

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 2 : Un calcio al pallone medicinale (4 Punti) In Palestina lasciamo cadere un pallone medicinale e una pallina da tennis dalla stessa Altesa. Il pallone medicinale raggiunge per primo il pavimento e il bordo verso l’alto. Impatta poi contro la pallina da tennis ad un’altezza $h_0=48\text{cm}$, mentre quest’ultima e ancora in caduta verso il pavimento, rispedendo quest'ultima verso l'alto. Un paio di dati: la pallina del tennis ha una massa di $m = 60\ \text{g}$ e un diametro $d = 6.7\ \text{cm}$. Il pallone medicinale ha una massa $M = 1.00\ \text{kg}$ e un diametro $D = 22\ \text{cm}$. i. (2.5 Pts) All'inizio consideriamo l'urto di entrare nel palle. Grazie ad una telecamera Alta frequenza possiamo misurare che la velocità della palla medicinale prima dell'impatto e $v_M^{\text{prima}}=2.8\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, mentre per la palla da tennis $v_t^{\text{prima}}=4.6\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Assumiamo un urto completamente elastico e traslasciamo gli effetti della forza del peso, visto che l’impatto dura solo una piccola frazione di secondo $\Delta t<1/40\text{s}$. Calcola la velocit`a $v_t^{\text{dopo}}$ della palla da tennis dopo l’urto. ii. Indica un limite massimo per l’altezza raggiunta dalla palla Il tennis. Perché non raggiunger ̆a questa altezza?

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 3 : Doppio tramonto (4 Punti) Vuoi trascorrere un serata romantica con la tua compagna/il tuo compagno e ti rechi con questa persona sulla spiaggia per vedere il tramonto con un elevatore meccanico. Nel momento in cui il sole tramonta, accendi l’elevatore e ti innalzi fino ad una altezza $h=6\text{m}$. L’elevatore si innalza ad una velocita $v = 0.3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Assumi che vi trovate gìa nell’elevatore quando osservate il tramonto per la prima volta, vale a dire che lo osserverete una volta all’altezza del mare, e la seconda esattamente a $6\ \text{m}$. i. (0.5 Pts) Di che angolo ha girato la Terra nel tempo che impiega l’elevatore a raggiungere l’altezza desiderata? ii. (1 Pt) Quanto ”sopra“ di te si troveranno i raggi del sole quando hai raggiunto l’altezza desiderata? Riporta il tuo risultato in forma algebrica. iii. (1.5 Pts) Potete vedere il tramonto una seconda volta? Il raggio della Terra misura $r_E = 6371\ \text{km}$. iv. (1 Pt) Se sı, potreste osservare il tramonto anche se la velocit`a dell’elevatore fosse pìu piccola di $\Delta v=-0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? Se no, potreste osservare il tramonto se l’elevatore fosse pìu veloce di $\Delta v=0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? SwissPhO : Secondo girone Domande brevi 26.03.2017 Figura 1: Source : xkcd.com

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Kinematic Equations, Small-Angle Approximation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 3 : Doppio tramonto (4 Punti) Vuoi trascorrere una serata romantica con la tua compagna/il tuo compagno e ti ricchi Con questa persona sulla spiaggia per vedere il tramonto con un elevatore meccanico. Nel In questo momento, il solo tramonte, accende l’elevatore e il suo innalzi fino ad una altezza $h=6\text{m}$. L’elevatore si innalza ad una velocità $v=0.3\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$. Suppongo che vi troverete nel’elevatore Quando osservate il tramonto per la prima volta, vale la pena dire che osservate una volta La altezza del mare, e la seconda esattamente a $6\text{m}$. i. Il tempo che impiega l’elevatore a raggiungere la terra

• L’altezza desiderata? ii. (1 Pt) Quanto si superano i troveranno quando raggiungono il sole quando raggiungono l’altezza Desiderata? Riporta il tuo risultato in forma algebrica. iii. Potete vedere il tramonto una seconda volta? Il raggio della terra misura $r_E=6371\text{km}$. iv. (1 Pt) Se s ̆ ̆ ̆, potreste osservare il tramonto anche se la velocità ̆ a del elevatore fosse piu
• La mia piccola di $\Delta v=-0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? Se no, potreste osservare il tramonto se l’elevatore fosse più Veloce di $\Delta v=0.02\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$? SwissPhO: Secondo girone Domande Brevi 26.03.2017 Figura 1: Fonte: xkcd.com

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Kinematic Equations, Small-Angle Approximation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 4 : Circuito oscillatorio in parallelo (4 Punti) Sia dato un circuito oscillatorio in parallelo come rappresentato nella figura. I valori delle componenti elettroniche sono $L=1\text{mH}$, $C=100\mu \text{F}$, $R=10\Omega$. Il fattore di qualita di un circuito e definito come $Q=R\cdot \sqrt{\frac{C}{L}}$. u C L R u C $L^{\prime }$ $R^{\prime }$ Figura 2: Sinistra: circuito iniziale. Destra: circuito trasformato. i. (2 Pts) Calcola la frequenza di risonanza del circuito elettrico iniziale. ii. (2 Pts) Trasforma il circuito iniziale in un circuito oscillatorio strettamente parallelo in modo che l’impedenza dei due circuiti sia uguale alla frequenza di risonanza. Sia $f_0=10\text{kHz}$ la frequenza di risonanza del circuito modificato. Qual e il fattore di qualita del circuito modificato?

Topic: Oscillations & Waves, Circuits Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Inductor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 4: Circuito oscillatorio in parallelo (4 Punti) Se dato un circuito oscillatorio in parallelo vengono rappresentati nella figura. Io valorizzo delle componenti elettroniche sono $L=1\text{mH}$, $C=100\mu \text{F}$, $R=10\Omega$. Il fattore di qualità Il circuito è definito come $Q=R\cdot \sqrt{\frac{C}{L}}$. u C L R u C $L^{\prime }$ $R^{\prime }$ Figura 2: Sinistra: circuito iniziale. Circuito trasformato. i. (2 Pts) Calcolo della frequenza di risonanza del circuito elettrico iniziale. ii. (2 Pts) Trasforma il circuito iniziale in un circuito oscillatorio strettamente parallelo in modo che l’impedenza dei due circuiti sia uguale alla frequenza della risonanza. Sia $f_0=10\text{kHz}$ la frequenza di risonanza del circuito modificato. Qual è il fattore di qualità Circuito modificato?

Topic: Oscillations & Waves, Circuits Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Inductor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 5 : Il flusso delle idee (4 Punti) Blaise ha costruito una nuova piscina nel suo giardino che ha progettato da solo. La piscina e un cilindro perfetto che giace su un piano orizzontale, e ha le seguenti dimensioni: un diametro di $1\ \text{m}$ e altezza di $1.5\ \text{m}$. Blaise riempie la piscina di acqua fino in cima. i. (2 Pts) Evangelista, il fratello minore di Blaise, fa un buco nella parete ad un’altezza h dal suolo. L’acqua comincia quindi ad uscire. Con che velocita fuoriesce l’acqua da questo buco? Giustifica la risposta con dei calcoli. ii. (1 Pt) A che distanza (orizzontale) dal buco l’acqua toccher`a per terra? iii. (1 Pt) A che altezza (dal suolo) Evangelista dovrebbe fare il buco affinch ́e l’acqua raggiunga la distanza massima possibile dal buco? SwissPhO : Secondo girone Domande brevi 26.03.2017

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 5: Il flusso delle idee (4 Punti) Blaise ha costruito una nuova piscina nel suo giardino che ha progettato da solo. La piscina `e un cilindro perfetto che giace su un pianoforte orizzontale, e ha le seguenti dimensioni: un diametro di $1\text{m}$ e altezza di $1.5\text{m}$. Blaise riempie la piscina di acqua fino in cima. i. (2 Pts) Evangelista, il fratello minore di Blaise, fa un buco nella parete ad un’altezza h Dal Suolo. L’acqua comincia quindi ad uscire. Con la velocità di un’acqua di questo Buco? Giustifica la risposta con i calcoli. ii. 1 Pt) A che distanza (orizzontale) dal buco l’acqua per terra? iii. Un’evangelista che è alto (dal suolo) dovrebbe fare il buco affinch ‘e l’acqua raggiungendo la distanza massima possibile dal buco? SwissPhO: Secondo girone Domande Brevi 26.03.2017

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 6 : Datazione al carbonio 14 (4 Punti) ${}^{14}$C (Carbonio-14) e un isotopo radioattivo del carbonio, presente in ogni materiale organico. In natura possiamo trovare tre diversi tipi di isotopi di carbonio: $^{12}$C, presente al 99%, $^{13}$C, presente all’ 1%, e $^{14}$C presente solo in piccole tracce. Quest’ultimo e appunto radioattivo, con un tempo di dimezzamento $t_{1/2}$ di circa 5730 anni1. ${}^{14}$C decade in ${}^{14}$N, un isotopo stabile, tramite un decadimento beta. ${}^{14}$C e prodotto principalmente nell’atmosfera dai raggi cosmici. Gli organismi viventi, per esempio le piante, assorbono costantemente $^{14}$C durante il loro ciclo vitale, e possiamo considerare che contengano lo stesso rapporto di $^{14}$C presente nell’atmosfera. Appena un organismo muore, il quantitativo di $^{14}$C che contiene comincia a decadere. Misurando la quantita di ${}^{14}$C presente in un organismo possiamo quindi determinare in modo approssimativo la sua eta (vale a dire il tempo passato dalla morte dell’organismo e la misurazione). Supponiamo che oggi il campione contiene solo il 10% dell’ammontare di $^{14}$C che aveva inizialmente. i. (1 Pt) Quanto e vecchio il campione? Assumiamo adesso che il rapporto $\frac{{}^{14}\text{C}}{{}^{12}\text{C}}\approx 10^{-12}$ nell’atmosfera e pìu o meno costante e simile al passato2. Usiamo lo stesso campione della domanda precedente. Uno dei tuoi colleghi non e molto attento nel maneggiare il campione e sfortunatamente ne contamina il 5% con carbonio moderno (vale a dire che 5% del campione originale e sostituito da carbonio moderno). Tu effettui di nuovo una misurazione del campione contaminato. ii. (1.5 Pts) Il risultato della datazione sara pìu recente o antico rispetto alla prima misurazione? Che eta verra stimata per il campione contaminato? 12g di C sono equivalenti a 1 mole. Un corpo umano e composto principalmente di acqua e carbonio, contiene quindi tracce di $^{14}$C, ovvero, siamo naturalmente radioattivi! iii. (1.5 Pts) Stima l’attivita del corpo umano causato dal ${}^{14}$C (ovvero il numero di decadimenti radioattivi per secondo3). Non dimenticare di menzionare le tue assunzioni. 1Il tempo di dimezzamento e definito come segue: Dopo $t_{1/2}$ rimane solo meta della quantita iniziale dell’isotopo, l’altra meta si e trasformata in qualcosa d’altro. 2Questo non e sempre esatto. Infatti i test nucleari nell’atmosfera effettuati tra il 1955 e il 1963 hanno portato ad un aumento della produzione di ${}^{14}$C nell’atmosfera. In realta bisogna effettuare delle calibrazioni con altri metodi di datazione per poter sapere il valore esatto di $\dfrac{^{14}\text{C}}{^{12}\text{C}}$ nelle diverse epoche. 3L’unita di misura che descrive il numero di decadimenti radioattivi per secondo `e chiamata Becquerel, indicata come Bq.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Modern-Quantum Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Order-of-Magnitude Estimation, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 6: Datazione al carbonio 14 (4 Punti) ${}^{14}$C (Carbonio-14) e un isotopo radioattivo del carbonio, presente in ogni materiale Organico. In natura possiamo trovare tre diversi tipi di isotopi di carbonio: $^{12}$C, presente al 99%, $^{13}$C, presente tutti 1%, e $^{14}$C presente solo in tracce piccole. Quest'ultimo è appunto radioattivo, con un tempo di dimezzamento $t_{1/2}$ di circa 5730 anni1. $^{14}$C decennio in $^{14}$N, un isotopo stabile, tramite un decadimento beta. $^{14}$C e prodotto principalmente nell’atmosfera dai raggi cosmici. Gli organismi viventi, per esempio, nel pianeta, assorbendo costantemente ${}^{14}$C durante il loro ciclo vitale, possiamo considerare che contengono lo stesso rapporto di ${}^{14}$C presente nell’atmosfera. Appena un organismo muore, il quantitativo di ${}^{14}$C che contiene comincia a decadere. Misurando la quantità di ${}^{14}$C presente in un organismo possiamo quindi determinare in modo approssimativo la sua et a (vale a dire il tempo passato dalla morte dell'organismo e la misurazione). Supponiamo che oggi il campione contiene solo il 10% dell’ammontare di $^{14}$C che aveva Inizialmente. i. Quanto è vecchio il campione? Presumo ora che il rapporto $\dfrac{^{14}\text{C}}{^{12}\text{C}} \approx 10^{-12}$ In questa atmosfera si è visto un'atmosfera più o meno costante e simile al passato2. Usiamo lo stesso campione della domanda precedente. Uno dei tuoi colleghi non e molto attento nel maneggiare il La Commissione ha adottato una decisione del Consiglio relativa al regolamento (CEE) n. 5% del campione originale e sostituito da carbonio moderno). Tu effettui di nuovo una misurazione del campione contaminato. ii. (1.5 Pts) Il risultato della datazione sarà più recente o antico rispetto alla prima misurazione? Che e' la causa di un'incidenza di campione contaminato? 12 g di C sono equivalenti a 1 mole. Un corpo umano e composto principalmente di Il carbonio, quindi contenuto tracce di ${}^{14}$ C, ovvero, siamo naturalmente radioattivi! iii. 1, 5 Pts) Stima dell’attività del corpo umano causata da ${}^{14}$ C (ovvero il numero di Decadimenti radioattivi al secondo3). Non dimenticare di menzionare le tue assunzioni. 1Il tempo di dimezzamento e definito segue: Dopo $t_{1/2}$ rimane solo met a della quantit `a iniziale Delisotopo, laltra si è trasformata in qualcosa daltro. 2Questo non è sempre vero. Infatti, i test nucleari nell’atmosfera effettuati tra il 1955 e il 1963 hanno avuto • aumento della produzione di ${}^{14}$C nell’atmosfera. In realtà occorre effettuare le calibrazioni con altri metodi di datazione per poter sapere il valore esatto di $\frac{{}^{14}\text{C}}{{}^{12}\text{C}}$ nelle diverse epoche. 3La di misura che descrive il numero di decadienti radioattivi per secondo e chiamata Becquerel,

• Bq.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Modern-Quantum Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Order-of-Magnitude Estimation, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.14