Svizzera 2018

Esercizio 1 : Nuclei speculari (16 punti) In questo problema ci proponiamo di fornire una stima delle dimensioni e della densità dei nuclei atomici. Indicheremo i nuclei con la notazione ${}_Z^A{X}_N$, dove $A=Z+N$ è il numero di massa del nucleo, $Z$ il numero di protoni e $N$ il numero di neutroni. Supporremo che ogni nucleone (protone, neutrone) abbia forma sferica ed una massa volumetrica $\delta$, uniforme e uguale per ognuno di essi. Supporremo inoltre che ogni nucleone (protone, neutrone) possegga una massa $m$ (per gli scopi del presente esercizio si può trascurare la piccola differenza di massa - 0.14 % - tra neutrone e protone). i. ( pt) Il raggio $R$ dei nuclei dipende dal numero di massa $A$ ; si dimostri che la relazione tra queste due grandezze è del tipo : $R(A)=R_0{A}^{\alpha }$. Si trovi l’espressione di $R_0$ e il valore di $\alpha$. Nel seguito del problema ci proponiamo di ricavare un valore numerico di $R_0$ e per questo servirà una stima grossolana dell’energia potenziale elettrostatica di un nucleo, $U_e$. A tale scopo, si supponga che la carica $+Ze$ del nucleo sia distribuita uniformemente nel suo volume (è evidente che questa approssimazione sarà ragionevole solo per $Z$ abbastanza grande). Si consideri quindi una sfera di raggio $R$ in cui è distribuita uniformemente una quantità di carica elettrica $+Ze$. ii. (4 pt) Si determini l’energia potenziale elettrostatica della sfera ; si troverà un’espressione del tipo $U_e=\beta Z^2{A}^{\gamma }$. Si determinino $\beta$ e $\gamma$. Diremo che due nuclei sono speculari se valgono le relazioni $Z_1=N_2$ e $Z_2=N_1$ con l’ulteriore condizione che i due elementi siano contigui nella tavola periodica, cioè tali che $Z_2=Z_1+1$ ; formano una coppia di nuclei speculari, ad esempio, ${}_6^{13}{C}_7$ e ${}_7^{13}{N}_6$. In fisica nucleare si definisce energia di legame, $E_l$, di un nucleo l’energia che serve per separare tutti i nucleoni che lo compongono. Sulla base di un modello, proposto nel 1939 da Bohr e Wheeler, che assimila il nucleo atomico ad una goccia di liquido, Bethe e Weizsäcker hanno ricavato una formula semi-empirica che esprime l’energia di legame come la somma di • due termini dovuti all’interazione forte che tiene uniti i nucleoni (un termine di volume, $a_{V}A$, e un termine di superficie, $a_S{A}^{2/3}$) ; questi termini dipendono soltanto da $A$ (l’interazione forte infatti non distingue tra protoni e neutroni) e li indicheremo complessivamente con $F(A)$ ; • un termine dovuto all’interazione elettrostatica tra i protoni, $U_e$, calcolata sopra ; questo termine ha segno negativo, in quanto la repulsione tende a disgregare il nucleo ; • due termini dovuti al principio di esclusione di Pauli ; il primo di questi è direttamente proporzionale a $(A-2Z{)}^2/A$ ; il secondo risulta nullo nel nostro caso. In definitiva, quindi, possiamo scrivere, per i nuclei speculari che consideriamo qui, $E_l=F(A)-U_e+\eta \frac{(A-2Z{)}^2}{A}(1)$ dove $\eta$ è un coefficiente di proporzionalità. iii. (0.5 pt) Si dimostri che la differenza di energia di legame di due nuclei speculari è l’opposto della loro differenza di energia potenziale elettrostatica. iv. (1 pt) Si scriva la differenza di energia di legame in funzione di $A$, usando per $U_e$ l’espressione ricavata al punto ii dove, per tener conto del fatto che la repulsione si ha solo per $Z>1$, è opportuno sostituire $Z^2$ con $Z(Z-1)$. Nella tabella seguente sono elencate varie coppie di nuclei speculari, per diversi valori del numero di massa. Per ciascun nucleo è indicata, tra parentesi, l’energia di legame, in MeV ($1\text{eV}=1.602\times 10^{-19}$ J).

$A$	Nucleo 1	Nucleo 2
35	${}_{17}^{35}{\text{Cl}}_{18}$ (298.2)	${}_{18}^{35}{\text{Ar}}_{17}$ (291.5)
45	${}_{22}^{45}{\text{Ti}}_{23}$ (385.0)	${}_{23}^{45}{\text{V}}_{22}$ (377.1)
55	${}_{27}^{55}{\text{Co}}_{28}$ (476.8)	${}_{28}^{55}{\text{Ni}}_{27}$ (467.3)
65	${}_{32}^{65}{\text{Ge}}_{33}$ (556.0)	${}_{33}^{65}{\text{As}}_{32}$ (545.9)
75	${}_{37}^{75}{\text{Rb}}_{38}$ (633.6)	${}_{38}^{75}{\text{Sr}}_{37}$ (622.3)

v. (4 pt) Grazie a questi dati, tracciate un grafico appropriato che permetta di determinare facilmente $\beta$. In seguito derminate $R_0$.

vi. (1.5 pt) Usando il valore trovato per $R_0$, si dia una stima della densità di massa (si assuma come massa di un nucleone il valore $1.674\times 10^{-27}$ kg) dei nuclei. Si dia inoltre una stima della densità di carica $[\text{C}\cdot {\text{m}}^{-3}]$ del nucleo ${}_{18}^{35}{\text{Ar}}_{17}$. Torniamo brevemente all’energia di legame nella forma semplificata : $E_l=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\beta Z^2{A}^{\gamma }+\eta \frac{(A-2Z{)}^2}{A}(2)$ Esistono configurazioni di nucleo più stabili di altre, a seconda del numero di nucleoni contenuti nel nucleo. vii. (3 pt) Per un numero di massa $A$ conosciuto, qual’è il rapporto neutrone-protone $N/Z$ ideale ? Esprimete il risultato in funzione di $A$, $a_V$, $a_S$, $\beta$, $\eta$ (e di $\gamma$ se non avete trovato il suo valore) Riadattato dalle Olimpiadi Italiane della Fisica 2011.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Electrostatics, Modern-Quantum Physics Metodi: Coulomb’s Law, Dimensional Analysis, Calculus-Integration, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Nucleus, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problem 1: Mirror Nuclei (16 points)

In this problem, we aim to estimate the size and density of atomic nuclei. We will denote nuclei using the notation ${}_Z^A{X}_N$, where $A=Z+N$ is the mass number of the nucleus, $Z$ the number of protons, and $N$ the number of neutrons. We assume that each nucleon (proton, neutron) is spherical and has a uniform volumetric mass $\delta$, identical for all nucleons.

Additionally, we assume that each nucleon (proton, neutron) has a mass $m$ (for the purposes of this exercise, the small difference in mass—0.14%—between neutron and proton may be neglected).

i. (pt) The radius $R$ of nuclei depends on the mass number $A$; it must be shown that the relationship between these two quantities is of the form: $R(A)=R_0{A}^{\alpha }$. Find the expression for $R_0$ and the value of $\alpha$.

In the remainder of the problem, we aim to derive a numerical value for $R_0$, and for this purpose a rough estimate of the electrostatic potential energy of a nucleus, $U_e$, will be needed. To this end, suppose that the charge $+Ze$ of the nucleus is uniformly distributed throughout its volume (it is evident that this approximation will be reasonable only for $Z$ sufficiently large). Consider therefore a sphere of radius $R$ with a uniformly distributed electric charge quantity $+Ze$.

ii. (4 pt) Determine the electrostatic potential energy of the sphere; an expression of the form $U_e=\beta Z^2{A}^{\gamma }$ will be obtained. Determine $\beta$ and $\gamma$. We say that two nuclei are specular if the relations $Z_1=N_2$ and $Z_2=N_1$ hold, along with the additional condition that the two elements are adjacent in the periodic table, i.e., such that $Z_2=Z_1+1$; they form a pair of specular nuclei, for example, ${}_6^{13}{C}_7$ and ${}_7^{13}{N}_6$.

In nuclear physics, the binding energy, $E_l$, of a nucleus is defined as the energy required to separate all the nucleons that compose it. Based on a model proposed in 1939 by Bohr and Wheeler, which regards the atomic nucleus as a liquid drop, Bethe and Weizsäcker derived a semi-empirical formula expressing the binding energy as the sum of: • two terms due to the strong interaction that holds nucleons together (a volume term, $a_{V}A$, and a surface term, $a_S{A}^{2/3}$); these terms depend only on $A$ (since the strong interaction does not distinguish between protons and neutrons) and we will denote them collectively as $F(A)$; • a term due to the electrostatic interaction between protons, $U_e$, calculated above; this term has a negative sign because repulsion tends to disrupt the nucleus; • two terms due to Pauli’s exclusion principle; the first of these is directly proportional to $(A-2Z{)}^2/A$; the second vanishes in our case.

Therefore, finally, we can write for the specular nuclei considered here, $E_l=F(A)-U_e+\eta \frac{(A-2Z{)}^2}{A}(1)$ where $\eta$ is a proportionality coefficient. iii. (0.5 pt) It is proven that the difference in binding energy between two mirror nuclei is the opposite of their difference in electrostatic potential energy.

iv. (1 pt) Write the difference in binding energy as a function of $A$, using for $U_e$ the expression derived in point ii, where, to account for the fact that repulsion occurs only for $Z>1$, it is appropriate to substitute $Z^2$ with $Z(Z-1)$.

The following table lists various pairs of mirror nuclei for different values of the mass number. For each nucleus, the binding energy in MeV ($1\text{eV}=1.602\times 10^{-19}$ J) is indicated in parentheses.

$A$	Nucleus 1	Nucleus 2
35	${}_{17}^{35}{\text{Cl}}_{18}$ (298.2)	${}_{18}^{35}{\text{Ar}}_{17}$ (291.5)
45	${}_{22}^{45}{\text{Ti}}_{23}$ (385.0)	${}_{23}^{45}{\text{V}}_{22}$ (377.1)
55	${}_{27}^{55}{\text{Co}}_{28}$ (476.8)	${}_{28}^{55}{\text{Ni}}_{27}$ (467.3)
65	${}_{32}^{65}{\text{Ge}}_{33}$ (556.0)	${}_{33}^{65}{\text{As}}_{32}$ (545.9)
75	${}_{37}^{75}{\text{Rb}}_{38}$ (633.6)	${}_{38}^{75}{\text{Sr}}_{37}$ (622.3)

v. (4 pt) Using these data, draw an appropriate graph that allows for the easy determination of $\beta$. Subsequently determine $R_0$.

vi. (1.5 points) Using the value found for $R_0$, provide an estimate of the mass density (assume the mass of a nucleon to be $1.674\times 10^{-27}$ kg) of nuclei. Additionally, provide an estimate of the charge density $[\text{C}\cdot {\text{m}}^{-3}]$ of nucleus ${}_{18}^{35}{\text{Ar}}_{17}$.

We briefly return to the binding energy in its simplified form: $E_l=a_{V}A-a_S{A}^{2/3}-\beta Z^2{A}^{\gamma }+\eta \frac{(A-2Z{)}^2}{A}(2)$

There exist nuclear configurations that are more stable than others, depending on the number of nucleons contained in the nucleus.

vii. (3 points) For a known mass number $A$, what is the ideal neutron-to-proton ratio $N/Z$? Express your result in terms of $A$, $a_V$, $a_S$, $\beta$, $\eta$ (and of $\gamma$ if you did not find its value).

Adapted from the Italian Physics Olympiad 2011

Esercizio 2 : Si gira (16 punti) Parte A. Si riflette (5 punti) Un vascello spaziale emette una luce monocromatica di lunghezza d’onda ${\lambda }_0$ in vostra direzione mentre si allontana da voi a velocità $v$. i. (2 pt) Mostrate che la lunghezza d’onda ${\lambda }^{\prime }$ che osservate soddisfa la relazione ${\lambda }^{\prime }=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}{\lambda }_0\text{dove}\beta =\frac{v_r}{c},(3)$ in cui $c$ è la velocità della luce e $v_r$ è la velocità del vascello relativa a voi (per convenzione $v_r$ è positiva quando il vascello si allontana). ii. (0.5 pt) Considerate ora che voi state emettendo la stessa luce di lunghezza d’onda ${\lambda }_0$ nella direzione del vascello che si allontana da voi a velocità $v$. Qual’è la lunghezza d’onda ${\lambda }^{\prime }$ osservata da una persona nel vascello ? Date la vostra risposta in termini di variabili date e costanti fisiche. iii. (1 pt) A bordo del vascello viene installato uno specchio che riflette verso di voi la luce da voi emessa con lunghezza d’onda ${\lambda }_0$. Qual’è la lunghezza d’onda ${\lambda }^{\prime \prime }$ che osservate ora ? Date la vostra risposta in termini di variabili date e costanti fisiche. iv. (1.5 pt) Mostrate che, per piccoli valori di $\beta$ ($\beta \ll 1$), la differenza $\Delta \lambda$ tra le lunghezze d’onda ${\lambda }^{\prime \prime }$ e ${\lambda }_0$, soddisfa l’equazione in $\beta$ $\Delta \lambda =2\beta {\lambda }_0.(4)$ Parte B. Si gira (2 punti) Considerate un pianeta di raggio $R$ che ruota a velocità angolare $\Omega$. L’asse di rotazione del pianeta è perpendicolare all’asse $x$, sul quale vi trovate sia voi che il centro del pianeta. Vi trovate quindi sul piano definito dall’equatore del pianeta stesso (cf, Fig. 1). Beobachter $x$ $z$ Observateur/trice $x$ $z$ Osservatore $x$ $z$ Fig. 1 – La direzione di rotazione è data dalla freccia nera. Considerate la distanza tra voi ed il pianeta come molto grande. i. (1 pt) Disegnate su un grafico la proiezione sull’asse $x$ della velocità tangenziale di un punto sull’equatore del pianeta in funzione della sua ccordinata $z$. ii. (1 pt) Sullo stesso grafico, schizzate la velocità minima e massima in funzione dell’asse $x$ che un satellite in orbita attorno al pianeta deve tenere con raggio dell’orbita $r$ tra $r_1$ e $r_2$ ($R<r_1<r_2$). Qual è la relazione tra le velocità e $r$ ? Parte C. Uno spettro (4 punti) Quando Saturno si trova in opposizione al sole (vale a dire che la Terra si trova tra il Sole e Saturno), degli astronomi hanno misurato lo spettro della luce solare riflessa da Saturno facendola passare per una fessura e di seguito per un reticolo di diffrazione, prima di proiettarla su uno schermo (cf Fig. 2). L’altezza della fessura limita l’altezza della proiezione ottenuta, mentre il reticolo di diffrazione proietta lo spettro della luce. Delle fonti di luce con lunghezza d’onda conosciuta sono state disposte alle estremità della fessura per avere uno spettro di riferimento. L’estensione della fessura in $z$ è molto più elevata che in $y$. La dimensione della fessura in $y$ non produce fenomeno di diffrazione della luce. Questa parte è data dal reticolo di diffrazione ed è indipendente dalla parte successiva. i. (0.5 pt) Schizzate l’immagine di ordine 0 della proiezione sullo schermo della diffrazione attraverso il reticolo. Descrivete il vostro disegno. ii. (3.5 pt) L’immagine di primo ordine della diffrazione ottenuta nella configurazione 2 è riportata nella figura 3. Trovate la distanza $L$ (misurata sull’asse $x$) tra il reticolo e lo schermo, sapendo che la larghezza di una fessura del reticolo è $d=800$ nm. Usate lo spettro mostrato nella figura 3 e considerate che sia stampato in scala 1 : 1). $z$ $x$ A B $y_A$ $y_B$ Fig. 2 – La distanza tra Saturno e la fessura non è in scala : è in realtà molto più elevata. L’asse visivo $x$ e l’asse $z$ sono gli stessi rispetto alla figura 1. L’asse $y$ sullo schermo è lo stesso asse $y$ sulla figura 3. Il piano in cui si trovano gli anelli di Saturno è leggermente inclinato rispetto all’asse $xz$. Parte D. Uno strano spettro (5 punti) i. (1 pt) Da che punto di Saturno provengono le lunghezze d’onda simili a quelle degli spettri di riferimento ? ii. (1 pt) Identificate da quale zona dello schermo (A o B) proviene lo spettro illustrato. Giustificate la vostra risposta e indicate in che direzione bisogna indicare l’asse $z$ sulla figura (da sinistra a destra o da destra a sinistra). iii. (2 pt) Calcolate la velocità angolare della rotazione di Saturno con l’aiuto degli spettri dati. iv. (1 pt) Spiegate perché l’inclinazione dello spettro dei raggi nella regione degli anelli è inclinata in modo opposto rispetto allo spettro dei raggi del pianeta. $y$ Fig. 3 – Parte dello spettrogramma di Saturno misurato dall’osservatorio Lick da H. Spinrad e L. Giver il 19 agosto 1964. Le lunghezze d’onda sono indicate sull’asse $y$ in Å Fonte : O. Gingerich, Sky & Telescope 28, 278, 1964.

Topic: Special Relativity, Wave Optics, Astrophysics Metodi: Approximation & Series Expansion, Interference & Diffraction Analysis, Lorentz Transformation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror, Diffraction Grating, Slit, Screen, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem 2: You Turn (16 points)

Part A. You Reflect (5 points)

A spaceship emits a monochromatic light of wavelength ${\lambda }_0$ toward you while receding from you at velocity $v$.

i. (2 pt) Show that the wavelength ${\lambda }^{\prime }$ you observe satisfies the relation ${\lambda }^{\prime }=\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}{\lambda }_0\text{dove}\beta =\frac{v_r}{c},(3)$, where $c$ is the speed of light and $v_r$ is the velocity of the spaceship relative to you (by convention, $v_r$ is positive when the spaceship recedes).

ii. (0.5 pt) Now suppose you are emitting the same light of wavelength ${\lambda }_0$ toward the spaceship, which is receding from you at velocity $v$. What is the wavelength ${\lambda }^{\prime }$ observed by a person on the spaceship? Give your answer in terms of the given variables and physical constants.

iii. (1 pt) On board the spaceship, a mirror is installed that reflects back toward you the light you emitted with wavelength ${\lambda }_0$. What is the wavelength ${\lambda }^{\prime \prime }$ you now observe? Give your answer in terms of the given variables and physical constants.

iv. (1.5 pt) Show that, for small values of $\beta$ ($\beta \ll 1$), the difference $\Delta \lambda$ between the wavelengths ${\lambda }^{\prime \prime }$ and ${\lambda }_0$ satisfies the equation in $\beta$ $\Delta \lambda =2\beta {\lambda }_0.(4)$

Part B. You Spin (2 points)

Consider a planet of radius $R$ rotating with angular velocity $\Omega$. The planet’s rotation axis is perpendicular to the axis $x$, on which both you and the center of the planet are located. You therefore lie in the plane defined by the planet’s equator (cf., Fig. 1). Observer $x$ $z$ Observer $x$ $z$ Observer $x$ $z$ Fig. 1 – The direction of rotation is given by the black arrow. Consider the distance between you and the planet as very large. i. (1 pt) Draw on a graph the projection onto the $x$ axis of the tangential velocity of a point on the planet’s equator as a function of its coordinate $z$. ii. (1 pt) On the same graph, sketch the minimum and maximum velocity as a function of the $x$ axis that a satellite orbiting the planet must maintain with orbit radius $r$ between $r_1$ and $r_2$ ($R<r_1<r_2$). What is the relation between the velocities and $r$? Part C. A spectrum (4 points) When Saturn is in opposition to the sun (that is, the Earth is between the Sun and Saturn), astronomers measured the spectrum of sunlight reflected by Saturn by passing it through a slit and then through a diffraction grating, before projecting it onto a screen (see Fig. 2). The height of the slit limits the height of the projection obtained, while the diffraction grating projects the spectrum of the light. Light sources with known wavelength were placed at the ends of the slit to have a reference spectrum. The extension of the slit in $z$ is much greater than in $y$. The size of the slit in $y$ does not produce a light diffraction phenomenon. This part is given by the diffraction grating and is independent of the following part. i. (0.5 pt) Sketch the zero-order diffraction image projected on the screen through the grating. Describe your drawing.

ii. (3.5 pt) The first-order diffraction image obtained in configuration 2 is shown in Figure 3. Determine the distance $L$ (measured along axis $x$) between the grating and the screen, given that the width of one slit in the grating is $d=800$ nm. Use the spectrum shown in Figure 3 and assume it is drawn to scale (1:1).

$z$ $x$ A B $y_A$ $y_B$ Figure 2 – The distance between Saturn and the slit is not to scale: it is actually much larger. Axis $x$ and axis $z$ are the same as in Figure 1. Axis $y$ on the screen corresponds to axis $y$ in Figure 3. The plane containing Saturn’s rings is slightly tilted with respect to axis $xz$.

Part D. An Unusual Spectrum (5 points)

i. (1 pt) From which point on Saturn do wavelengths similar to those in the reference spectra originate?

ii. (1 pt) Identify whether the spectrum shown originates from region A or B of the screen. Justify your answer and indicate in which direction axis $z$ should be labeled on the figure (from left to right or from right to left).

iii. (2 pt) Calculate Saturn’s rotational angular velocity using the provided spectra. iv. (1 pt) Explain why the inclination of the spectral lines in the ring region is opposite to that of the planet’s spectral lines. $y$ Fig. 3 – Part of the spectrogram of Saturn measured by the Lick Observatory on August 19, 1964, by H. Spinrad and L. Giver. Wavelengths are indicated on the $y$ axis in Å. Source: O. Gingerich, Sky & Telescope 28, 278, 1964.

Esercizio 3 : Dipoli magnetici (16 punti) Parte A. Dipolo di Gilbert (4.5 punti) Un dipolo di Gilbert è composto da un paio di “monopoli” magnetici separati da una distanza $d$ (la distanza $d$ è piccola) ; entrambi i monopoli contengono una carica $q_m$, ma di segno opposto (vedi Fig. 4). In questo caso, la carica $-q_m$ è situata a $z=0$, e $+q_m$ in $z=d$. Fig. 4 – Dipolo di Gilbert Supponete che i monopoli magnetici siano composti in maniera simile a dei monopoli elettrici, con una forza di tipo “Coulomb”, $F=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q_{m1}{q}_{m2}}{r^2}(5)$ e un campo magnetico $B=\frac{F}{q_m}.(6)$ i. (1 pt) Quali sono le dimensioni della carica $q_m$ ? Esprimete la vostra risposta in unità SI. ii. (2 pt) Determinare l’equazione del campo magnetico $B(z)$ lungo l’asse $z$, per $z>d$. Esprimere il risultato in funzione di $q_m$, $d$, $z$ e delle costanti fondamentali. iii. (1.5 pt) Come diventa $B(z)$ se $d\to 0$ ? Supponnete che il prodotto $q_{m}d\equiv p_m$ resti costante. Esprimere il risultato in funzione di $p_m$, $z$ e delle costanti fondamentali. Parte B. Dipolo di Ampère (7.5 punti) Un dipolo di Ampère è un dipolo magnetico prodotto da una corrente circolare $I$ attorno a un cerchio di raggio $r$, con $r$ debitamente piccolo. Supponete che l’asse $z$ sia l’asse di simmetria del cerchio e che il cerchio si trovi sul piano $xy$, in $z=0$ (vedi Fig. 5). Fig. 5 – Dipolo di Ampère i. (4 pt) Determinare l’equazione del campo magnetico $B(z)$ lungo l’asse $z$, per $z>0$. Esprimere il risultato in in funzione di $I$, $r$ e delle costanti fondamentali. Supponete che l’espressione $kI{r}^{\gamma }$ abbia le stesse unità di misura della quantità $q_m$ definita nella parte A, dove $k$ e $\gamma$ sono senza dimensioni. ii. (1 pt) Determinare il valore di $\gamma$. iii. (1.5 pt) Come diventa $B(z)$ se $r\to 0$ ? Supporre che l’espressione $kI{r}^{\gamma }\equiv p_m^{\prime }$ resti costante. Esprimere il risultato in funzione di $p_m^{\prime }$, $z$ e delle costanti fondamentali. iv. (1 pt) Supponendo da adesso che i due i due approcci siano equivalenti, avremo allora $p_m=p_m^{\prime }$. Cos’è il valore di $k$ in questo caso ? Parte C. Dipoli ovunque ! (4 punti) Ora proviamo a comparare i due approcci se modelliamo una calamita come se fosse composta da microscopici dipoli densamente arrangiati. Fig. 6 – Una calamita cilindrica Un cilindro costituito di questo materiale magnetico possiede un raggio $R$ e una lunghezza $L$. È composto da $N$ dipoli magnetici, che possono essere di tipo Gilbert di tipo Ampère. $N$ è da considerarsi molto grande. L’asse di rotazione del cilindro, nonché tutti i dipoli, sono allineati lungo l’asse $z$ ; inoltre tutti i dipoli puntano nella stessa direzione (come definito precedentemente) così che il campo magnetico all’esterno della calamita sia lo stesso in entrambi i casi di dipolo come precedentemente determinato. La figura Fig. 7 illustra i due modelli di dipolo : sono dei cubi di lato $d\ll R$ e $d\ll L$, con un volume $V_m=d^3$. Fig. 7 – Dipolo di Gilbert (a sinistra) e dipolo di Ampère (a destra). Supporre prima di tutto che $R\gg L$ e si considerino solamente dei dipoli di tipo Gilbert. i. (2 pt) Determinare il modulo e la direzione del campo magnetico $B$ al centro del cilindro, in funzione di $p_m$, $R$, $L$ $V_m$ e delle costanti fondamentali. Supporre ora che $R\ll L$, e si considerino questa volta unicamente dei dipoli di tipo Ampère. ii. (2 pt) Determinare il modulo e la direzione del campo magnetico $B$ al centro del cilindro, in funzione di $p_m$, $R$, $L$ $V_m$ e delle costanti fondamentali. Riadattato dalle USA Physics Olympiad 2015.

Olimpiadi Svizzere di Fisica SwissPhO Aarau, 25 marzo 2018 Parte teorica 1 : 6 domande corte Durata : 60 minuti Totale : 24 punti ($3\cdot 16$) Materiale autorizzato : - Calcolatrice non programmabile

• Materiale per scrivere e disegnare NB : Iniziate ogni problema su un nuovo foglio Buon lavoro !

Costanti fondamentali

Grandezza	Simbolo	Valore
Velocità della luce nel vuoto	$c$	$299792458\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
Permeabilità magnetica del vuoto	${\mu }_0$	$4\pi \times 10^{-7}\text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{A}}^{-2}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Costante dielettrica del vuoto	${ϵ}_0$	$8.854187817\times 10^{-12}{\text{A}}^2\cdot {\text{s}}^4\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-3}$
Costante di Planck	$h$	$6.62606957\times 10^{-34}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$
Carica elementare	$e$	$1.602176565(35)\times 10^{-19}\text{A}\cdot \text{s}$
Costante gravitazionale	$G$	$6.67384(80)\times 10^{-11}{\text{m}}^3\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Accelerazione terrestre	$g$	$9.81\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Numero di Avogadro	$N_A$	$6.02214129(27)\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$
Costante dei gas	$R$	$8.3144598(48)\text{J}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$
Costante di Boltzmann	$k_B$	$1.3806488(13)\times 10^{-23}\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$
Costante di Stefan-Boltzmann	$\sigma$	$5.670373(21)\times 10^{-8}\text{W}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{K}}^{-4}$
Massa dell’elettrone	$m_e$	$9.1093826(16)\times 10^{-31}$ kg
Massa del protone	$m_p$	$1.67262171(29)\times 10^{-27}$ kg
Massa del neutrone	$m_n$	$1.67492728(29)\times 10^{-27}$ kg

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Biot-Savart Law, Dimensional Analysis, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Magnetic Dipole, Magnet, Cylinder, Coil Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problem 3: Magnetic Dipoles (16 points)

Part A. Gilbert Dipole (4.5 points) A Gilbert dipole consists of a pair of “monopoles” magnetically separated by a distance $d$ (the distance $d$ is small); both monopoles carry a magnetic charge $q_m$, but of opposite sign (see Fig. 4). In this case, the charge $-q_m$ is located at $z=0$, and $+q_m$ at $z=d$.

Fig. 4 – Gilbert Dipole

Assume that magnetic monopoles behave similarly to electric monopoles, with a force of “Coulomb” type, $F=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q_{m1}{q}_{m2}}{r^2}(5)$ and a magnetic field $B=\frac{F}{q_m}.(6)$.

i. (1 pt) What are the dimensions of the magnetic charge $q_m$? Express your answer in SI units.

ii. (2 pt) Determine the equation for the magnetic field $B(z)$ along the axis $z$, for $z>d$. Express the result in terms of $q_m$, $d$, $z$ and fundamental constants.

iii. (1.5 pt) How does $B(z)$ behave when $d\to 0$? Assume that the product $q_{m}d\equiv p_m$ remains constant. Express the result in terms of $p_m$, $z$ and fundamental constants.

Part B. Ampère Dipole (7.5 points) An Ampère dipole is a magnetic dipole generated by a circular current $I$ flowing around a circle of radius $r$, with $r$ appropriately small. Assume that the axis $z$ is the symmetry axis of the circle and that the circle lies in the plane $xy$, at $z=0$ (see Fig. 5). Figure 5 – Ampère dipole i. (4 pts) Determine the equation of the magnetic field $B(z)$ along the axis $z$, for $z>0$. Express the result in terms of $I$, $r$ and fundamental constants.

Assume that the expression $kI{r}^{\gamma }$ has the same units as the quantity $q_m$ defined in part A, where $k$ and $\gamma$ are dimensionless.

ii. (1 pt) Determine the value of $\gamma$.

iii. (1.5 pts) How does $B(z)$ change if $r\to 0$? Assume that the expression $kI{r}^{\gamma }\equiv p_m^{\prime }$ remains constant. Express the result in terms of $p_m^{\prime }$, $z$ and fundamental constants.

iv. (1 pt) Assuming from now on that the two approaches are equivalent, we then have $p_m=p_m^{\prime }$. What is the value of $k$ in this case?

Part C. Dipoles everywhere! (4 pts) Now we try to compare the two approaches by modeling a magnet as composed of densely packed microscopic dipoles.

Figure 6 – A cylindrical magnet A cylinder made of this magnetic material has a radius $R$ and a length $L$. It consists of $N$ magnetic dipoles, which may be either Gilbert-type or Ampère-type. $N$ is to be considered very large. The rotation axis of the cylinder, as well as all dipoles, are aligned along the axis $z$; furthermore, all dipoles point in the same direction (as previously defined), so that the magnetic field outside the magnet is identical in both dipole cases, as previously determined. Figure Fig. 7 illustrates the two dipole models: they are cubes of side $d\ll R$ and $d\ll L$, with a volume $V_m=d^3$.

Fig. 7 – Gilbert dipole (on the left) and Ampère dipole (on the right).

First assume that $R\gg L$, and consider only Gilbert-type dipoles.

i. (2 pt) Determine the magnitude and direction of the magnetic field $B$ at the center of the cylinder, in terms of $p_m$, $R$, $L$, $V_m$, and fundamental constants.

Now assume that $R\ll L$, and consider only Ampère-type dipoles.

ii. (2 pt) Determine the magnitude and direction of the magnetic field $B$ at the center of the cylinder, in terms of $p_m$, $R$, $L$, $V_m$, and fundamental constants.

Adapted from the USA Physics Olympiad 2015.

Swiss Physics Olympiad SwissPhO Aarau, March 25, 2018 Theoretical Part 1: 6 short questions Duration: 60 minutes Total: 24 points ($3\cdot 16$)

Allowed materials:

• Non-programmable calculator
• Writing and drawing tools

NB: Begin each problem on a new sheet Good luck!

Fundamental Constants

Quantity	Symbol	Value
Speed of light in vacuum	$c$	$299792458\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
Magnetic permeability of vacuum	${\mu }_0$	$4\pi \times 10^{-7}\text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{A}}^{-2}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Electric permittivity of vacuum	${ϵ}_0$	$8.854187817\times 10^{-12}{\text{A}}^2\cdot {\text{s}}^4\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-3}$
Planck constant	$h$	$6.62606957\times 10^{-34}\text{kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$
Elementary charge	$e$	$1.602176565(35)\times 10^{-19}\text{A}\cdot \text{s}$
Gravitational constant	$G$	$6.67384(80)\times 10^{-11}{\text{m}}^3\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Earth’s acceleration due to gravity	$g$	$9.81\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Avogadro’s number	$N_A$	$6.02214129(27)\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$
Gas constant	$R$	$8.3144598(48)\text{J}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$
Boltzmann constant	$k_B$	$1.3806488(13)\times 10^{-23}\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$
Stefan-Boltzmann constant	$\sigma$	$5.670373(21)\times 10^{-8}\text{W}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{K}}^{-4}$
Electron mass	$m_e$	$9.1093826(16)\times 10^{-31}$ kg
Proton mass	$m_p$	$1.67262171(29)\times 10^{-27}$ kg
Neutron mass	$m_n$	$1.67492728(29)\times 10^{-27}$ kg

Esercizio 1 : Una bilancia particolare (4 punti) Consideriamo due fili conduttori paralleli, di lunghezza $L$, attaccati alle loro estremità per due molle metalliche. Ogni molla ha una lunghezza a riposo $l_0$ e una costante elastica $k$ (cf. Fig. 1). In questo problema trascuriamo l’effetto della forza di gravità. Fig. 1 – Due fili attaccati da due molle. Facciamo passare una corrente $I$ nel dispositivo. i. (0.5 pt) Descrivete brevemente quello che succede prima e dopo che si comincia a far passare la corrente. ii. (3 pt) Determinare la corrente $I$ necessaria per far si che la lunghezza totale di ogni molla sia $l_1$. iii. (0.5 pt) A cosa può servire questo dispositivo ?

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Biot-Savart Law, Hooke’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problem 1: A Special Balance (4 points)

Consider two parallel conducting wires, each of length $L$, attached at their ends to metal springs. Each spring has a natural (unstretched) length $l_0$ and a spring constant $k$ (see Fig. 1). In this problem, we neglect the effect of gravitational force.

Fig. 1 – Two wires attached by two springs.

A current $I$ is passed through the device.

i. (0.5 pt) Briefly describe what happens before and after current begins to flow.

ii. (3 pt) Determine the current $I$ required so that the total length of each spring becomes $l_1$.

iii. (0.5 pt) What could this device be used for?

Esercizio 2 : Un’altra bilancia (4 punti) Una bilancia a due bracci è mantenuta in equilibrio da una parte, da una sfera di piombo (${\rho }_{Pb}$ = 11.3 $\times$ 10${}^3$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$) e dall’altra da una d’oro (${\rho }_{Au}$ = 19.3 $\times$ 10${}^3$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$). I due bracci hanno la stessa lunghezza. i. (2.5 pt) Si immergono le due sfere in due recipienti pieni d’acqua, da che parte si inclinerà la bilancia ? Giustificate la risposta ii. (1.5 pt) Quale densità dovrebbe avere il liquido contenuto nel recipiente, verso il quale si inclina la bilancia, per mantenerla in equilibrio ?

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Lever, Sphere, Container Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problem 2: Another balance (4 points)

A two-arm balance is kept in equilibrium by a lead sphere (${\rho }_{Pb}$ = 11.3 $\times$ 10${}^3$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$) on one side and an gold sphere (${\rho }_{Au}$ = 19.3 $\times$ 10${}^3$ $\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$) on the other side. The two arms have equal length.

i. (2.5 points) The two spheres are immersed in two containers completely filled with water. On which side will the balance tilt? Justify your answer.

ii. (1.5 points) What density should the liquid in the container toward which the balance tilts have, in order to keep the balance in equilibrium?

Esercizio 3 : Pista delle biglie (4 punti) Due biglie rotolano in una delle parti in piano di una pista delle biglie alla stessa velocità $v_0$, e si trovano ad una distanza $d_0$. Dopo essere passate in un giro della morte si ritrovano in un’altra zona in piano, ad un’altezza $\Delta h$ più in basso. A che distanza sono adesso le due biglie, i. (2 pt) assumendo che slittino senza attrito ? ii. (2 pt) assumendo che rotolino senza scivolare ?

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problem 3: Marbles Track (4 points)

Two marbles roll along a flat section of a marble track at the same speed $v_0$, and are initially separated by a distance $d_0$. After passing through a loop-the-loop, they find themselves in another flat region, at a height $\Delta h$ lower than before.

What is now the distance between the two marbles?

i. (2 points) Assuming they slide without friction? ii. (2 points) Assuming they roll without slipping?

Esercizio 4 : Condensatori in serie (4 punti) La figura Fig. 2 rappresenta due condensatori a piastre collegati in serie, in cui la parte centrale, di lunghezza $b$, si può spostare verticalmente. La superficie di ogni piatto è $S$. Tra A e B viene mantenuta una tensione costante $U$. Fig. 2 – Due condensatori a piastre. i. (4 pt) Come cambia l’energia salvata nei condensatori, quando la parte centrale viene rimossa ? Esprimete la risposta in funzione delle grandezze date.

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Electric Potential Method, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problem 4: Capacitors in Series (4 points) Figure Fig. 2 shows two parallel-plate capacitors connected in series, where the central part of length $b$ can be moved vertically. The area of each plate is $S$. A constant voltage $U$ is maintained between points A and B.

Fig. 2 – Two parallel-plate capacitors.

i. (4 pt) How does the energy stored in the capacitors change when the central part is removed? Express your answer in terms of the given quantities.

Esercizio 5 : Flusso di calore in un contenitore rotondo (4 punti) All’interno di un contenitore sferico viene mantenuta una temperatura costate $T_{in}$. La parete interna di trova ad un raggio $r_{in}$. Misurando sulla superficie esterna con raggio $r_{out}>r_{in}$ si ottiene una temperatura $T_{out}$. Il materiale isolante tra le due pareti ha una capacità termica di $\lambda$. i. (4 pt) Quanto vale la potenza di trasferimento termico $Q$ dall’interno della sfera verso l’esterno ? Esprimete il risultato in funzione delle costanti fornite, dove le temperature sono in [K], le lunghezze in [m], la capacità termica in $[\text{W/(m}\cdot \text{K)}]$ e la potenza di trasferimento termico in [W]. Consiglio : $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+K,\alpha \ne -1\int x^{-1}dx=\ln |x|+K$

Topic: Thermodynamics Metodi: Calculus-Integration, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problem 5: Heat flux in a spherical container (4 points) Inside a spherical container, a constant temperature $T_{in}$ is maintained. The inner wall is located at radius $r_{in}$. Measuring on the outer surface, at radius $r_{out}>r_{in}$, a temperature $T_{out}$ is obtained. The insulating material between the two walls has a thermal conductivity of $\lambda$.

i. (4 pt) What is the value of the thermal power transfer $Q$ from inside the sphere to the outside? Express your result in terms of the provided constants, where temperatures are in [K], lengths in [m], thermal conductivity in $[\text{W/(m}\cdot \text{K)}]$, and thermal power transfer in [W].

Hint: $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+K,\alpha \ne -1\int x^{-1}dx=\ln |x|+K$

Esercizio 6 : Exopianeta (4 punti) Attorno alla stella Kepler-22 ($M_K=0.97M_{\text{Sole}}$, $R_K=0.979R_{\text{Sole}}$) orbita un Exopianeta Kepler-22b. Il piano dell’orbita di questo pianeta è orientato in modo che, visto dalla Terra, passi davanti alla sua stella. Durante un transito può essere osservata una riduzione di luminosità. Il grafico seguente mostra la luminosità osservata per uno di questi transiti di Kepler-22b. i. (2.5 pt) Calcolate il raggio $R_p$ del pianeta. Consiglio : $M_{\text{Sole}}\approx 1.989\times 10^{30}$ kg, $R_{\text{Sole}}\approx 6.955\times 10^5$ km. Il periodo $\Delta T$ tra die riduzioni di luminosità è di 289.9 giorni. ii. (1.5 pt) Calcolate la grandezza del semi-asse maggiore dell’orbita.

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Experimental Data Analysis, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Experimental Data Analysis Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problem 6: Exoplanet (4 points) Around the star Kepler-22 ($M_K=0.97M_{\text{Sole}}$, $R_K=0.979R_{\text{Sole}}$), an exoplanet named Kepler-22b orbits. The orbital plane of this planet is oriented such that, as seen from Earth, it passes in front of its star. During a transit, a decrease in brightness can be observed. The following graph shows the observed brightness during one such transit of Kepler-22b.

i. (2.5 points) Calculate the radius $R_p$ of the planet. Hint: $M_{\text{Sole}}\approx 1.989\times 10^{30}$ kg, $R_{\text{Sole}}\approx 6.955\times 10^5$ km. The period $\Delta T$ between successive brightness reductions is 289.9 days.

ii. (1.5 points) Calculate the semi-major axis of the orbit.