OII 2021 2° Livello

Un corpo celeste sferico ha densità uniforme $ρ$ e ruota attorno ad un suo asse in modo uniforme. Un sassolino è posto in un punto dell’equatore.

Si esprima, in funzione di $ρ$ , il periodo minimo di rotazione che il corpo può avere affinché il sassolino possa rimanere appoggiato.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A spherical celestial body has a uniform density $ρ$ and rotates around its axis uniformly. A rock is placed at a point on the equator.

The minimum rotation time for the body to be able to hold the stone is expressed as $ρ$ .

Un gas perfetto è sottoposto a un ciclo reversibile di Carnot ( $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$ ) tra le temperature superiore e inferiore $T_{s}$ e $T_{i}$ ( $T_{s} > T_{i}$ ) nel piano $V$ - $p$ , come mostrato in figura.

Rappresentare lo stesso ciclo in un piano $S$ - $T$ , dove $S$ è l’entropia e dimostrare che l’area racchiusa nel grafico che si ottiene è ancora il lavoro netto fatto nel ciclo.

Ciclo di Carnot nel piano V-p

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A perfect gas is subjected to a reversible Carnot cycle ( $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$ ) between the upper and lower temperatures $T_{s}$ and $T_{i}$ ( $T_{s} > T_{i}$ ) in the plane $V$ - $p$ , as shown in Figure 1.

Representing the same cycle in a $S$ - $T$ plane, where $S$ is entropy and showing that the area enclosed in the graph that is obtained is still the net work done in the cycle.

The carnot cycle in plan V-p

Si supponga di voler misurare la distanza focale di una lente convergente. Per fare questo si fissano su un banco ottico la lente, una sorgente luminosa e uno schermo in modo che su questo l’immagine della sorgente sia a fuoco; si misura la distanza $D$ tra sorgente e schermo.

Detta $A$ la posizione della lente, si osserva che, spostando solo la lente in una diversa posizione $B$ , l’immagine della sorgente è ancora a fuoco sullo schermo; sia $d$ la distanza misurata tra le posizioni $A$ e $B$ .

Si esprima la distanza focale della lente in termini di $D$ e $d$ .

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Suppose you want to measure the focal length of a convergent lens. To do this, the lens, a light source and a screen are fixed on an optical bench so that the image of the source is focused on it; the distance $D$ between the source and the screen is measured.

If $A$ is given the position of the lens, it is noted that, by simply moving the lens to a different position $B$ , the image of the source is still focused on the screen; either $d$ is the measured distance between the positions $A$ and $B$ .

Express the focal length of the lens in terms of $D$ and $d$ .

L’insegna dell’Osteria della Luna piena è realizzata con un tondino di ferro che forma un triangolo rettangolo di lati pari a 60, 80 e 100 cm e, all’interno, una circonferenza che rappresenta la Luna, tangente ai tre lati. Il diametro del tondino di ferro è trascurabile rispetto alle dimensioni dell’insegna.

In quale punto dell’ipotenusa deve essere sospesa l’insegna se si vuole che il cateto maggiore risulti orizzontale?

Suggerimenti: Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo è dato dal rapporto tra il doppio dell’area del triangolo e il suo perimetro. È utile fissare un sistema di assi cartesiani in modo che i cateti stiano su di essi e l’origine nel vertice comune.

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The full moon ostrich is made with an iron scissor that forms a rectangular triangle of sides equal to 60, 80 and 100 cm and, inside, a circumference representing the Moon, tangent to the three sides. The diameter of the iron scissor is negligible in relation to the size of the badge.

Where on the hypotenuse must the sign be suspended if the major catheter is to be horizontal?

Suggestions: The radius of the circle inscribed in a triangle is given by the ratio of the area of the triangle to its perimeter. It is useful to fix a system of Cartesian axes so that the cathetes are on them and the origin in the common vertex.

Una massa $m$ può scorrere senza attrito su una guida rettilinea in un piano orizzontale; la massa viene agganciata ad una molla avente costante elastica $k$ e lunghezza a riposo trascurabile. La molla è fissata a un punto del piano a distanza $a$ dalla guida, come in figura, vista dall’alto.

Determinare il periodo delle oscillazioni della massa attorno alla sua posizione di equilibrio.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A mass $m$ can flow smoothly on a straight guide in a horizontal plane; the mass is attached to a spring with an elastic constant $k$ and negligible rest length. The spring shall be fixed at a point on the plane at $a$ distance from the driver, as shown above.

Determine the period of oscillation of the mass around its equilibrium position.

Le osservazioni delle macchie solari mostrano che il Sole ruota attorno a un asse perpendicolare alla linea di vista. La rotazione non è uniforme: il periodo aumenta spostandosi verso i poli. Per una misura accurata del periodo minimo, si osserva la riga $H_{β}$ dell’idrogeno nello spettro della luce emessa ai due estremi del diametro equatoriale.

A causa della rotazione, le misure di lunghezza d’onda della stessa riga $H_{β}$ , nei due spettri, differiscono di $Δ λ = 0.0067$ nm con l’incertezza dell’1%.

Trovare il periodo di rotazione della fascia equatoriale del Sole attorno al proprio asse.

Si considerino trascurabili gli effetti dovuti al moto dell’osservatore. I dati necessari si possono trovare nella tabella delle costanti.

Topic: Astrophysics, Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Observations of sunspots show that the Sun rotates around an axis perpendicular to the line of sight. The rotation is not uniform: the period increases as it moves towards the poles. For an accurate measurement of the minimum period, the $H_{β}$ line of hydrogen in the light spectrum emitted at both ends of the equatorial diameter is observed.

Due to rotation, the wavelength measurements of the same line $H_{β}$ in the two spectra differ from $Δ λ = 0.0067$ nm with an uncertainty of 1%.

Find the period of rotation of the equatorial band of the Sun around its axis.

The effects of the motion of the observer shall be considered negligible. The necessary data can be found in the table of constants.

Un solenoide formato da 240 spire, affiancate una all’altra, è lungo 20 cm ed è percorso da una corrente di 2.2 A; in un caso reale come questo anche la superficie laterale su cui è avvolto il solenoide è attraversata da linee di campo.

La circuitazione del campo magnetico lungo una particolare linea di campo vale $5.3 \times 1 0^{- 4}$ T·m.

A che distanza dalle estremità la linea di campo considerata interseca la superficie laterale del solenoide?

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Ampère’s Law, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A solenoid formed by 240 spires, adjacent to each other, is 20 cm long and is traversed by a current of 2.2 A; in a real case like this the lateral surface on which the solenoid is wrapped is also crossed by field lines.

The magnetic field circuit along a particular field line is $5.3 \times 1 0^{- 4}$ T·m.

How far from the ends does the field line considered intersect the lateral surface of the solenoid?

Nel circuito in figura, alimentato da una batteria di f.e.m. $E$ e resistenza interna $r$ , viene dissipata una potenza $W$ quando l’interruttore $S$ è chiuso.

Calcolare la variazione relativa della potenza dissipata nel circuito quando l’interruttore è aperto, in funzione del rapporto $α = r / R$ .

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Battery, Switch, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

In the circuit shown, powered by an f.e.m. battery $E$ and internal resistance $r$ , a power $W$ is dissipated when the $S$ switch is closed.

Calculate the relative change in the power dissipated in the circuit when the switch is open, according to the $α = r / R$ ratio.

Il 12 novembre 2014 il lander Philae, trasportato dalla sonda spaziale Rosetta, atterrò sulla cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko.

Il lander rimbalzò due volte stabilizzandosi solo al terzo contatto con la superficie. In figura è mostrata la traiettoria del primo rimbalzo e sono indicati i tempi dei primi due contatti con la cometa.

Stimare l’intensità media dell’accelerazione di gravità della cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko, con un modello (estremamente semplificato) di gravità uniforme.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

On November 12, 2014, the lander Philae, carried by the Rosetta spacecraft, landed on comet 67P/Churyumov-Gerasimenko.

The lander bounced twice, only stabilizing at third contact with the surface. The trajectory of the first bounce is shown in the figure and the times of the first two contacts with the comet are indicated.

Estimate the average gravitational acceleration intensity of comet 67P/Churyumov-Gerasimenko using a (extremely simplified) uniform gravity model.

Una mole di gas perfetto monoatomico è contenuta in un cilindro isolante di volume $V_{0}$ chiuso nella parte inferiore da un pistone. Il pistone è di materiale isolante, cavo e riempito di sabbia con una massa complessiva $M_{0}$ . Siano $T_{0}$ e $p_{0} = p_{a} /4$ la temperatura e la pressione del gas dove $p_{a}$ è la pressione atmosferica esterna al cilindro.

Inizialmente il sistema è all’equilibrio. A un certo istante, e per un certo tempo, la sabbia contenuta nel pistone comincia a cadere molto lentamente, da un forellino presente nel pistone, finché la massa complessiva del pistone si è ridotta ad un terzo di quella iniziale. Il pistone si muove con attrito trascurabile e si può quindi ritenere che il gas subisca una trasformazione reversibile.

Calcolare la pressione e il volume finali del gas in funzione di $p_{a}$ e $V_{0}$ .

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Cylinder, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A perfect mole of monoatomic gas is contained in an insulating cylinder of $V_{0}$ volume closed at the bottom by a piston. The piston is of insulating material, cable and sand filled with an overall mass $M_{0}$ . The temperature and pressure of the gas are $T_{0}$ and $p_{0} = p_{a} /4$ where $p_{a}$ is the external atmospheric pressure of the cylinder.

Initially the system is in balance. At a certain moment, and for a certain time, the sand contained in the piston begins to fall very slowly, from a hole in the piston, until the overall mass of the piston has shrunk to one third of the initial mass. The piston moves with negligible friction and it can therefore be assumed that the gas undergoes a reversible transformation.

Calculate the final gas pressure and volume according to $p_{a}$ and $V_{0}$ .

Due piani carichi (Punti 20)

Su due piani paralleli molto estesi, $A$ e $B$ , posti a distanza $a$ , è distribuita, in modo uniforme, una carica negativa con densità superficiale $σ$ e $2 σ$ , rispettivamente. Si fissa un sistema di riferimento con origine nel piano $A$ e asse $x$ perpendicolare ad esso e diretto verso il piano $B$ , come in figura. Nel seguito si consideri la regione di spazio in un intorno dell’origine $O$ , lontana dai bordi dei piani.

Assumendo che il potenziale elettrostatico $V (x)$ sia nullo nel punto $x = - a$ , determinarne l’espressione; tracciare il grafico della funzione $V (x)$ , indicando sugli assi i valori principali.

Suggerimento: ricordare che il potenziale è una funzione continua della posizione.

Una particella di massa $m$ e carica $q > 0$ viene posta nel punto $x = - a$ e lasciata andare da ferma; si supponga che i piani possano essere attraversati dalla particella senza che le distribuzioni di cariche siano modificate.

Indicare in quale punto la particella si ferma nuovamente.
Dire in quale punto la particella raggiunge la massima velocità e quanto vale tale velocità.

Si supponga ora che i due piani siano di materiale conduttore e che vengano collegati con un filo di resistenza $R$ .

Quanto vale la corrente che scorre inizialmente nel filo?
Quanto vale la densità di carica nei due piani ad equilibrio raggiunto?

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Electric Potential Method, Gauss’s Law, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following information shall be provided:

On two very long parallel planes, $A$ and $B$ , placed at a distance $a$ , a negative charge with a surface density $σ$ and $2 σ$ is evenly distributed, respectively. A reference system with origin in the plane $A$ and axis $x$ perpendicular to it and directed towards the plane $B$ shall be fixed, as shown in Figure 1. The following is considered as the region of space in a circle of origin $O$ , far from the edges of the planes.

Assuming that the electrostatic potential $V (x)$ is zero in $x = - a$ , determine its expression; plot the graph of the $V (x)$ function, indicating the main values on the axes.

Suggest: remember that potential is a continuous function of position.

A particle of mass $m$ and charge $q > 0$ is placed in the $x = - a$ point and left to stand still; it is assumed that the planes can be traversed by the particle without changing the charge distributions.

Indicate the point at which the particle stops again.
To say at what point the particle reaches its maximum velocity and what that velocity is worth.

Assume that the two layers are of conductive material and are connected by a resistance wire $R$ .

What is the current that initially flows in the wire?
What is the load density in the two planes of equilibrium reached?

Piano inclinato scabro (Punti 20)

Un corpo di massa $m$ viene lanciato in salita su di un piano inclinato scabro, con velocità iniziale $v_{0}$ ; dopo aver percorso un tratto di lunghezza $d$ il corpo si ferma, inizia a scendere e passa per il punto di partenza a velocità $v_{f}$ .

Con questi dati si vogliono determinare il coefficiente di attrito dinamico $μ$ , l’inclinazione $θ$ del piano rispetto all’orizzontale e fornire una stima del coefficiente di attrito statico $μ_{s}$ .

Esprimere, in funzione dei dati del problema:

Il lavoro $L$ fatto dalla forza d’attrito dinamico tra l’istante iniziale e quello finale.
L’altezza $h$ raggiunta dal corpo rispetto al punto di partenza.
L’angolo $θ$ e il coefficiente di attrito dinamico $μ$ .
Gli estremi dell’intervallo in cui è compreso il coefficiente di attrito statico $μ_{s}$ .

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following table shows the following:

A mass body $m$ is launched upwards on a sloping plane, with initial speed $v_{0}$ ; after traveling a stretch of length $d$ the body stops, starts to descend and passes through the starting point at speed $v_{f}$ .

The data are used to determine the dynamic friction coefficient $μ$ , the plane slope $θ$ relative to the horizontal and provide an estimate of the static friction coefficient $μ_{s}$ .

Explain, depending on the data of the problem:

The $L$ work done by the dynamic friction force between the initial and final instant.
The height $h$ reached by the body from the starting point.
The angle $θ$ and the dynamic friction coefficient $μ$ .
The extremes of the range in which the static friction coefficient $μ_{s}$ is included.

Anelli di Newton (Punti 20)

Una lente piano convessa di vetro di indice di rifrazione $n = 1.50$ è fissata con l’asse verticale e la convessità verso il basso. Al di sotto di essa c’è un piano di vetro orizzontale che può essere spostato verticalmente mediante una vite micrometrica di passo 0.100 mm (vedi figura). Il tutto è illuminato dall’alto, in direzione verticale, con una lampada spettrale al sodio (lunghezza d’onda di emissione: 589 nm), e si formano anelli di Newton a causa dell’interferenza tra la luce riflessa dalla superficie curva della lente e quella riflessa dal piano di vetro.

Note:

Per questione di chiarezza, il raggio di curvatura della lente mostrata in figura è molto minore di quello reale per cui l’intercapedine tra lente e vetrino piano risulta molto esagerata.
I raggi di luce da considerare sono quelli parassiali ossia prossimi e circa paralleli all’asse della lente.

Suggerimento: tenere presente le approssimazioni riportate nel riquadro.

Inizialmente la lente e il piano di vetro sono a contatto, e si osserva che la 5ª frangia chiara ha il raggio $r_{5} = 5.00$ mm.

Dopo aver dimostrato che tra le grandezze indicate in figura vale la relazione $r^{2} = 2 R d$ , si determini il raggio di curvatura $R$ della lente.
Si determini la distanza focale della lente piano-convessa utilizzata, trattandola come una lente sottile.
Si calcoli il raggio della 3ª frangia chiara.

Successivamente, mediante la vite micrometrica, si allontana il piano di vetro dalla lente.

Si dica come cambia il sistema di anelli specificando se il raggio di una data frangia aumenta o diminuisce.
Scelto un punto a una distanza dal centro pari al raggio della terza frangia chiara, quante frange chiare lo attraversano mentre la vite fa un giro completo?

Topic: Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The number of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows of rows

A lensed flat glass of refractive index $n = 1.50$ is fixed with the vertical axis and the convexity downwards. Below it is a horizontal glass plane which can be moved vertically by a 0.100 mm micrometer screw (see figure). The whole is illuminated from above, in a vertical direction, with a spectral lamp at sodium (emission wavelength: 589 nm), and Newton rings form due to the interference between the light reflected from the curved surface of the lens and that reflected from the glass plane.

The following information is provided for in the Annex to Implementing Regulation (EU) No 1303/2013.

For clarity’s sake, the curvature radius of the lens shown in the figure is much smaller than the actual one, so the intercapsulation between the lens and the flat glass is much exaggerated.
The light rays to be considered are those that are near or parallax to the lens axis.

Suggest: keep in mind the approximations in the box.

Initially the lens and the glass plane are in contact, and it is noted that the 5th clear fringe has a radius $r_{5} = 5.00$ mm.

After demonstrating that the $r^{2} = 2 R d$ ratio is the same among the dimensions shown in the figure, the lens curvature radius $R$ shall be determined.
The focal length of the flat-convex lens used shall be determined and treated as a thin lens.
Calculate the radius of the third clear fringe.

Then, by micrometer screw, the glass plane is removed from the lens.

Tell how the ring system changes by specifying whether the radius of a given ring increases or decreases.
If I choose a point at a distance from the center equal to the radius of the third clear fringe, how many clear fringe pass through it as the screw makes a complete turn?

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