GPhO 2016

T1. Stabilizing unstable states (11 points)

Part A. Stabilization via feedback (3.5 points)

Let us study, how an initially unstable equilibrium position can be stabilized. First we consider a reversed pendulum: a thin long rod of homogeneous mass distribution and length $l$ is fixed at its lowest point to a hinge so that it can freely rotate around the hinge. We describe the position of the rod via the angle $\phi$ between the rod and a vertical line. We shall assume that $\phi \ll 1$ ($\phi$ is much smaller than 1). The free fall acceleration $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$.

i. (1.5 pts) Express the angular acceleration of the rod $\ddot{\phi }$ in terms of $\phi$, and the parameters $l$ and $g$. Show that the inclination angle $\phi$ as a function of time $t$ is expressed as $\phi (t)=A{e}^{t/\tau }+B{e}^{-t/\tau }$, where $A$ and $B$ are constants which depend on the initial position and initial angular speed of the rod, and $\tau$ is a characteristic time. Express $\tau$ in terms of $l$ and $g$. (You may use dimensional analysis, but then you’ll lose 0.5 pts.) Hint: for a rod of length $l$ and mass $m$, the moment of inertia with respect to its endpoint is $\frac{1}{3}m{l}^2$.

ii. (0.5 pts) Now, a boy tries to keep a long thin rod standing vertically on his palm. For instance, as soon as the rod starts falling leftwards, he moves his palm to an even greater distance leftwards so that the rod’s centre of gravity would be positioned rightwards from the rod’s support point. Then, the torque of the gravity force would rotate the rod rightwards, decreasing the previously observed leftwards angular speed. Estimate, for which rod lengths the boy can keep the rod vertically if his reaction time is estimated as ${\tau }_r=0.2\mathrm{s}$. (The reaction time is the time lag between the command sent by brain to hands, and the corresponding motion of the hands.)

iii. (0.5 pts) Humans and birds keep their standing position similarly and move the support centre (the point at the bottom of their feet where the total normal force is applied), e.g. by adjusting the angle between a leg and the foot, so as to oppose the falling motion of the upper part of their body. A small bird of length $l_b=6\mathrm{cm}$ can stand on its feet; estimate the upper bound for its reaction time.

iv. (1 pt) Equilibrium on a bike is also kept by displacing the support centre which lies on the line connecting the wheel-ground contact points; that line can be conveniently displaced by turning the handlebar while driving forth. Estimate the minimal driving speed $v_m$ of a bicyclist by which the equilibrium can be maintained in such a way. Assume that for the bicyclist, the characteristic falling time is the same as for a rod of length $L=2\mathrm{m}$; the distance between the centres of the wheels $d=1\mathrm{m}$.

Part B. Tightrope walker (3.5 points)

A tightrope walker cannot move the support point in the direction perpendicular to the rope. His equilibrium is kept by displacing the centre of gravity, instead. Let us make a simple model of a man balancing on a rope.

Lower half of the body is modelled by a point mass $m$ at height $H$, and the upper half of the body — by an equal point mass $m$ at the height $1.4H$. The mutual position of these point masses can be changed by bowing right or left; for the sake of simplicity, let us assume that the distance of the point masses from the rope will remain unchanged, i.e. these behave as if being fixed to the endpoints of two thin rods of lengths $H$ and $1.4H$ respectively, see figure. Let the rods form angles ${\alpha }_1$ and ${\alpha }_2$ with the vertical line (positive angles correspond to clock-wise rotation), so that the angle between the rods is $\beta ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. A tightrope walker can control the value of the angle $\beta$ by bowing.

i. (1 pt) Let us assume that initially, the tightrope walker was standing in an almost perfect equilibrium (${\alpha }_1={\alpha }_2=0$). Due to instability of this equilibrium, he starts slowly falling clock-wise, which he notices at $t=t_0$ when ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_0>0$. He bows rapidly to stop falling: assume that the angle $\beta$ takes almost instantaneously a new value ${\beta }_0$. Express the new values of the angles ${\alpha }_1$ and ${\alpha }_2$ in terms of $\beta$ and ${\alpha }_0$.

ii. (0.5 pts) So, the tightrope walker is now bowing and keeps this body shape ($\beta ={\beta }_0$) for the time period $T_b$, upon which he straightens himself almost instantaneously and makes thereby $\beta =0$. His aim is to resume the motionless standing position with ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$. Should he have bowed clock-wise (${\beta }_0>0$) or counter-clock-wise? Motivate your answer.

iii. (1 pt) From now on, we assume that ${\alpha }_0\ll {\beta }_0$. Immediately after he has straightened himself, neither his angular speed ${\dot{\alpha }}_1={\dot{\alpha }}_2$ nor angle ${\alpha }_1$ are zero: zero values will be achieved much later. Which value (expressed in terms of $H$ and $g$) should the ratio ${\dot{\alpha }}_1/{\alpha }_1$ take at that moment?

iv. (1 pt) Express the required duration $T_b$ in terms of ${\alpha }_0$, ${\beta }_0$, $H$, and $g$ assuming that ${\alpha }_0\ll {\beta }_0$.

Part C. Kapitza’s pendulum (4 points)

In 1908 Andrew Stephenson found that the upper position of a pendulum can be stable, if its suspension point oscillates with a high frequency. The explanation of this phenomenon was provided in 1951 by Russian physicist Pyotr Kapitza. In what follows we’ll find the stability criterion of such a pendulum. Apart from being just a nice toy, the Kapitza’s pendulum demonstrates the method of separating fast and slow processes which plays an important role in physics. High frequency oscillations can drive a slow motion in various systems, e.g. high frequency electric fields act on charges with an effective average force known as the ponderomotive force.

We consider a pendulum of length $l$, similar to that of Part-A-Question-i, but now the rod is massless, with a point mass at its end, and the suspension point oscillates vertically (see the figure). Let the velocity $v$ of the suspension point depend on time $t$ as shown in the graph below ($v>0$ corresponds to upward motion); the oscillations’ half-period $T\ll l/v_0$. We also assume that $v_0/T\gg g$ so that for questions i–ii you may ignore the free fall acceleration. In order to simplify calculations, you’ll need to study this process in the frame of reference of the suspension point (keep in mind: reference frame’s acceleration $\vec{a}$ gives rise to an inertial force $-M\vec{a}$ acting on a body of mass $M$).

i. (1.5 pts) Suppose that at $t=T/2$, the pendulum was motionless and inclined by a small angle ${\phi }_0$. Sketch the graph of the inclination angle $\phi$ as a function of time, and determine the angular displacement of the pendulum $\Delta \phi$ for the moment $t=T$, i.e. $\Delta \phi =\phi (T)-\phi (T/2)$. You may assume in your calculations that $\Delta \phi \ll {\phi }_0$ (this is valid because $T\ll l/v_0$).

ii. (1.5 pts) Since we still neglect gravity, only inertial force exerts a torque on the pendulum. Determine the average value of this torque (with respect to the suspension point, averaged over the full period $2T$).

iii. (1 pt) Now, let us take into account that there is also the gravity field of the Earth. Determine, which inequality must be satisfied for $g$, $T$, $l$ and $v_0$ in order to ensure the stability of the vertical position of such a pendulum (some of these parameters may not be needed for your inequality).

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Differential Equations, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Pendulum, Rod, Wheel

T1. Stabilizzare stati instabili (11 punti)

Parte A. Stabilizzazione mediante retroazione (3,5 punti)

Studiamo come si può stabilizzare una posizione di equilibrio inizialmente instabile. Consideriamo prima un pendolo rovesciato: un’asta sottile e lunga, con massa distribuita uniformemente e lunghezza $l$, è fissata nel suo punto più basso a una cerniera, attorno alla quale può ruotare liberamente. Descriviamo la posizione dell’asta con l’angolo $\phi$ tra l’asta e la verticale. Supponiamo $\phi \ll 1$ ($\phi$ molto minore di 1). L’accelerazione di gravità è $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$.

i. (1,5 punti) Esprimi l’accelerazione angolare dell’asta $\ddot{\phi }$ in funzione di $\phi$ e dei parametri $l$ e $g$. Mostra che l’angolo di inclinazione $\phi$ in funzione del tempo $t$ si scrive $\phi (t)=A{e}^{t/\tau }+B{e}^{-t/\tau }$, dove $A$ e $B$ sono costanti che dipendono dalla posizione e dalla velocità angolare iniziali dell’asta e $\tau$ è un tempo caratteristico. Esprimi $\tau$ in funzione di $l$ e $g$. (Puoi usare l’analisi dimensionale, ma in tal caso perdi 0,5 punti.) Suggerimento: per un’asta di lunghezza $l$ e massa $m$ il momento d’inerzia rispetto a un estremo è $\frac{1}{3}m{l}^2$.

ii. (0,5 punti) Un ragazzo cerca di tenere in equilibrio verticale sul palmo della mano un’asta lunga e sottile. Per esempio, appena l’asta comincia a cadere verso sinistra, egli sposta il palmo ancora più a sinistra, in modo che il baricentro dell’asta si trovi a destra del punto di appoggio. Allora il momento della forza peso fa ruotare l’asta verso destra, riducendo la velocità angolare verso sinistra osservata prima. Stima per quali lunghezze dell’asta il ragazzo riesce a tenerla verticale, se il suo tempo di reazione è stimato in ${\tau }_r=0.2\mathrm{s}$. (Il tempo di reazione è il ritardo tra il comando inviato dal cervello alle mani e il corrispondente movimento delle mani.)

iii. (0,5 punti) Gli esseri umani e gli uccelli mantengono la posizione eretta in modo analogo: spostano il centro di appoggio (il punto sotto i piedi in cui è applicata la reazione normale totale), per esempio regolando l’angolo tra gamba e piede, così da contrastare la caduta della parte superiore del corpo. Un piccolo uccello di lunghezza $l_b=6\mathrm{cm}$ riesce a stare in piedi; stima il limite superiore del suo tempo di reazione.

iv. (1 punto) Anche in bicicletta l’equilibrio si mantiene spostando il centro di appoggio, che sta sulla retta che congiunge i punti di contatto delle ruote con il suolo; questa retta si può spostare comodamente girando il manubrio mentre si avanza. Stima la velocità minima $v_m$ a cui un ciclista può mantenere l’equilibrio in questo modo. Supponi che per il ciclista il tempo caratteristico di caduta sia lo stesso di un’asta di lunghezza $L=2\mathrm{m}$; la distanza tra i centri delle ruote è $d=1\mathrm{m}$.

Parte B. Il funambolo (3,5 punti)

Un funambolo non può spostare il punto di appoggio in direzione perpendicolare alla fune. Mantiene invece l’equilibrio spostando il baricentro. Costruiamo un modello semplice di un uomo in equilibrio su una fune.

La metà inferiore del corpo è modellizzata da una massa puntiforme $m$ all’altezza $H$, la metà superiore da un’uguale massa puntiforme $m$ all’altezza $1.4H$. La posizione reciproca delle due masse può cambiare piegandosi a destra o a sinistra; per semplicità supponiamo che la distanza delle masse dalla fune resti invariata, cioè che si comportino come se fossero fissate agli estremi di due aste sottili di lunghezza $H$ e $1.4H$ rispettivamente (vedi figura). Le aste formano con la verticale gli angoli ${\alpha }_1$ e ${\alpha }_2$ (angoli positivi corrispondono a rotazioni in senso orario), così che l’angolo tra le aste è $\beta ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. Il funambolo può controllare l’angolo $\beta$ piegandosi.

i. (1 punto) Supponiamo che all’inizio il funambolo fosse in un equilibrio quasi perfetto (${\alpha }_1={\alpha }_2=0$). A causa dell’instabilità di questo equilibrio comincia a cadere lentamente in senso orario, e se ne accorge all’istante $t=t_0$, quando ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_0>0$. Si piega rapidamente per fermare la caduta: supponi che l’angolo $\beta$ assuma quasi istantaneamente un nuovo valore ${\beta }_0$. Esprimi i nuovi valori degli angoli ${\alpha }_1$ e ${\alpha }_2$ in funzione di $\beta$ e ${\alpha }_0$.

ii. (0,5 punti) Il funambolo resta piegato con questa forma del corpo ($\beta ={\beta }_0$) per un intervallo di tempo $T_b$, dopo il quale si raddrizza quasi istantaneamente, rendendo così $\beta =0$. Il suo scopo è tornare nella posizione eretta e ferma con ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$. Avrebbe dovuto piegarsi in senso orario (${\beta }_0>0$) o antiorario? Motiva la risposta.

iii. (1 punto) D’ora in poi supponiamo ${\alpha }_0\ll {\beta }_0$. Subito dopo che si è raddrizzato, né la velocità angolare ${\dot{\alpha }}_1={\dot{\alpha }}_2$ né l’angolo ${\alpha }_1$ sono nulli: si annulleranno molto più tardi. Quale valore (espresso in funzione di $H$ e $g$) deve avere il rapporto ${\dot{\alpha }}_1/{\alpha }_1$ in quell’istante?

iv. (1 punto) Esprimi la durata necessaria $T_b$ in funzione di ${\alpha }_0$, ${\beta }_0$, $H$ e $g$, supponendo ${\alpha }_0\ll {\beta }_0$.

Parte C. Il pendolo di Kapitza (4 punti)

Nel 1908 Andrew Stephenson scoprì che la posizione superiore di un pendolo può essere stabile se il punto di sospensione oscilla ad alta frequenza. La spiegazione del fenomeno fu data nel 1951 dal fisico russo Pëtr Kapitza. Nel seguito troveremo il criterio di stabilità di questo pendolo. Oltre a essere un bel giocattolo, il pendolo di Kapitza illustra il metodo della separazione tra processi rapidi e lenti, molto importante in fisica. Oscillazioni ad alta frequenza possono generare un moto lento in vari sistemi: per esempio campi elettrici ad alta frequenza agiscono sulle cariche con una forza media efficace detta forza ponderomotrice.

Consideriamo un pendolo di lunghezza $l$, simile a quello della domanda A.i, ma ora l’asta ha massa trascurabile e porta una massa puntiforme all’estremo, e il punto di sospensione oscilla verticalmente (vedi figura). La velocità $v$ del punto di sospensione dipende dal tempo $t$ come nel grafico ($v>0$ corrisponde a moto verso l’alto); il semiperiodo delle oscillazioni è $T\ll l/v_0$. Supponiamo anche $v_0/T\gg g$, così che nelle domande i–ii si può trascurare l’accelerazione di gravità. Per semplificare i calcoli conviene studiare il processo nel sistema di riferimento del punto di sospensione (ricorda: un’accelerazione $\vec{a}$ del sistema di riferimento dà origine a una forza d’inerzia $-M\vec{a}$ su un corpo di massa $M$).

i. (1,5 punti) Supponi che all’istante $t=T/2$ il pendolo fosse fermo e inclinato di un piccolo angolo ${\phi }_0$. Disegna il grafico dell’angolo di inclinazione $\phi$ in funzione del tempo e determina lo spostamento angolare del pendolo $\Delta \phi$ all’istante $t=T$, cioè $\Delta \phi =\phi (T)-\phi (T/2)$. Nei calcoli puoi supporre $\Delta \phi \ll {\phi }_0$ (vale perché $T\ll l/v_0$).

ii. (1,5 punti) Poiché stiamo ancora trascurando la gravità, solo la forza d’inerzia esercita un momento sul pendolo. Determina il valore medio di questo momento (rispetto al punto di sospensione, mediato sull’intero periodo $2T$).

iii. (1 punto) Teniamo ora conto anche del campo gravitazionale terrestre. Determina quale disuguaglianza tra $g$, $T$, $l$ e $v_0$ deve essere soddisfatta perché la posizione verticale di questo pendolo sia stabile (alcuni di questi parametri potrebbero non servire nella disuguaglianza).

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Differential Equations, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Pendulum, Rod, Wheel

T2. Gravitational waves (10 points)

Part A. Dipole radiation (2.4 points)

Static electric and gravity fields are described by identical set of equations — as long as we are far from black holes. However, if we add terms describing time variations of the fields, the equations become different. Therefore, expressions for electromagnetic waves cannot be directly carried over to gravitational waves. Still, for expressions given below, the difference will be only in the value of numerical prefactors.

Charges moving with acceleration lose kinetic energy by radiating electromagnetic waves; this radiation is known as the dipole radiation. The total radiation power is expressed as

$$P_{ed}=\frac{{\ddot{\vec{d}}}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3},\text{\hspace{1em}(1)}$$

where $\ddot{\vec{d}}$ is the second time derivative of the dipole moment, $c$ is the speed of light, and ${\epsilon }_0$ — vacuum permittivity. Dipole moment for a system of charges $q_i$ is defined as $\vec{d}={\sum }_i{\vec{r}}_i{q}_i$, where ${\vec{r}}_i$ is vector pointing from the origin to the position of $i$-th charge. For harmonically oscillating dipoles, the radiated wave frequency equals to the frequency of oscillations.

i. (1.4 pts) Consider an electron of charge $-e$ and mass $m$, circulating around an atomic nucleus of charge $+Ze$ at distance $r$; neglect quantum mechanical effects. Express the total radiated power, and the wavelength $\lambda$ of the radiated waves in terms of $e$, $Z$, $m$, $r$, and physical constants.

ii. (1 pt) Let us try to carry over Eq. (1) to gravitational waves; then, the total radiation power $P_{gd}$ would be proportional to ${\ddot{\vec{d}}}_g^2$, where ${\vec{d}}_g$ is the gravitational dipole moment, and two dots denote the second time-derivative. Analogously to the electrical dipole, gravitational dipole moment for a system of point masses $m_i$ is defined as ${\vec{d}}_g={\sum }_i{\vec{r}}_i{m}_i$. Show that always $P_{gd}=0$.

Part B. Quadrupole radiation (7.6 points)

Let us consider a binary star consisting of two stars of equal mass $M$ which rotate around a circular orbit of radius $R$ with angular speed $\omega$.

i. (1 pt) Express $\omega$ in terms of $M$, $R$, and constants.

ii. (0.8 pts) While there is no gravitational dipole radiation, there is a quadrupole one. In analogy with the dipole radiation, it should be proportional to squared time-derivatives of the quadrupole moment. For this problem, it is enough to know that for our binary star, the gravitational quadrupole moment components are of the order of $M{R}^2$. So, we expect the total radiation power to have a form $P_{qg}=A{M}^2{R}^4$, where the factor $A$ may depend on $\omega$ and physical constants (here $\omega$ is an independent parameter, though for a binary star it depends on $M$ and $R$). Find expression for $P_{qg}$ using dimensional analysis.

iii. (0.8 pts) The effect of gravitational waves is measured by strain $h=\Delta l/l$; here $l$ is a distance between two points in space, and $\Delta l$ is the change of that distance due to the wave. As usual for waves, the energy flux density $S$ (radiation energy per unit time and unit area) is proportional to the squared wave amplitude: $S=K{h}_0^2$ ($h_0$ denotes the wave amplitude). Based on dimensional arguments, express the factor $K$ in terms of constants and the angular frequency of the wave $\omega$.

iv. (1 pt) The dipole radiation is distributed over propagation directions anisotropically, but let us ignore this: for the sake of simplicity, assume isotropic radiation. Express the amplitude $h_0$ of gravitational waves at distance $L$ in terms of $M$, $R$, and physical constants.

The energy of the binary star decreases in time due to the emission of gravitational waves. So, the distance $R$ between the two stars decreases. This process will continue until the stars collide and merge ($R$ becomes of the order of the radius of a star). In LIGO experiment (reported on 11th February 2016), gravitational waves emitted right before a merger of two black holes were observed. For the radius of a black hole, we’ll use the Schwarzschild radius $R_s$ which is defined as such a critical distance from a point mass $M$ that light cannot escape due to gravitational pull from distances $r<R_s$. To derive properly an expression for $R_s$, theory of general relativity is needed.

v. (1 pt) Express $R_s$ in terms of $M$ and physical constants. Use the following fact: if we neglect general relativity and use special relativity together with Newtonian gravitation law, we obtain a result which is exactly half of the correct one.

vi. (1.5 pts) In LIGO experiment, using a 4-km-long laser interferometer, the strain $h$ (see question iii) was measured as a function of time; the result is given in the graph below. Using this graph and assuming that the masses of the two black holes were equal, estimate the mass of each of them numerically. Gravitational constant $G=6.67\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$; $c=3.00\times 10^{8}m/s$.

vii. (1.5 pts) Using the same data as for question vi, estimate the distance to these black holes.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Dimensional Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation, Conservation of Energy Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Black Hole, Electron, Nucleus

T2. Onde gravitazionali (10 punti)

Parte A. Radiazione di dipolo (2,4 punti)

I campi elettrici e gravitazionali statici sono descritti da insiemi identici di equazioni, finché si è lontani dai buchi neri. Se però si aggiungono i termini che descrivono la variazione nel tempo dei campi, le equazioni diventano diverse. Perciò le espressioni valide per le onde elettromagnetiche non si possono trasferire direttamente alle onde gravitazionali. Comunque, per le espressioni che seguono, la differenza riguarda solo il valore dei fattori numerici.

Le cariche in moto accelerato perdono energia cinetica irraggiando onde elettromagnetiche; questa radiazione è detta radiazione di dipolo. La potenza totale irraggiata è

$$P_{ed}=\frac{{\ddot{\vec{d}}}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3},\text{\hspace{1em}(1)}$$

dove $\ddot{\vec{d}}$ è la derivata seconda rispetto al tempo del momento di dipolo, $c$ è la velocità della luce e ${\epsilon }_0$ la costante dielettrica del vuoto. Il momento di dipolo di un sistema di cariche $q_i$ è definito come $\vec{d}={\sum }_i{\vec{r}}_i{q}_i$, dove ${\vec{r}}_i$ è il vettore che va dall’origine alla posizione della carica $i$-esima. Per dipoli che oscillano armonicamente, la frequenza dell’onda irraggiata è uguale alla frequenza delle oscillazioni.

i. (1,4 punti) Considera un elettrone di carica $-e$ e massa $m$ che orbita attorno a un nucleo atomico di carica $+Ze$ a distanza $r$; trascura gli effetti quantistici. Esprimi la potenza totale irraggiata e la lunghezza d’onda $\lambda$ delle onde irraggiate in funzione di $e$, $Z$, $m$, $r$ e di costanti fisiche.

ii. (1 punto) Proviamo a trasferire l’Eq. (1) alle onde gravitazionali: la potenza totale irraggiata $P_{gd}$ sarebbe proporzionale a ${\ddot{\vec{d}}}_g^2$, dove ${\vec{d}}_g$ è il momento di dipolo gravitazionale e i due punti indicano la derivata seconda rispetto al tempo. In analogia con il dipolo elettrico, il momento di dipolo gravitazionale di un sistema di masse puntiformi $m_i$ è definito come ${\vec{d}}_g={\sum }_i{\vec{r}}_i{m}_i$. Mostra che $P_{gd}=0$ sempre.

Parte B. Radiazione di quadrupolo (7,6 punti)

Consideriamo una stella doppia formata da due stelle di uguale massa $M$ che ruotano su un’orbita circolare di raggio $R$ con velocità angolare $\omega$.

i. (1 punto) Esprimi $\omega$ in funzione di $M$, $R$ e di costanti.

ii. (0,8 punti) Anche se non c’è radiazione gravitazionale di dipolo, c’è una radiazione di quadrupolo. In analogia con la radiazione di dipolo, essa deve essere proporzionale ai quadrati delle derivate temporali del momento di quadrupolo. Per questo problema basta sapere che per la nostra stella doppia le componenti del momento di quadrupolo gravitazionale sono dell’ordine di $M{R}^2$. Ci aspettiamo quindi che la potenza totale irraggiata abbia la forma $P_{qg}=A{M}^2{R}^4$, dove il fattore $A$ può dipendere da $\omega$ e da costanti fisiche (qui $\omega$ è un parametro indipendente, anche se per una stella doppia dipende da $M$ e $R$). Trova l’espressione di $P_{qg}$ con l’analisi dimensionale.

iii. (0,8 punti) L’effetto delle onde gravitazionali si misura con la deformazione relativa (strain) $h=\Delta l/l$, dove $l$ è la distanza tra due punti dello spazio e $\Delta l$ la variazione di questa distanza dovuta all’onda. Come al solito per le onde, la densità di flusso di energia $S$ (energia irraggiata per unità di tempo e di superficie) è proporzionale al quadrato dell’ampiezza: $S=K{h}_0^2$ ($h_0$ è l’ampiezza dell’onda). Con considerazioni dimensionali, esprimi il fattore $K$ in funzione di costanti e della pulsazione dell’onda $\omega$.

iv. (1 punto) La radiazione di dipolo non è distribuita in modo isotropo nelle varie direzioni di propagazione, ma trascuriamo questo fatto: per semplicità supponi la radiazione isotropa. Esprimi l’ampiezza $h_0$ delle onde gravitazionali a distanza $L$ in funzione di $M$, $R$ e di costanti fisiche.

L’energia della stella doppia diminuisce nel tempo a causa dell’emissione di onde gravitazionali. Quindi la distanza $R$ tra le due stelle diminuisce. Il processo continua finché le stelle si scontrano e si fondono ($R$ diventa dell’ordine del raggio di una stella). Nell’esperimento LIGO (annunciato l’11 febbraio 2016) sono state osservate onde gravitazionali emesse subito prima della fusione di due buchi neri. Come raggio di un buco nero useremo il raggio di Schwarzschild $R_s$, definito come la distanza critica da una massa puntiforme $M$ tale che la luce non può sfuggire all’attrazione gravitazionale da distanze $r<R_s$. Per ricavare correttamente $R_s$ serve la relatività generale.

v. (1 punto) Esprimi $R_s$ in funzione di $M$ e di costanti fisiche. Usa il fatto seguente: se si trascura la relatività generale e si usano la relatività ristretta e la legge di gravitazione di Newton, si ottiene un risultato che è esattamente la metà di quello corretto.

vi. (1,5 punti) Nell’esperimento LIGO, con un interferometro laser lungo 4 km, è stata misurata la deformazione $h$ (vedi domanda iii) in funzione del tempo; il risultato è nel grafico qui sotto. Usando il grafico e supponendo che i due buchi neri avessero la stessa massa, stima numericamente la massa di ciascuno. Costante di gravitazione $G=6.67\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$; $c=3.00\times 10^{8}m/s$.

vii. (1,5 punti) Con gli stessi dati della domanda vi, stima la distanza di questi buchi neri.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Dimensional Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation, Conservation of Energy Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Black Hole, Electron, Nucleus

T3. Magnetars (9 points)

Magnetic fields are everywhere around us. Some typical magnetic B-field values: Earth’s magnetic field: $25$–$60\mu \mathrm{T}$; at Sunspots: $0.3\mathrm{T}$; strong permanent magnets: around $1\mathrm{T}$; continuously maintained magnetic fields in laboratory: up to $45\mathrm{T}$; neutron stars and magnetars: up to $10^{11}\mathrm{T}$. In what follows we study few aspects of strong magnetic fields.

Magnetic field energy density $w=\frac{B^2}{2\mu {\mu }_0}$, where ${\mu }_0\approx 1.3\times 10^{-6}N/{\mathrm{A}}^2$ is the vacuum permeability, and $\mu$ — the relative permeability of the medium. System tries to move towards a lower energy state and so ferromagnetic materials with $\mu \gg 1$ are pulled towards regions with strong magnetic fields, and diamagnetic materials with $\mu <1$ are pushed out. For diamagnetic materials, the magnetic susceptibility $\chi =\mu -1$ is small, $|\chi |\ll 1$, and so the effect is small unless the field is strong. Water is a diamagnetic with $\chi =-9\times 10^{-6}$ and animals are mostly made of water. So, a frog can levitate in a magnetic field if the field is strong enough, see the photo.

i. (1.5 pts) Let the frog height $h_f$ be not more than $h_0=10\mathrm{mm}$, and let us assume simplifyingly that the squared magnetic field depends linearly on height $z$, see figure. Find how strong magnetic field $B_0$ (in Teslas) is needed to keep this frog in levitation. Assume that the frog is made entirely of water (density $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$); free fall acceleration $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$. Hint: for $|\chi |\ll 1$, we can write $w\approx B^2\frac{1-\chi }{2{\mu }_0}$; hence, the energy density associated with the presence of water is $\Delta w=B^2\frac{1-\chi }{2{\mu }_0}-B^2\frac{1}{2{\mu }_0}=-B^2\frac{\chi }{2{\mu }_0}$.

Stars are made of a plasma which is a good electrical conductor. Because of that, magnetic field lines behave as if being “frozen” into the moving plasma (this follows from the Faraday’s induction law and Kirchhoff’s voltage law: due to the absence of electrical resistance, the voltage drop along a closed fictitious contour inside the plasma must be zero, hence the magnetic flux cannot change). If a star were to collapse into a neutron star, this effect would lead to an instantaneous increase of the magnetic field, see the sketch of the magnetic field lines before and after the collapse (recall that magnetic field strength is proportional to the density of field lines).

ii. (1 pt) Assuming that the polar magnetic field of a star is $B_s=100\mu \mathrm{T}$ and its average density ${\rho }_s=1400kg/{\mathrm{m}}^3$, what would be its polar magnetic field strength $B_c$ after its collapse into a neutron star due to the compression of magnetic field lines as depicted above? The neutron star density ${\rho }_n=5\times 10^{17}kg/{\mathrm{m}}^3$.

iii. (1 pt) In reality, magnetic fields of neutron stars are generated differently. Let us consider a very simplified model. Interior part of the star has collapsed to a neutron star’s size and density, but the exterior parts remains of the same size. Assume that before the collapse, the star was rotating as a solid body with angular speed ${\omega }_s$. Express the new angular speed of the interior part of the star ${\omega }_n$ in terms of ${\omega }_s$, ${\rho }_s$ and ${\rho }_n$.

iv. (1.5 pts) Rotation speeds of the inner- and outer parts are different, hence the field lines will be stretched, see figure. For the sake of simplicity: (a) we use 2-dimensional geometry, i.e. consider stars as being cylindrical; (b) while the initial field was a dipole field, we assume that it was cylindrically symmetric as shown in figure; (c) endpoints of field lines are attached to the inner cylinder (the neutron star) and to the outer cylindrical shell (the remnant of the original star). Let the initial magnetic field at the outer shell be $B_0$. Express the magnetic field $B$ as a function of time $t$ in the region where field lines are being stretched for $t\gg 1/{\omega }_n$ in terms of $B_0$ and ${\omega }_n$.

v. (1 pt) So, the energy is converted during the star collapse as follows: gravitational energy is converted into kinetic one (let us neglect thermal energy), which is later on converted into the magnetic one. Based on this scenario, estimate the maximal strength of the magnetic field $B_{max}$ for a neutron star of mass $M_n=4\times 10^{30}\mathrm{kg}$ and radius $R_n=13\mathrm{km}$. Recall that $G=6.67\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

vi. (1 pt) Very strong magnetic fields affect chemical properties of matter by changing the shape of electron orbits. This happens when the Lorentz force acting on an orbital electron becomes stronger than the Coulomb force due to the atomic nucleus. Estimate the strength of the magnetic field $B$ needed to distort the electron orbit of an hydrogen atom which has radius $R_H=5\times 10^{-11}\mathrm{m}$. Note that $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=9\times 10^{9}m/F$, $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$, and electron mass $m_e=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$.

vii. (2 pts) In very strong magnetic fields, atomic electron clouds take cylindrical shape. Estimate the length-to-diameter ratio $\kappa =l/d$ of such electron clouds for hydrogen atoms near a neutron star, in magnetic field $B_n=10^8\mathrm{T}$. Note that the Planck’s constant $h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Hint: the radius of the cyclotron orbit for an electron in quantum-mechanical ground state can be estimated using uncertainty principle.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Magnetism, Astrophysics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation Laws, Order-of-Magnitude Estimation, Bohr Model & Quantization Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star, Magnet, Electron

T3. Magnetar (9 punti)

I campi magnetici sono ovunque intorno a noi. Alcuni valori tipici del campo magnetico B: campo magnetico terrestre: $25$–$60\mu \mathrm{T}$; nelle macchie solari: $0.3\mathrm{T}$; magneti permanenti potenti: circa $1\mathrm{T}$; campi magnetici mantenuti in modo continuo in laboratorio: fino a $45\mathrm{T}$; stelle di neutroni e magnetar: fino a $10^{11}\mathrm{T}$. Nel seguito studiamo alcuni aspetti dei campi magnetici intensi.

La densità di energia del campo magnetico è $w=\frac{B^2}{2\mu {\mu }_0}$, dove ${\mu }_0\approx 1.3\times 10^{-6}N/{\mathrm{A}}^2$ è la permeabilità magnetica del vuoto e $\mu$ la permeabilità relativa del mezzo. Un sistema tende a portarsi in uno stato di energia minore, quindi i materiali ferromagnetici con $\mu \gg 1$ sono attratti verso le regioni di campo intenso, mentre i materiali diamagnetici con $\mu <1$ ne sono respinti. Per i materiali diamagnetici la suscettività magnetica $\chi =\mu -1$ è piccola, $|\chi |\ll 1$, e l’effetto è piccolo a meno che il campo sia intenso. L’acqua è diamagnetica con $\chi =-9\times 10^{-6}$ e gli animali sono fatti soprattutto di acqua. Perciò una rana può levitare in un campo magnetico abbastanza intenso (vedi foto).

i. (1,5 punti) L’altezza della rana $h_f$ non supera $h_0=10\mathrm{mm}$; supponiamo per semplicità che il quadrato del campo magnetico dipenda linearmente dalla quota $z$ (vedi figura). Trova quanto deve essere intenso il campo magnetico $B_0$ (in tesla) per tenere la rana in levitazione. Supponi che la rana sia fatta interamente di acqua (densità $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$); accelerazione di gravità $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$. Suggerimento: per $|\chi |\ll 1$ si può scrivere $w\approx B^2\frac{1-\chi }{2{\mu }_0}$; quindi la densità di energia associata alla presenza dell’acqua è $\Delta w=B^2\frac{1-\chi }{2{\mu }_0}-B^2\frac{1}{2{\mu }_0}=-B^2\frac{\chi }{2{\mu }_0}$.

Le stelle sono fatte di plasma, che è un buon conduttore elettrico. Per questo le linee del campo magnetico si comportano come se fossero “congelate” nel plasma in moto (ciò segue dalla legge dell’induzione di Faraday e dalla legge di Kirchhoff delle tensioni: in assenza di resistenza elettrica la caduta di tensione lungo un qualunque contorno chiuso immaginario nel plasma deve essere nulla, quindi il flusso magnetico non può cambiare). Se una stella collassasse in una stella di neutroni, questo effetto produrrebbe un aumento istantaneo del campo magnetico: vedi lo schema delle linee di campo prima e dopo il collasso (ricorda che l’intensità del campo magnetico è proporzionale alla densità delle linee di campo).

ii. (1 punto) Supponendo che il campo magnetico polare di una stella sia $B_s=100\mu \mathrm{T}$ e la sua densità media ${\rho }_s=1400kg/{\mathrm{m}}^3$, quale sarebbe l’intensità del campo polare $B_c$ dopo il collasso in stella di neutroni, dovuta alla compressione delle linee di campo come nello schema? La densità della stella di neutroni è ${\rho }_n=5\times 10^{17}kg/{\mathrm{m}}^3$.

iii. (1 punto) In realtà i campi magnetici delle stelle di neutroni si generano diversamente. Consideriamo un modello molto semplificato. La parte interna della stella è collassata fino alle dimensioni e alla densità di una stella di neutroni, mentre le parti esterne mantengono le stesse dimensioni. Supponi che prima del collasso la stella ruotasse come un corpo rigido con velocità angolare ${\omega }_s$. Esprimi la nuova velocità angolare della parte interna ${\omega }_n$ in funzione di ${\omega }_s$, ${\rho }_s$ e ${\rho }_n$.

iv. (1,5 punti) Le velocità di rotazione della parte interna e di quella esterna sono diverse, quindi le linee di campo vengono stirate (vedi figura). Per semplicità: (a) usiamo una geometria bidimensionale, cioè consideriamo le stelle cilindriche; (b) anche se il campo iniziale era un campo di dipolo, supponiamo che avesse simmetria cilindrica come in figura; (c) gli estremi delle linee di campo sono ancorati al cilindro interno (la stella di neutroni) e al guscio cilindrico esterno (il residuo della stella originaria). Sia $B_0$ il campo magnetico iniziale sul guscio esterno. Esprimi il campo magnetico $B$ in funzione del tempo $t$, nella regione in cui le linee di campo vengono stirate, per $t\gg 1/{\omega }_n$, in funzione di $B_0$ e ${\omega }_n$.

v. (1 punto) Durante il collasso l’energia si trasforma così: l’energia gravitazionale diventa energia cinetica (trascuriamo l’energia termica), che poi diventa energia magnetica. In base a questo scenario, stima l’intensità massima del campo magnetico $B_{max}$ per una stella di neutroni di massa $M_n=4\times 10^{30}\mathrm{kg}$ e raggio $R_n=13\mathrm{km}$. Ricorda che $G=6.67\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

vi. (1 punto) Campi magnetici molto intensi modificano le proprietà chimiche della materia cambiando la forma delle orbite elettroniche. Ciò accade quando la forza di Lorentz su un elettrone orbitale diventa maggiore della forza di Coulomb dovuta al nucleo atomico. Stima l’intensità del campo magnetico $B$ necessaria per deformare l’orbita elettronica di un atomo di idrogeno, di raggio $R_H=5\times 10^{-11}\mathrm{m}$. Si ricorda che $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=9\times 10^{9}m/F$, $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ e la massa dell’elettrone è $m_e=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$.

vii. (2 punti) In campi magnetici molto intensi le nuvole elettroniche degli atomi assumono forma cilindrica. Stima il rapporto lunghezza/diametro $\kappa =l/d$ di queste nuvole elettroniche per atomi di idrogeno vicino a una stella di neutroni, in un campo magnetico $B_n=10^8\mathrm{T}$. La costante di Planck è $h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Suggerimento: il raggio dell’orbita di ciclotrone di un elettrone nello stato fondamentale quantistico si può stimare con il principio di indeterminazione.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Magnetism, Astrophysics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation Laws, Order-of-Magnitude Estimation, Bohr Model & Quantization Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Star, Magnet, Electron

Problem E1. Rolling cylinder (7 points)

The setup comprises of (1) a wooden board with holes drilled into its one end (the highlighted numbers correspond to the numbers in the fig.), (2) two sticks which can be put through the board’s holes; this way one end of the board can be kept in an elevated position, (3) two clamps which can be mounted onto the sticks and will support the board beneath it, (4) measuring tape, (5) stopwatch (press “go” to start measuring, “stop” to record time, and “clear” to reset screen to zero), and (6) a cylindrical bottle with an unknown amount of unknown liquid. You are not allowed to open the bottle (the bottle is secured with a sticker which, once removed, cannot be fixed back).

Numerical values for your calculations: Mass of the bottle (together with the liquid inside) $M=50\mathrm{g}$. Free fall acceleration $g=9.81m/{\mathrm{s}}^2$.

The properties of the liquid inside the bottle depend on temperature. To avoid heating it, keep it in your hands as briefly as possible.

When the cylinder is put onto an inclined surface, there are four possibilities what can happen.

A. if the inclination angle $\alpha$ (the angle between the surface normal and the vertical direction) is very small, $\alpha \le {\alpha }_0$, it will remain in a resting position.

B. for moderately small inclination angles, ${\alpha }_0<\alpha <{\alpha }_1$, the cylinder will roll down with an almost constant speed (if the angle $\alpha$ is very close to the critical value ${\alpha }_0$, the motion may be slightly uneven: the cylinder almost stops, but shortly after, resumes again rolling motion).

C. for ${\alpha }_1<\alpha <{\alpha }_2$, once the cylinder (lying on the surface) is released, it first obtains an almost constant rolling speed; this speed is achieved very fast, upon rolling to the distance of the order of the cylinder’s diameter. However, that speed will slowly increase during the course of subsequent rolling. The rolling speed grows slowly because the liquid inside the bottle will be smeared around the walls of the bottle (smearing will not take place for $\alpha <{\alpha }_1$).

D. for $\alpha >{\alpha }_2$, bottle rolls from the beginning to end with an acceleration (rolling with an almost constant speed can never be observed).

Part A. Critical slopes (1 points)

Make measurements to determine the critical slopes ${\alpha }_0$ and ${\alpha }_2$. State the values of ${\alpha }_0$ and ${\alpha }_2$ (in degrees) together with uncertainties. Note that the measurement of ${\alpha }_2$ will not be very precise because the crossover from regime C to regime D is not very sharply defined.

Part B. Rolling speed (3 points)

Fix the board to a certain angle $\alpha$ with ${\alpha }_0<\alpha <{\alpha }_2$ and put the cylinder onto the board near the upper edge of the board; you will be releasing the cylinder from this position during the forthcoming measurements (the cylinder will be rolling downwards). From this position, measure $4\mathrm{cm}$ downwards, and with a pencil, make a mark onto the board. Make a next mark to a distance $l=10\mathrm{cm}$ downwards from the first mark. These two marks define the first $10\mathrm{cm}$-long segment. When the cylinder starts rolling from the edge of the board, it will obtain a constant speed once reaching the segment. Mark a similar segment close to the lower edge of the board. Release the cylinder from a point near the upper edge of the board; measure and tabulate the data for calculating the rolling speed on both segments, as well as for the average rolling speed over the long segment from the beginning of the upper segment to the end of the lower segment. Based on your measurement data, determine the critical angle ${\alpha }_1$.

Part C. Friction force (2.3 points)

In order to keep the cylinder rolling with a constant speed $v$, a force $F$ needs to be applied. This force depends on the rolling speed $v$, and on the time $t$ elapsed from the moment when rolling started. So, $F=F(v,t)$. The dependence of $F$ on $t$ is such that at very small values of $t$, $F$ grows, achieves then a maximal value $F_m(v)$, and may slowly decrease later. Based on the measurements of the previous task, calculate and tabulate $F_m(v)$ for different values of $v$. Plot this dependence on a graph, and suggest a formula which describes such a dependence.

Part D. Mass of liquid (0.7 points)

Based on your measurement data for the previous tasks, estimate the mass of liquid inside the bottle.

Fonte: Testo (PDF)

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Curve Fitting Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation, Curve Fitting Objects: Cylinder, Inclined Plane

Problema E1. Cilindro che rotola (7 punti)

L’apparato comprende (1) una tavola di legno con dei fori praticati a una estremità (i numeri evidenziati corrispondono ai numeri della figura), (2) due bastoncini che si possono infilare nei fori della tavola, in modo da tenere sollevata un’estremità della tavola, (3) due morsetti che si possono fissare ai bastoncini e che sostengono la tavola da sotto, (4) un metro a nastro, (5) un cronometro (premere “go” per avviare la misura, “stop” per registrare il tempo e “clear” per azzerare il display) e (6) una bottiglia cilindrica contenente una quantità sconosciuta di un liquido sconosciuto. Non è consentito aprire la bottiglia (la bottiglia è sigillata con un adesivo che, una volta rimosso, non può essere riattaccato).

Valori numerici per i calcoli: massa della bottiglia (compreso il liquido contenuto) $M=50\mathrm{g}$; accelerazione di gravità $g=9.81m/{\mathrm{s}}^2$.

Le proprietà del liquido contenuto nella bottiglia dipendono dalla temperatura. Per non scaldarlo, tenete la bottiglia in mano il meno possibile.

Quando il cilindro viene posato su un piano inclinato, possono verificarsi quattro casi.

A. Se l’angolo di inclinazione $\alpha$ (l’angolo tra la normale alla superficie e la verticale) è molto piccolo, $\alpha \le {\alpha }_0$, il cilindro resta fermo.

B. Per angoli di inclinazione moderatamente piccoli, ${\alpha }_0<\alpha <{\alpha }_1$, il cilindro rotola verso il basso con velocità quasi costante (se l’angolo $\alpha$ è molto vicino al valore critico ${\alpha }_0$, il moto può essere un po’ irregolare: il cilindro quasi si ferma, ma poco dopo riprende a rotolare).

C. Per ${\alpha }_1<\alpha <{\alpha }_2$, una volta lasciato andare il cilindro (appoggiato sulla superficie), esso raggiunge dapprima una velocità di rotolamento quasi costante; questa velocità viene raggiunta molto rapidamente, dopo un tratto dell’ordine del diametro del cilindro. Tuttavia, durante il rotolamento successivo la velocità aumenta lentamente. La velocità di rotolamento cresce lentamente perché il liquido contenuto nella bottiglia si spalma sulle pareti della bottiglia (per $\alpha <{\alpha }_1$ ciò non avviene).

D. Per $\alpha >{\alpha }_2$ la bottiglia rotola con moto accelerato dall’inizio alla fine (non si osserva mai un rotolamento a velocità quasi costante).

Parte A. Inclinazioni critiche (1 punto)

Eseguite delle misure per determinare le inclinazioni critiche ${\alpha }_0$ e ${\alpha }_2$. Riportate i valori di ${\alpha }_0$ e ${\alpha }_2$ (in gradi) con le relative incertezze. Si noti che la misura di ${\alpha }_2$ non sarà molto precisa, perché il passaggio dal regime C al regime D non è nettamente definito.

Parte B. Velocità di rotolamento (3 punti)

Fissate la tavola a un certo angolo $\alpha$ con ${\alpha }_0<\alpha <{\alpha }_2$ e posate il cilindro sulla tavola vicino al bordo superiore; durante le misure successive lascerete partire il cilindro da questa posizione (il cilindro rotolerà verso il basso). A partire da questa posizione, misurate $4\mathrm{cm}$ verso il basso e fate un segno a matita sulla tavola. Fate un secondo segno a una distanza $l=10\mathrm{cm}$ più in basso del primo. Questi due segni delimitano il primo tratto lungo $10\mathrm{cm}$. Quando il cilindro parte dal bordo della tavola, avrà raggiunto una velocità costante quando arriva al tratto. Segnate un tratto analogo vicino al bordo inferiore della tavola. Lasciate partire il cilindro da un punto vicino al bordo superiore della tavola; misurate e riportate in tabella i dati necessari per calcolare la velocità di rotolamento su entrambi i tratti, nonché la velocità media di rotolamento sul percorso lungo che va dall’inizio del tratto superiore alla fine del tratto inferiore. In base ai dati misurati, determinate l’angolo critico ${\alpha }_1$.

Parte C. Forza di attrito (2,3 punti)

Per mantenere il cilindro in rotolamento a velocità costante $v$ occorre applicare una forza $F$. Questa forza dipende dalla velocità di rotolamento $v$ e dal tempo $t$ trascorso dall’istante in cui è iniziato il rotolamento: $F=F(v,t)$. La dipendenza di $F$ da $t$ è tale che, per valori molto piccoli di $t$, $F$ cresce, raggiunge poi un valore massimo $F_m(v)$ e successivamente può diminuire lentamente. In base alle misure della parte precedente, calcolate e riportate in tabella $F_m(v)$ per diversi valori di $v$. Rappresentate questa dipendenza in un grafico e proponete una formula che la descriva.

Parte D. Massa del liquido (0,7 punti)

In base ai dati misurati nelle parti precedenti, stimate la massa del liquido contenuto nella bottiglia.

Fonte: Testo (PDF)

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Curve Fitting Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation, Curve Fitting Objects: Cylinder, Inclined Plane

Problem E2. Tungsten filament (13 points)

WARNINGS:

• Do not look into the laser beam or its reflections!
• Do not connect the electrolytic capacitor in a circuit that can result in reverse polarity on the capacitor! The grey ribbon on it denotes the “minus” side.
• Do not short the electrolytic capacitor with the multimeter (in ammeter mode or with the “10 A” connector)!
• Use safety goggles while using the electrolytic capacitor (connecting capacitor in reverse polarity may result in an outburst of hot electrolyte)!

The setup comprises of (1a) three incandescent bulbs with a tungsten filament which you can consider identical for the purposes of the experiment, (1b) one broken bulb without glass, its broken filament is exposed to air (if you need few more bulbs, ask an organizer), (2) power adapter, (3) rheostat, (4) multimeter, (5) measuring tape, (6) electrolytic capacitor, (7) laser with a 3 V battery pack attached, (8) stand, (9) screen (multimeter box with a white paper attached), (10) leads (2 tester leads, 3 banana plug – crocodile clamp leads, 2 crocodile clamp – crocodile clamp leads).

Numerical values for your calculations: Wavelength of the laser $\lambda =650\mathrm{nm}$. Density of tungsten $D=19.25g/c{\mathrm{m}}^3$. Specific resistance of tungsten at room temperature ${\rho }_{25}=5.65\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$. Function that approximates the temperature of tungsten as a function of its specific resistance fairly well for temperatures between $400\mathrm{K}$ and tungsten’s melting temperature $T_m=3695\mathrm{K}$:

$T\left(\frac{\rho }{{\rho }_{25}}\right)=104\mathrm{K}+216\mathrm{K}\cdot \frac{\rho }{{\rho }_{25}}-2.46\mathrm{K}\cdot {\left(\frac{\rho }{{\rho }_{25}}\right)}^2.$

Stefan-Boltzmann constant $\sigma =5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4)$. Capacitance of the electrolytic capacitor $C=47\mathrm{mF}$. Multimeter’s uncertainty: as ohmmeter $0.8\%+5$ times the last significant digit (LSD), as ammeter (10A) $2\%+5\times$ LSD, as voltmeter $0.5\%+4\times$ LSD.

Part A. Filament’s diameter (1.5 points)

Measure the diameter $d$ of the tungsten filament using diffraction. Use the incandescent bulb with exposed filament (the filament has been straightened from its regular coil shape). Sketch the measurement setup. Hint: the diffraction pattern from a wire is the same as from a single slit of equal diameter. In order to increase the intensity of the diffraction pattern on screen, focus the laser beam onto the filament by twisting the cap of the laser housing (the laser spot on the screen will be defocused). If you were unable to determine the diameter, use in what follows $d=40\mu \mathrm{m}$ (which might not be the correct value).

Part B. Filament’s resistance (2 points)

Measure the resistance $R$ of the filament at the room temperature as accurately as possible. Document the circuit used. Calculate the filament’s length $l$. Estimate the uncertainty. You can neglect the resistance of the bulb housing and of the wires supporting the filament. When the multimeter is used for voltage measurements, it can be considered as an ideal voltmeter. When used as an ammeter, its internal resistance cannot be neglected. Note that you can use the power supply which provides $\approx 12\mathrm{V}$, but if necessary, you can also use the laser battery holder as a $3\mathrm{V}$ supply or as a $1.5\mathrm{V}$ supply as shown in the image (while you use it as a $3\mathrm{V}$ supply, the laser will operate).

Part C. Current–voltage curve (2.5 points)

Plot the current through the bulb as a function of voltage from $0\mathrm{V}$ until the filament breaks. Document your circuit. What was the maximum temperature $T$ of the filament when it broke?

Note that you can use multimeter in 10 A-range for current measurements; if you do so, you do not have to rebuild the circuit for measuring the voltage: when the multimeter’s selector knob is turned between 10 A and voltage measurement positions, the “10A” and COM terminals remain connected inside the multimeter through a resistor of few ohms, and the resistance between the COM and multi-purpose terminals remains very large.

Part D. Emissivity (3.5 points)

Assuming that (a) all of the heat from the filament is dissipated with thermal radiation, and (b) the tungsten filament is a grey body, i.e. its emissivity does not depend on temperature $T$, the Stefan-Boltzmann law predicts that the power dissipation $P=Ak\sigma T^4$, where $A$ is the surface area of the filament and $k$ is the emissivity. Build a graph to verify this prediction. Indicate, for which range of temperatures this prediction holds, and find emissivity of the tungsten filament for that range. At which temperatures the prediction does not hold? Why the prediction fails for these temperatures?

Part E. Specific heat capacity of tungsten (3.5 points)

Measure the quantity of heat $Q$ required to raise the temperature of the filament from the room temperature to its breaking temperature, and calculate average specific heat of tungsten $c$ over this range of temperatures. Document the circuit used. Estimate the magnitude of the main source of error. Hint: if you need a voltage higher than $12\mathrm{V}$, you can use the power supply and battery pack in series to achieve voltages up to ca $15\mathrm{V}$.

Fonte: Testo (PDF)

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Interference & Diffraction Analysis, Curve Fitting Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation, Graph Linearization Objects: Capacitor, Wire, Screen, Slit

Problema E2. Filamento di tungsteno (13 punti)

AVVERTENZE:

• Non guardare il fascio laser né i suoi riflessi!
• Non collegare il condensatore elettrolitico in un circuito che possa invertirne la polarità! La striscia grigia indica il lato “meno”.
• Non cortocircuitare il condensatore elettrolitico con il multimetro (in modalità amperometro o con il connettore “10 A”)!
• Usa gli occhiali di protezione quando usi il condensatore elettrolitico (collegarlo con la polarità invertita può provocare la fuoriuscita di elettrolita bollente)!

L’apparato comprende: (1a) tre lampadine a incandescenza con filamento di tungsteno, che per l’esperimento puoi considerare identiche; (1b) una lampadina rotta senza vetro, con il filamento spezzato esposto all’aria (se ti servono altre lampadine, chiedi a un organizzatore); (2) alimentatore; (3) reostato; (4) multimetro; (5) metro a nastro; (6) condensatore elettrolitico; (7) laser con portabatterie da 3 V; (8) supporto; (9) schermo (la scatola del multimetro con un foglio bianco attaccato); (10) cavi (2 puntali, 3 cavi banana – coccodrillo, 2 cavi coccodrillo – coccodrillo).

Valori numerici per i calcoli: lunghezza d’onda del laser $\lambda =650\mathrm{nm}$. Densità del tungsteno $D=19.25g/c{\mathrm{m}}^3$. Resistività del tungsteno a temperatura ambiente ${\rho }_{25}=5.65\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$. La funzione seguente approssima abbastanza bene la temperatura del tungsteno in funzione della sua resistività, per temperature tra $400\mathrm{K}$ e la temperatura di fusione del tungsteno $T_m=3695\mathrm{K}$:

$T\left(\frac{\rho }{{\rho }_{25}}\right)=104\mathrm{K}+216\mathrm{K}\cdot \frac{\rho }{{\rho }_{25}}-2.46\mathrm{K}\cdot {\left(\frac{\rho }{{\rho }_{25}}\right)}^2.$

Costante di Stefan-Boltzmann $\sigma =5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4)$. Capacità del condensatore elettrolitico $C=47\mathrm{mF}$. Incertezza del multimetro: come ohmmetro $0.8\%+5$ volte l’ultima cifra significativa (LSD), come amperometro (10A) $2\%+5\times$ LSD, come voltmetro $0.5\%+4\times$ LSD.

Parte A. Diametro del filamento (1,5 punti)

Misura il diametro $d$ del filamento di tungsteno per diffrazione. Usa la lampadina con il filamento esposto (il filamento è stato raddrizzato rispetto alla sua normale forma a spirale). Disegna lo schema della misura. Suggerimento: la figura di diffrazione di un filo è la stessa di una fenditura singola di uguale larghezza. Per aumentare l’intensità della figura di diffrazione sullo schermo, focalizza il fascio laser sul filamento ruotando il cappuccio dell’involucro del laser (la macchia del laser sullo schermo risulterà sfocata). Se non riesci a determinare il diametro, usa nel seguito $d=40\mu \mathrm{m}$ (che potrebbe non essere il valore corretto).

Parte B. Resistenza del filamento (2 punti)

Misura la resistenza $R$ del filamento a temperatura ambiente nel modo più accurato possibile. Documenta il circuito usato. Calcola la lunghezza $l$ del filamento. Stima l’incertezza. Puoi trascurare la resistenza dello zoccolo della lampadina e dei fili che sostengono il filamento. Quando il multimetro è usato per misurare tensioni, si può considerare un voltmetro ideale. Quando è usato come amperometro, la sua resistenza interna non è trascurabile. Puoi usare l’alimentatore, che fornisce $\approx 12\mathrm{V}$, ma se serve puoi usare anche il portabatterie del laser come generatore da $3\mathrm{V}$ o da $1.5\mathrm{V}$, come mostrato nell’immagine (quando lo usi come generatore da $3\mathrm{V}$, il laser è acceso).

Parte C. Caratteristica corrente–tensione (2,5 punti)

Traccia il grafico della corrente nella lampadina in funzione della tensione, da $0\mathrm{V}$ fino alla rottura del filamento. Documenta il circuito. Qual era la temperatura massima $T$ del filamento quando si è rotto?

Puoi usare il multimetro sulla portata 10 A per misurare la corrente; in tal caso non devi ricostruire il circuito per misurare la tensione: quando il selettore del multimetro viene ruotato tra la posizione 10 A e le posizioni di misura della tensione, i morsetti “10A” e COM restano collegati all’interno del multimetro attraverso una resistenza di pochi ohm, mentre la resistenza tra COM e il morsetto multifunzione resta molto grande.

Parte D. Emissività (3,5 punti)

Supponendo che (a) tutto il calore del filamento sia dissipato per irraggiamento termico e (b) il filamento di tungsteno sia un corpo grigio, cioè che la sua emissività non dipenda dalla temperatura $T$, la legge di Stefan-Boltzmann prevede che la potenza dissipata sia $P=Ak\sigma T^4$, dove $A$ è l’area della superficie del filamento e $k$ l’emissività. Costruisci un grafico per verificare questa previsione. Indica in quale intervallo di temperature la previsione è valida e trova l’emissività del filamento di tungsteno in quell’intervallo. A quali temperature la previsione non vale? Perché in quel caso non vale?

Parte E. Calore specifico del tungsteno (3,5 punti)

Misura la quantità di calore $Q$ necessaria per portare il filamento dalla temperatura ambiente alla temperatura di rottura e calcola il calore specifico medio $c$ del tungsteno in questo intervallo di temperature. Documenta il circuito usato. Stima l’entità della principale fonte di errore. Suggerimento: se ti serve una tensione maggiore di $12\mathrm{V}$, puoi collegare in serie l’alimentatore e il pacco batterie per arrivare fino a circa $15\mathrm{V}$.

Fonte: Testo (PDF)

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Interference & Diffraction Analysis, Curve Fitting Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation, Graph Linearization Objects: Capacitor, Wire, Screen, Slit