GPhO 2017

Main sequence stars (11 points)

In all your subsequent calculations you may use the following physical constants and their numerical values.

• Stefan-Boltzmann constant $\sigma =5.670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4)$ (Note that $\sigma T^4$ gives the black body thermal radiation power per unit area at temperature $T$.)
• Boltzmann constant $k_B=1.38\times 10^{-23}{\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{kg}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$.
• The rest mass of a proton $m_p=1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$.
• Rest energy of a proton $m_p{c}^2=938\mathrm{MeV}$, where $1\mathrm{MeV}=1.6\times 10^{-13}\mathrm{J}$.
• Rest energy of a helium nucleus $m_{\mathrm{He}}{c}^2=3727\mathrm{MeV}$.
• Rest energy of an electron and positron $m_e{c}^2=0.5\mathrm{MeV}$.
• Speed of light $c=3\times 10^{8}m/s$.
• Universal gas constant $R_g=8.31\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot \mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$.
• Avogadro’s number $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$.

Part A. Lifetime of Sun (3 points)

For this Part, the following values can be also used.

• The mass of Sun $M_{\odot }=2\times 10^{30}\mathrm{kg}$.
• The radius of Sun $R_{\odot }=7\times 10^8\mathrm{m}$.
• Surface temperature of Sun $T_{\odot }=6\times 10^3\mathrm{K}$.

i. (0.7 pts) The Sun emits thermal radiation as a perfectly black body. Determine the total radiation power of the Sun (in watts).

ii. (0.5 pts) The Sun maintains its temperature owing to the fusion reaction, the net effect of which can be written as $4p^{+}\to {}^4{\mathrm{He}}^{2+}+2e^{+}+2{\nu }_e$, where $p^{+}$ denotes a proton, ${}^4{\mathrm{He}}^{2+}$ — a helium nucleus, $e^{+}$ — a positron, and ${\nu }_e$ — an electron neutrino of negligible rest energy. Show that the energy released by such a fusion of four protons is $W_0=24\mathrm{MeV}$.

iii. (0.5 pts) Antimatter cannot co-exist with matter: upon meeting, a positron and an electron disappear by producing two photons. How much energy per each fusion of four protons into a helium nucleus must leave Sun (carried away by photons and neutrinos) in order to keep it at a thermal equilibrium?

iv. (1.3 pts) Assuming that only the central part of the Sun (the Sun’s nucleus) which makes $\frac{1}{8}$ of the total mass of the Sun is hot enough for fusion reaction to take place, and neglecting the energy carried away by neutrinos, estimate the total lifetime of the Sun. Note that there is no convection in the central parts of the Sun, and therefore the particles inside the Sun’s nucleus remain trapped therein. Based on your result, comment on the current age of Sun, ${\tau }_{\odot }=5\times 10^9\mathrm{y}$.

Part B. Mass-luminosity relationship of stars (4.5 points)

Inside the nuclei of the so-called main sequence stars (such as our Sun), the fusion reaction takes place in a stable regime: if fluctuations were to increase the reaction rate slightly, the increased thermal output would lead to an increase of the pressure inside the core; this would lead to a thermal expansion of the fusion plasma, and as a result, to a decrease of the reaction rate. The reaction rate grows very rapidly with the temperature; this means that even if the reaction rates in different stars of different masses may differ considerably, the interior temperatures remain fairly similar. So, we may assume that the interior temperature is independent of the stellar mass and equal to $T_c=1.8\times 10^6\mathrm{K};$ this approximation holds particularly well for stars larger than Sun.

In order to make our next calculations mathematically easier, we make the following additional approximations.

(a) The mass of the stellar core is $\frac{M}{8}$ and its radius is $\frac{R_0}{2}$, where $M$ is the total mass of the star and $R_0$ — the radius of the star.

(b) The mass density ${\rho }_c$, pressure $p_c$, and temperature $T_c$ inside the stellar core can be approximately taken to be constant throughout its volume.

(c) For tasks i–iv, we assume also that all the mass $\frac{7}{8}M$ of the outer layers of the star is concentrated into a very narrow spherical layer of radius $\frac{R_0}{2}$ around the core, see figure. In reality, this is certainly not true — the layer is not narrow. However, this approximation will have only a minor effect on our final expression for the pressure (in task iv).

i. (0.4 pts) Express the free fall acceleration immediately above the narrow spherical layer (point $Q$ in figure) in terms of $M$ and $R_0$.

ii. (0.4 pts) Express the free fall acceleration immediately beneath the narrow spherical layer (point $P$ in figure).

iii. (0.4 pts) Express the gravity force acting on a small piece of the narrow spherical layer in terms of its surface area $A$, $M$ and $R_0$.

iv. (0.4 pts) Express the pressure $p_c$ in terms of the radius $R_0$ and mass $M$ of the star; (we overestimate it only by a factor which is less than two).

v. (1 pt) Derive another expression for the pressure $p_c$, this time in terms of $R_0$, $M$, and the core temperature $T_c$. Assume that the nucleus of a star consists of a fully ionised hydrogen, i.e. there are free protons and free electrons, both of which can be described as an ideal gas.

vi. (1.5 pts) Based on your previous results, express the radius $R_0$ of a star in terms of its mass $M$ and temperature $T_c$.

vii. (1.5 pts) The radiative power of a star is limited by at which rate the produced heat can travel through the outer layers of the star and reach the surface. The heat conductivity $\kappa$ is defined as the proportionality coefficient between the heat flux density $w$ (i.e. heat flowing per unit area and per unit time) and temperature gradient: $\frac{dT}{dr}=-\frac{w}{\kappa }$, where $r$ is the distance from the centre of the star. For a plasma, the heat conductivity is inversely proportional to its density, $\kappa =f(T)/\rho$. Assume simplifyingly that $\kappa$ is constant throughout the bulk of a star, up to the near-surface regions where $r=R_0$ where the temperature $T\ll T_c$, and is equal to $\kappa =f(T_c)/{\rho }_c$. Show that the total radiative power $P$ of a star is proportional to $M^{\gamma }$, and find the exponent $\gamma$.

Part C. Proton-proton fusion chain (3.5 points)

We say that a constant is fundamental if it cannot be expressed in terms of other fundamental constants; for instance, the Stefan-Boltzmann constant can be expressed in terms of $k_B$, speed of light $c$, and Planck’s constant $\hslash$. However, majority of the fundamental constants are created artificially by physicists due to a non-fundamental way of choosing the units. For instance, SI system of units needs electrostatic constant $k_e$, but for Gauss system of units, charge units are such that $k_e=1$. So, majority of the “fundamental” constants are not really that fundamental, and depend on our (essentially arbitrary) choice of units. However, there are also dimensionless combinations of physical constants, which can be considered as the parameters of our Universe with a slightly different value (we shall not consider here the parameters of the Standard Model: the way in which matter and fields evolve).

i. (1.5 pts) Find a dimensionless combination ${\alpha }^{-1}$ and calculate its value using the following subset of fundamental constants (it may happen that only few constants will enter the expression for ${\alpha }^{-1}$):

• $c=3\times 10^{8}m/s$,
• $G=6.67\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$,
• $k_B=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$,
• $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$,
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }=1.05\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$,
• $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$,
• $k_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=8.99\times 10^9\mathrm{m}\cdot {\mathrm{F}}^{-1}$.

Note that any power of $\alpha$ is also dimensionless; you are asked to find the simplest combination of constants which yields ${\alpha }^{-1}>1$. Hint: before applying dimensional analysis, all units need to be expressed using the base units (m, s, A, K, kg, mol).

ii. (1 pt) The first and limiting step in the fusion of four protons into a helium atom inside a star of sub-solar mass is the fusion of two protons, $p^{+}+p^{+}\to {}^2{\mathrm{H}}^{+}+e^{+}+{\nu }_e.$ This process is obstructed, however, by a coulomb repulsion of two protons. You may assume that until the distance between the centres of two protons remains larger than the proton radius $r_p=0.85\times 10^{-15}\mathrm{m}$, there is only a Coulomb force; at distances smaller than $r_p$, an attractive strong force steps into play and dominates over the Coulomb force. Estimate the temperature $T^{\prime }$ required for the fusion of two protons if there were no quantum-mechanical effects. Compare this result with the value of $T_c=1.8\times 10^6\mathrm{K}$.

iii. (1 pt) What enables the fusion of stellar hydrogen is the quantum-mechanical tunnel effect. With this task, you’ll learn that the fusion reaction rate depends on the dimensionless parameter $\alpha$, thus we can say that the parameter $\alpha$ defines the production rate of heavier nuclei in our Universe. (It appears that in a slightly different Universe with a slightly different value of $\alpha$, no carbon nuclei necessary for the existence of life would have been produced¹.)

It appears that a particle can tunnel through an energy barrier (a region in space where the potential energy $\Pi (r)$ is larger than the total energy $W$) with probability $p\approx \exp [-2{\hslash }^{-1}\int \sqrt{2m[\Pi (r)-W]}dr],$ where the integral is to be taken over the range at which $\Pi (r)>W$. Express the tunnelling probability for the proton-proton fusion for head-on collision of two centre-moving protons of speed $v$ in terms of $\alpha$, $v$ and $c$. You may assume that the proton “dives into the tunnel” $\Pi (r_a)=W$, and make use of the equality ${\int }_0^1\sqrt{\frac{1}{x}-1}dx=\frac{\pi }{4}\sqrt{a}$.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Astrophysics, Nuclear & Particle Physics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Mass-Energy Equivalence, Ideal Gas Law, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Star, Nucleus, Electron

Stelle della sequenza principale (11 punti)

In tutti i calcoli successivi potrai utilizzare le seguenti costanti fisiche e i relativi valori numerici.

• Costante di Stefan-Boltzmann $\sigma =5.670\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4)$ (Nota che $\sigma T^4$ fornisce la potenza di radiazione termica da corpo nero per unità di superficie alla temperatura $T$.)
• Costante di Boltzmann $k_B=1.38\times 10^{-23}{\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{kg}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$.
• Massa a riposo del protone $m_p=1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$.
• Energia a riposo del protone $m_p{c}^2=938\mathrm{MeV}$, dove $1\mathrm{MeV}=1.6\times 10^{-13}\mathrm{J}$.
• Energia a riposo del nucleo di elio $m_{\mathrm{He}}{c}^2=3727\mathrm{MeV}$.
• Energia a riposo dell’elettrone e del positrone $m_e{c}^2=0.5\mathrm{MeV}$.
• Velocità della luce $c=3\times 10^{8}m/s$.
• Costante universale dei gas $R_g=8.31\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot \mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$.
• Numero di Avogadro $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$.

Parte A. Vita della Sun (3 punti)

Per questa parte, possono essere utilizzati anche i seguenti valori.

• Massa della Sun $M_{\odot }=2\times 10^{30}\mathrm{kg}$.
• Raggio della Sun $R_{\odot }=7\times 10^8\mathrm{m}$.
• Temperatura superficiale della Sun $T_{\odot }=6\times 10^3\mathrm{K}$.

i. (0,7 punti) La Sun emette radiazione termica come un corpo nero perfetto. Determina la potenza totale di radiazione della Sun (in watt).

ii. (0,5 punti) La Sun mantiene la sua temperatura grazie alla reazione di fusione, il cui effetto netto può essere scritto come $4p^{+}\to {}^4{\mathrm{He}}^{2+}+2e^{+}+2{\nu }_e$, dove $p^{+}$ indica un protone, ${}^4{\mathrm{He}}^{2+}$ — un nucleo di elio, $e^{+}$ — un positrone e ${\nu }_e$ — un neutrone elettronico di energia a riposo trascurabile. Dimostra che l’energia rilasciata da tale fusione di quattro protoni è $W_0=24\mathrm{MeV}$.

iii. (0,5 punti) L’antimateria non può coesistere con la materia: all’incontro, un positrone e un elettrone scompaiono producendo due fotoni. Quanta energia per ogni fusione di quattro protoni in un nucleo di elio deve abbandonare il Sole (portata via dai fotoni e dai neutrini) perché esso rimanga in equilibrio termico?

iv. (1,3 punti) Supponendo che solo la parte centrale del Sole (il nucleo solare), che rappresenta $\frac{1}{8}$ della massa totale del Sole, sia abbastanza calda da consentire reazioni di fusione, e trascurando l’energia portata via dai neutrini, stimare la durata totale del Sole. Si osservi che non vi è convezione nelle parti centrali del Sole, e pertanto le particelle all’interno del nucleo solare rimangono intrappolate al loro interno. In base al risultato ottenuto, commentare l’età attuale del Sole, ${\tau }_{\odot }=5\times 10^9\mathrm{y}$.

Parte B. Relazione massa-luminosità delle stelle (4,5 punti)

All’interno dei nuclei delle cosiddette stelle della sequenza principale (come il nostro Sole), la reazione di fusione avviene in un regime stabile: se le fluttuazioni dovessero aumentare leggermente il tasso di reazione, l’aumento della produzione termica porterebbe a un aumento della pressione nel nucleo; questo causerebbe un’espansione termica del plasma di fusione, e di conseguenza una diminuzione del tasso di reazione. Il tasso di reazione cresce molto rapidamente con la temperatura; questo significa che anche se i tassi di reazione in diverse stelle di masse differenti possono differire notevolmente, le temperature interne rimangono abbastanza simili. Possiamo quindi assumere che la temperatura interna sia indipendente dalla massa stellare e pari a $T_c=1.8\times 10^6\mathrm{K};$, un’ipotesi che vale particolarmente bene per stelle più massicce del Sole.

Al fine di semplificare i calcoli successivi, effettuiamo le seguenti ulteriori approssimazioni.

(a) La massa del nucleo stellare è $\frac{M}{8}$ e il suo raggio è $\frac{R_0}{2}$, dove $M$ rappresenta la massa totale della stella e $R_0$ il raggio della stella.

(b) La densità di massa ${\rho }_c$, la pressione $p_c$ e la temperatura $T_c$ all’interno del nucleo stellare possono essere approssimativamente considerate costanti in tutta la sua volume.

(c) Per i compiti i–iv, assumiamo inoltre che tutta la massa $\frac{7}{8}M$ degli strati esterni della stella sia concentrata in uno strato sferico molto sottile di raggio $\frac{R_0}{2}$ attorno al nucleo, come mostrato in figura. In realtà, questo certamente non è vero — lo strato non è sottile. Tuttavia, questa approssimazione avrà soltanto un effetto trascurabile sulla nostra espressione finale per la pressione (nel compito iv).

i. (0,4 punti) Esprimi l’accelerazione di caduta libera immediatamente sopra lo strato sferico molto sottile (punto $Q$ in figura) in termini di $M$ e $R_0$.

ii. (0,4 punti) Esprimi l’accelerazione di caduta libera immediatamente sotto lo strato sferico molto sottile (punto $P$ in figura).

iii. (0,4 punti) Esprimi la forza di gravità agente su un piccolo pezzo dello strato sferico molto sottile in termini della sua area superficiale $A$, di $M$ e di $R_0$.

iv. (0,4 punti) Esprimi la pressione $p_c$ in termini del raggio $R_0$ e della massa $M$ della stella; (sovrastimiamo il valore soltanto di un fattore minore di due).

v. (1 punto) Deriva un’altra espressione per la pressione $p_c$, questa volta in termini di $R_0$, di $M$ e della temperatura del nucleo $T_c$. Assumi che il nucleo di una stella sia costituito da idrogeno completamente ionizzato, ossia che siano presenti protoni liberi ed elettroni liberi, entrambi dei quali possono essere descritti come un gas ideale.

vi. (1,5 punti) In base ai tuoi precedenti risultati, esprimi il raggio $R_0$ di una stella in termini della sua massa $M$ e della temperatura $T_c$.

vii. (1,5 punti) La potenza radiativa di una stella è limitata dal tasso con cui il calore prodotto può attraversare gli strati esterni della stella e raggiungere la superficie. La conducibilità termica $\kappa$ è definita come il coefficiente di proporzionalità tra la densità del flusso termico $w$ (cioè il calore che fluisce per unità di superficie e per unità di tempo) e il gradiente di temperatura: $\frac{dT}{dr}=-\frac{w}{\kappa }$, dove $r$ è la distanza dal centro della stella. Per un plasma, la conducibilità termica è inversamente proporzionale alla sua densità, $\kappa =f(T)/\rho$. Si assuma semplificativamente che $\kappa$ sia costante nell’intero volume della stella, fino alle regioni vicine alla superficie dove $r=R_0$, con la temperatura $T\ll T_c$, e sia uguale a $\kappa =f(T_c)/{\rho }_c$. Dimostrare che la potenza radiativa totale $P$ di una stella è proporzionale a $M^{\gamma }$, e determinare l’esponente $\gamma$.

Parte C. Catena di fusione protone-protone (3,5 punti)

Diciamo che una costante è fondamentale se non può essere espressa in termini di altre costanti fondamentali; per esempio, la costante di Stefan-Boltzmann può essere espressa in termini della $k_B$, della velocità della luce $c$ e della costante di Planck $\hslash$. Tuttavia, la maggioranza delle costanti fondamentali è stata introdotta artificialmente dai fisici a causa di una scelta non fondamentale delle unità. Per esempio, il sistema SI richiede la costante elettrostatica $k_e$, ma nel sistema di Gauss le unità di carica sono tali che $k_e=1$. Quindi, la maggioranza delle “costanti fondamentali” non è davvero così fondamentale, e dipende dalla nostra (essenzialmente arbitraria) scelta delle unità. Tuttavia, esistono anche combinazioni senza dimensioni di costanti fisiche, che possono essere considerate come parametri del nostro Universo con un valore leggermente diverso (non considereremo qui i parametri del Modello Standard: il modo in cui materia e campi evolvono).

i. (1.5 punti) Trovare una combinazione senza dimensioni ${\alpha }^{-1}$ e calcolarne il valore utilizzando il seguente sottoinsieme di costanti fondamentali (può accadere che solo poche costanti entrino nell’espressione per ${\alpha }^{-1}$):

• $c=3\times 10^{8}m/s$,
• $G=6.67\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$,
• $k_B=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$,
• $N_A=6.02\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$,
• $\hslash =\frac{h}{2\pi }=1.05\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$,
• $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$,
• $k_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=8.99\times 10^9\mathrm{m}\cdot {\mathrm{F}}^{-1}$.

Si noti che qualsiasi potenza di $\alpha$ è anch’essa senza dimensioni; si richiede di trovare la combinazione più semplice di costanti che dia ${\alpha }^{-1}>1$. Suggerimento: prima di applicare l’analisi dimensionale, tutte le unità devono essere espresse in termini di unità fondamentali (m, s, A, K, kg, mol).

ii. (1 punto) Il primo e limitante passo nella fusione di quattro protoni in un atomo di elio all’interno di una stella di massa inferiore a quella solare è la fusione di due protoni, $p^{+}+p^{+}\to {}^2{\mathrm{H}}^{+}+e^{+}+{\nu }_e.$ Questo processo tuttavia è ostacolato dalla repulsione coulombiana tra due protoni. Si può assumere che finché la distanza tra i centri di due protoni rimanga maggiore del raggio del protone $r_p=0.85\times 10^{-15}\mathrm{m}$, agisce soltanto la forza coulombiana; a distanze minori di $r_p$, entra in gioco una forza attrattiva forte e domina sulla forza coulombiana. Stimare la temperatura $T^{\prime }$ necessaria per la fusione di due protoni nel caso in cui non esistessero effetti quantomeccanici. Confrontare questo risultato con il valore di $T_c=1.8\times 10^6\mathrm{K}$.

iii. (1 punto) Ciò che consente la fusione dell’idrogeno stellare è l’effetto tunnel quantomeccanico. In questo compito si apprenderà che il tasso di reazione per la fusione dipende dal parametro adimensionale $\alpha$, pertanto si può dire che il parametro $\alpha$ definisce il tasso di produzione di nuclei più pesanti nell’Universo. (È risultato che in un Universo leggermente diverso con un valore leggermente diverso di $\alpha$, non si sarebbero formati nuclei di carbonio necessari per l’esistenza della vita¹.)

Pare che una particella possa attraversare barriere di energia (una regione dello spazio in cui l’energia potenziale $\Pi (r)$ è maggiore dell’energia totale $W$) con probabilità $p\approx \exp [-2{\hslash }^{-1}\int \sqrt{2m[\Pi (r)-W]}dr],$, dove l’integrale va calcolato nell’intervallo in cui $\Pi (r)>W$. Esprimi la probabilità di tunneling per la fusione protone-protone in un urto frontale tra due protoni con moto centrale di velocità $v$ in termini di $\alpha$, $v$ e $c$. Puoi assumere che il protone “si tuffi nel tunnel” $\Pi (r_a)=W$, e utilizzare l’uguaglianza ${\int }_0^1\sqrt{\frac{1}{x}-1}dx=\frac{\pi }{4}\sqrt{a}$.

Water tube (8 points)

Consider a tube which is obtained when two metallic cylinders are welded together as shown in the figure. Upper cylinder has internal cross-sectional area $A=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, and the lower one — $1.1A=11\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$. Two pistons are connected with a narrow (rigid but light) steel bar of length $H=30\mathrm{cm}$; the distance from the lower piston to the welding area is $h=10\mathrm{cm}$. The space between the pistons is filled with water of density $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$ and temperature $T=20{}^{\circ }\mathrm{C}$. The mass of each of the pistons $\frac{m}{2}=50\mathrm{g}$ (neglect the mass of the rod connecting them) free fall acceleration $g\approx 10m/{\mathrm{s}}^2$ and the atmospheric pressure $p_0=1\times 10^5\mathrm{Pa}$. The tube stands vertically on a solid horizontal surface; the pistons can move freely up and down, friction force can be neglected. The distance between the bottom of the lower piston and the horizontal surface is more than $20\mathrm{cm}$.

i. (0.5 pts) Let $p_P$ denote the pressure at a point $P$ at the bottom of the water column, and $p_Q$ — at a point $Q$ at the bottom. Find $p_P-p_Q$.

ii. (1.5 pts) Consider the two pistons, steel bar, and water column as a single compound body. Make a sketch and mark on it all the forces acting on this compound body by arrows (denote them by letters — ${\vec{F}}_1$, ${\vec{F}}_2$, etc.). Determine the values of all these forces.

iii. (1.2 pts) Determine the values of $p_P$ and $p_Q$.

iv. (0.8 pts) Determine the tension force $T$ in the steel bar.

v. (1 pt) Now, the whole system is slowly raised to a height $L=25\mathrm{cm}$ (this is the distance between the horizontal surface and the bottom edge of the tube), and released. The system falls due to gravity, hits the surface (assume the impact to be plastic, i.e. the kinetic energy of the metallic tube is converted into heat), remains standing vertically on the horizontal surface for a brief period of time $\tau$, and jumps up into air. Why does it jump? Provide a qualitative explanation.

vi. (3 pts) Find the duration $\tau$ during which the tube remains standing on the surface (after falling and before jumping).

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Impulse-Momentum Theorem, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tube, Piston, Cylinder, Rod

Tubo d’acqua (8 punti)

Si consideri un tubo ottenuto saldando insieme due cilindri metallici come mostrato nella figura. Il cilindro superiore ha area della sezione trasversale interna $A=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, mentre quello inferiore ha area $1.1A=11\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$. Due pistoni sono collegati da un’asta di acciaio stretta (rigida ma leggera) di lunghezza $H=30\mathrm{cm}$; la distanza dal pistone inferiore alla zona di saldatura è $h=10\mathrm{cm}$. Lo spazio tra i pistoni è riempito d’acqua di densità $\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$ e temperatura $T=20{}^{\circ }\mathrm{C}$. La massa di ciascun pistone è $\frac{m}{2}=50\mathrm{g}$ (si trascuri la massa dell’asta che li collega), l’accelerazione di gravità è $g\approx 10m/{\mathrm{s}}^2$ e la pressione atmosferica è $p_0=1\times 10^5\mathrm{Pa}$. Il tubo si trova in posizione verticale su una superficie orizzontale solida; i pistoni possono muoversi liberamente verso l’alto e il basso, trascurando la forza di attrito. La distanza tra il fondo del pistone inferiore e la superficie orizzontale è maggiore di $20\mathrm{cm}$.

i. (0,5 punti) Sia $p_P$ la pressione in un punto $P$ alla base della colonna d’acqua, e sia $p_Q$ la pressione in un punto $Q$ alla base del pistone inferiore. Determinare $p_P-p_Q$.

ii. (1,5 punti) Considera i due pistoni, l’asta di acciaio e la colonna d’acqua come un corpo composto singolo. Fai uno schizzo e indica con frecce tutte le forze che agiscono su questo corpo composto (etichettale con lettere — ${\vec{F}}_1$, ${\vec{F}}_2$, ecc.). Determina i valori di tutte queste forze.

iii. (1,2 punti) Determina i valori di $p_P$ e $p_Q$.

iv. (0,8 punti) Determina la forza di tensione $T$ nell’asta di acciaio.

v. (1 punto) Ora, l’intero sistema viene sollevato lentamente fino a un’altezza $L=25\mathrm{cm}$ (questa è la distanza tra il piano orizzontale e il bordo inferiore del tubo) e rilasciato. Il sistema cade sotto l’azione della gravità, colpisce la superficie (si assuma che l’impatto sia plastico, cioè l’energia cinetica del tubo metallico si trasformi in calore), rimane in piedi verticalmente sulla superficie orizzontale per un breve intervallo di tempo $\tau$, e poi salta in alto nell’aria. Perché salta? Fornire una spiegazione qualitativa.

vi. (3 punti) Determinare la durata $\tau$ durante la quale il tubo rimane appoggiato sulla superficie (dopo la caduta e prima del balzo).

Accelerating shock wave (11 points)

In interstellar space, shock waves can accelerate charged particles to very high energies. We shall use an idealized model of a shock wave, and assume that it is a potential barrier of a constant height $-V_0$ which moves with a constant velocity $w$ along the $x$-axis: $V(x,y,z,t)=-V_0\text{if }x<wt;$ $V(x,y,z,t)=0\text{if }x>wt.$

In the frame where the shock wave is at rest, the energy of an electron is conserved. This means that as long as the kinetic energy of an electron of mass $m$ and charge $-e$ moving towards the shock wave is insufficient ($\frac{1}{2}m{u}^2<e{V}_0$, where $u$ denotes the speed with which the electron is approaching the shock wave), it is reflected back from the shock wave in the same way as an elastic ball bounces from a rigid wall. In what follows, unless otherwise mentioned, we assume that the electron is bounced elastically by the shock wave. You can always use the parameters $e$, $V_0$, $m$, $B$, and $w$ to express your answers. Unless otherwise specified, the velocity of the electron is assumed to be non-relativistic.

i. (1 pt) Let the initial speed of the electron be $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$, with $v_x<w$. Determine the velocity ${\vec{v}}^{\prime }$ (i.e. the components $v_x^{\prime }$, $v_y^{\prime }$, $v_z^{\prime }$) of the electron after being hit by the shock wave.

ii. (1 pt) Now, there is also an homogeneous magnetic field of induction $B$, parallel to the $z$-axis. At the beginning, electron rests at the origin, and at $t=0$ is hit by the shock wave. Sketch qualitatively the trajectory drawn by the electron; cover the time period from $t=0$ until at least $t=\frac{\pi m}{Be}$.

iii. (0.5 pts) Find the curvature radius of the electron’s trajectory immediately after its first collision with the shock wave.

iv. (1 pt) The electron undergoes soon, at $t=t_2$, a second impact; write down an equation for determining $t_2$. Use numerical calculation to obtain an expression for $t_2$.

v. (0.5 pts) Determine the average $x$-directional velocity $v_x$ of the electron (averaged over the time interval $\tau$ between two subsequent collisions of the electron with the shock wave).

vi. (1.5 pts) As time goes on, the electron undergoes many collisions with the shock wave. Show that during its motion, $v_y+kx=\mathrm{const}$, where $k$ is a constant; express $k$ in terms of $e$, $m$ and $B$.

vii. (1 pt) From now on, let us consider the limit $t\gg \frac{2\pi m}{Be}$. Determine the average $y$-directional acceleration $a_y$ of the electron (express it in terms of $e$, $m$ and $B$ or constant introduced by task vi).

viii. (1 pt) It appears that at the limit $t\gg \frac{2\pi m}{Be}$, the time interval $\tau$ between subsequent collisions becomes shorter and shorter, hence we can assume that $\tau \ll \frac{2\pi m}{Be}$. This means that during a time interval between two subsequent collisions the velocity vector of the electron will change only by a very small angle and hence, its acceleration vector $\vec{a}=(a_x,a_y)$ can be assumed to be constant.

Let us use now the shock wave’s frame of reference, and consider the electron’s phase diagram, i.e. a diagram which describes the state of the electron as a point in the $x^{\prime }-p_x^{\prime }$ plane, where the vertical axis $p_x^{\prime }=m(v_x-w)$ corresponds to the $x^{\prime }$-component of the momentum, and $x^{\prime }=\int (v_x-w)dt$ denotes the distance from the shock wave. Depict qualitatively the electron’s phase trajectory, i.e. the curve drawn in phase diagram during one period (between two subsequent collisions of the electron with the shock wave). Grades for this task are based purely on the shape of the curve.

ix. (1.5 pts) As time goes on, the width and height of the phase trajectory will change; however, it appears that the surface area of the region surrounded by the phase trajectory (referred to as the adiabatic invariant) will remain constant with a very good precision. For an initially resting electron, the adiabatic invariant appears to be approximately equal to $\frac{1.36(mw{)}^2}{Be}$. Determine the total kinetic energy $W_f$ of the electron when it falls behind the shock wave; express it in terms of $B$, $V_0$, and $\epsilon$, which is defined as $\epsilon \equiv \frac{2e{V}_0}{m{w}^2}$; assume that $\epsilon \gg 1$.

x. (2 pts) This final task is independent from the previous tasks. Consider the propagation of a shock wave as described before, but under the absence of a magnetic field. A relativistic electron moves parallel to the front (in the laboratory frame; the perpendicular component of its velocity is strictly zero). Assuming that $m{w}^2<e{V}_0$ and $w\ll c$ (with $c$ denoting the speed of light), what should be the relativistic energy of the electron so that it could fall behind the shock wave? You can use any reasonable approximations.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Electromagnetism, Special Relativity Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy, Relativistic Energy-Momentum, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Electron

Onda d’urto in accelerazione (11 punti)

Nello spazio interstellare, le onde d’urto possono accelerare particelle cariche fino a energie molto elevate. Considereremo un modello semplificato di onda d’urto, assumendo che si tratti di una barriera potenziale di altezza costante $-V_0$ che si muove con velocità costante $w$ lungo l’asse $x$: $V(x,y,z,t)=-V_0\text{if }x<wt;$ $V(x,y,z,t)=0\text{if }x>wt.$

Nel riferimento in cui l’onda d’urto è ferma, si conserva l’energia dell’elettrone. Ciò significa che finché l’energia cinetica di un elettrone di massa $m$ e carica $-e$ che si muove verso l’onda d’urto è insufficiente ($\frac{1}{2}m{u}^2<e{V}_0$, dove $u$ indica la velocità con cui l’elettrone si avvicina all’onda d’urto), esso viene riflesso dall’onda d’urto nello stesso modo in cui una pallina elastica rimbalza da un muro rigido. Nel seguito, a meno che non sia diversamente specificato, si assume che l’elettrone venga riflesso elasticamente dall’onda d’urto. È possibile utilizzare sempre i parametri $e$, $V_0$, $m$, $B$ e $w$ per esprimere le risposte. A meno che non sia diversamente specificato, si assume che la velocità dell’elettrone sia non relativistica.

i. (1 punto) Sia la velocità iniziale dell’elettrone $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$, con $v_x<w$. Determinare la velocità ${\vec{v}}^{\prime }$ (cioè i componenti $v_x^{\prime }$, $v_y^{\prime }$, $v_z^{\prime }$) dell’elettrone dopo essere stato colpito dall’onda d’urto.

ii. (1 pt) Ora esiste un campo magnetico omogeneo di induzione $B$, parallelo all’asse $z$. All’inizio l’elettrone si trova nell’origine e viene colpito dall’onda d’urto in $t=0$. Rappresenta qualitativamente la traiettoria descritta dall’elettrone; considera il periodo di tempo da $t=0$ fino a almeno $t=\frac{\pi m}{Be}$.

iii. (0.5 pts) Determina il raggio di curvatura della traiettoria dell’elettrone immediatamente dopo il primo urto con l’onda d’urto.

iv. (1 pt) L’elettrone subisce presto, in $t=t_2$, un secondo impatto; scrivi l’equazione per determinare $t_2$. Utilizza un calcolo numerico per ottenere un’espressione per $t_2$.

v. (0.5 pts) Determina la velocità media nella direzione $x$, $v_x$, dell’elettrone (mediata sull’intervallo di tempo $\tau$ tra due urti consecutivi dell’elettrone con l’onda d’urto).

vi. (1.5 pts) Col passare del tempo, l’elettrone subisce molteplici urti con l’onda d’urto. Dimostra che durante il suo moto vale $v_y+kx=\mathrm{const}$, dove $k$ è una costante; esprimi $k$ in termini di $e$, $m$ e $B$.

vii. (1 pt) A partire da questo momento, considera il limite $t\gg \frac{2\pi m}{Be}$. Determina l’accelerazione media nella direzione $y$, $a_y$, dell’elettrone (esprimila in termini di $e$, $m$ e $B$ o di costanti introdotte nel punto vi).

viii. (1 pt) A prima vista, al limite $t\gg \frac{2\pi m}{Be}$, l’intervallo di tempo $\tau$ tra due urti successivi diventa sempre più breve, pertanto possiamo assumere che $\tau \ll \frac{2\pi m}{Be}$. Ciò significa che nell’intervallo di tempo tra due urti consecutivi il vettore velocità dell’elettrone cambierà solo di un angolo molto piccolo e quindi il suo vettore accelerazione $\vec{a}=(a_x,a_y)$ può essere considerato costante.

Consideriamo ora il riferimento della fronte d’urto, e studiamo il diagramma delle fasi dell’elettrone, ovvero un diagramma che descrive lo stato dell’elettrone come un punto nel piano $x^{\prime }-p_x^{\prime }$, dove l’asse verticale $p_x^{\prime }=m(v_x-w)$ corrisponde alla componente $x^{\prime }$ della quantità di moto, e $x^{\prime }=\int (v_x-w)dt$ indica la distanza dalla fronte d’urto. Rappresentate qualitativamente la traiettoria nelle fasi dell’elettrone, ovvero la curva tracciata nel diagramma delle fasi durante un periodo (tra due urti consecutivi dell’elettrone con la fronte d’urto). I punteggi per questo compito dipendono esclusivamente dalla forma della curva.

ix. (1,5 punti) Col passare del tempo, larghezza e altezza della traiettoria nel piano delle fasi cambiano; tuttavia, sembra che l’area superficiale della regione racchiusa dalla traiettoria nel piano delle fasi (definita come invariante adiabatico) rimanga costante con una precisione molto elevata. Per un elettrone inizialmente fermo, l’invariante adiabatico sembra essere approssimativamente uguale a $\frac{1.36(mw{)}^2}{Be}$. Determinare l’energia cinetica totale $W_f$ dell’elettrone quando esso si trova dietro l’onda d’urto; esprimerla in termini di $B$, $V_0$ e $\epsilon$, che è definita come $\epsilon \equiv \frac{2e{V}_0}{m{w}^2}$; si assuma che $\epsilon \gg 1$.

x. (2 punti) Questo compito finale è indipendente dai precedenti. Si consideri la propagazione di un’onda d’urto come descritta in precedenza, ma in assenza di campo magnetico. Un elettrone relativistico si muove parallelamente al fronte (nel sistema di riferimento del laboratorio; la componente perpendicolare della sua velocità è rigorosamente nulla). Supponendo che $m{w}^2<e{V}_0$ e $w\ll c$ (con $c$ che indica la velocità della luce), quale dovrebbe essere l’energia relativistica dell’elettrone perché esso possa trovarsi dietro l’onda d’urto? È possibile utilizzare qualsiasi approssimazione ragionevole.

Electric guitar (20 points)

In this experiment we measure different physical properties of steel guitar string material. The properties of steel vary a lot depending on the exact alloy composition and treatment. This guitar string is made of specific tempered high carbon steel (sometimes called “music wire”) to get the high tensile strength required.

First we measure electrical resistivity and Young’s modulus of the string material. Then we use those properties to measure the coefficient of thermal expansion of the steel. As we can see from our measurements, the temperature can crudely affect the tune of musical instruments.

Equipment

Stand (including a guitar string, piezoelectric contact microphone and an amplifier), $5\mathrm{V}$ DC supply, test leads (in total $9$ of different kinds), two multimeters, a set of resistors (values $0.1\Omega ,1\Omega ,3\Omega ,10\Omega ,30\Omega ,100\Omega ,1000\Omega$ the values are not exact), measuring tape.

The stand has a guitar string tensioned over two main supports (“saddles” in guitar terminology) followed by a simple tensioner for further stretching the string. The amount of tensioning can be deduced from the number of turns of the tensioning screw. The fiddle adds a piezo to a piezoelectric contact microphone for transforming the mechanical vibrations into an electrical signal, which is then amplified and filtered (to remove some noise) and output between S+ and S−. The contacts A and B allow you to pass a controllable electric current through the string, if connected either directly or through a resistance resistor. One end of the string is in electrical contact with stand body (and contact B), other end is connected to $0\mathrm{V}$. You are allowed to connect the test leads directly to stand body or string.

The smaller multimeter can be used to measure the frequency of the string oscillations from the S+ and S−. While doing so, ensure that the USB power supply is connected: pluck the string strongly enough to hear the actual sound, and start the measurement again, restart the program if it gives the wrong answer. Note that even though the string oscillates immediately after plucking the string, the multimeter may show the frequency of higher harmonics). Keep in mind that the final reading may be inexact, again, because the oscillations amplitude becomes too small for the multimeter to register them. Try several times to exclude any false readings. Correct reading should be between $150\mathrm{Hz}$ and $400\mathrm{Hz}$. The measurement is easiest for $300\mathrm{Hz}-400\mathrm{Hz}$ range, so you might want to first tension the string, measure and work down in tension from there.

WARNINGS

• Do not tension the string so strongly that its fundamental frequency is over $400\mathrm{Hz}$, otherwise you can damage the string (and ruin your measurements)!
• Use the $10\mathrm{A}$ input of the multimeter when measuring currents that are larger than $200\mathrm{mA}$.

Constants

• The pitch of the thread of the tensioning screw is $h_1=0.70\mathrm{mm}$ (the string tensioner will rise by $h_1$ when the knob is turned by $360^{\circ }$). Assume the string has a circular cross section.
• When heated, the relative change of the resistivity of the string is $\beta =0.0020{\mathrm{K}}^{-1}$.
• The linear density of the string at room temperature is $\Lambda =0.247g/m$.

You may assume that all the constants given in this section are exact.

Accuracies

The accuracy of the measuring tape is $\pm 0.5\mathrm{mm}$. The internal resistance of the multimeters in the DC voltmeter mode is $1\mathrm{M}\Omega$ for AX-100 and $11\mathrm{M}\Omega$ for AX-MS811. The accuracy (maximum allowed error) of a digital multimeter is usually given in the form "$a\%+b$" meaning a percent of the reading plus $b$ units of the final digit. The values relevant for this experiment are as follows.

Range	Accuracy of AX-100
$200\mathrm{mV}-200\mathrm{V}$ DC	$0.5\%+4$
$600\mathrm{V}$ DC	$1.0\%+5$
$20\mu \mathrm{A}-200\mathrm{mA}$	$1.5\%+3$
$10\mathrm{A}$	$2.0\%+5$
$200\Omega$	$0.8\%+5$
$2\mathrm{k}\Omega -200\mathrm{k}\Omega$	$0.8\%+3$
$20\mathrm{M}\Omega$	$1.0\%+15$

Range	Accuracy of AX-MS811
DC voltage	$0.7\%+3$
Resistance	$2.0\%+5$
Frequency	$2.0\%+5$

Tasks

Part A. String dimensions (2 points) Measure the length $l_1$ of the part of the string that is under tension. Estimate its uncertainty. You can assume that in the least tensioned position, the string is unbent over tensioner and that the string supports are small enough so that you can ignore the error from their curvature.

Here is a photo of the string, magnified $100\times$. From the photo, measure the diameter $d$ of the string. Estimate its uncertainty.

Part B. Resistivity (3 points) The electric resistance between the ends of a cylindrical piece of material is characterized by its resistivity $\rho =RA/l$, where $R$ is its resistance, $A$ its cross section area and $l$ its length.

Measure as exactly as possible the resistivity $\rho$ of the string at room temperature. Estimate the uncertainty. Draw the circuit diagram used, indicating the exact placement of all the used leads, which multimeter(s) you used and what were their settings.

Part C. String oscillations (3 points) A string on a guitar is characterized by its fundamental frequency — the lowest frequency of oscillation. Measure and plot how the fundamental frequency $f$ of the string depends on its length $l$.

To find the length $l_1$ you may use the following approximation:

$\Delta l=c_1+c_2-a_1-a_2\approx \frac{(a_1+a_2)(\Delta h{)}^2}{2a_1{a}_2},$

where the lengths are defined in the figure.

Part D. Young’s modulus of the string (4.5 points) The elasticity of a cylindrical piece of material can be characterized by its Young’s modulus $E=F{l}_0/(A(l-l_0))$, where $F$ is the applied tension (or compression) force, $A$ is its cross section area, $l_0$ is the original (unstretched) length and $l$ is the final (stretched) strength. It is known that waves travel along the string with speed $v=\sqrt{F/\Lambda }$, where $F$ is the tension force and $\Lambda$ is the linear density (mass per unit length) of the string. (Note that string oscillations are standing waves.)

Using the results of the previous task, plot an appropriate graph for finding the Young’s modulus of the string. Find it and estimate the uncertainty.

Part E. Heated string (3 points) You can heat the string by passing some electric current through it (by connecting A and B either directly or through a resistor). At some fixed length, measure how the fundamental frequency $f$ depends on temperature $T$. Hint: Temperature can be determined by measuring the resistance of the string and using $\beta =0.0020{\mathrm{K}}^{-1}$; for room temperature use $T_0=293\mathrm{K}$.

Part F. Thermal expansion of the string (4.5 points) When heated, the length (and similarly the width) of a piece of material follows the formula $l=l_0[1+\alpha (T-T_0)]$, where the constant $\alpha$ is called the coefficient of linear heat expansion, $l_0$ is the original length, $l$ the final length and $T$ the final temperature. Note that if stretching is also involved, then this formula describes only the unstretched length!

Plot the results of the previous task in appropriate axes for finding the coefficient of linear heat expansion $\alpha$ for the guitar string. Find it and estimate the uncertainty.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Elasticity & Materials, Oscillations & Waves Metodi: Experimental Data Analysis, Stress-Strain Analysis, Graph Linearization, Wave Equation Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation, Graph Linearization Objects: String, Resistor

Chitarra elettrica (20 punti)

In questo esperimento misuriamo diverse proprietà fisiche del materiale delle corde della chitarra in acciaio. Le proprietà dell’acciaio variano notevolmente a seconda della composizione esatta dell’lega e del trattamento termico. Questa corda per chitarra è realizzata con un particolare acciaio ad alto carbonio temperato (talvolta chiamato “filo musicale”) per ottenere la resistenza a trazione elevata richiesta.

Inizialmente misuriamo la resistività elettrica e il modulo di Young del materiale della corda. Successivamente utilizziamo queste proprietà per determinare il coefficiente di espansione termica dell’acciaio. Come possiamo osservare dalle nostre misurazioni, la temperatura può influenzare in modo approssimativo il tono degli strumenti musicali.

Attrezzatura

Supporto (comprende una corda per chitarra, un microfono a contatto piezoelettrico e un amplificatore), alimentatore DC $5\mathrm{V}$, cavi di collegamento (in totale $9$ di diversi tipi), due multimetri, un insieme di resistori (valori $0.1\Omega ,1\Omega ,3\Omega ,10\Omega ,30\Omega ,100\Omega ,1000\Omega$ i valori non sono esatti), nastro metrico.

Il supporto ha una corda di chitarra tesa tra due sostegni principali (“saddle” nel gergo della chitarra) seguiti da un semplice regolatore di tensione per allungare ulteriormente la corda. L’entità della tensione può essere dedotta dal numero di giri della vite di regolazione. Il violino è dotato di un piezoelettrico collegato a un microfono a contatto piezoelettrico per trasformare le vibrazioni meccaniche in un segnale elettrico, che viene poi amplificato e filtrato (per eliminare parte del rumore) ed emesso tra S+ e S−. I contatti A e B consentono di far passare una corrente elettrica controllabile attraverso la corda, collegandoli direttamente o tramite un resistore. Un estremo della corda è in contatto elettrico con il corpo del supporto (e con il contatto B), l’altro estremo è collegato a $0\mathrm{V}$. È consentito collegare direttamente i cavi di prova al corpo del supporto o alla corda.

Il multometro più piccolo può essere utilizzato per misurare la frequenza delle oscillazioni della corda dai punti S+ e S−. Durante la misurazione, assicurati che l’alimentatore USB sia collegato: pizzica la corda con forza sufficiente da sentire il suono reale, e ripeti la misurazione; riavvia il programma se fornisce un risultato errato. Nota che, anche se la corda inizia a oscillare immediatamente dopo essere stata pizzicata, il multometro potrebbe mostrare la frequenza di armoniche superiori. Tieni presente che il valore finale potrebbe essere approssimativo, nuovamente perché l’ampiezza delle oscillazioni diventa troppo piccola perché il multometro riesca a rilevarla. Ripeti più volte per escludere eventuali letture errate. La lettura corretta dovrebbe essere compresa tra $150\mathrm{Hz}$ e $400\mathrm{Hz}$. La misurazione è più semplice nell’intervallo $300\mathrm{Hz}-400\mathrm{Hz}$, quindi potresti voler prima tendere la corda, effettuare la misurazione e poi ridurre progressivamente la tensione da quel punto.

AVVERTENZE

• Non tendere eccessivamente la corda in modo che la sua frequenza fondamentale superi $400\mathrm{Hz}$, altrimenti potresti danneggiarla (e rovinare le tue misurazioni)!
• Utilizza l’ingresso $10\mathrm{A}$ del multometro quando si misurano correnti superiori a $200\mathrm{mA}$.

Costanti

• Il passo del filetto della vite di tensionamento è $h_1=0.70\mathrm{mm}$ (il regolatore della tensione si alzerà di $h_1$ quando la manopola viene ruotata di $360^{\circ }$). Si assuma che la corda abbia sezione circolare.
• Al riscaldamento, la variazione relativa della resistività della corda è $\beta =0.0020{\mathrm{K}}^{-1}$.
• La densità lineare della corda alla temperatura ambiente è $\Lambda =0.247g/m$.

Puoi assumere che tutte le costanti fornite in questa sezione siano esatte.

Precisioni

La precisione della nastro metrico è $\pm 0.5\mathrm{mm}$. La resistenza interna dei multimetri in modalità voltmetro CC è $1\mathrm{M}\Omega$ per AX-100 e $11\mathrm{M}\Omega$ per AX-MS811. La precisione (errore massimo consentito) di un multimetro digitale è solitamente indicata nella forma "$a\%+b$", che significa un percentuale del valore letto più $b$ unità dell’ultima cifra. I valori rilevanti per questo esperimento sono i seguenti.

Campo	Precisione dell’AX-100
$200\mathrm{mV}-200\mathrm{V}$ CC	$0.5\%+4$
$600\mathrm{V}$ CC	$1.0\%+5$
$20\mu \mathrm{A}-200\mathrm{mA}$	$1.5\%+3$
$10\mathrm{A}$	$2.0\%+5$
$200\Omega$	$0.8\%+5$
$2\mathrm{k}\Omega -200\mathrm{k}\Omega$	$0.8\%+3$
$20\mathrm{M}\Omega$	$1.0\%+15$

Campo	Precisione dell’AX-MS811
Tensione continua	$0.7\%+3$
Resistenza	$2.0\%+5$
Frequenza	$2.0\%+5$

Compiti

Parte A. Dimensioni della corda (2 punti) Misurare la lunghezza $l_1$ della parte della corda soggetta a tensione. Stimare l’incertezza associata. Puoi assumere che nella posizione di minima tensione la corda sia diritta al di sopra del regolatore della tensione e che i supporti per la corda siano abbastanza piccoli da poter trascurare l’errore dovuto alla loro curvatura.

Ecco una foto della corda, ingrandita $100\times$. Dalla foto, misurare il diametro $d$ della corda. Stimare l’incertezza associata.

Parte B. Resistività (3 punti) La resistenza elettrica tra gli estremi di un pezzo cilindrico di materiale è caratterizzata dalla sua resistività $\rho =RA/l$, dove $R$ è la sua resistenza, $A$ l’area della sezione trasversale e $l$ la sua lunghezza.

Misurare con la massima precisione possibile la resistività $\rho$ del filo alla temperatura ambiente. Stimare l’incertezza. Disegnare lo schema del circuito utilizzato, indicando con precisione la posizione di tutti i cavi collegati, quali multimetro(i) si è utilizzato e le relative impostazioni.

Parte C. Oscillazioni della corda (3 punti) Una corda di chitarra è caratterizzata dalla sua frequenza fondamentale — la più bassa tra le frequenze di oscillazione. Misurare e tracciare come dipende dalla lunghezza $l$ la frequenza fondamentale $f$ della corda.

Per determinare la lunghezza $l_1$ si può utilizzare l’approssimazione seguente:

$\Delta l=c_1+c_2-a_1-a_2\approx \frac{(a_1+a_2)(\Delta h{)}^2}{2a_1{a}_2},$

dove le lunghezze sono definite nella figura.

Parte D. Modulo di Young della corda (4,5 punti) L’elasticità di un pezzo cilindrico di materiale può essere descritta dal suo modulo di Young $E=F{l}_0/(A(l-l_0))$, dove $F$ è la forza applicata di tensione (o compressione), $A$ è l’area della sezione trasversale, $l_0$ è la lunghezza iniziale (non allungata) e $l$ è la lunghezza finale (allungata). È noto che le onde si propagano lungo la corda con velocità $v=\sqrt{F/\Lambda }$, dove $F$ è la forza di tensione e $\Lambda$ è la densità lineare (massa per unità di lunghezza) della corda. (Si noti che le oscillazioni della corda sono onde stazionarie.)

Utilizzando i risultati del compito precedente, tracciare un grafico opportuno per determinare il modulo di Young della corda. Determinarlo e stimarne l’incertezza.

Parte E. Stringa riscaldata (3 punti) Puoi riscaldare la stringa facendo passare una corrente elettrica attraverso di essa (collegando A e B direttamente o tramite un resistore). A una lunghezza fissa, misura come la frequenza fondamentale $f$ dipende dalla temperatura $T$. Suggerimento: La temperatura può essere determinata misurando la resistenza della stringa e utilizzando $\beta =0.0020{\mathrm{K}}^{-1}$; per la temperatura ambiente usa $T_0=293\mathrm{K}$.

Parte F. Dilatazione termica della stringa (4,5 punti) Quando viene riscaldata, la lunghezza (e analogamente la larghezza) di un pezzo di materiale segue la formula $l=l_0[1+\alpha (T-T_0)]$, dove la costante $\alpha$ è detta coefficiente di dilatazione lineare termica, $l_0$ è la lunghezza iniziale, $l$ la lunghezza finale e $T$ la temperatura finale. Nota che se è coinvolto anche un allungamento, questa formula descrive soltanto la lunghezza non allungata!

Rappresenta i risultati del compito precedente in assi opportuni per determinare il coefficiente di dilatazione lineare termica $\alpha$ per la stringa della chitarra. Determinalo e stimane l’incertezza.

Footnotes

1. J. Barrow and F. Tipler, The Anthropic Cosmological Principle, Oxford (1988). ↩ ↩²