GPhO 2022

Problem T1. Dark matter (10 points)

One of the main unsolved problems in modern physics is concerning dark matter. It’s a hypothetical form of matter which gets its name from its peculiar property not to interact with electromagnetic fields (i.e. light), making it very difficult to detect. It’s thought to account for around $85%$ of matter in the universe, including most of the mass in galaxies.

The existence of dark matter is motivated by various astrophysical observations which cannot be explained unless there’s more matter that cannot be seen. The primary candidate for dark matter is a new elementary particle that’s yet to be discovered. Experiments to directly detect and study dark matter particles are ongoing but have yet to succeed.

This task focuses on one indirect observation of dark matter and tests its agreement with a potential model for dark matter.

Part A. Rotation curves (5.5 points)

For this part, you may use the following physical constants and their numerical values:

Gravitational constant $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} m^{3} k g^{- 1} s^{- 2}$ .

$1 pc = 3.09 \times 1 0^{16} m$ .

Duration of one year is $365.24$ days.

Rotation curves are a commonly used method to deduce the matter densities of galaxies. A rotation curve shows the orbital speeds of stars in a particular galaxy as a function of the radial distance from the galaxy’s centre. The following figure shows the simplified rotation curve of the Milky Way. We approximate it into two regions A and B, one with a linearly increasing profile from $0$ to $v_{0} = 230 km/s$ for $r \leq r_{1} = 3 kpc$ , and the other with a constant velocity profile $v = v_{0}$ for $r > r_{1}$ .

Figure 1: Milky Way’s rotation curve

1. (1 pt) How far is the Sun from the centre of the galaxy if its orbital period is $T_{⊙} = 2.2 \times 1 0^{8} yrs$ ?

2. (1 pt) Consider a test particle of negligible mass in a circular orbit of radius $r$ around a point mass $m$ . Find the orbital speed of the test particle.

3. (1.5 pts) Consider a cloud of gas of uniform density $ρ_{0}$ and radius $r_{0}$ . Express the orbital speed of the aforementioned test particle for both when $r \leq r_{0}$ and $r > r_{0}$ in terms of $ρ_{0}$ , $r_{0}$ , and the physical constants. Also find an expression for the potential energy per unit mass $φ$ in the cloud.

4. (1.5 pts) We now focus on the Milky Way galaxy. Deduce the matter density as a function of $r$ in both of the regions A and B shown on figure 1. You may assume spherical symmetry.

5. (0.5 pts) In the neighbourhood of the Sun, stars are typically separated by a distance of $d = 2 pc$ from each other. Estimate the density of visible mass (in the form of stars) in the solar neighbourhood. Compare this with the results from part 4. and comment on potential discrepancies. Take the mass of a typical star to be $M = 1 \times 1 0^{30} kg$ .

Part B. Self-interacting dark matter (4.5 points)

Self-interacting dark matter, or SIDM for short, is one of the many proposed classes of dark matter particles. Like most DM models, it interacts weakly with ordinary matter via gravity. Its main characteristic is that the particles interact strongly with each-other, leading to energy and momentum exchange between dark matter particles. Specifically, the interactions happen with a rate large enough that the dark matter in a galaxy thermalizes and assumes a uniform temperature $T$ . We additionally consider the dark matter gas to be sparse enough (i.e. classical) so that Boltzmann statistics can be used for describing how the particle densities and velocities are distributed.

1. (1.5 pts) According to Boltzmann statistics, the density of dark matter is proportional to

$ρ \propto e^{- \frac{m φ}{k _{B} T}},$

where $φ$ is the potential energy per unit mass at the respective position in space and $m$ is the mass of a dark matter particle. Assuming that most of matter in the Milky Way is made up of dark matter, which region(s) can agree with the implications of the SIDM model?

2. (1 pt) Find the thermal speed of the dark matter particles in the aforementioned region(s) that agree with the SIDM model.

3. (1 pt) One of the key assumption for the isothermal model to work is that the dark matter particles undergo enough collisions to thermalize, i.e. the mean free path length of dark matter particles is significantly smaller than the characteristic size of the Milky Way. Based on this, give an estimate for the lower bound of the ratio of the self-interaction cross section to the mass of a dark matter particle.

4. (1 pt) Another of our assumptions has been that the SIDM gas is classical in nature, i.e. the density of the gas is well below the limit where quantum effects become evident. This condition can generally be written as

$n ≪ (\frac{m k _{B} T}{2 π ℏ ^{2}})^{\frac{3}{2}},$

where $n$ is the number density of dark matter, $k_{B} = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ the Boltzmann constant, and $ℏ = 1.05 \times 1 0^{- 34} J s$ the reduced Planck’s constant. Based on this, give a lower bound for the mass of a dark matter particle $m$ for the classical considerations to apply in the Milky Way.

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Gauss’s Law, Kinetic Theory of Gases, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Star, Gas

Problema T1. Materia oscura (10 punti)

Uno dei principali problemi irrisolti della fisica moderna riguarda la materia oscura. Si tratta di una forma ipotetica di materia che prende il nome dalla sua proprietà peculiare di non interagire con i campi elettromagnetici (cioè con la luce), rendendola estremamente difficile da rilevare. Si ritiene che essa rappresenti circa $85%$ della materia nell’universo, inclusa la maggior parte della massa nelle galassie.

L’esistenza della materia oscura è motivata da diverse osservazioni astrofisiche che non possono essere spiegate se non si ammette la presenza di una quantità maggiore di materia invisibile. Il principale candidato per la materia oscura è una nuova particella elementare ancora da scoprire. Sono in corso esperimenti per rilevare direttamente e studiare le particelle di materia oscura, ma finora non hanno ottenuto successo.

Questo problema si concentra su un’osservazione indiretta della materia oscura e verifica la sua compatibilità con un possibile modello per essa.

Parte A. Curve di rotazione (5,5 punti)

Per questa parte puoi utilizzare le seguenti costanti fisiche e i relativi valori numerici:

Costante gravitazionale $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} m^{3} k g^{- 1} s^{- 2}$ .

$1 pc = 3.09 \times 1 0^{16} m$ .

La durata di un anno è di $365.24$ giorni.

Le curve di rotazione sono un metodo comunemente usato per dedurre le densità di materia nelle galassie. Una curva di rotazione mostra le velocità orbitali delle stelle in una galassia particolare in funzione della distanza radiale dal centro della galassia. La figura seguente mostra la curva di rotazione semplificata della Via Lattea. Approssimiamo questa curva in due regioni A e B: una con un profilo linearmente crescente da $0$ a $v_{0} = 230 km/s$ per $r \leq r_{1} = 3 kpc$ , e l’altra con un profilo di velocità costante $v = v_{0}$ per $r > r_{1}$ .

Figura 1: curva di rotazione della Via Lattea

1. (1 punto) A quale distanza dal centro della galassia si trova il Sole, se il suo periodo orbitale è $T_{⊙} = 2.2 \times 1 0^{8} yrs$ ?

2. (1 punto) Considera una particella di prova di massa trascurabile in un’orbita circolare di raggio $r$ attorno a una massa puntiforme $m$ . Determina la velocità orbitale della particella di prova.

3. (1,5 punti) Considera una nube di gas con densità uniforme $ρ_{0}$ e raggio $r_{0}$ . Espri il valore della velocità orbitale della particella di prova appena descritta nei due casi: quando $r \leq r_{0}$ e quando $r > r_{0}$ , in termini di $ρ_{0}$ , $r_{0}$ e delle costanti fisiche. Inoltre, determina un’espressione per l’energia potenziale per unità di massa $φ$ all’interno della nube.

4. (1,5 punti) Ci concentriamo ora sulla galassia Via Lattea. Deduci la densità di materia in funzione di $r$ nelle due regioni A e B mostrate nella Figura 1. Puoi assumere simmetria sferica.

5. (0,5 punti) Nella vicinanza del Sole, le stelle sono tipicamente separate da una distanza di $d = 2 pc$ l’una dall’altra. Stimare la densità della massa visibile (sotto forma di stelle) nella vicinanza solare. Confrontare questo risultato con i dati del punto 4. e commentare eventuali discrepanze. Si assuma che la massa di una stella tipica sia $M = 1 \times 1 0^{30} kg$ .

Parte B. Materia oscura auto-interagente (4,5 punti)

La materia oscura auto-interagente, o SIDM per brevità, è una delle molte classi di particelle proposte per la materia oscura. Come la maggior parte dei modelli di DM, interagisce debolmente con la materia ordinaria tramite la gravità. La sua caratteristica principale è che le particelle interagiscono fortemente tra loro, provocando scambi di energia e quantità di moto tra le particelle di materia oscura. In particolare, le interazioni avvengono a un tasso sufficientemente elevato da far sì che la materia oscura in una galassia si riscalda e raggiunge un’equilibrazione termica, assumendo una temperatura uniforme $T$ . Consideriamo inoltre che il gas di materia oscura sia sufficientemente rarefatto (cioè classico) da poter utilizzare la statistica di Boltzmann per descrivere come sono distribuite densità e velocità delle particelle.

1. (1,5 punti) Secondo la statistica di Boltzmann, la densità della materia oscura è proporzionale a

$ρ \propto e^{- \frac{m φ}{k _{B} T}},$

dove $φ$ è l’energia potenziale per unità di massa nella posizione rispettiva nello spazio e $m$ è la massa di una particella di materia oscura. Assumendo che gran parte della materia nella Via Lattea sia costituita da materia oscura, quali regione(e) possono conciliarsi con le implicazioni del modello SIDM?

2. (1 pt) Trovare la velocità termica delle particelle di materia oscura nella o nelle regioni menzionate che sono compatibili con il modello SIDM.

3. (1 pt) Una delle ipotesi fondamentali affinché il modello isotermo funzioni è che le particelle di materia oscura subiscano abbastanza collisioni da raggiungere il thermalizzazione, ovvero che il libero cammino medio delle particelle di materia oscura sia significativamente più piccolo della dimensione caratteristica della Via Lattea. In base a questo, fornire una stima del limite inferiore del rapporto tra la sezione d’urto di auto-interazione e la massa di una particella di materia oscura.

4. (1 pt) Un’altra delle nostre ipotesi è che il gas SIDM sia di natura classica, ovvero che la densità del gas sia ben al di sotto del limite in cui gli effetti quantistici diventano evidenti. Questa condizione può essere generalmente scritta come

$n ≪ (\frac{m k _{B} T}{2 π ℏ ^{2}})^{\frac{3}{2}},$

dove $n$ è la densità numerica di materia oscura, $k_{B} = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K$ la costante di Boltzmann e $ℏ = 1.05 \times 1 0^{- 34} J s$ la costante di Planck ridotta. In base a questo, fornire un limite inferiore per la massa di una particella di materia oscura $m$ affinché valgano le considerazioni classiche nella Via Lattea.

Problem T2. Global warming (10 points)

The average temperature of planet Earth ( $15^{\circ} C$ ) is the result of a combination of two factors: (a) Earth’s surface absorbs a fraction $α \approx 0.7$ of the incident solar radiation; (b) The surface of the Earth radiates according to Stefan-Boltzmann’s law: the power radiated per unit area equals to $σ ε T^{4}$ , where $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/ m^{2} K^{4}$ , and $T$ denotes the surface temperature in Kelvin, and $ε$ — the emissivity, the ratio of the energy radiated from a material’s surface to that radiated from an ideal black body. Due to the second law of thermodynamics, the emission factor must be equal to the absorption coefficient $α$ , but only if the radiation and absorption occur at the same wavelengths. The heat radiation from the Sun is mostly in the optical range for which the atmosphere is fully transparent (the above value $α \approx 0.7$ corresponds to the optical wavelengths). The Earth emits predominantly infrared radiation, and in this wavelength range the Earth’s surface (mostly water) has an average emissivity $ϵ_{0} \approx 0.9$ . At the same time, the Earth’s heat balance is affected by greenhouse gases, which partially reflect Earth’s heat radiation back to Earth, and thus reducing the emissivity to a new effective value $ϵ_{eff}$ .

Below, you can use the following data: The emissivity of the Sun is $1.00$ ; Distance between the Sun and Earth $D = 1.47 \times 1 0^{8} km$ ; Radius of the Sun $R_{⊙} = 6.96 \times 1 0^{5} km$ ; the surface temperature of the Sun $T_{⊙} = 5780 K$ ; Average surface temperature of Earth $T_{0} = 15^{\circ} C$ ; zero degrees celsius in Kelvin is $273.15 K$ ; Earth’s radius $R_{0} = 6370 km$ ; total energy produced by mankind in one year: $A = 8.8 \times 1 0^{20} J$ (assume that this energy ends up mostly being dissipated as heat into the environment).

1. (2 pts) What is the ratio of the total power consumed by mankind to the total solar radiation power absorbed by the Earth? A year has $365.24$ days.

2. (1 pt) How large of a surface area on the Earth needs to be covered by solar panels to supply enough electrical energy to the humankind assuming a solar panel efficiency of $η = 20%$ ? Compare this with the surface area of the Empty Quarter desert of about $650000 k m^{2}$ .

3. (2 pts) What is the average effective emissivity $ϵ_{eff}$ of the Earth’s surface at the wavelengths corresponding to the heat radiation of the Earth?

4. (2 pts) By how many degrees would the average temperature of the Earth’s surface decrease if, at some point of time, humanity stopped producing any energy, and assuming that the value of $ϵ_{eff}$ would remain unchanged?

5. (1.5 pts) The average surface temperature of the Earth has increased by $Δ T = 0.9 K$ over the last 50 years and this is mainly explained by the increase in greenhouse gas concentrations in Earth’s atmosphere. In a simplified manner, this effect can be modelled as the greenhouse gases absorbing a fraction $k$ of the heat radiation emitted by Earth and then radiating the absorbed energy thermally so half of the radiated energy goes towards the surface of the Earth, and the other half goes into space. By how much has the factor $k$ changed over the last 50 years?

6. (1.5 pts) Solar radiation is the main driving force of the atmospheric motion; on a global scale, the atmospheric circulation can be seen as a heat engine. To explain this, consider the so-called Hadley circulation: the Sun heats the ground, which in turn warms the air; the warm air initially travels along the ground, from the middle latitudes towards the equator, and at a certain point, when it has warmed up sufficiently, rises adiabatically and cools down. In the high atmospheric layers, at an altitude of $\sim 10 km$ , the cooler air travels back to the middle latitudes and slowly radiates heat into space. During its travel, air becomes cooler and the density increasingly higher, until at a certain point, it becomes so dense that it descends down back to the ground level. After that, the process starts repeating. Based on the model of ideal heat engine and the data provided and calculated above, estimate an upper limit for the total power of producing the wind energy on Earth, assuming that the temperature in the atmosphere drops by about one degree celsius per every 100 meters increase in the altitude. How many times does it differ from the total energy produced by humanity?

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Thermodynamics, Earth & Environmental Science Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Star, Heat Engine

Problema T2. Riscaldamento globale (10 punti)

La temperatura media del pianeta Terra ( $15^{\circ} C$ ) è il risultato della combinazione di due fattori: (a) la superficie terrestre assorbe una frazione $α \approx 0.7$ della radiazione solare incidente; (b) la superficie della Terra irradia secondo la legge di Stefan-Boltzmann: la potenza emessa per unità di superficie è pari a $σ ε T^{4}$ , dove $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/ m^{2} K^{4}$ , e $T$ indica la temperatura superficiale in Kelvin, mentre $ε$ rappresenta l’emissività, ovvero il rapporto tra l’energia emessa dalla superficie di un materiale e quella emessa da un corpo nero ideale. A causa del secondo principio della termodinamica, il fattore di emissione deve essere uguale al coefficiente di assorbimento $α$ , ma soltanto se l’emissione e l’assorbimento avvengono alle stesse lunghezze d’onda. La radiazione termica proveniente dal Sole è prevalentemente nel campo ottico, per il quale l’atmosfera è completamente trasparente (il valore sopra indicato $α \approx 0.7$ si riferisce alle lunghezze d’onda ottiche). La Terra irradia principalmente radiazione infrarossa, e in questo intervallo di lunghezze d’onda la superficie terrestre (principalmente acqua) presenta un’emissività media $ϵ_{0} \approx 0.9$ . Al contempo, il bilancio termico terrestre è influenzato dai gas serra, che riflettono parzialmente la radiazione termica emessa dalla Terra verso il pianeta stesso, riducendo così l’emissività a un nuovo valore efficace $ϵ_{eff}$ .

Di seguito puoi utilizzare i seguenti dati: l’emissività del Sole è $1.00$ ; la distanza tra il Sole e la Terra è $D = 1.47 \times 1 0^{8} km$ ; il raggio del Sole è $R_{⊙} = 6.96 \times 1 0^{5} km$ ; la temperatura superficiale del Sole è $T_{⊙} = 5780 K$ ; la temperatura media superficiale della Terra è $T_{0} = 15^{\circ} C$ ; lo zero gradi Celsius in Kelvin è $273.15 K$ ; il raggio della Terra è $R_{0} = 6370 km$ ; l’energia totale prodotta dall’uomo in un anno è $A = 8.8 \times 1 0^{20} J$ (si assuma che questa energia finisca principalmente dissipandosi come calore nell’ambiente).

1. (2 punti) Qual è il rapporto tra la potenza totale consumata dall’uomo e la potenza totale della radiazione solare assorbita dalla Terra? Un anno ha $365.24$ giorni.

2. (1 punto) Quale superficie della Terra deve essere coperta da pannelli solari per fornire energia elettrica sufficiente all’umanità, assumendo un’efficienza dei pannelli solari di $η = 20%$ ? Confrontala con l’area della deserta Empty Quarter, di circa $650000 k m^{2}$ .

3. (2 punti) Qual è l’emissività media efficace $ϵ_{eff}$ della superficie terrestre alle lunghezze d’onda corrispondenti alla radiazione termica della Terra?

4. (2 punti) Di quanti gradi diminuirebbe la temperatura media superficiale della Terra se, a un certo punto del tempo, l’umanità smettesse di produrre qualsiasi energia, assumendo che il valore di $ϵ_{eff}$ rimanesse invariato?

5. (1,5 punti) La temperatura media superficiale della Terra è aumentata di $Δ T = 0.9 K$ negli ultimi 50 anni e questo fenomeno è principalmente spiegato dall’aumento delle concentrazioni di gas serra nell’atmosfera terrestre. In un modello semplificato, questo effetto può essere descritto come segue: i gas serra assorbono una frazione $k$ della radiazione termica emessa dalla Terra e poi irraggiano l’energia assorbita in modo termico, con metà dell’energia irraggiata diretta verso la superficie terrestre e l’altra metà diretta nello spazio. Di quanto è variato il fattore $k$ negli ultimi 50 anni?

6. (1,5 punti) La radiazione solare è la principale forza trainante del moto atmosferico; su scala globale, la circolazione atmosferica può essere considerata come una macchina termica. Per spiegare questo fenomeno, si consideri la cosiddetta circolazione di Hadley: il Sole riscalda il suolo, che a sua volta riscalda l’aria; l’aria calda si muove inizialmente lungo il suolo, dalle medie latitudini verso l’equatore, e in un certo punto, quando si è riscaldata sufficientemente, sale adiabaticamente e si raffredda. Nelle alte parti dell’atmosfera, ad un’altitudine di $\sim 10 km$ , l’aria più fredda torna alle medie latitudini e irradia lentamente calore nello spazio. Durante il suo percorso, l’aria si raffredda sempre di più e la densità cresce progressivamente, fino a quando non diventa così densa da ridiscendere nuovamente al livello del suolo. A quel punto il processo si ripete. Sulla base del modello di macchina termica ideale e dei dati forniti e calcolati in precedenza, stimare un limite superiore per la potenza totale disponibile nella produzione dell’energia eolica sulla Terra, assumendo che la temperatura nell’atmosfera diminuisca di circa un grado Celsius per ogni 100 metri di aumento dell’altitudine. Di quante volte tale potenza differisce dall’energia totale prodotta dall’uomo?

Problem T3. Physics of sports (10 points)

Part A. Hammer throw (4 points)

A hammer is an iron ball of mass $m = 7.26 kg$ density and $ρ_{v} = 7900 kg/ m^{3}$ , fixed to steel wire with a grip on the other end. The length of the steel wire (grip included) is $L = 122 cm$ ; the mass and air drag of the wire and the grip can be neglected. During the flight, a drag force $F_{D} = 0.24 A ρ_{a} v^{2}$ acts on the hammer, where $v$ is the speed of the hammer with respect to the air, $A$ — the cross-sectional area of the iron ball, and $ρ_{a} = 1.23 kg/ m^{3}$ — the density of air. Free fall acceleration is $g = 9.81 m/ s^{2}$ .

An athlete throws a hammer to a distance of $d = 80 m$ . Assume that (a) the launching velocity of the hammer forms an angle of $4 5^{\circ}$ with respect to the horizon; (b) immediately before the hammer is released, the hammer moves along a circle of radius $r = L + l$ , where $l = 1 m$ denotes the length of the arms; (c) the height of the hammer above the ground immediately before it is released can be neglected (i.e. taken to be equal to zero).

1. (0.5 pts) What is the speed of the hammer $v_{0}$ just before being released if we neglect the effect of air drag on the hammer?

2. (1 pt) What is the force $F_{t}$ with which the athlete pulls from the grip at the final stage of his throw?

3. (0.5 pts) From this part onwards, we consider the effects of air drag. Find the air drag $F_{D 0}$ acting on the hammer at the beginning of its flight.

4. (1 pt) Estimate as precisely as you can by how much is the final speed of the hammer (just before hitting the ground) smaller than its initial speed.

5. (1 pt) Estimate as precisely as you can by how much would the distance of the throw be longer if there were no air drag.

Part B. Discus throw (1 points)

Usually tailwind helps in sports, but not in discus throw. Explain qualitatively, why headwind can increase the distance reached in discus throw. Use a force diagram to show which forces are acting on a discus during its flight and in which way they are influenced by headwind.

Part C. Pole vault (5 points)

The figure shows an athlete (Armand Duplantis) setting the new world record of $618 cm$ in pole vault. The figure is to scale and the inter-line distance of the grid is $10 cm$ . What you can see is an overlay of a series of 20 snapshots, the time interval between two subsequent snapshots $τ$ is not known. For positions 1, 2, 3, 16, 18, and 20, the white dots show the position of the centre of mass of the athlete. The black dot shows the location of the bar. To avoid clutter, some position numbers are not shown.

1. (0.5 pts) For which position is the elastic energy of the pole the largest?

2. (2 pts) Determine the value of the time interval $τ$ by taking appropriate readings from the figure. Free fall acceleration is $g = 9.81 m/ s^{2}$ .

Remark: if you are unable to do it, in what follows you may use a very approximate value of $τ = 0.1 s$ .

3. (0.5 pts) Find the speed of the athlete at the position No 2.

4. (1 pt) During the jump, from the position No 3 to 12, the athlete performs a certain amount of mechanical work $W$ with his muscles. Find this work if the mass of the athlete is $m = 80 kg$ . You may neglect the mass of the pole.

5. (1 pt) What was the maximum height of the centre of mass of the man during the jump? Give the height with respect to the ground (corresponding to the lower boundary of the grid).

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Ball, String, Rod

Problema T3. Fisica dello sport (10 punti)

Parte A. Lancio del martello (4 punti)

Un martello è una sfera di ferro di massa $m = 7.26 kg$ e densità $ρ_{v} = 7900 kg/ m^{3}$ , fissata a un cavo di acciaio con una presa all’estremità opposta. La lunghezza del cavo di acciaio (compresa la presa) è $L = 122 cm$ ; si possono trascurare massa e resistenza aerodinamica del cavo e della presa. Durante il volo, sul martello agisce una forza di resistenza $F_{D} = 0.24 A ρ_{a} v^{2}$ , dove $v$ è la velocità del martello rispetto all’aria, $A$ è l’area della sezione trasversale della sfera di ferro e $ρ_{a} = 1.23 kg/ m^{3}$ è la densità dell’aria. L’accelerazione di gravità è $g = 9.81 m/ s^{2}$ .

Un atleta lancia un martello per una distanza di $d = 80 m$ . Si assuma che (a) la velocità iniziale del martello formi un angolo di $4 5^{\circ}$ rispetto all’orizzonte; (b) immediatamente prima del rilascio, il martello si muove lungo una circonferenza di raggio $r = L + l$ , dove $l = 1 m$ indica la lunghezza delle braccia; (c) l’altezza del martello rispetto al suolo immediatamente prima del rilascio può essere trascurata (cioè considerata nulla).

1. (0,5 punti) Qual è la velocità del martello $v_{0}$ subito prima del rilascio, se si trascura l’effetto della resistenza aerodinamica sul martello?

2. (1 punto) Qual è la forza $F_{t}$ con cui l’atleta tira dalla presa nella fase finale del lancio?

3. (0,5 punti) A partire da questo punto, si considerano gli effetti della resistenza aerodinamica. Determinare la forza di resistenza aerodinamica $F_{D 0}$ che agisce sul martello all’inizio del volo.

4. (1 punto) Stimare con la massima precisione possibile di quanto è minore la velocità finale del martello (subito prima di colpire il suolo) rispetto alla sua velocità iniziale.

5. (1 punto) Stimare con la massima precisione possibile di quanto sarebbe maggiore la distanza del lancio se non ci fosse la resistenza dell’aria.

Parte B. Lancio del disco (1 punto)

Di solito il vento dietro aiuta negli sport, ma non nel lancio del disco. Spiegare qualitativamente perché un vento contrario può aumentare la distanza raggiunta nel lancio del disco. Utilizzare un diagramma delle forze per mostrare quali forze agiscono sul disco durante il volo e in che modo esse sono influenzate dal vento contrario.

Parte C. Salto con l’asta (5 punti)

La figura mostra un atleta (Armand Duplantis) che stabilisce il nuovo record mondiale di $618 cm$ nel salto con l’asta. La figura è in scala e la distanza tra le linee della griglia è $10 cm$ . Ciò che si osserva è un sovrapposizione di 20 immagini istantanee, l’intervallo temporale tra due immagini consecutive $τ$ non è noto. Per i punti 1, 2, 3, 16, 18 e 20, i puntini bianchi indicano la posizione del centro di massa dell’atleta. Il punto nero indica la posizione della sbarra. Per evitare il sovraccarico visivo, alcuni numeri di posizione non sono mostrati.

1. (0,5 punti) In quale posizione l’energia elastica dell’asta è massima?

2. (2 punti) Determinare il valore dell’intervallo temporale $τ$ effettuando misurazioni opportune sulla figura. L’accelerazione dovuta al moto di caduta libera è $g = 9.81 m/ s^{2}$ .

Nota: se non riesci a farlo, nei seguenti passaggi puoi utilizzare un valore approssimato di $τ = 0.1 s$ .

3. (0,5 punti) Trovare la velocità dell’atleta nella posizione numero 2.

4. (1 punto) Durante il salto, dall’posizione numero 3 all’12, l’atleta compie un certo lavoro meccanico $W$ con i muscoli. Determinare questo lavoro, sapendo che la massa dell’atleta è $m = 80 kg$ . Si può trascurare la massa del palo.

5. (1 punto) Qual era l’altezza massima del centro di massa dell’uomo durante il salto? Esprimere l’altezza rispetto al suolo (corrispondente al limite inferiore della griglia).

Problem E1. Cylinder in cylinder (20 points)

(Experimental Competition — Dammam, Saudi Arabia, March 15th 2022. The examination lasts for 5 hours; one problem worth in total 20 points.)

The aim of this experiment is to measure various characteristics of the provided transparent cylinder with a permanent magnet inside it.

Equipment

The following equipment is listed in the figure beneath:

a transparent cylinder with a cylindrical permanent magnet inside and with foil caps covering its top and bottom;
a ruler;
a rubber thread;
graph papers;
a permanent marker;
safety pins;
a cup with water;
a tape, for fixing a rubber thread to the cylinder;
a resistive magnetic field sensor connected to batteries in a battery holder;
a multimeter with wires;
two wires with banana/crocodile connectors;
a piece of cardboard, for fixing the safety pins vertically;
a caliper.

WARNINGS:

Avoid short-circuiting the battery leads — the battery will overheat and become unusable!
Power off the multimeter when not in use, in order to conserve the batteries.
Do not peel off the foil caps of the transparent cylinder, even if only partially — if you do, your score will be reduced!
Do not move the magnetic sensor too close to the permanent magnet! If you do, the offset voltage $V_{0}$ of the sensor may change ( $V_{0}$ is defined in the problem text.)
Pay attention to the fact that your tables have iron bars beneath. In order to avoid ferromagnetic interference, keep your cylinder and sensor in the middle of the table when doing magnetic measurements.

Tasks

For all the tasks below, keep in mind that parts of the points are given for the precision of your answer, so design and execute your experiments accordingly. Among other things, this might mean doing additional measurements to improve uncertainty estimates (when the task asks for this).

Always draw a sketch showing your measurement setup with clear indications of the positions of all those measurement tools which you are using for the given task. Describe clearly all steps in your solution, a significant amount of points will be given for the adequate procedure, based on your sketches and descriptions. In all cases, write down all the direct measurements results, the formulas used, and the calculations.

Part A. Geometrical characteristics (5 points)

1. (2 pts) Find the total volume $V$ of the cylinder and estimate the uncertainty of the result.

2. (1 pt) Find the height $h$ of the permanent magnet inside the cylinder and estimate the uncertainty of the result.

3. (2 pts) Design such a method for determining the diameter $d$ of the permanent magnet for which knowing the value of the refraction coefficient of the cylinder is not required. Determine the diameter of the magnet and estimate the uncertainty of the result.

Part B. Mechanical characteristics (3 points)

1. (2 pts) Determine the average density of the cylinder (glass with magnet) knowing that the density of water is $ρ_{w} = 1000 kg/ m^{3}$ .

2. (0.5 pts) Determine the total mass of the cylinder.

3. (0.5 pts) Determine the average density of the glass knowing that the density of the magnet is $ρ_{m} = 7500 kg/ m^{3}$ .

Hint: use the rubber threads as a dynamometer. Join two rubber threads together (to make them stiffer), and, using pieces of tape, attach the ends of the threads to both ends of the cylinder. Also attach a tiny piece of tape to the threads, serving as a marker for taking thread length measurements; the whole setup is shown in the figure below. The tension force in the threads given to you is proportional to the quantity

$τ \equiv (1 - λ^{- 1}) (1 - 0.2664 λ + 0.1191 λ^{2}), λ \equiv l / l_{0},$

where $l$ denotes the length of the thread, and $l_{0}$ its length in the unstrained state.

Part C. Optical properties (5 points)

1. (2.5 pts) Notice that the transparent part of the cylinder is actually made of two different materials: the coefficient of refraction of the central part $n_{c}$ is slightly different from the coefficient of refraction of the outer part of the cylinder $n_{o}$ (the central part has the same diameter as the permanent magnet). Design a method for determining the coefficient of refraction $n_{o}$ and estimate the uncertainty of the result.

Hint: Measure the apparent diameter of the magnet and relate it to the refractive index $n_{o}$ using Snell’s law.

2. (1.5 pts) In order to determine the coefficient of refraction $n_{c}$ , you are asked to use the cylinder as a thick lens, and create with it an image of a safety pin, and to use the parallax method for determining the position of the pin’s image. To that end, complete the following steps, the end result of which is shown below. Fix two safety pins vertically into the provided piece of cardboard, such that the distance between the pins is bigger than the diameter of the cylinder. Place the cylinder vertically between the two pins such that the distances from both of the pins to the cylinder are strictly equal and such that the pins and the axis of the cylinder lie on the same line $s$ . Look at the cylinder from the side of one of the pins, along the line $s$ — so that the pin closer to you (let us call this pin “the pin A”) will overlap the image of the other pin — the pin B, as seen through the cylinder. Now, move your head (eye) rightwards; if the pin A moves rightwards from the image of the pin B, it means that it is farther away from you than the image of the pin B. You need to achieve the situation where pin A and the image of pin B coincide: in that case, their relative position will not change when you move your eye leftwards or rightwards from the initial position. You will need to pull the pins out and move them farther away from each other, or move them closer as needed, while maintaining an equal distance between the pins and the cylinder, and repeat it until the desired result has been achieved. Measure the distance $L$ between the two pins on the cardboard once pin A and the image of pin B coincide and estimate the uncertainty of the result.

3. (1 pt) Determine the coefficient of refraction $n_{c}$ of the cylinder.

Hint: you may use the formula

$(\frac{1}{L - D} - \frac{n _{o} - 1}{D}) (\frac{n _{c} d}{n _{c} - n _{o}} - D) = n_{o},$

where $D$ denotes the diameter of the cylinder.

Part D. Magnetic properties (7 points)

1. (0.5 pts) Connect the banana ends of the two wires to the COM port and to the V $Ω$ mA-port of the multimeter. Switch on the multimeter in 20 volt (DC) range, and touch the two metallic leads of the battery holder (which are next to the points were the red and black wires come out from the holder) with the crocodile ends of the wires. Record the voltage $E$ on the output leads of the battery holder. If the voltage is below $3.0 V$ , you may ask for replacement batteries.

For all your magnetic field measurements, keep in mind that if the battery voltage were to be exactly $3 V$ , each millivolt in the reading would correspond to $10$ microteslas of the magnetic field strength. However, the reading in millivolts is proportional to both the magnetic field and to the battery voltage. So, to calculate the magnetic field strengths, you will be needing this battery voltage value.

Connect the crocodiles to the yellow and red wires of the magnetic sensor. Keep in mind that the sensor may have a non-zero offset: even if there is no magnetic field, the multimeter reading $V_{0}$ might be non-zero. You should also keep in mind that there is always the magnetic field of Earth.

2. (1 pt) Let the $x$ -axis be horizontal and parallel to the shorter edge of your desk. From this part onwards, we measure only the $x$ -component of the magnetic fields. It is convenient to fix the magnetic sensor to the plastic box of the caliper with pieces of tape as shown in the figure below: with such a setup the orientation of the sensor can be easily kept unchanged. The arrow in the figure shows the direction of the measured magnetic field component.

Switch on the multimeter in 200 millivolt (DC) range, put the sensor on the table far away from the magnet so that it will measure the $x$ -component of the magnetic field, take the reading of the multimeter $V_{1}$ , and write it down. Turn the sensor by $180$ degrees (so that it will again measure the $x$ -component of the magnetic field, but in the opposite direction), and take the new reading $V_{2}$ . Based on these two readings, determine the offset voltage $V_{0}$ , and the horizontal component of the Earth’s magnetic field $B_{E x}$ .

3. (2.5 pts) Measure and tabulate the $x$ -component of the magnetic field $B_{x} (x)$ of the permanent magnet for a series of points at different distances $x$ from the centre of the magnet, on the symmetry axis of the magnet (the $x$ -axis). You are expected to take readings for the full usable range of the distances. Avoid distances by which the voltage reading exceeds $300 mV$ . Do not forget to report the direct measurement results (the voltages), and when calculating the magnetic field values, to subtract the offset voltage (you need to compensate both for the $x$ -component of the Earth’s magnetic field, and for the non-zero offset voltage $V_{0}$ ).

4. (2.5 pts) If the distance from the magnet is big enough, its strength is given by the formula

$B_{x} (x) = \frac{μ _{0}}{2 π} \frac{p}{x ^{3}},$

where $p$ denotes the magnetic dipole moment of the magnet and $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H m^{- 1}$ is the vacuum permeability. Find a way to plot the measurement data from the previous task so that the data points following this formula would lay in a straight line. Show for which values of $x$ , the formula holds within the measurement uncertainties. Use your graph to determine the dipole moment of the magnet.

5. (0.5 pts) Find the magnetization $J$ of the permanent magnet (defined as the volume density of the magnetic dipole moment).

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Magnetism, Geometric Optics Metodi: Experimental Data Analysis, Snell’s Law, Graph Linearization, Thin Lens & Mirror Equation Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation, Graph Linearization Objects: Cylinder, Magnet, Lens, Battery, Wire

Problema E1. Cilindro in cilindro (20 punti)

(Competizione sperimentale — Dammam, Arabia Saudita, 15 marzo 2022. La prova dura 5 ore; un problema vale in totale 20 punti)

Scopo di questo esperimento è misurare varie caratteristiche del cilindro trasparente fornito, contenente al suo interno un magnete permanente.

Attrezzatura

L’elenco dell’attrezzatura è riportato nella figura sottostante:

un cilindro trasparente con al suo interno un magnete permanente cilindrico e con cappucci in alluminio che chiudono la sua parte superiore e inferiore;
una riga graduata;
un filo di gomma;
fogli quadrettati;
un pennarello permanente;
delle puntine da disegno;
una tazza con acqua;
un nastro adesivo, per fissare il filo di gomma al cilindro;
un sensore resistivo del campo magnetico collegato a batterie in un supporto per batterie;
un multimetro con cavi;
due cavi con connettori a banana/coccodrillo;
un pezzo di cartoncino, per fissare verticalmente le puntine da disegno;
un calibro.

AVVERTENZE:

Evitare di cortocircuitare i morsetti della batteria: la batteria si surriscalderà e diventerà inutilizzabile!
Spegnere il multimetro quando non è in uso, per risparmiare le batterie.
Non rimuovere i coperchi in alluminio del cilindro trasparente, neanche parzialmente: se lo fai, il tuo punteggio sarà ridotto!
Non avvicinare troppo il sensore magnetico al magnete permanente! Se lo fai, la tensione di offset $V_{0}$ del sensore potrebbe variare ( $V_{0}$ è definita nel testo del problema).
Prestare attenzione al fatto che le tabelle hanno barre di ferro sotto di sé. Per evitare interferenze ferromagnetiche, tenere il cilindro e il sensore al centro della tavola durante le misurazioni magnetiche.

Compiti

Per tutti i compiti seguenti, ricorda che una parte dei punti è attribuita alla precisione della tua risposta; progetta e esegui quindi gli esperimenti di conseguenza. Tra le altre cose, questo potrebbe significare effettuare misurazioni aggiuntive per migliorare le stime dell’incertezza (quando il compito lo richiede).

Disegna sempre uno schizzo che mostri la tua configurazione sperimentale, con indicazioni chiare delle posizioni di tutti gli strumenti di misura utilizzati per il compito in questione. Descrivi con chiarezza tutti i passaggi della tua soluzione: una notevole quantità di punti sarà attribuita alla correttezza della procedura, basata sui tuoi schizzi e descrizioni. In tutti i casi, scrivi tutte le misure dirette effettuate, le formule utilizzate e i calcoli eseguiti.

Parte A. Caratteristiche geometriche (5 punti)

1. (2 punti) Trovare il volume totale $V$ del cilindro e stimare l’incertezza del risultato.

2. (1 punto) Trovare l’altezza $h$ del magnete permanente all’interno del cilindro e stimare l’incertezza del risultato.

3. (2 punti) Progettare un metodo per determinare il diametro $d$ del magnete permanente tale che non sia necessario conoscere il valore del coefficiente di rifrazione del cilindro. Determinare il diametro del magnete e stimare l’incertezza del risultato.

Parte B. Caratteristiche meccaniche (3 punti)

1. (2 punti) Determinare la densità media del cilindro (vetro con magnete), noto che la densità dell’acqua è $ρ_{w} = 1000 kg/ m^{3}$ .

2. (0,5 punti) Determinare la massa totale del cilindro.

3. (0,5 punti) Determinare la densità media del vetro, noto che la densità del magnete è $ρ_{m} = 7500 kg/ m^{3}$ .

Consiglio: utilizzare i fili di gomma come dinamometro. Collegare due fili di gomma insieme (per renderli più rigidi), e, usando pezzi di nastro adesivo, fissare gli estremi dei fili alle due estremità del cilindro. Inoltre, fissare un piccolo pezzo di nastro adesivo ai fili, che funge da segnale per le misurazioni della lunghezza dei fili; l’intero dispositivo è mostrato nella figura qui sotto. La forza di tensione nei fili fornita è proporzionale alla quantità

$τ \equiv (1 - λ^{- 1}) (1 - 0.2664 λ + 0.1191 λ^{2}), λ \equiv l / l_{0},$

dove $l$ indica la lunghezza del filo, e $l_{0}$ la sua lunghezza nello stato non sollecitato.

Parte C. Proprietà ottiche (5 punti)

1. (2,5 punti) Nota che la parte trasparente del cilindro è in realtà composta da due materiali diversi: il coefficiente di rifrazione della parte centrale $n_{c}$ è leggermente diverso da quello della parte esterna del cilindro $n_{o}$ (la parte centrale ha lo stesso diametro del magnete permanente). Proponi un metodo per determinare il coefficiente di rifrazione $n_{o}$ e stimane l’incertezza del risultato.

Consiglio: Misura il diametro apparente del magnete e collegalo al coefficiente di rifrazione $n_{o}$ utilizzando la legge di Snell.

2. (1,5 punti) Al fine di determinare il coefficiente di rifrazione $n_{c}$ , ti viene chiesto di utilizzare il cilindro come una lente spessa e di formare con esso un’immagine di una puntina da pin, utilizzando il metodo della parallasse per determinarne la posizione. A tale scopo, completa i seguenti passaggi, il cui risultato finale è mostrato qui sotto. Fissa due puntine da pin verticalmente nel cartoncino fornito, in modo che la distanza tra le due sia maggiore del diametro del cilindro. Posiziona il cilindro verticalmente tra le due puntine, in modo che le distanze dalle due puntine al cilindro siano esattamente uguali e che le puntine e l’asse del cilindro giacciano sulla stessa retta $s$ . Osserva il cilindro dal lato di una delle puntine, lungo la retta $s$ — in modo che la puntina più vicina a te (chiamiamola “puntina A”) si sovrapponga all’immagine dell’altra puntina — la “puntina B”, vista attraverso il cilindro. Ora sposta la testa (l’occhio) verso destra; se il chiodo A si sposta verso destra rispetto all’immagine del chiodo B, significa che è più lontano da te rispetto all’immagine del chiodo B. Devi raggiungere la situazione in cui il chiodo A e l’immagine del chiodo B coincidono: in tal caso, la loro posizione relativa non cambierà quando sposti l’occhio verso sinistra o destra rispetto alla posizione iniziale. Dovrai estrarre i chiodi e spostarli più lontani o più vicini tra loro, a seconda del caso, mantenendo sempre la stessa distanza tra i chiodi e il cilindro, e ripetere l’operazione fino a ottenere il risultato desiderato. Una volta che il chiodo A e l’immagine del chiodo B coincidono, misura la distanza $L$ tra i due chiodi sul cartoncino e stimane l’incertezza.

3. (1 punto) Determina il coefficiente di rifrazione $n_{c}$ del cilindro.

Consiglio: puoi utilizzare la formula

$(\frac{1}{L - D} - \frac{n _{o} - 1}{D}) (\frac{n _{c} d}{n _{c} - n _{o}} - D) = n_{o},$

dove $D$ indica il diametro del cilindro.

Parte D. Proprietà magnetiche (7 punti)

1. (0,5 punto) Collega gli estremi a banana dei due cavi al porto COM e al porto V $Ω$ mA del multimetro. Accendi il multimetro nella gamma di 20 volt (continuo), quindi tocca con gli estremi a morsetto dei cavi i due terminali metallici del supporto delle batterie (che si trovano accanto ai punti in cui i cavi rossi e neri escono dal supporto). Registra la tensione $E$ sugli estremi di uscita del supporto delle batterie. Se la tensione è inferiore a $3.0 V$ , puoi chiedere delle batterie di ricambio.

Per tutte le tue misurazioni del campo magnetico, ricorda che se la tensione della batteria fosse esattamente $3 V$ , ogni millivolt nella lettura corrisponderebbe a $10$ microtesla dell’intensità del campo magnetico. Tuttavia, la lettura in millivolt è proporzionale sia al campo magnetico che alla tensione della batteria. Pertanto, per calcolare le intensità del campo magnetico ti servirà il valore di tensione della batteria.

Collega le pinze ai cavi giallo e rosso del sensore magnetico. Tieni presente che il sensore potrebbe avere un offset non nullo: anche in assenza di campo magnetico, la lettura del multimetro $V_{0}$ potrebbe non essere nulla. Dovresti inoltre tenere presente che esiste sempre il campo magnetico terrestre.

2. (1 punto) Fissa l’asse $x$ orizzontale e parallelo al bordo più corto del tuo banco. A partire da questo punto, misureremo soltanto la componente $x$ del campo magnetico. È conveniente fissare il sensore magnetico alla scatola di plastica del calibro con dei pezzi di nastro come mostrato nella figura qui sotto: con questo montaggio l’orientamento del sensore può essere facilmente mantenuto invariato. La freccia nella figura indica la direzione della componente del campo magnetico misurata.

Accendere il multimetro nella scala di 200 millivolt (continuo), posizionare il sensore sul tavolo lontano dal magnete in modo che misuri la componente $x$ del campo magnetico, prendere la lettura del multimetro $V_{1}$ e annotarla. Ruotare il sensore di $180$ gradi (in modo che misuri nuovamente la componente $x$ del campo magnetico, ma in direzione opposta), e prendere la nuova lettura $V_{2}$ . A partire da queste due letture, determinare la tensione di offset $V_{0}$ e la componente orizzontale del campo magnetico terrestre $B_{E x}$ .

3. (2,5 punti) Misurare e registrare in tabella la componente $x$ del campo magnetico $B_{x} (x)$ del magnete permanente per una serie di punti a diverse distanze $x$ dal centro del magnete, lungo l’asse di simmetria del magnete (l’asse $x$ ). Si richiede di effettuare misurazioni per l’intero intervallo utile delle distanze. Evitare le distanze per cui la lettura della tensione supera $300 mV$ . Non dimenticare di riportare i risultati diretti delle misurazioni (le tensioni), e quando si calcolano i valori del campo magnetico, sottrarre la tensione di offset (è necessario compensare sia per la componente $x$ del campo magnetico terrestre, sia per la tensione di offset non nulla $V_{0}$ ).

4. (2,5 punti) Se la distanza dal magnete è sufficientemente grande, il suo campo è descritto dalla formula

$B_{x} (x) = \frac{μ _{0}}{2 π} \frac{p}{x ^{3}},$

dove $p$ indica il momento magnetico del magnete e $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H m^{- 1}$ è la permeabilità magnetica nel vuoto. Trova un modo per rappresentare graficamente i dati sperimentali del compito precedente in modo che i punti sperimentali secondo questa formula giacciano su una retta. Indica per quali valori di $x$ la formula è valida entro gli errori sperimentali. Utilizza il grafico per determinare il momento magnetico del magnete.

5. (0,5 punti) Determina la magnetizzazione $J$ del magnete permanente (definita come densità volumetrica del momento magnetico).

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