HKPhO 2024

Below is the velocity–time graph of a toy car moving along a straight line.

What is the instantaneous acceleration at time $t=8\mathrm{s}$?

• A. $2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• B. $3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• C. $-2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• D. $-3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• E. $-4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 3.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

Qui sotto è riportato il grafico velocità–tempo di un’automobilina giocattolo che si muove lungo una retta.

Qual è l’accelerazione istantanea all’istante $t=8\mathrm{s}$?

• A. $2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• B. $3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• C. $-2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• D. $-3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$
• E. $-4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

Below is the velocity–time graph of a toy car moving along a straight line.

What is the displacement from the start for the toy car at $t=10\mathrm{s}$?

• A. $20\mathrm{m}$
• B. $23\mathrm{m}$
• C. $25\mathrm{m}$
• D. $30\mathrm{m}$
• E. $32\mathrm{m}$

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 3.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

Qui sotto è riportato il grafico velocità–tempo di un’automobilina giocattolo che si muove lungo una retta.

Qual è lo spostamento dell’automobilina rispetto al punto di partenza all’istante $t=10\mathrm{s}$?

• A. $20\mathrm{m}$
• B. $23\mathrm{m}$
• C. $25\mathrm{m}$
• D. $30\mathrm{m}$
• E. $32\mathrm{m}$

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

A cannon fires projectiles at a fixed speed but with variable angle. The range of the cannon is $L$ when it fires at an angle $30^{\circ }$ above the horizontal. What is the maximum range of the cannon? You can ignore air resistance.

• A. $L$
• B. $\sqrt{3}L$
• C. $\sqrt{2}L$
• D. $2L$
• E. $\frac{2}{\sqrt{3}}L$

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 3, 4.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

Un cannone spara proiettili sempre con la stessa velocità ma con angolo variabile. La gittata del cannone è $L$ quando spara con un angolo di $30^{\circ }$ sopra l’orizzontale. Qual è la gittata massima del cannone? Trascura la resistenza dell’aria.

• A. $L$
• B. $\sqrt{3}L$
• C. $\sqrt{2}L$
• D. $2L$
• E. $\frac{2}{\sqrt{3}}L$

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

A circular room with a diameter of $8.0\mathrm{m}$ is spinning horizontally around its centre axis at a rate of 45 revolutions per minute. People are standing with their backs against the wall of the room when suddenly the floor drops out, leaving them with no support from the ground. What is the minimum coefficient of static friction between the people and the wall that is required to prevent the people from sliding down the wall?

• A. $0.0276$
• B. $0.0552$
• C. $0.110$
• D. $0.220$
• E. $2.18$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 4.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

Una stanza circolare di diametro $8.0\mathrm{m}$ ruota in un piano orizzontale attorno al proprio asse centrale a 45 giri al minuto. Alcune persone stanno in piedi con la schiena appoggiata alla parete quando all’improvviso il pavimento si abbassa, lasciandole senza appoggio. Qual è il minimo coefficiente di attrito statico tra le persone e la parete necessario perché non scivolino lungo la parete?

• A. $0.0276$
• B. $0.0552$
• C. $0.110$
• D. $0.220$
• E. $2.18$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

Consider the acceleration vs. time graph of a 1D motion shown below.

Which of the following velocity–time graphs is consistent with the acceleration–time graph?

• A. graph A
• B. graph B
• C. graph C
• D. graph D
• E. graph E

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 5.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

Considera il grafico accelerazione–tempo di un moto unidimensionale riportato qui sotto.

Quale dei seguenti grafici velocità–tempo è compatibile con il grafico accelerazione–tempo?

• A. grafico A
• B. grafico B
• C. grafico C
• D. grafico D
• E. grafico E

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

An experiment involves pulling a heavy block of unknown mass across a horizontal surface with an unknown coefficient of kinetic friction. An external force is applied to the block, and the resulting acceleration of the block is shown below:

External force $F$ (N)	40	60
Acceleration $a$ (m/s²)	4	8

What is the value of the mass of the block?

• A. $1\mathrm{kg}$
• B. $2\mathrm{kg}$
• C. $5\mathrm{kg}$
• D. $7.5\mathrm{kg}$
• E. $10\mathrm{kg}$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 6.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Un esperimento consiste nel trascinare un blocco pesante di massa incognita su una superficie orizzontale con coefficiente di attrito dinamico incognito. Al blocco si applica una forza esterna; l’accelerazione risultante è riportata qui sotto:

Forza esterna $F$ (N)	40	60
Accelerazione $a$ (m/s²)	4	8

Qual è la massa del blocco?

• A. $1\mathrm{kg}$
• B. $2\mathrm{kg}$
• C. $5\mathrm{kg}$
• D. $7.5\mathrm{kg}$
• E. $10\mathrm{kg}$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

An experiment involves pulling a heavy block of unknown mass across a horizontal surface with an unknown coefficient of kinetic friction. An external force is applied to the block, and the resulting acceleration of the block is shown below:

External force $F$ (N)	40	60
Acceleration $a$ (m/s²)	4	8

What is the value of the coefficient of friction between the block and the surface?

• A. $0.1$
• B. $0.2$
• C. $0.3$
• D. $0.4$
• E. $0.5$

Risposta: D

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 6.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Un esperimento consiste nel trascinare un blocco pesante di massa incognita su una superficie orizzontale con coefficiente di attrito dinamico incognito. Al blocco si applica una forza esterna; l’accelerazione risultante è riportata qui sotto:

Forza esterna $F$ (N)	40	60
Accelerazione $a$ (m/s²)	4	8

Qual è il coefficiente di attrito tra il blocco e la superficie?

• A. $0.1$
• B. $0.2$
• C. $0.3$
• D. $0.4$
• E. $0.5$

Risposta: D

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

One can follow a few simple steps to find the centre of mass of a broom:

1. Hold a pen in each hand.
2. Place the pens at each end of the broom.
3. Lift the broom up while keeping it horizontal.
4. Slowly move both pens towards each other until they meet.
5. The centre of mass of the broom is at the place where the pens meet.

To explain this trick, which of the following physics is/are necessary?

• I. It is frictionless between the broom and the pens.

• II. The friction between the broom and the pens is linearly proportional to the normal force between them.

• III. The normal force between the broom and a pen is inversely proportional to the distance from the pen to the centre of mass.

• IV. Conservation of mechanical energy.

• A. I and III

• B. II and III

• C. II and IV

• D. I and IV

• E. III only

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 6, 7.

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Per trovare il centro di massa di una scopa si possono seguire alcuni semplici passi:

1. Tieni una penna in ciascuna mano.
2. Appoggia la scopa sulle penne, una a ciascuna estremità.
3. Solleva la scopa tenendola orizzontale.
4. Avvicina lentamente le due penne finché si incontrano.
5. Il centro di massa della scopa è nel punto in cui le penne si incontrano.

Per spiegare questo trucco, quali dei seguenti elementi di fisica sono necessari?

• I. Tra la scopa e le penne non c’è attrito.

• II. L’attrito tra la scopa e le penne è direttamente proporzionale alla forza normale tra di esse.

• III. La forza normale tra la scopa e una penna è inversamente proporzionale alla distanza della penna dal centro di massa.

• IV. La conservazione dell’energia meccanica.

• A. I e III

• B. II e III

• C. II e IV

• D. I e IV

• E. solo III

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

A boat sails downstream (in the same direction as the river flows) from point A. When it reaches point B, it accidentally drops a piece of wood into the river. The boat needs to return to point A to get the tools to pick up the wood. It takes the same amount of time to go from B to A as to go from A to pick up the wood at point C in the river. The river runs at $2m/s$ relative to the ground, and the boat sails from B to A and from A to C at constant speeds $v_1$ and $v_2$ relative to the water, respectively. Find $v_2-v_1$.

• A. $2m/s$
• B. $-3m/s$
• C. $4m/s$
• D. $-1m/s$
• E. $0m/s$

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 7, 8.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

Una barca naviga verso valle (nel verso della corrente) lungo un fiume partendo dal punto A. Quando raggiunge il punto B, lascia cadere per errore un pezzo di legno nel fiume. La barca deve tornare al punto A per prendere gli attrezzi con cui recuperarlo. Il tempo impiegato per andare da B ad A è uguale a quello impiegato per andare da A al punto C del fiume, dove recupera il legno. Il fiume scorre a $2m/s$ rispetto al suolo e la barca va da B ad A e da A a C con velocità costanti $v_1$ e $v_2$ rispetto all’acqua. Trova $v_2-v_1$.

• A. $2m/s$
• B. $-3m/s$
• C. $4m/s$
• D. $-1m/s$
• E. $0m/s$

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

A newly discovered star system has three planets orbiting a star at the centre. The orbits are circular. Astrophysicists have so far collected the following data.

Planet	Planet mass	Orbital radius	Orbital period
X	$2.3\times 10^{23}$ kg	unknown $x$	30 days
Y	unknown $y$	$6.0\times 10^{11}$ m	90 days
Z	$7.1\times 10^{22}$ kg	$3.5\times 10^{13}$ m	unknown $z$

Estimate the order of magnitude of the mass of the star at the centre of the system, assuming the star is much more massive than the planets.

• A. $10^{33}\mathrm{kg}$
• B. $10^{38}\mathrm{kg}$
• C. $10^{42}\mathrm{kg}$
• D. $10^{30}\mathrm{kg}$
• E. $10^{50}\mathrm{kg}$

Risposta: A

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 8.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Estimation & Approximation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

In un sistema stellare scoperto di recente tre pianeti orbitano attorno a una stella centrale, su orbite circolari. Finora gli astrofisici hanno raccolto i dati seguenti.

Pianeta	Massa del pianeta	Raggio orbitale	Periodo orbitale
X	$2.3\times 10^{23}$ kg	incognito $x$	30 giorni
Y	incognita $y$	$6.0\times 10^{11}$ m	90 giorni
Z	$7.1\times 10^{22}$ kg	$3.5\times 10^{13}$ m	incognito $z$

Stima l’ordine di grandezza della massa della stella al centro del sistema, supponendo che la stella sia molto più massiccia dei pianeti.

• A. $10^{33}\mathrm{kg}$
• B. $10^{38}\mathrm{kg}$
• C. $10^{42}\mathrm{kg}$
• D. $10^{30}\mathrm{kg}$
• E. $10^{50}\mathrm{kg}$

Risposta: A

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Estimation & Approximation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

A newly discovered star system has three planets orbiting a star at the centre. The orbits are circular. Astrophysicists have so far collected the following data.

Planet	Planet mass	Orbital radius	Orbital period
X	$2.3\times 10^{23}$ kg	unknown $x$	30 days
Y	unknown $y$	$6.0\times 10^{11}$ m	90 days
Z	$7.1\times 10^{22}$ kg	$3.5\times 10^{13}$ m	unknown $z$

Which of the unknowns in the table can be determined from the existing data?

• A. unknowns $x$ and $y$ only
• B. unknown $y$ only
• C. unknown $x$ only
• D. unknowns $x$ and $z$ only
• E. all unknowns: $x$, $y$ and $z$

Risposta: D

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 8.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

In un sistema stellare scoperto di recente tre pianeti orbitano attorno a una stella centrale, su orbite circolari. Finora gli astrofisici hanno raccolto i dati seguenti.

Pianeta	Massa del pianeta	Raggio orbitale	Periodo orbitale
X	$2.3\times 10^{23}$ kg	incognito $x$	30 giorni
Y	incognita $y$	$6.0\times 10^{11}$ m	90 giorni
Z	$7.1\times 10^{22}$ kg	$3.5\times 10^{13}$ m	incognito $z$

Quali incognite della tabella si possono determinare dai dati disponibili?

• A. solo le incognite $x$ e $y$
• B. solo l’incognita $y$
• C. solo l’incognita $x$
• D. solo le incognite $x$ e $z$
• E. tutte le incognite: $x$, $y$ e $z$

Risposta: D

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws Competenze: Physical Reasoning Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

A hollow thin cone with mass $m_0$ is floating stably and vertically on the water surface. When the cone is empty, half of the cone (half its height) is submerged below the water level. Now sand is added into the cone. What is the mass of sand the cone can hold before it is fully submerged? Assume that the cone remains vertical at all times.

• A. $m_0$
• B. $3m_0$
• C. $7m_0$
• D. $9m_0$
• E. $8m_0$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 9.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

Un cono cavo sottile di massa $m_0$ galleggia stabilmente in posizione verticale sull’acqua. Quando il cono è vuoto, metà del cono (metà della sua altezza) è immersa sotto il livello dell’acqua. Ora si aggiunge sabbia nel cono. Quale massa di sabbia può contenere il cono prima di essere completamente sommerso? Supponi che il cono resti sempre verticale.

• A. $m_0$
• B. $3m_0$
• C. $7m_0$
• D. $9m_0$
• E. $8m_0$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

A particle moves on a 2D surface under the action of a force which always points to the right of, and perpendicular to, the particle’s velocity. The magnitude of the force is constant. For an observer looking from above,

• A. the particle moves in an ellipse with constant speed
• B. the particle moves in uniform circular motion
• C. the particle moves in a circle with varying speed
• D. the particle moves in a parabola with varying speed
• E. the particle could move in a circular or elliptical trajectory depending on its speed

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 10.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

Una particella si muove su una superficie bidimensionale sotto l’azione di una forza che punta sempre alla destra della velocità della particella, perpendicolarmente a essa. Il modulo della forza è costante. Per un osservatore che guarda dall’alto,

• A. la particella si muove su un’ellisse con velocità di modulo costante
• B. la particella si muove di moto circolare uniforme
• C. la particella si muove su una circonferenza con velocità variabile
• D. la particella si muove su una parabola con velocità variabile
• E. la particella può muoversi su una traiettoria circolare o ellittica a seconda della sua velocità

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

Consider a triple star system in which three stars of identical mass $m=1.00\times 10^{30}\mathrm{kg}$ move on the same circular orbit about their centre of mass, as shown in the figure. At any moment the lines connecting the stars form an equilateral triangle. The circular orbit has radius $1.00\times 10^{10}\mathrm{m}$. Find the period of the circular motion of one of the stars.

• A. $11.7$ days
• B. $20.3$ days
• C. $32.0$ days
• D. $15.9$ days
• E. $41.1$ days

Risposta: A

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 10, 11.

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

Considera un sistema di tre stelle di uguale massa $m=1.00\times 10^{30}\mathrm{kg}$ che si muovono sulla stessa orbita circolare attorno al loro centro di massa, come in figura. In ogni istante i segmenti che congiungono le stelle formano un triangolo equilatero. L’orbita circolare ha raggio $1.00\times 10^{10}\mathrm{m}$. Trova il periodo del moto circolare di una delle stelle.

• A. $11.7$ giorni
• B. $20.3$ giorni
• C. $32.0$ giorni
• D. $15.9$ giorni
• E. $41.1$ giorni

Risposta: A

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

Two point particles A and B, each of mass $m$, are separated by a distance $d$. Particle B is initially at rest, while particle A has initial speed $v$ directed towards B. The particles are subject only to their mutual gravitational attraction. Determine the distance between the two particles at the moment when the speed of particle A has increased to $2v$.

• A. $\frac{Gm}{Gm+v^{2}d/2}d$
• B. $\frac{Gm}{Gm+3v^{2}d/4}d$
• C. $\frac{Gm}{Gm+3v^{2}d/2}d$
• D. $\frac{Gm}{Gm+2v^{2}d}d$
• E. $\frac{Gm}{Gm+4v^{2}d}d$

Risposta: D

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 12.

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Due particelle puntiformi A e B, ciascuna di massa $m$, si trovano a distanza $d$. La particella B è inizialmente ferma, mentre A ha velocità iniziale $v$ diretta verso B. Le particelle sono soggette solo alla loro attrazione gravitazionale reciproca. Determina la distanza tra le due particelle nell’istante in cui la velocità di A è diventata $2v$.

• A. $\frac{Gm}{Gm+v^{2}d/2}d$
• B. $\frac{Gm}{Gm+3v^{2}d/4}d$
• C. $\frac{Gm}{Gm+3v^{2}d/2}d$
• D. $\frac{Gm}{Gm+2v^{2}d}d$
• E. $\frac{Gm}{Gm+4v^{2}d}d$

Risposta: D

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

A small ball starts to slide down a cliff with a circular edge, as shown. The ball starts with negligible speed at $x=0$ and slides down the curved edge, of radius $0.5\mathrm{m}$, under gravity. Determine the speed of the ball just before it leaves the curved surface.

• A. $1.28\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• B. $1.69\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• C. $1.81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• D. $2.21\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• E. $3.13\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 12, 13.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Una pallina comincia a scivolare giù da una scogliera con il bordo arrotondato ad arco di circonferenza, come in figura. La pallina parte con velocità trascurabile in $x=0$ e scivola sotto l’azione della gravità lungo il bordo curvo di raggio $0.5\mathrm{m}$. Determina la velocità della pallina subito prima che si stacchi dalla superficie curva.

• A. $1.28\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• B. $1.69\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• C. $1.81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• D. $2.21\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
• E. $3.13\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

You lift a $1\mathrm{kg}$ box up a ramp of height $1\mathrm{m}$ and constant angle by sliding it with negligible speed, doing $14.0\mathrm{J}$ of work. Then you release the box at the top of the ramp. The box slides down even though there is friction. Determine the kinetic energy of the box when it arrives at the bottom of the ramp.

• A. $5.6\mathrm{J}$
• B. $9.2\mathrm{J}$
• C. $9.8\mathrm{J}$
• D. $10.4\mathrm{J}$
• E. $14.0\mathrm{J}$

Risposta: A

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 13, 14.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Inclined Plane, Block Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

Sollevi una scatola di $1\mathrm{kg}$ lungo una rampa di altezza $1\mathrm{m}$ e inclinazione costante, facendola strisciare con velocità trascurabile e compiendo un lavoro di $14.0\mathrm{J}$. Poi lasci la scatola in cima alla rampa. La scatola scivola giù nonostante l’attrito. Determina l’energia cinetica della scatola quando arriva in fondo alla rampa.

• A. $5.6\mathrm{J}$
• B. $9.2\mathrm{J}$
• C. $9.8\mathrm{J}$
• D. $10.4\mathrm{J}$
• E. $14.0\mathrm{J}$

Risposta: A

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Inclined Plane, Block Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

Six springs, all with the same spring constant $k$, are assembled with 3 rigid plates as in the figure. You pull the rightmost plate with a force $F$ and the middle plate is displaced to the right by $\Delta x_2$. What is the ratio $F/\Delta x_2$?

• A. $6k/11$
• B. $6k/5$
• C. $5k$
• D. $6k$
• E. None of the above

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 14, 15.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Hooke’s Law, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

Sei molle, tutte con la stessa costante elastica $k$, sono montate con 3 piastre rigide come in figura. Tiri la piastra più a destra con una forza $F$ e la piastra centrale si sposta verso destra di $\Delta x_2$. Quanto vale il rapporto $F/\Delta x_2$?

• A. $6k/11$
• B. $6k/5$
• C. $5k$
• D. $6k$
• E. Nessuna delle precedenti

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Hooke’s Law, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

A mass hanging from the ceiling by a spring undergoes simple harmonic motion of amplitude $1\mathrm{mm}$. The spring constant is $100N/m$ and the mass is $1\mathrm{kg}$. When the displacement of the mass is half the amplitude, what is its speed? Neglect the mass of the spring.

• A. $5.00\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• B. $8.66\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• C. $10.00\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• D. $54.41\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• E. $62.83\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 15, 16.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Una massa appesa al soffitto tramite una molla compie un moto armonico semplice di ampiezza $1\mathrm{mm}$. La costante elastica è $100N/m$ e la massa è $1\mathrm{kg}$. Quando lo spostamento della massa è metà dell’ampiezza, qual è la sua velocità? Trascura la massa della molla.

• A. $5.00\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• B. $8.66\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• C. $10.00\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• D. $54.41\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$
• E. $62.83\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Consider the elastic collision between two identical particles moving on a horizontal plane. The figure shows the situation before and after the collision. Before the collision one object moving with speed $u$ collides with the other, which is at rest. After the collision both objects move with the same speed $v$, with an angle $\alpha$ between the two outgoing directions. Determine $\alpha$.

• A. $60^{\circ }$
• B. $90^{\circ }$
• C. $120^{\circ }$
• D. $150^{\circ }$
• E. Cannot be determined uniquely

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 16, 17.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.16

Considera l’urto elastico tra due particelle identiche che si muovono su un piano orizzontale. La figura mostra la situazione prima e dopo l’urto. Prima dell’urto un oggetto con velocità $u$ urta l’altro, che è fermo. Dopo l’urto entrambi gli oggetti si muovono con la stessa velocità $v$, e le due direzioni di uscita formano un angolo $\alpha$. Determina $\alpha$.

• A. $60^{\circ }$
• B. $90^{\circ }$
• C. $120^{\circ }$
• D. $150^{\circ }$
• E. Non si può determinare univocamente

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.16

Problem 1 — Rod against a wall

A rod of mass $M$ and length $L$ leans against a wall at an angle $\theta$ with the ground. The coefficient of static friction between the rod and the ground is $\mu$; friction between the rod and the wall can be neglected. A ball of mass $m$ moves up along the rod, without friction, with initial velocity $u$ from point A.

In parts (a) to (c), assume that $\mu$ is large enough that the rod does not slide.

(a) [2] What is the acceleration of the ball along the rod?

(b) [2] What is the minimum initial velocity $u$ such that the ball can reach point B?

(c) [3] How long does the ball take to reach point B?

We now want the minimum coefficient of static friction such that the rod does not slide during the motion of the ball. Consider the moment when the ball is moving upward and is at a distance $d$ from point A.

(d) [2] What is the normal force acting on the ball?

(e) [2] What is the normal force acting on the rod at point A?

(f) [3] What is the normal force acting on the rod at point B?

(g) [3] What is the friction force acting on the rod at point A?

(h) [3] Find the minimum value of $\mu$ such that the rod does not slide during the motion of the ball.

Risposta: (a) $g\sin \theta$ (directed down the rod); (b) $u_{\min }=\sqrt{2gL\sin \theta }$; (c) $t=\frac{u-\sqrt{u^2-2gL\sin \theta }}{g\sin \theta }$; (d) $mg\cos \theta$; (e) $N_A=mg{\cos }^2\theta +Mg$; (f) $N_B=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}\right)g\cot \theta$; (g) $f=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}-m{\sin }^2\theta \right)g\cot \theta$; (h) ${\mu }_{\min }=\frac{\left(\frac{M}{2}+m{\cos }^2\theta \right)\cot \theta }{M+m{\cos }^2\theta }$

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 18, 19.

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod, Ball, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

Problema 1 — Asta appoggiata alla parete

Un’asta di massa $M$ e lunghezza $L$ è appoggiata a una parete e forma un angolo $\theta$ con il suolo. Il coefficiente di attrito statico tra l’asta e il suolo è $\mu$; l’attrito tra l’asta e la parete è trascurabile. Una pallina di massa $m$ risale lungo l’asta, senza attrito, partendo dal punto A con velocità iniziale $u$.

Nei punti da (a) a (c) supponi che $\mu$ sia abbastanza grande da impedire all’asta di scivolare.

(a) [2] Qual è l’accelerazione della pallina lungo l’asta?

(b) [2] Qual è la minima velocità iniziale $u$ con cui la pallina riesce a raggiungere il punto B?

(c) [3] Quanto tempo impiega la pallina a raggiungere il punto B?

Vogliamo ora il minimo coefficiente di attrito statico per cui l’asta non scivola durante il moto della pallina. Considera l’istante in cui la pallina sta salendo e si trova a distanza $d$ dal punto A.

(d) [2] Qual è la forza normale che agisce sulla pallina?

(e) [2] Qual è la forza normale che agisce sull’asta nel punto A?

(f) [3] Qual è la forza normale che agisce sull’asta nel punto B?

(g) [3] Qual è la forza di attrito che agisce sull’asta nel punto A?

(h) [3] Trova il minimo valore di $\mu$ per cui l’asta non scivola durante il moto della pallina.

Risposta: (a) $g\sin \theta$ (diretta verso il basso lungo l’asta); (b) $u_{\min }=\sqrt{2gL\sin \theta }$; (c) $t=\frac{u-\sqrt{u^2-2gL\sin \theta }}{g\sin \theta }$; (d) $mg\cos \theta$; (e) $N_A=mg{\cos }^2\theta +Mg$; (f) $N_B=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}\right)g\cot \theta$; (g) $f=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}-m{\sin }^2\theta \right)g\cot \theta$; (h) ${\mu }_{\min }=\frac{\left(\frac{M}{2}+m{\cos }^2\theta \right)\cot \theta }{M+m{\cos }^2\theta }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod, Ball, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

Problem 2 — Mass on a quarter-circle truck

A point mass $m$ is released from rest on an incline from a height $H$. It slides smoothly onto a frictionless truck of mass $M$ with a quarter-circular surface of radius $R$. The mass then slides along the surface and jumps vertically up with respect to the truck. Ignore all friction in the problem.

Given $m=1\mathrm{kg}$, $M=3\mathrm{kg}$, $R=0.3\mathrm{m}$, $H=1\mathrm{m}$ and $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$.

(a) [6] Find the speed of the truck immediately after the mass jumps from the truck.

(b) [6] Find the maximum height $h$ the mass can reach, measured from the platform of the truck, after the mass jumps from the truck.

(c) [2] After the mass reaches the highest point, it falls back down. At which part of the truck will it return? Choose from the positions in Figure 1(c):

A	behind the truck
B	at the end of the truck
C	at the middle of the truck
D	at the front end of the quarter-circle
E	in front of the truck

(d) [6] Find the final velocity (speed and direction) of the truck long after the mass falls back down.

Risposta: (a) $V=\frac{m}{m+M}\sqrt{2gH}=1.107m/s$; (b) $h=\frac{3}{4}H=0.75\mathrm{m}$; (c) D; (d) $2.214m/s$ to the right

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 20, 21.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.20

Problema 2 — Massa su un carrello a quarto di circonferenza

Una massa puntiforme $m$ viene lasciata ferma su un piano inclinato da un’altezza $H$. Scivola senza urti su un carrello privo di attrito, di massa $M$, con una superficie a quarto di circonferenza di raggio $R$. La massa poi scorre lungo la superficie e salta verticalmente verso l’alto rispetto al carrello. Trascura ogni attrito.

Dati: $m=1\mathrm{kg}$, $M=3\mathrm{kg}$, $R=0.3\mathrm{m}$, $H=1\mathrm{m}$ e $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$.

(a) [6] Trova la velocità del carrello subito dopo che la massa ne è saltata fuori.

(b) [6] Trova l’altezza massima $h$ raggiunta dalla massa, misurata dal piano del carrello, dopo il salto.

(c) [2] Dopo aver raggiunto il punto più alto, la massa ricade. In quale parte del carrello ricadrà? Scegli tra le posizioni della Figura 1(c):

A	dietro il carrello
B	all’estremità del carrello
C	al centro del carrello
D	all’estremità anteriore del quarto di circonferenza
E	davanti al carrello

(d) [6] Trova la velocità finale (modulo e verso) del carrello molto tempo dopo che la massa è ricaduta.

Risposta: (a) $V=\frac{m}{m+M}\sqrt{2gH}=1,107m/s$; (b) $h=\frac{3}{4}H=0,75\mathrm{m}$; (c) D; (d) $2,214m/s$ verso destra

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.20

Problem 3 — Cosmic velocities

“Cosmic velocities”. In this problem you may find the following useful:

Quantity	Symbol	Value
Earth’s mass	$M_E$	$5.97\times 10^{24}\mathrm{kg}$
Earth’s radius	$R$	$6370\mathrm{km}$
Sun’s mass	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\mathrm{kg}$
Sun–Earth average distance (AU)	$r$	$1.50\times 10^8\mathrm{km}$

(a) [1] Calculate the Earth’s rotational speed at the equator. Take the rotation period of the Earth to be 24 hours.

(b) [1] Assuming that the Earth’s orbit around the Sun is circular with radius $r$, calculate the orbital speed $v_0$ of the Earth around the Sun.

Define the first cosmic velocity $v_1$ as the least orbital speed of a projectile launched at sea level to keep a circular orbit around the Earth. Define the second cosmic velocity $v_2$, also known as the escape velocity from the Earth, as the least speed that a projectile launched at sea level must have to escape from the Earth (i.e. reach infinite distance from the Earth when the only force acting on it is the Earth’s gravity). Define the third cosmic velocity $v_3$ as the least speed that a projectile launched at sea level must have to escape from the solar system; it is defined relative to the Earth (not the Sun), and the required speed is minimum when the projectile is launched in the same direction as the Earth’s orbital velocity.

Assume that the Earth’s orbit is circular; the Earth’s rotational speed is much smaller than its orbital speed and is ignored below. Call the projectile $P$ and let its mass be $m$. Assume that the Sun is at rest because $M_S\gg M_E,m$; the gravity of all other bodies in the solar system can be ignored.

(c) [2] Calculate the first cosmic velocity.

(d) [2] Calculate the second cosmic velocity.

(e) [2] Assume that the Earth’s motion is not affected by its interaction with $P$ because $M_E\gg m$. Calculate the third cosmic velocity.

The answer in (e) is actually wrong because of a wrong assumption. Below we take into account the interaction between the Earth and $P$.

(f) Let the speeds of the Earth and of $P$ just after $P$ is launched be $v_E^{\prime }$ and $v_P^{\prime }$.

(i) [2] Obtain the relation(s) between $v_0$, $v_E^{\prime }$ and $v_P^{\prime }$.

Assume the following: during a time interval $T$ after the launch, the Earth and $P$ both move approximately along a straight line perpendicular to the direction of the Sun’s gravitational force; the Earth–$P$ distance increases to many times the Earth’s radius in time $T$, so that the gravitational potential energy of the Earth–$P$ system becomes negligible; the Sun–Earth and Sun–$P$ distances both remain approximately constant during this interval. (*)

(ii) [2] Let the speeds of the Earth and of $P$ at time $T$ be $v_E^{\prime \prime }$ and $v_P^{\prime \prime }$. Obtain the relation(s) between $v_E^{\prime }$, $v_P^{\prime }$, $v_E^{\prime \prime }$ and $v_P^{\prime \prime }$.

(iii) [2] What is the least $v_P^{\prime \prime }$ for $P$ to escape from the solar system?

(iv) [4] Hence calculate $v_3$, taking into account that $M_E\gg m$ (note that $v_3$ is defined as the speed relative to the Earth).

(g) In this part we check the consistency of the answer in (f) with assumption (*).

(i) [1] Estimate $T$ when the Earth–$P$ distance equals 100 times the Earth’s radius.

(ii) [1] Estimate the angle traversed by the Earth along its orbit around the Sun in time $T$.

Risposta: (a) $0.463km/s$; (b) $v_0=\sqrt{G{M}_S/r}\approx 29.7km/s$; (c) $v_1\approx 7.91km/s$; (d) $v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2km/s$; (e) $v_3=\sqrt{v_2^2+2v_0^2}-v_0\approx 13.8km/s$; (f) (i) $(m+M_E)v_0=m{v}_P^{\prime }+M_E{v}_E^{\prime }$; (iii) $v_P^{\prime \prime }=\sqrt{2}{v}_0$; (iv) $v_3=\sqrt{v_2^2+(\sqrt{2}-1{)}^2{v}_0^2}\approx 16.6km/s$; (g) $T\approx 10$ h, angle $\approx 0.4^{\circ }$

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2024, HKAGE), from the official PDF — p. 23, 24, 25.

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.11 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.23

Problema 3 — Velocità cosmiche

«Velocità cosmiche». In questo problema possono esserti utili i dati seguenti:

Grandezza	Simbolo	Valore
Massa della Terra	$M_E$	$5.97\times 10^{24}\mathrm{kg}$
Raggio della Terra	$R$	$6370\mathrm{km}$
Massa del Sole	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\mathrm{kg}$
Distanza media Sole–Terra (UA)	$r$	$1.50\times 10^8\mathrm{km}$

(a) [1] Calcola la velocità di rotazione della Terra all’equatore. Assumi un periodo di rotazione di 24 ore.

(b) [1] Supponendo che l’orbita della Terra attorno al Sole sia circolare di raggio $r$, calcola la velocità orbitale $v_0$ della Terra attorno al Sole.

Si definisce prima velocità cosmica $v_1$ la minima velocità orbitale con cui un proiettile lanciato al livello del mare si mantiene su un’orbita circolare attorno alla Terra. Si definisce seconda velocità cosmica $v_2$, detta anche velocità di fuga dalla Terra, la minima velocità che deve avere un proiettile lanciato al livello del mare per sfuggire alla Terra (cioè per arrivare a distanza infinita dalla Terra quando l’unica forza che agisce su di esso è la gravità terrestre). Si definisce terza velocità cosmica $v_3$ la minima velocità che deve avere un proiettile lanciato al livello del mare per sfuggire al sistema solare; è definita rispetto alla Terra (non al Sole), e la velocità richiesta è minima quando il proiettile viene lanciato nella stessa direzione della velocità orbitale della Terra.

Supponi che l’orbita della Terra sia circolare; la velocità di rotazione terrestre è molto minore di quella orbitale e nel seguito viene trascurata. Chiama $P$ il proiettile e sia $m$ la sua massa. Supponi che il Sole sia fermo perché $M_S\gg M_E,m$; la gravità di tutti gli altri corpi del sistema solare è trascurabile.

(c) [2] Calcola la prima velocità cosmica.

(d) [2] Calcola la seconda velocità cosmica.

(e) [2] Supponi che il moto della Terra non sia influenzato dall’interazione con $P$ perché $M_E\gg m$. Calcola la terza velocità cosmica.

La risposta al punto (e) in realtà è sbagliata, perché si basa su un’ipotesi errata. Nel seguito si tiene conto dell’interazione tra la Terra e $P$.

(f) Siano $v_E^{\prime }$ e $v_P^{\prime }$ le velocità della Terra e di $P$ subito dopo il lancio.

(i) [2] Ricava la relazione (o le relazioni) tra $v_0$, $v_E^{\prime }$ e $v_P^{\prime }$.

Supponi quanto segue: durante un intervallo di tempo $T$ dopo il lancio, la Terra e $P$ si muovono entrambi approssimativamente lungo una retta perpendicolare alla direzione della forza gravitazionale del Sole; in questo tempo la distanza Terra–$P$ diventa molte volte il raggio terrestre, così che l’energia potenziale gravitazionale del sistema Terra–$P$ diventa trascurabile; le distanze Sole–Terra e Sole–$P$ restano approssimativamente costanti in questo intervallo. (*)

(ii) [2] Siano $v_E^{\prime \prime }$ e $v_P^{\prime \prime }$ le velocità della Terra e di $P$ all’istante $T$. Ricava la relazione (o le relazioni) tra $v_E^{\prime }$, $v_P^{\prime }$, $v_E^{\prime \prime }$ e $v_P^{\prime \prime }$.

(iii) [2] Qual è il minimo $v_P^{\prime \prime }$ con cui $P$ sfugge al sistema solare?

(iv) [4] Calcola quindi $v_3$, tenendo conto che $M_E\gg m$ (ricorda che $v_3$ è definita come velocità rispetto alla Terra).

(g) In questa parte si verifica la coerenza della risposta in (f) con l’ipotesi (*).

(i) [1] Stima $T$ quando la distanza Terra–$P$ è pari a 100 raggi terrestri.

(ii) [1] Stima l’angolo percorso dalla Terra lungo la sua orbita attorno al Sole nel tempo $T$.

Risposta: (a) $0,463km/s$; (b) $v_0=\sqrt{G{M}_S/r}\approx 29,7km/s$; (c) $v_1\approx 7,91km/s$; (d) $v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11,2km/s$; (e) $v_3=\sqrt{v_2^2+2v_0^2}-v_0\approx 13,8km/s$; (f) (i) $(m+M_E)v_0=m{v}_P^{\prime }+M_E{v}_E^{\prime }$; (iii) $v_P^{\prime \prime }=\sqrt{2}{v}_0$; (iv) $v_3=\sqrt{v_2^2+(\sqrt{2}-1{)}^2{v}_0^2}\approx 16,6km/s$; (g) $T\approx 10$ h, angolo $\approx 0,4^{\circ }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.11 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.23

Answers from the official HKPhO 2024 solutions (HKAGE).

Problem	Title	Risposta
1		C
2		B
3		E
4		C
5		E
6		C
7		D
8		B
9		E
10		A
11		D
12		C
13		B
14		A
15		D
16		C
17		A
18		B
19		B
20		B
21	Problem 1 — Rod against a wall	(a) $g\sin \theta$ (directed down the rod); (b) $u_{\min }=\sqrt{2gL\sin \theta }$; (c) $t=\frac{u-\sqrt{u^2-2gL\sin \theta }}{g\sin \theta }$; (d) $mg\cos \theta$; (e) $N_A=mg{\cos }^2\theta +Mg$; (f) $N_B=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}\right)g\cot \theta$; (g) $f=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}-m{\sin }^2\theta \right)g\cot \theta$; (h) ${\mu }_{\min }=\frac{\left(\frac{M}{2}+m{\cos }^2\theta \right)\cot \theta }{M+m{\cos }^2\theta }$
22	Problem 2 — Mass on a quarter-circle truck	(a) $V=\frac{m}{m+M}\sqrt{2gH}=1.107m/s$; (b) $h=\frac{3}{4}H=0.75\mathrm{m}$; (c) D; (d) $2.214m/s$ to the right
23	Problem 3 — Cosmic velocities	(a) $0.463km/s$; (b) $v_0=\sqrt{G{M}_S/r}\approx 29.7km/s$; (c) $v_1\approx 7.91km/s$; (d) $v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11.2km/s$; (e) $v_3=\sqrt{v_2^2+2v_0^2}-v_0\approx 13.8km/s$; (f) (i) $(m+M_E)v_0=m{v}_P^{\prime }+M_E{v}_E^{\prime }$; (iii) $v_P^{\prime \prime }=\sqrt{2}{v}_0$; (iv) $v_3=\sqrt{v_2^2+(\sqrt{2}-1{)}^2{v}_0^2}\approx 16.6km/s$; (g) $T\approx 10$ h, angle $\approx 0.4^{\circ }$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dalle soluzioni ufficiali HKPhO 2024 (HKAGE).

Problema	Titolo	Risposta
1		C
2		B
3		E
4		C
5		E
6		C
7		D
8		B
9		E
10		A
11		D
12		C
13		B
14		A
15		D
16		C
17		A
18		B
19		B
20		B
21	Problema 1 — Asta appoggiata alla parete	(a) $g\sin \theta$ (diretta verso il basso lungo l’asta); (b) $u_{\min }=\sqrt{2gL\sin \theta }$; (c) $t=\frac{u-\sqrt{u^2-2gL\sin \theta }}{g\sin \theta }$; (d) $mg\cos \theta$; (e) $N_A=mg{\cos }^2\theta +Mg$; (f) $N_B=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}\right)g\cot \theta$; (g) $f=\left(\frac{M}{2}+\frac{md}{L}-m{\sin }^2\theta \right)g\cot \theta$; (h) ${\mu }_{\min }=\frac{\left(\frac{M}{2}+m{\cos }^2\theta \right)\cot \theta }{M+m{\cos }^2\theta }$
22	Problema 2 — Massa su un carrello a quarto di circonferenza	(a) $V=\frac{m}{m+M}\sqrt{2gH}=1,107m/s$; (b) $h=\frac{3}{4}H=0,75\mathrm{m}$; (c) D; (d) $2,214m/s$ verso destra
23	Problema 3 — Velocità cosmiche	(a) $0,463km/s$; (b) $v_0=\sqrt{G{M}_S/r}\approx 29,7km/s$; (c) $v_1\approx 7,91km/s$; (d) $v_2=\sqrt{2}{v}_1\approx 11,2km/s$; (e) $v_3=\sqrt{v_2^2+2v_0^2}-v_0\approx 13,8km/s$; (f) (i) $(m+M_E)v_0=m{v}_P^{\prime }+M_E{v}_E^{\prime }$; (iii) $v_P^{\prime \prime }=\sqrt{2}{v}_0$; (iv) $v_3=\sqrt{v_2^2+(\sqrt{2}-1{)}^2{v}_0^2}\approx 16,6km/s$; (g) $T\approx 10$ h, angolo $\approx 0,4^{\circ }$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)