HKPhO 2025

Alice launches a particle from the surface of a uniform, stationary spherical planet at an angle to the vertical. The particle travels without air resistance and eventually falls back to the planet. Bob describes the path of the particle as a parabola, using the laws of projectile motion. Meanwhile, Alice recalls from Kepler’s laws that every bound orbit around a point mass is an ellipse (or circle) and that the gravitational effect of a uniform sphere is equivalent to that of a point mass. Which of the following best explains the discrepancy between their observations?

• A. Because the experiment takes place very close to the surface of the sphere, it is no longer valid to replace the sphere with a point mass.
• B. Because the particle strikes the ground, it is not in orbit around the planet and therefore can follow a non-elliptical path.
• C. Alice overlooked the fact that motions around a point mass can also be parabolas or hyperbolas.
• D. Kepler’s laws only apply in the limit of large orbits.
• E. The path is an ellipse, but it closely resembles a parabola due to the short distance of the flight relative to the distance from the center of the planet.

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 3.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning Objects: Projectile, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

Alice lancia una particella dalla superficie di un pianeta sferico, omogeneo e fermo, con un certo angolo rispetto alla verticale. La particella si muove senza resistenza dell’aria e alla fine ricade sul pianeta. Bob descrive la traiettoria della particella come una parabola, usando le leggi del moto del proiettile. Alice invece ricorda dalle leggi di Keplero che ogni orbita legata attorno a una massa puntiforme è un’ellisse (o una circonferenza) e che l’effetto gravitazionale di una sfera omogenea equivale a quello di una massa puntiforme. Quale delle seguenti affermazioni spiega meglio la discrepanza tra le loro osservazioni?

• A. Poiché l’esperimento avviene molto vicino alla superficie della sfera, non è più lecito sostituire la sfera con una massa puntiforme.
• B. Poiché la particella urta il suolo, non è in orbita attorno al pianeta e quindi può seguire una traiettoria non ellittica.
• C. Alice ha trascurato il fatto che i moti attorno a una massa puntiforme possono essere anche parabole o iperboli.
• D. Le leggi di Keplero valgono solo nel limite di orbite grandi.
• E. La traiettoria è un’ellisse, ma somiglia molto a una parabola perché la lunghezza del volo è piccola rispetto alla distanza dal centro del pianeta.

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning Objects: Projectile, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

Questions 2 to 4 refer to the three graphs below, which show the velocity of three objects as a function of time. Each object moves only in one dimension.

Rank the magnitudes of the average acceleration during the ten-second interval.

• A. I > III > II
• B. II > I = III
• C. II > I > III
• D. I > II = III
• E. I = II = III

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 3.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

I quesiti da 2 a 4 si riferiscono ai tre grafici seguenti, che mostrano la velocità di tre oggetti in funzione del tempo. Ogni oggetto si muove in una sola dimensione.

Ordina i moduli dell’accelerazione media nell’intervallo di dieci secondi.

• A. I > III > II
• B. II > I = III
• C. II > I > III
• D. I > II = III
• E. I = II = III

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

Questions 2 to 4 refer to the three graphs below, which show the velocity of three objects as a function of time. Each object moves only in one dimension.

Rank the magnitudes of the instantaneous acceleration at $t=5\mathrm{s}$.

• A. I > III > II
• B. II > I = III
• C. II > I > III
• D. I > II = III
• E. I = II = III

Risposta: A

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 4.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

I quesiti da 2 a 4 si riferiscono ai tre grafici seguenti, che mostrano la velocità di tre oggetti in funzione del tempo. Ogni oggetto si muove in una sola dimensione.

Ordina i moduli dell’accelerazione istantanea all’istante $t=5\mathrm{s}$.

• A. I > III > II
• B. II > I = III
• C. II > I > III
• D. I > II = III
• E. I = II = III

Risposta: A

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

Questions 2 to 4 refer to the three graphs below, which show the velocity of three objects as a function of time. Each object moves only in one dimension.

Rank the magnitudes of the displacement travelled during the ten-second interval.

• A. I > III > II
• B. II > I = III
• C. II > I > III
• D. I > II = III
• E. I = II = III

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 4.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

I quesiti da 2 a 4 si riferiscono ai tre grafici seguenti, che mostrano la velocità di tre oggetti in funzione del tempo. Ogni oggetto si muove in una sola dimensione.

Ordina i moduli dello spostamento nell’intervallo di dieci secondi.

• A. I > III > II
• B. II > I = III
• C. II > I > III
• D. I > II = III
• E. I = II = III

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

As shown in the figure, small blocks $a$, $b$ and $c$ are at rest on a smooth horizontal surface. Block $a$ is set moving to the right with speed $V$ and collides elastically with block $b$; block $b$ then collides elastically with block $c$. If the masses of blocks $b$ and $c$ can be chosen arbitrarily, what is the maximum speed of block $c$ after the first collision between blocks $b$ and $c$?

• A. $V$
• B. $2V$
• C. $3V$
• D. $4V$
• E. $5V$

Risposta: D

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 4, 5.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

Come in figura, i blocchetti $a$, $b$ e $c$ sono fermi su una superficie orizzontale liscia. Il blocchetto $a$ viene messo in moto verso destra con velocità $V$ e urta elasticamente il blocchetto $b$; poi $b$ urta elasticamente $c$. Se le masse dei blocchetti $b$ e $c$ si possono scegliere arbitrariamente, qual è la massima velocità del blocchetto $c$ dopo il primo urto tra $b$ e $c$?

• A. $V$
• B. $2V$
• C. $3V$
• D. $4V$
• E. $5V$

Risposta: D

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

As shown in the figure, object $Q$ is connected to a massless spring and is initially at rest on a frictionless horizontal surface. Object $P$ moves with velocity $v$ and collides with the spring and object $Q$. The collision is completely elastic and both objects have equal mass. During the collision process, under which of the following conditions is the spring at its maximum compression?

• A. When the velocity of $P$ is exactly zero.
• B. When the velocities of $P$ and $Q$ are equal.
• C. When $Q$ just begins to move.
• D. When the velocity of $Q$ is equal to $v$.
• E. When $P$ has just transferred all its kinetic energy to the spring.

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 5.

Topic: Conservation of Momentum, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Hooke’s Law Competenze: Physical Reasoning Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

Come in figura, l’oggetto $Q$ è collegato a una molla di massa trascurabile ed è inizialmente fermo su una superficie orizzontale senza attrito. L’oggetto $P$ si muove con velocità $v$ e urta la molla e l’oggetto $Q$. L’urto è completamente elastico e i due oggetti hanno la stessa massa. Durante l’urto, in quale delle seguenti condizioni la molla è alla massima compressione?

• A. Quando la velocità di $P$ è esattamente zero.
• B. Quando le velocità di $P$ e di $Q$ sono uguali.
• C. Quando $Q$ comincia appena a muoversi.
• D. Quando la velocità di $Q$ è uguale a $v$.
• E. Quando $P$ ha appena trasferito tutta la sua energia cinetica alla molla.

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Hooke’s Law Competenze: Physical Reasoning Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

A person $P$ is running up a long escalator that is moving downward with constant velocity $v_e$. The person runs upward relative to the escalator with speed $v_p$. There are two scenarios:

• Case 1: the person runs up the escalator for a time $t_1$ and reaches the top.
• Case 2: if the escalator were not moving, the same person, running with the same speed $v_p$, would take a time $t_2$ to reach the top.

Which of the following equations correctly relates $t_1$ and $t_2$?

• A. $t_1=t_2+\frac{v_e}{v_p}$
• B. $t_1=\frac{t_2}{1-\frac{v_e}{v_p}}$
• C. $t_1=t_2\left(1-\frac{v_e}{v_p}\right)$
• D. $t_1=t_2\left(1+\frac{v_e}{v_p}\right)$
• E. $t_1=t_2-\frac{v_e}{v_p}$

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 5, 6.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

Una persona $P$ corre su per una lunga scala mobile che scende con velocità costante $v_e$. La persona corre verso l’alto con velocità $v_p$ rispetto alla scala mobile. Si considerano due casi:

• Caso 1: la persona sale correndo per un tempo $t_1$ e raggiunge la cima.
• Caso 2: se la scala mobile fosse ferma, la stessa persona, correndo con la stessa velocità $v_p$, impiegherebbe un tempo $t_2$ per raggiungere la cima.

Quale delle seguenti equazioni lega correttamente $t_1$ e $t_2$?

• A. $t_1=t_2+\frac{v_e}{v_p}$
• B. $t_1=\frac{t_2}{1-\frac{v_e}{v_p}}$
• C. $t_1=t_2\left(1-\frac{v_e}{v_p}\right)$
• D. $t_1=t_2\left(1+\frac{v_e}{v_p}\right)$
• E. $t_1=t_2-\frac{v_e}{v_p}$

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

A block X travelling at speed $v_0$ moves toward another block Y, which is initially at rest. They undergo a head-on elastic collision, after which block X bounces backward in the direction it came from. The collision occurs on a smooth horizontal surface. Which of the following statements is correct?

• A. Block X and block Y have the same mass.
• B. Block X is heavier than block Y.
• C. Block X is lighter than block Y.
• D. If the initial speed of block X is higher than $v_0$, then block X will not bounce backward.
• E. If the initial speed of block X is lower than $v_0$, then block X will not bounce backward.

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 6.

Topic: Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Un blocco X che si muove con velocità $v_0$ va verso un altro blocco Y, inizialmente fermo. I due blocchi subiscono un urto elastico frontale, dopo il quale il blocco X rimbalza all’indietro nella direzione da cui proveniva. L’urto avviene su una superficie orizzontale liscia. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

• A. I blocchi X e Y hanno la stessa massa.
• B. Il blocco X è più pesante del blocco Y.
• C. Il blocco X è più leggero del blocco Y.
• D. Se la velocità iniziale di X è maggiore di $v_0$, X non rimbalza all’indietro.
• E. Se la velocità iniziale di X è minore di $v_0$, X non rimbalza all’indietro.

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Consider an alien planet A, far away from us. Planet A is not rotating and there are no suns (stars) near it. The aliens on the planet created an artificial sun that orbits in a circle around Planet A such that there are 24 hours (one day on Earth) between successive artificial sunrises. Leaving aside whether this is a smart way to create a day on the planet, find the radius of the circular orbit of the artificial sun around Planet A. The mass of Planet A is $10^{24}\mathrm{kg}$ and the mass of the artificial sun is $10^{14}\mathrm{kg}$.

• A. $20.7\mathrm{km}$
• B. $256000\mathrm{km}$
• C. $10.8\mathrm{km}$
• D. $12.6\times 10^{19}\mathrm{km}$
• E. $23300\mathrm{km}$

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 6.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Considera un pianeta alieno A, molto lontano da noi. Il pianeta A non ruota e nelle sue vicinanze non ci sono soli (stelle). Gli alieni del pianeta hanno creato un sole artificiale che percorre un’orbita circolare attorno ad A in modo che tra due albe artificiali successive passino 24 ore (un giorno terrestre). A prescindere dal fatto che sia un modo intelligente di creare un giorno sul pianeta, trova il raggio dell’orbita circolare del sole artificiale attorno al pianeta A. La massa del pianeta A è $10^{24}\mathrm{kg}$ e quella del sole artificiale è $10^{14}\mathrm{kg}$.

• A. $20.7\mathrm{km}$
• B. $256000\mathrm{km}$
• C. $10.8\mathrm{km}$
• D. $12.6\times 10^{19}\mathrm{km}$
• E. $23300\mathrm{km}$

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

A small block moves at speed $v_0$ on a track that includes a circular loop of radius $R$ and an incline. The track is frictionless, and there is no attachment or mounting mechanism between the track and the block. The block completes the loop without falling and then reaches a vertical height $H$ up the incline. Find the minimum value of $H$ that the block can reach on the incline after completing the loop.

• A. $2R$
• B. $5R$
• C. $\frac{5}{2}R$
• D. $\frac{1}{2}R$
• E. $\frac{v_0^2}{2g}+2R$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 7.

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

Un blocchetto si muove con velocità $v_0$ su una pista che comprende un giro della morte circolare di raggio $R$ e un piano inclinato. La pista è priva di attrito e il blocchetto non è vincolato in alcun modo alla pista. Il blocchetto percorre tutto il giro della morte senza cadere e poi raggiunge un’altezza $H$ sul piano inclinato. Trova il minimo valore di $H$ che il blocchetto può raggiungere sul piano inclinato dopo aver completato il giro.

• A. $2R$
• B. $5R$
• C. $\frac{5}{2}R$
• D. $\frac{1}{2}R$
• E. $\frac{v_0^2}{2g}+2R$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

Two race cars are initially at rest. They start moving forward at $t=0\mathrm{s}$ with different but constant accelerations. One of the cars is $1\mathrm{m}$ ahead of the other at $t=1\mathrm{s}$. At what time will they be $10\mathrm{m}$ apart, if their accelerations remain constant?

• A. $1.8\mathrm{s}$
• B. $3.2\mathrm{s}$
• C. $5\mathrm{s}$
• D. $10\mathrm{s}$
• E. $20\mathrm{s}$

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 7.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

Due auto da corsa sono inizialmente ferme. Partono in avanti all’istante $t=0\mathrm{s}$ con accelerazioni diverse ma costanti. All’istante $t=1\mathrm{s}$ una delle due è $1\mathrm{m}$ avanti all’altra. In quale istante saranno a $10\mathrm{m}$ di distanza, se le accelerazioni restano costanti?

• A. $1.8\mathrm{s}$
• B. $3.2\mathrm{s}$
• C. $5\mathrm{s}$
• D. $10\mathrm{s}$
• E. $20\mathrm{s}$

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

Two planets with different masses, $M$ and $4M$, are separated by a distance $4d$ as shown in the figure. Which of the following gives the correct direction of the net gravitational force due to both planets at the points P, Q, X, Y and Z in the figure? Use Newton’s law of gravity.

	P	Q	X	Y	Z
(A)	Right	Right	Right	Right	Left
(B)	Right	Left	Left	Left	Left
(C)	Right	Left	Zero force	Right	Left
(D)	Right	Left	Left	Right	Left
(E)	Right	Left	Right	Right	Left

• A. row (A)
• B. row (B)
• C. row (C)
• D. row (D)
• E. row (E)

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 8.

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

Due pianeti di masse diverse, $M$ e $4M$, si trovano a distanza $4d$ come in figura. Quale delle seguenti righe indica correttamente il verso della forza gravitazionale risultante dovuta ai due pianeti nei punti P, Q, X, Y e Z della figura? Usa la legge di gravitazione di Newton.

	P	Q	X	Y	Z
(A)	Destra	Destra	Destra	Destra	Sinistra
(B)	Destra	Sinistra	Sinistra	Sinistra	Sinistra
(C)	Destra	Sinistra	Forza nulla	Destra	Sinistra
(D)	Destra	Sinistra	Sinistra	Destra	Sinistra
(E)	Destra	Sinistra	Destra	Destra	Sinistra

• A. riga (A)
• B. riga (B)
• C. riga (C)
• D. riga (D)
• E. riga (E)

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

A block of mass $M=1\mathrm{kg}$ is pulled with a rope. One end of the rope is fixed to the ceiling at point P. The rope passes over two pulleys: one is fixed to the ceiling and the other can move vertically, as shown in the diagram. At the moment shown, a force $F$ is exerted downward on the movable pulley and the block is accelerating to the right at $4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. There is no friction between the block and the ground, the pulleys and the rope are massless, and the rope does not slip on the pulleys. Find the value of $F$ at the moment shown.

• A. $4.0\mathrm{N}$
• B. $8.0\mathrm{N}$
• C. $11\mathrm{N}$
• D. $16\mathrm{N}$
• E. $5.7\mathrm{N}$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 8.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Pulley, String Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

Un blocco di massa $M=1\mathrm{kg}$ viene tirato con una fune. Un capo della fune è fissato al soffitto nel punto P. La fune passa su due carrucole: una è fissata al soffitto e l’altra può muoversi verticalmente, come in figura. Nell’istante rappresentato una forza $F$ è applicata verso il basso alla carrucola mobile e il blocco accelera verso destra con $4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Non c’è attrito tra il blocco e il suolo, le carrucole e la fune hanno massa trascurabile e la fune non slitta sulle carrucole. Trova il valore di $F$ nell’istante rappresentato.

• A. $4.0\mathrm{N}$
• B. $8.0\mathrm{N}$
• C. $11\mathrm{N}$
• D. $16\mathrm{N}$
• E. $5.7\mathrm{N}$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Pulley, String Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

A simple pendulum with mass $m=3\mathrm{kg}$ and length $L=1\mathrm{m}$ is initially at rest in the vertical position. Let $\theta$ be the angle between the pendulum string and the vertical. A constant horizontal force $F$ is exerted on the mass from $\theta =0^{\circ }$ to $\theta =30^{\circ }$; then the force is removed. If the pendulum can reach $\theta =90^{\circ }$ after the force is removed, find the minimum value of $F$.

• A. $33.9\mathrm{N}$
• B. $29.4\mathrm{N}$
• C. $46.9\mathrm{N}$
• D. $63.1\mathrm{N}$
• E. $58.8\mathrm{N}$

Risposta: E

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 9.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

Un pendolo semplice di massa $m=3\mathrm{kg}$ e lunghezza $L=1\mathrm{m}$ è inizialmente fermo in posizione verticale. Sia $\theta$ l’angolo tra il filo del pendolo e la verticale. Sulla massa si esercita una forza orizzontale costante $F$ da $\theta =0^{\circ }$ a $\theta =30^{\circ }$; poi la forza viene rimossa. Se dopo la rimozione della forza il pendolo riesce a raggiungere $\theta =90^{\circ }$, trova il valore minimo di $F$.

• A. $33.9\mathrm{N}$
• B. $29.4\mathrm{N}$
• C. $46.9\mathrm{N}$
• D. $63.1\mathrm{N}$
• E. $58.8\mathrm{N}$

Risposta: E

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

A container is divided into an upper and a lower compartment by a partition. The upper compartment contains a liquid of density ${\rho }_2$ and the lower compartment a liquid of density ${\rho }_3$. The partition has a square hole of side $L$. A cube of side $L$ and density ${\rho }_1$ can remain in stable equilibrium under gravity with its top face at a distance $d$ from the partition, where $0<d<L$. The surfaces of the cube and the edges of the hole are smooth, and the liquids are non-viscous. Which of the following statements about the densities is/are true?

• I. ${\rho }_1>{\rho }_2>{\rho }_3$

• II. ${\rho }_2>{\rho }_1>{\rho }_3$

• III. ${\rho }_3>{\rho }_2>{\rho }_1$

• IV. ${\rho }_3>{\rho }_1>{\rho }_2$

• A. I only

• B. II only

• C. III only

• D. IV only

• E. I and IV

Risposta: D

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 9, 10.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

Un contenitore è diviso da un setto in un comparto superiore e uno inferiore. Il comparto superiore contiene un liquido di densità ${\rho }_2$, quello inferiore un liquido di densità ${\rho }_3$. Il setto ha un foro quadrato di lato $L$. Un cubo di lato $L$ e densità ${\rho }_1$ può restare in equilibrio stabile sotto l’azione della gravità con la faccia superiore a distanza $d$ dal setto, con $0<d<L$. Le superfici del cubo e i bordi del foro sono lisci e i liquidi non sono viscosi. Quali delle seguenti affermazioni sulle densità sono vere?

• I. ${\rho }_1>{\rho }_2>{\rho }_3$

• II. ${\rho }_2>{\rho }_1>{\rho }_3$

• III. ${\rho }_3>{\rho }_2>{\rho }_1$

• IV. ${\rho }_3>{\rho }_1>{\rho }_2$

• A. solo I

• B. solo II

• C. solo III

• D. solo IV

• E. I e IV

Risposta: D

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

The most efficient way to send a spacecraft from one planet to another is a Hohmann transfer orbit, as shown in the figure. If the orbits of the departure and destination planets are both circular, the Hohmann transfer orbit is an elliptical orbit whose perihelion and aphelion are tangent to the orbits of the two planets. The rockets are fired briefly at the departure planet to put the spacecraft into the transfer orbit; the spacecraft then coasts until it reaches the destination planet, where the rockets are briefly fired again to put it into the same orbit about the star as the destination planet. The orbital radius of the destination planet is 3 times that of the departure planet, and the two orbits are in the same direction. To reach the destination planet, the launch must be timed so that the destination planet is at the right spot when the spacecraft reaches its orbit. At launch, what must the angle $\theta$ between the star–destination planet line and the star–departure planet line be?

• A. $27^{\circ }$
• B. $53^{\circ }$
• C. $82^{\circ }$
• D. $114^{\circ }$
• E. $146^{\circ }$

Risposta: C

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 10.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

Il modo più efficiente per inviare una sonda da un pianeta a un altro è un’orbita di trasferimento di Hohmann, come in figura. Se le orbite del pianeta di partenza e di quello di destinazione sono entrambe circolari, l’orbita di Hohmann è un’ellisse il cui perielio e afelio sono tangenti alle orbite dei due pianeti. I razzi vengono accesi brevemente presso il pianeta di partenza per immettere la sonda nell’orbita di trasferimento; la sonda prosegue poi per inerzia fino al pianeta di destinazione, dove i razzi vengono riaccesi brevemente per portarla sulla stessa orbita attorno alla stella del pianeta di destinazione. Il raggio orbitale del pianeta di destinazione è 3 volte quello del pianeta di partenza e le due orbite sono percorse nello stesso verso. Per raggiungere il pianeta di destinazione, il lancio va sincronizzato in modo che il pianeta si trovi nel punto giusto quando la sonda arriva sulla sua orbita. Al momento del lancio, quanto deve valere l’angolo $\theta$ tra la congiungente stella–pianeta di destinazione e la congiungente stella–pianeta di partenza?

• A. $27^{\circ }$
• B. $53^{\circ }$
• C. $82^{\circ }$
• D. $114^{\circ }$
• E. $146^{\circ }$

Risposta: C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

One end of a post of weight $W$ and height $H$ rests on a rough horizontal surface with coefficient of static friction ${\mu }_s$. The upper end is held by a rope fastened to the surface and making an angle of $30^{\circ }$ with the post, as shown in the figure. A horizontal force $F$ to the right is exerted on the post. If the point of application of the force is too high, the post cannot be made to slip, no matter how great $F$ is. Find the critical height of the point of application.

• A. $\frac{H}{1+\sqrt{3}{\mu }_s}$
• B. $\frac{\sqrt{3}H}{\sqrt{3}+{\mu }_s}$
• C. $\frac{2H}{2+\sqrt{3}{\mu }_s}$
• D. $\frac{H}{1+2{\mu }_s}$
• E. $\frac{\sqrt{3}H}{\sqrt{3}+2{\mu }_s}$

Risposta: A

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 11.

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

Un palo di peso $W$ e altezza $H$ poggia con un’estremità su una superficie orizzontale scabra con coefficiente di attrito statico ${\mu }_s$. L’estremità superiore è trattenuta da una fune fissata alla superficie che forma un angolo di $30^{\circ }$ con il palo, come in figura. Sul palo si esercita una forza orizzontale $F$ verso destra. Se il punto di applicazione della forza è troppo alto, il palo non scivola per quanto grande sia $F$. Trova l’altezza critica del punto di applicazione.

• A. $\frac{H}{1+\sqrt{3}{\mu }_s}$
• B. $\frac{\sqrt{3}H}{\sqrt{3}+{\mu }_s}$
• C. $\frac{2H}{2+\sqrt{3}{\mu }_s}$
• D. $\frac{H}{1+2{\mu }_s}$
• E. $\frac{\sqrt{3}H}{\sqrt{3}+2{\mu }_s}$

Risposta: A

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

Inside a fluid, an object of mass $m$ starts from rest and moves vertically downward under Earth’s gravity and the frictional force of the fluid, whose magnitude is $f=\alpha v+\beta v^2$, where $v$ is the speed of the object and $\alpha ,\beta >0$. What is the terminal velocity (the speed as time tends to infinity) of the object?

• A. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{2\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{2\beta }$
• B. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{\beta }$
• C. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{2\beta }$
• D. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{2\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{\beta }$
• E. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{2\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{2\alpha }{\beta }$

Risposta: A

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 11.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

All’interno di un fluido, un oggetto di massa $m$ parte da fermo e si muove verticalmente verso il basso sotto l’azione della gravità terrestre e della forza d’attrito del fluido, di modulo $f=\alpha v+\beta v^2$, dove $v$ è la velocità dell’oggetto e $\alpha ,\beta >0$. Qual è la velocità limite (la velocità per tempo che tende all’infinito) dell’oggetto?

• A. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{2\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{2\beta }$
• B. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{\beta }$
• C. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{2\beta }$
• D. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{2\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{\alpha }{\beta }$
• E. $\sqrt{{\left(\frac{\alpha }{2\beta }\right)}^2+\frac{mg}{\beta }}-\frac{2\alpha }{\beta }$

Risposta: A

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

The upper end of a light rope of length $L$ is attached to the ceiling, and a small steel ball of mass $m$ hangs from the lower end. Initially the ball is at rest and the rope is vertical. Then a constant horizontal force of magnitude $F$ is applied and the ball moves along an arc of a circle of radius $L$. What is the speed of the ball when the rope makes an angle $\theta$ with the vertical?

• A. $\sqrt{gL\left(\frac{F}{mg}\cos \theta +\sin \theta -1\right)}$
• B. $\sqrt{2gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta +\cos \theta -1\right)}$
• C. $\sqrt{2gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta +\cos \theta \right)}$
• D. $\sqrt{2gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta -\cos \theta \right)}$
• E. $\sqrt{gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta +\cos \theta -1\right)}$

Risposta: B

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 12.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

L’estremità superiore di una fune leggera di lunghezza $L$ è fissata al soffitto e all’estremità inferiore è appesa una pallina d’acciaio di massa $m$. Inizialmente la pallina è ferma e la fune è verticale. Poi si applica una forza orizzontale costante di modulo $F$ e la pallina si muove lungo un arco di circonferenza di raggio $L$. Qual è la velocità della pallina quando la fune forma un angolo $\theta$ con la verticale?

• A. $\sqrt{gL\left(\frac{F}{mg}\cos \theta +\sin \theta -1\right)}$
• B. $\sqrt{2gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta +\cos \theta -1\right)}$
• C. $\sqrt{2gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta +\cos \theta \right)}$
• D. $\sqrt{2gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta -\cos \theta \right)}$
• E. $\sqrt{gL\left(\frac{F}{mg}\sin \theta +\cos \theta -1\right)}$

Risposta: B

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

A ball is held at rest at position A in the figure by two light strings, one horizontal and the other making an angle $\beta$ with the vertical. The horizontal string is cut and the ball starts swinging as a pendulum under Earth’s gravity. Point B is the farthest point to the right reached by the ball as it swings back and forth. What is the ratio of the tension in the supporting string at position B to its value at A before the horizontal string was cut?

• A. $\frac{T_B}{T_A}={\sec }^2\beta$
• B. $\frac{T_B}{T_A}=\cos \beta$
• C. $\frac{T_B}{T_A}=\sec \beta$
• D. $\frac{T_B}{T_A}={\cos }^2\beta$
• E. $\frac{T_B}{T_A}=1$

Risposta: D

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 12.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning Objects: Pendulum, Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Una pallina è tenuta ferma nella posizione A della figura da due fili leggeri, uno orizzontale e l’altro inclinato di un angolo $\beta$ rispetto alla verticale. Il filo orizzontale viene tagliato e la pallina comincia a oscillare come un pendolo sotto la gravità terrestre. Il punto B è il punto più a destra raggiunto dalla pallina nelle sue oscillazioni. Qual è il rapporto tra la tensione del filo di sostegno nella posizione B e il suo valore in A prima che il filo orizzontale venisse tagliato?

• A. $\frac{T_B}{T_A}={\sec }^2\beta$
• B. $\frac{T_B}{T_A}=\cos \beta$
• C. $\frac{T_B}{T_A}=\sec \beta$
• D. $\frac{T_B}{T_A}={\cos }^2\beta$
• E. $\frac{T_B}{T_A}=1$

Risposta: D

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning Objects: Pendulum, Ball, String Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Problem 1 — Rope sliding off a table

Hint. Consider a force acting on an object of the form $F(x)=kx$, where $x$ is the displacement of the object. The work done by this force to move a particle from $x=a$ to $x=b$ is

$W_{a\to b}=\frac{k}{2}\left(b^2-a^2\right)$

An inextensible rope is placed over the edge of a table, as shown in the diagram. The rope has uniform linear mass density $\rho$, total length $L$, and is subject to gravitational acceleration $g$. The initial length of the rope on the table is $x_0$, and the rope is initially at rest, i.e. $x(t=0)=x_0$ and $v(t=0)=0$. The effect of the rope bending over the edge is neglected (i.e., assume there is no friction at the edge and that the rope moves over a frictionless pulley).

(a) [4] Assuming there is no friction between the table’s surface and the rope, express the acceleration $a$ of the slipping rope as a function of the length $x$ of rope remaining on the table.

(b) [5] Determine the velocity of the rope as a function of the remaining length $x$ of rope on the table.

(c) [5] Now consider that there is static friction between the table’s surface and the rope, with coefficient of friction $\mu$. Determine the length $x_m$ at which the rope starts to slip as $x$ decreases. Express the answer in terms of $L$ and $\mu$.

(d) [6] Given that the initial length of rope on the table is $x_0=x_m$ and that kinetic friction also acts between the table and the rope, with the same coefficient $\mu$, determine the velocity of the rope at the moment it completely leaves the table, i.e. find $v$ when $x=0$. Express the answer in terms of $x_0$, $L$, $g$, $\rho$, $\mu$.

Risposta: (a) $a=\left(1-\frac{x}{L}\right)g$; (b) $v(x)=\sqrt{\frac{g}{L}\left[(L-x{)}^2-(L-x_0{)}^2\right]}$; (c) $x_m=\frac{L}{1+\mu }$; (d) $v=\sqrt{\frac{Lg}{1+\mu }}$

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 13, 14.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

Problema 1 — Fune che scivola da un tavolo

Suggerimento. Considera una forza che agisce su un oggetto della forma $F(x)=kx$, dove $x$ è lo spostamento dell’oggetto. Il lavoro compiuto da questa forza per spostare una particella da $x=a$ a $x=b$ è

$W_{a\to b}=\frac{k}{2}\left(b^2-a^2\right)$

Una fune inestensibile è appoggiata sul bordo di un tavolo, come nello schema. La fune ha densità lineare di massa uniforme $\rho$, lunghezza totale $L$ ed è soggetta all’accelerazione di gravità $g$. La lunghezza iniziale della fune sul tavolo è $x_0$ e la fune è inizialmente ferma, cioè $x(t=0)=x_0$ e $v(t=0)=0$. Si trascura l’effetto della piegatura della fune sul bordo (cioè si suppone che sul bordo non ci sia attrito e che la fune scorra su una carrucola senza attrito).

(a) [4] Supponendo che non ci sia attrito tra la superficie del tavolo e la fune, esprimi l’accelerazione $a$ della fune che scivola in funzione della lunghezza $x$ di fune rimasta sul tavolo.

(b) [5] Determina la velocità della fune in funzione della lunghezza $x$ rimasta sul tavolo.

(c) [5] Considera ora che tra la superficie del tavolo e la fune ci sia attrito statico, con coefficiente $\mu$. Determina la lunghezza $x_m$ alla quale la fune comincia a scivolare al diminuire di $x$. Esprimi la risposta in funzione di $L$ e $\mu$.

(d) [6] Sapendo che la lunghezza iniziale della fune sul tavolo è $x_0=x_m$ e che tra tavolo e fune agisce anche l’attrito dinamico, con lo stesso coefficiente $\mu$, determina la velocità della fune nell’istante in cui lascia completamente il tavolo, cioè $v$ quando $x=0$. Esprimi la risposta in funzione di $x_0$, $L$, $g$, $\rho$, $\mu$.

Risposta: (a) $a=\left(1-\frac{x}{L}\right)g$; (b) $v(x)=\sqrt{\frac{g}{L}\left[(L-x{)}^2-(L-x_0{)}^2\right]}$; (c) $x_m=\frac{L}{1+\mu }$; (d) $v=\sqrt{\frac{Lg}{1+\mu }}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

Problem 2 — Particle in a basket trolley

A basket trolley of mass $M=3.0\mathrm{kg}$ is initially at rest on a horizontal surface. The trolley is free to move (without friction) along the $x$-axis, but it cannot move vertically. A particle of mass $m=1.0\mathrm{kg}$ flies into the trolley from the top left corner at angle $\theta$ and speed $|\vec{v}|=v_0$, as shown in Figure 3(b). The particle then bounces off the walls of the basket in elastic collisions.

Figure 3: (a) dimensions of the trolley basket ($L=1\mathrm{m}$, $H=1\mathrm{m}$); (b) a particle enters the basket at the top left corner with velocity $\vec{v}$.

First ignore gravity acting on the particle (parts (a)–(f)). Suppose the incident angle $\theta$ is small enough that the ball hits the right side of the basket at least once.

(a) [2] Find the velocity along the $x$-axis of the trolley with respect to the ground immediately after the ball hits the right side of the basket for the first time. Answer in terms of $v_0$ and $\theta$; take the right as positive.

(b) [2] Find the velocity along the $x$-axis of the particle with respect to the trolley immediately after the ball hits the right side of the basket for the first time. Answer in terms of $v_0$ and $\theta$; take the right as positive.

(c) [2] Suppose the particle flies over the right side of the basket after bouncing at least once off a side wall. Draw a diagram of a possible trajectory of the particle with respect to the trolley (in the co-moving reference frame of the trolley). Several cases are possible under this condition: draw only one.

(di) [2] Find the maximum value of $\theta$ for which the particle flies over the right side of the basket after bouncing at least once off a side wall.

(dii) [2] Find the maximum value of $\theta$ for which the particle flies over the left side of the basket after bouncing at least twice off the side walls.

(e) [4] Find the values of $\theta$ for which the trolley travels only a finite distance after the particle bounces off the trolley. Answer in terms of $n$, the number of hits on the side walls.

(f) [3] For $\theta =17^{\circ }$, find the total displacement of the trolley (in metres).

Now consider a slightly different cart of unknown width $L$ but with the same height $H=1\mathrm{m}$ and mass $M=3\mathrm{kg}$. The same particle flies into the basket with initial speed $v_0=1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ and angle $\theta =0$, under a downward gravitational acceleration $g=9.8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

(g) [3] Suppose the particle hits the bottom of the basket exactly once and hits one of the side walls at least once. Find the maximum value of $L$ such that the particle just flies away over the right side of the basket.

Risposta: (a) $v_T=\frac{1}{2}{v}_0\cos \theta$; (b) $-v_0\cos \theta$; (c) diagram (in the trolley frame the path follows the law of reflection: see the official solution); (di) $\theta <\arctan \frac{2}{2}=45^{\circ }$; (dii) $\theta =\arctan \frac{2}{3}\approx 33.6^{\circ }$; (e) $\frac{2}{2m+1}<\tan \theta <\frac{2}{2m}$, $m=1,2,3,\dots$; (f) $1.5\mathrm{m}$; (g) $L=\frac{2}{3}{v}_0\sqrt{2H/g}\approx 0.30\mathrm{m}$

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 16, 17, 18.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.16

Problema 2 — Particella in un carrello a cesto

Un carrello portapacchi di massa $M=3.0\mathrm{kg}$ è inizialmente fermo su una superficie orizzontale. Il carrello può muoversi liberamente (senza attrito) lungo l’asse $x$, ma non può muoversi verticalmente. Una particella di massa $m=1.0\mathrm{kg}$ entra nel carrello dall’angolo in alto a sinistra con angolo $\theta$ e velocità $|\vec{v}|=v_0$, come nella Figura 3(b). La particella poi rimbalza sulle pareti del cesto con urti elastici.

Figura 3: (a) dimensioni del cesto del carrello ($L=1\mathrm{m}$, $H=1\mathrm{m}$); (b) una particella entra nel cesto dall’angolo in alto a sinistra con velocità $\vec{v}$.

Si trascura per ora la gravità che agisce sulla particella (punti (a)–(f)). Supponi che l’angolo di incidenza $\theta$ sia abbastanza piccolo perché la pallina urti almeno una volta la parete destra del cesto.

(a) [2] Trova la velocità lungo l’asse $x$ del carrello rispetto al suolo subito dopo che la pallina urta per la prima volta la parete destra del cesto. Esprimi la risposta in funzione di $v_0$ e $\theta$; il verso positivo è verso destra.

(b) [2] Trova la velocità lungo l’asse $x$ della particella rispetto al carrello subito dopo che la pallina urta per la prima volta la parete destra. Esprimi la risposta in funzione di $v_0$ e $\theta$; il verso positivo è verso destra.

(c) [2] Supponi che la particella esca scavalcando la parete destra del cesto dopo almeno un rimbalzo su una parete laterale. Disegna uno schema di una possibile traiettoria della particella rispetto al carrello (nel sistema di riferimento solidale con il carrello). In queste condizioni sono possibili più casi: disegnane uno solo.

(di) [2] Trova il massimo valore di $\theta$ per cui la particella esce scavalcando la parete destra dopo almeno un rimbalzo su una parete laterale.

(dii) [2] Trova il massimo valore di $\theta$ per cui la particella esce scavalcando la parete sinistra dopo almeno due rimbalzi sulle pareti laterali.

(e) [4] Trova i valori di $\theta$ per cui il carrello percorre solo una distanza finita dopo che la particella è rimbalzata via. Esprimi la risposta in funzione di $n$, il numero di urti sulle pareti laterali.

(f) [3] Per $\theta =17^{\circ }$, trova lo spostamento totale del carrello (in metri).

Considera ora un carrello leggermente diverso, di larghezza $L$ incognita ma con la stessa altezza $H=1\mathrm{m}$ e la stessa massa $M=3\mathrm{kg}$. La stessa particella entra nel cesto con velocità iniziale $v_0=1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ e angolo $\theta =0$, soggetta all’accelerazione di gravità $g=9.8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ verso il basso.

(g) [3] Supponi che la particella urti il fondo del cesto esattamente una volta e almeno una volta una delle pareti laterali. Trova il massimo valore di $L$ per cui la particella riesce appena a uscire scavalcando la parete destra del cesto.

Risposta: (a) $v_T=\frac{1}{2}{v}_0\cos \theta$; (b) $-v_0\cos \theta$; (c) schema (nel riferimento del carrello la traiettoria segue la legge della riflessione: vedi la soluzione ufficiale); (di) $\theta <\arctan \frac{2}{2}=45^{\circ }$; (dii) $\theta =\arctan \frac{2}{3}\approx 33,6^{\circ }$; (e) $\frac{2}{2m+1}<\tan \theta <\frac{2}{2m}$, $m=1,2,3,\dots$; (f) $1,5\mathrm{m}$; (g) $L=\frac{2}{3}{v}_0\sqrt{2H/g}\approx 0,30\mathrm{m}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.16

Problem 3 — Gravity tunnel and shell theorem

Newton’s law of gravitation holds only for two point objects. Nevertheless, for finite-sized objects with spherically symmetric mass distributions the gravitational forces are still simple, thanks to the following shell theorem. The gravitational force exerted by a thin (negligible thickness) spherical shell of uniform mass density on a small test mass

• (i) is the same as if all of its mass were concentrated at its centre, if the test mass is outside the shell, and
• (ii) is zero (no net gravitational force), if the test mass is inside the shell.

Figure: shell theorem for (i) $r>R$ and (ii) $r<R$.

In this question the Earth’s density is assumed to be uniform and the Earth’s rotation is ignored. All frictional forces can also be ignored. You may find the following useful: Earth’s mass $M=5.97\times 10^{24}\mathrm{kg}$; Earth’s radius $R=6370\mathrm{km}$. The shortest distance (along the Earth’s surface) between Hong Kong and Moscow is $7.0\times 10^3\mathrm{km}$.

Suppose a straight narrow tunnel is dug through the Earth to connect Hong Kong and Moscow. The inner surface of the tunnel is smooth and the mass dug out is negligible. A small object of mass $m$ is released from rest at the Hong Kong end of the tunnel and moves inside the tunnel to Moscow.

(a) [2] What is the magnitude of the gravitational force acting on the object when it is inside the tunnel at a distance $r$ from the centre of the Earth?

(b) [7] What is the average speed during its journey from Hong Kong to Moscow?

(c) [9] If the object is launched with a downward speed of $9.00km/s$ (along the tunnel), what are its minimum and maximum distances from the Earth’s centre during its journey, including the part after it exits the tunnel at Moscow?

(d) [2] Another tunnel is built in the same way to connect Hong Kong with the antipodal point of the Earth (i.e. the tunnel passes through the Earth’s centre). What is the gravitational potential energy of the object inside the tunnel at a distance $r$ from the centre? Take infinity as the zero of gravitational potential energy and express the answer in terms of $M$, $m$, $R$ and $r$.

Risposta: (a) $F=\frac{GMm}{R^3}r$; (b) $\bar{v}=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{GM}{R}}\sin \frac{\theta }{2}\approx 2.6km/s$ with $\theta =D/R\approx 1.10$ rad (half period $\approx 2530$ s, tunnel length $\approx 6650$ km); (c) $r_{\min }=R\cos \frac{\theta }{2}\approx 5400\mathrm{km}$, $r_{\max }\approx 14000\mathrm{km}$; (d) $U(r)=-\frac{GMm}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right)$

Soluzione:

Official solution (Hong Kong Physics Olympiad 2025, HKAGE), from the official PDF — p. 19, 20.

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.11 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Problema 3 — Tunnel gravitazionale e teorema del guscio

La legge di gravitazione di Newton vale solo per due oggetti puntiformi. Tuttavia, per oggetti estesi con distribuzione di massa a simmetria sferica, le forze gravitazionali restano semplici grazie al seguente teorema del guscio. La forza gravitazionale esercitata da un guscio sferico sottile (di spessore trascurabile) con densità di massa uniforme su una piccola massa di prova

• (i) è la stessa che si avrebbe se tutta la massa del guscio fosse concentrata nel suo centro, se la massa di prova è all’esterno del guscio;
• (ii) è nulla (nessuna forza gravitazionale risultante), se la massa di prova è all’interno del guscio.

Figura: teorema del guscio per (i) $r>R$ e (ii) $r<R$.

In questo problema si suppone che la densità della Terra sia uniforme e si trascura la rotazione terrestre. Si trascurano anche tutti gli attriti. Dati utili: massa della Terra $M=5.97\times 10^{24}\mathrm{kg}$; raggio della Terra $R=6370\mathrm{km}$. La distanza minima (lungo la superficie terrestre) tra Hong Kong e Mosca è $7.0\times 10^3\mathrm{km}$.

Supponi di scavare attraverso la Terra un tunnel rettilineo e stretto che collega Hong Kong e Mosca. La superficie interna del tunnel è liscia e la massa scavata è trascurabile. Un piccolo oggetto di massa $m$ viene lasciato fermo all’imbocco del tunnel a Hong Kong e si muove nel tunnel fino a Mosca.

(a) [2] Qual è il modulo della forza gravitazionale che agisce sull’oggetto quando si trova nel tunnel a distanza $r$ dal centro della Terra?

(b) [7] Qual è la velocità media durante il viaggio da Hong Kong a Mosca?

(c) [9] Se l’oggetto viene lanciato verso il basso lungo il tunnel con velocità $9.00km/s$, quali sono la sua distanza minima e massima dal centro della Terra durante il viaggio, compreso il tratto dopo l’uscita dal tunnel a Mosca?

(d) [2] Un altro tunnel viene costruito allo stesso modo per collegare Hong Kong con il punto antipodale della Terra (cioè il tunnel passa per il centro della Terra). Qual è l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto nel tunnel a distanza $r$ dal centro? Assumi lo zero dell’energia potenziale all’infinito ed esprimi la risposta in funzione di $M$, $m$, $R$ e $r$.

Risposta: (a) $F=\frac{GMm}{R^3}r$; (b) $\bar{v}=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{GM}{R}}\sin \frac{\theta }{2}\approx 2,6km/s$ con $\theta =D/R\approx 1,10$ rad (mezzo periodo $\approx 2530$ s, lunghezza del tunnel $\approx 6650$ km); (c) $r_{\min }=R\cos \frac{\theta }{2}\approx 5400\mathrm{km}$, $r_{\max }\approx 14000\mathrm{km}$; (d) $U(r)=-\frac{GMm}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right)$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.11 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Answers from the official HKPhO 2025 solutions (HKAGE).

Problem	Title	Risposta
1		E
2		E
3		A
4		B
5		D
6		B
7		B
8		C
9		E
10		C
11		B
12		E
13		C
14		E
15		D
16		C
17		A
18		A
19		B
20		D
21	Problem 1 — Rope sliding off a table	(a) $a=\left(1-\frac{x}{L}\right)g$; (b) $v(x)=\sqrt{\frac{g}{L}\left[(L-x{)}^2-(L-x_0{)}^2\right]}$; (c) $x_m=\frac{L}{1+\mu }$; (d) $v=\sqrt{\frac{Lg}{1+\mu }}$
22	Problem 2 — Particle in a basket trolley	(a) $v_T=\frac{1}{2}{v}_0\cos \theta$; (b) $-v_0\cos \theta$; (c) diagram (in the trolley frame the path follows the law of reflection: see the official solution); (di) $\theta <\arctan \frac{2}{2}=45^{\circ }$; (dii) $\theta =\arctan \frac{2}{3}\approx 33.6^{\circ }$; (e) $\frac{2}{2m+1}<\tan \theta <\frac{2}{2m}$, $m=1,2,3,\dots$; (f) $1.5\mathrm{m}$; (g) $L=\frac{2}{3}{v}_0\sqrt{2H/g}\approx 0.30\mathrm{m}$
23	Problem 3 — Gravity tunnel and shell theorem	(a) $F=\frac{GMm}{R^3}r$; (b) $\bar{v}=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{GM}{R}}\sin \frac{\theta }{2}\approx 2.6km/s$ with $\theta =D/R\approx 1.10$ rad (half period $\approx 2530$ s, tunnel length $\approx 6650$ km); (c) $r_{\min }=R\cos \frac{\theta }{2}\approx 5400\mathrm{km}$, $r_{\max }\approx 14000\mathrm{km}$; (d) $U(r)=-\frac{GMm}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right)$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dalle soluzioni ufficiali HKPhO 2025 (HKAGE).

Problema	Titolo	Risposta
1		E
2		E
3		A
4		B
5		D
6		B
7		B
8		C
9		E
10		C
11		B
12		E
13		C
14		E
15		D
16		C
17		A
18		A
19		B
20		D
21	Problema 1 — Fune che scivola da un tavolo	(a) $a=\left(1-\frac{x}{L}\right)g$; (b) $v(x)=\sqrt{\frac{g}{L}\left[(L-x{)}^2-(L-x_0{)}^2\right]}$; (c) $x_m=\frac{L}{1+\mu }$; (d) $v=\sqrt{\frac{Lg}{1+\mu }}$
22	Problema 2 — Particella in un carrello a cesto	(a) $v_T=\frac{1}{2}{v}_0\cos \theta$; (b) $-v_0\cos \theta$; (c) schema (nel riferimento del carrello la traiettoria segue la legge della riflessione: vedi la soluzione ufficiale); (di) $\theta <\arctan \frac{2}{2}=45^{\circ }$; (dii) $\theta =\arctan \frac{2}{3}\approx 33,6^{\circ }$; (e) $\frac{2}{2m+1}<\tan \theta <\frac{2}{2m}$, $m=1,2,3,\dots$; (f) $1,5\mathrm{m}$; (g) $L=\frac{2}{3}{v}_0\sqrt{2H/g}\approx 0,30\mathrm{m}$
23	Problema 3 — Tunnel gravitazionale e teorema del guscio	(a) $F=\frac{GMm}{R^3}r$; (b) $\bar{v}=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{GM}{R}}\sin \frac{\theta }{2}\approx 2,6km/s$ con $\theta =D/R\approx 1,10$ rad (mezzo periodo $\approx 2530$ s, lunghezza del tunnel $\approx 6650$ km); (c) $r_{\min }=R\cos \frac{\theta }{2}\approx 5400\mathrm{km}$, $r_{\max }\approx 14000\mathrm{km}$; (d) $U(r)=-\frac{GMm}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right)$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)