INAO Junior 2009

Section A (10 questions × 3 marks each).

If $a^x=b^y=c^z$ and $b^2=ac$, then $y=?$ [3]

• (a) $\frac{2xz}{x+z}$
• (b) $\frac{xz}{x+z}$
• (c) $\sqrt{2xz}$
• (d) $\sqrt{xz}$

Topic: Mathematics Metodi: Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Sezione A (10 domande × 3 punti ciascuno). **

Se $a^x=b^y=c^z$ e $b^2=ac$, allora $y=?$ [3]

• (a) $\frac{2xz}{x+z}$
• (b) $\frac{xz}{x+z}$
• (c) $\sqrt{2xz}$
• (d) $\sqrt{xz}$

Topic: Mathematics Metodi: Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Each of the figures below, depict a constellation. Find the odd one out. [3]

Quesito 2

• (a)
• (b)
• (c)
• (d)

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

Ciascuna delle figure di seguito raffigura una costellazione. Trova la strana. [3]

Quesito 2

• (a)
• (b)
• (c)
• (d)

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

Gravitational force between two identical solid uniform gold spheres of radius $r$ each in contact is proportional to [3]

• (a) $r^4$
• (b) $r^2$
• (c) $\frac{1}{r^2}$
• (d) $\frac{1}{r^3}$

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.3

La forza gravitazionale tra due identiche sfere d’oro solide uniformi di raggio $r$ che entrano in contatto è proporzionale a [3]

• (a) $r^4$
• (b) $r^2$
• (c) $\frac{1}{r^2}$
• (d) $\frac{1}{r^3}$

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.3

A copper cube and a wooden cube of same size are initially at room temperature. Then they are kept in an enclosure at $50{}^{\circ }\text{C}$. What can we conclude about the temperatures attained by both cubes after 5 hours? [3]

• (a) $T_{\text{copper}}>T_{\text{wood}}$ as thermal conductivity of copper is greater than that of wood.
• (b) $T_{\text{wood}}>T_{\text{copper}}$ as specific heat capacity of wood is greater than that of copper.
• (c) The temperatures will depend on the interplay between specific heat capacity and thermal conductivity of the materials.
• (d) Both temperatures will be practically the same, as they are in the enclosure for 5 hours.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Un cubo di rame e un cubo di legno della stessa dimensione sono inizialmente a temperatura ambiente. Poi sono conservati in un recinto a $50{}^{\circ }\text{C}$. Cosa possiamo concludere sulle temperature raggiunte da entrambi i cubetti dopo 5 ore? [3]

• a) $T_{\text{copper}}>T_{\text{wood}}$ in quanto la conducibilità termica del rame è superiore a quella del legno.
• b) $T_{\text{wood}}>T_{\text{copper}}$ in quanto la capacità calda specifica del legno è superiore a quella del rame.
• c) Le temperature dipenderanno dall’interazione tra la capacità termica specifica e la conducibilità termica dei materiali.
• (d) Entrambe le temperature saranno praticamente le stesse, poiché saranno nel recinto per 5 ore.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

If the product of all the numbers from 1 to 100 is divisible by $2^n$, then what is the maximum possible value for $n$? [3]

• (a) 128
• (b) 97
• (c) 64
• (d) 87

Topic: Mathematics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Se il prodotto di tutti i numeri da 1 a 100 è divisibile da $2^n$, qual è il valore massimo possibile per $n$? [3]

• (a) 128
• (b) 97
• (c) 64
• (d) 87

Topic: Mathematics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

A repairman on the T.V. tower finds his water bottle leaking at the rate of 5 ml per second. He drops the bottle and it reaches the ground straight. If he was at a height of 125 m at that time and there was 200 ml of water left in the bottle, the amount of water left in the bottle (neglecting air resistance) just before it hit the ground was [3]

• (a) 175 ml
• (b) 50 ml
• (c) 100 ml
• (d) 200 ml

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3

Un riparatore al TV. La torre trova la sua bottiglia di acqua che scorre a una velocità di 5 ml al secondo. Lascia cadere la bottiglia e raggiunge il terreno dritto. Se a quel tempo era ad un’altezza di 125 m e c’erano 200 ml di acqua rimaste nella bottiglia, la quantità di acqua rimasta nella bottiglia (negliendosi la resistenza dell’aria) poco prima che colpisse il terreno era [3]

• (a) 175 ml
• (b) 50 ml
• (c) 100 ml
• (d) 200 ml

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3

In which of the following cities, your shadow will be the shortest, on the 15th of June? [3]

• (a) Delhi
• (b) Bhopal
• (c) Bangalore
• (d) Thiruvanantpuram

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

In quale delle seguenti città, la tua ombra sarà la più breve, il 15 giugno? [3]

• a) Delhi
• b) Bhopal
• (c) Bangalore
• (d) Thiruvanantpuram

Topic: Astrophysics Metodi: Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

In the following figure, A, B, C are three light source positions with respect to the obstacle and the screen. Which of these light source positions will result in the longest shadow of the obstacle on the screen? [3]

Quesito 8

• (a) A
• (b) C
• (c) A and C form shadows of same length, while B forms a smaller shadow.
• (d) All the three light sources will form shadows of same length.

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.4

Nella figura seguente, A, B e C sono tre posizioni della fonte luminosa rispetto all’ostacolo e allo schermo. Quale di queste posizioni della fonte luminosa causerà l’ombra più lunga dell’ostacolo sullo schermo? [3]

Quesito 8

• (a) A
• (b) C
• (c) A e C formano ombre di stessa lunghezza, mentre B formano un’ombra più piccola.
• (d) Tutte le tre fonti di luce formeranno ombre di uguale lunghezza.

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Screen Fonte: Testo (PDF) — p.4

Which of the following represents the correct speed-time graph, for a ball bouncing frequently from a fixed surface? [3]

Quesito 9

• (a)
• (b)
• (c)
• (d) None.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4

Quale di queste rappresenta il grafico corretto della velocità-tempo per una palla che rimbalza spesso da una superficie fissa? [3]

Quesito 9

• (a)
• (b)
• (c)
• (d) Nessuna.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4

Two glass tubes filled with water are held vertical and connected by a plastic tube as shown in the figure. Pans are mounted on top of each piston such that

$(\text{weight of the piston}+\text{pan}{)}_A=(\text{weight of the piston}+\text{pan}{)}_B$

radius of the piston $A=1.0$ cm and radius of piston $B=1.5$ cm. A 30.0 gm of mass is added in pan B, what is the mass required in pan A to balance 30.0 gm in pan B? [3]

Quesito 10

• (a) 67.5 gm
• (b) 30.0 gm
• (c) 13.3 gm
• (d) 24.0 gm

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4

Due tubi di vetro riempiti di acqua sono tenuti verticali e collegati da un tubo di plastica come mostrato nella figura. Le pistonate sono montate in modo tale che

$(\text{weight of the piston}+\text{pan}{)}_A=(\text{weight of the piston}+\text{pan}{)}_B$

il raggio del pistone $A=1.0$ cm e il raggio del pistone $B=1.5$ cm. In parte B si aggiunge una massa di 30,0 gm, quale è la massa necessaria in parte A per bilanciare 30,0 gm in parte B? [3]

Quesito 10

• (a) 67.5 gm
• (b) 30.0 gm
• (c) 13.3 gm
• (d) 24.0 gm

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4

Section B (4 questions × 5 marks each — any number of alternatives may be correct).

Which of the following observations support the statement that “Every system tends to adjust by itself to have minimum Potential Energy”? [5]

• (a) Andromeda galaxy and Milky Way are approaching each other.
• (b) Two unlike, free charges move towards each other.
• (c) External work is required to compress a spring.
• (d) A powerful magnet can deflect a compass needle from equilibrium position.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning Objects: Spring, Magnet, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.5

Sezione B (4 domande × 5 punti ciascuno qualsiasi numero di alternative può essere corretto).

Quali delle seguenti osservazioni corrispondono alla affermazione che “Ogni sistema tende ad adattarsi da solo per avere un minimo di energia potenziale”? [5]

• (a) La galassia di Andromeda e la Via Lattea si stanno avvicinando.
• b) Due cariche gratuite, diverse, si spostano l’una verso l’altra.
• c) Per comprimere una molla è necessario un lavoro esterno.
• (d) Un potente magnete può deviare un ago da un equilibrio.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning Objects: Spring, Magnet, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.5

In one of the truly revolutionary finds of the 20th century, Howard Carter discovered the tomb of Egyptian Pharaoh (emperor) Tutankhamun in 1922. Along with the mummy following items were also removed from the tomb. Which of these items could have been carbon dated to fix the period of the Pharaoh? [5]

• (a) Fragments of glass
• (b) Bronze Razor
• (c) Dried Fruits
• (d) Leather Shoe

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

In uno dei ritrovamenti veramente rivoluzionari del XX secolo, Howard Carter scoprì la tomba del faraone egiziano (imperatore) Tutankhamun nel 1922. Insieme alla mummia, i seguenti oggetti sono stati rimossi dalla tomba. Quale di questi elementi potrebbe essere stato datato al carbonio per fissare il periodo del faraone? [5]

• a) Fragmenti di vetro
• (b) Raso di bronzo
• (c) Frutta secca
• (d) Scarpe di pelle

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

There is a regular bus service between Pune and Mumbai (180 km apart) at every hour from both the ends, from 4am to 11pm. These buses run at average speed of 45 km/hr. Taxies also run on the same route at 60 km/hr with regular interval of 30 min from 5am to 10pm. Following statements are based upon the number of taxies or buses crossed (not overtaken) only during travelling i.e. excluding instances of arrival and departure. Select the correct statement(s). [5]

• (a) First ST bus crosses 6 taxies.
• (b) Last taxi crosses 5 buses.
• (c) Bus left at 8pm crosses 10 taxies.
• (d) Taxi left at 12 noon crosses 6 buses.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

C’è un servizio di autobus regolare tra Pune e Mumbai (180 km di distanza) ogni ora da entrambe le estremità, dalle 4 al 11 di sera. Questi autobus hanno una velocità media di 45 km/h. I taxi percorrono anche la stessa rotta a 60 km/h con intervalli regolari di 30 minuti dalle 5 alle 22. Le seguenti dichiarazioni si basano sul numero di taxi o autobus attraversati (non superati) solo durante il viaggio, cioè esclusi i casi di arrivo e di partenza. Selezionare la corretta affermazione (s). [5]

• (a) Il primo autobus ST attraversa sei taxi.
• (b) L’ultimo taxi attraversa 5 autobus.
• (c) L’autobus partito alle 20:00 attraversa 10 taxi.
• (d) Il taxi partito alle 12 del pomeriggio attraversa 6 autobus.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Which of the following statement(s) is(are) useful, in estimating distances in the Universe? [5]

• (a) Some time Venus can be seen transiting over the solar disc.
• (b) Stars with no proper motion appear to change their position in the sky when viewed six months apart.
• (c) Stars exhibit Doppler shift.
• (d) All supernovae of Type Ia, have same absolute brightness.

Topic: Astrophysics Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5

Quale delle seguenti affermazioni è utile per stimare le distanze nell’Universo? [5]

• (a) A volte si può vedere Venere transitare sul disco solare.
• (b) Le stelle senza movimento corretto sembrano cambiare posizione nel cielo quando sono viste a sei mesi di distanza.
• (c) Le stelle mostrano il turno di Doppler.
• (d) Tutte le supernovai di tipo Ia, hanno la stessa luminosità assoluta.

Topic: Astrophysics Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5

Section C (analytical questions).

(8 marks) What will be the area of the largest cyclic quadrilateral that can be inscribed in a given circle? Justify your answer. [8]

Topic: Mathematics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Sezione C (domande analitiche).

(8 punti) Qual è l’area del più grande quadrilatero ciclico che si possa inserire in un circolo? giustifica la tua risposta. [8]

Topic: Mathematics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

(12 marks) Jayshree claimed that she saw a solar eclipse when the size of the solar disk was 26’ and that of the lunar disk was 30’. She also claimed that at the time of the maximum eclipse, distance between the centres of the two disks was 7’. Was she able to witness a total solar eclipse? If yes, then find duration of the eclipse. If no, then find the percentage of the solar disk covered at the time of the maximum eclipse. (Given: ${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{26}\right)\approx 0.49\pi$ rad). [12]

Topic: Astrophysics, Geometric Optics Metodi: Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Star, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.6

Jayshree ha affermato di aver visto un eclissi solare quando la dimensione del disco solare era di 26’ e quella del disco lunare era di 30’. Ha inoltre affermato che al momento dell’eclissi massimo, la distanza tra i centri dei due dischi era di 7’. E’ stata in grado di assistere ad un’eclissi solare totale? Se sì, allora trova la durata dell’eclissi. Se no, allora trova la percentuale del disco solare coperto al momento dell’eclissi massimo. (Dato: ${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{26}\right)\approx 0.49\pi$ rad). [12]

Topic: Astrophysics, Geometric Optics Metodi: Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Star, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.6

(8 marks) The famous Indian astronomer, Aryabhata, expressed the value of $\pi$ in what we now know as continuing fractions, i.e.

$\pi =3.1416=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}$

where $a$, $b$, $c$, $d$ are positive integers. Find $a$, $b$, $c$, $d$. [8]

Topic: Mathematics Metodi: Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

(8 punti) Il famoso astronomo indiano, Aryabhata, ha espresso il valore di $\pi$ in quello che oggi conosciamo come frazioni continue, cioè

$\pi =3.1416=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}$

dove $a$, $b$, $c$, $d$ sono integri positivi. Trova $a$, $b$, $c$, $d$. [8]

Topic: Mathematics Metodi: Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Mehul performed an experiment to verify Ohm’s law. He connected the following circuit to measure voltage and current.

Quesito 18

Here, $R$ is the unknown resistance, $V$ the voltmeter, $A$ the ammeter and $K$ is the key. He obtained following readings:

V (v)	1	2	3	4	5	6
I (mA)	1.40	2.83	4.26	5.68	7.11	8.54

• (a) (9 marks) Plot appropriate graph to represent the data. [9]
• (b) (2 marks) Find the value of $R$. [2]
• (c) (1 mark) From the graph, what will be the voltage across the resistance when $I=8$ mA? [1]

Topic: Circuits Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization Objects: Resistor, Switch, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6

Mehul ha eseguito un esperimento per verificare la legge di Ohm. Ha collegato il circuito seguente per misurare tensione e corrente.

Quesito 18

Qui, $R$ è la resistenza sconosciuta, $V$ il voltmeter, $A$ l’ampimetro e $K$ è la chiave. Ha ottenuto le seguenti letture:

V (v)	1	2	3	4	5	6
I (mA)	1.40	2.83	4.26	5.68	7.11	8.54

• a) (9 punti) Disegnare un grafico appropriato per rappresentare i dati. [9]
• b) (2 punti) Trova il valore di $R$. [2]
• (c) (1 punto) Dal grafico, quale sarà la tensione attraverso la resistenza quando $I=8$ mA? [1]

Topic: Circuits Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization Objects: Resistor, Switch, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6

(10 marks) If the entire surface of the earth is covered using A4 size (size of this question paper) sheets of paper, what will be the total weight of paper used? [10]

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

(10 punti) Se l’intera superficie della terra è coperta con fogli di carta di dimensioni A4 (dimensione di questo questionario), quale sarà il peso totale della carta utilizzata? [10]

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6