Russia 2019

(10 Points) Analyze the system that consists of two pendulums. The first pendulum has mass M and length 2L, and the second pendulum has mass m and length L, as seen in the figure below. The first pendulum is released from angle $9 0^{\circ}$ and collides with the second pendulum. After collision, the first pendulum reaches $9 0^{\circ}$ , whereas the second pendulum managed to rotate in a full circle. Determines:

A. The coefficient restitution e and
B. The ratio of the two masses, M/m

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.1

10 punti Analizzare il sistema che consiste di due penduli. Il primo pendolo ha massa M e lunghezza 2L, e il secondo pendolo ha massa m e lunghezza L, come si vede in la figura qui sotto. Il primo pendolo viene rilasciato da un angolo $9 0^{\circ}$ e colpisce il pendolo secondo pendolo. Dopo la collisione, il primo pendolo raggiunge $9 0^{\circ}$ , mentre il secondo Il pendolo è riuscito a girare in un cerchio completo. Determina:

A. Il coefficiente di restituzione e
B. Il rapporto delle due masse, M/m

(10 Points) A hollow cylinder with radius r and mass m is located at the edge of a table. If the cylinder rolled down from rest then loses contact with the table at angle $θ$ . Determine:

A. The following $θ$
B. The velocity of center of mass at that point The acceleration of gravity g is known.

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1

10 punti Un cilindro vuoto con raggio r e massa m si trova al bordo di un tavolo. Se il il cilindro è rotolato dal riposo e perde il contatto con il tavolo all’angolo $θ$ . Determinazione:

A. Le seguenti $θ$
B. La velocità del centro di massa in quel punto L’accelerazione della gravità g è nota.

(15 Points) Four cars A, B, C, D respectively are driving in a two-way direction highway (East- West) with a constant velocity. car A, car B, and Car C are driving toward the east, while car D is driving toward the west. It is known: $\cdot$ Car A passes through car B at 10.00. $\cdot$ Car A passes through car C at 11.00. $\cdot$ Car A is in the same position as car D at 12.00. $\cdot$ Car B is in the same position as car D at 14.00. $\cdot$ Car C is in the same position as car D at 16.00.

A. Determine the time when car B passes through car C.
B. At a certain time interval analysed from east to west, the order of the cars are A-D-B-C, determine when car B is located exactly in the middle of car D and car C

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

15 punti) Quattro auto A, B, C e D, rispettivamente, sono in moto su autostrada a due vie (Est- Occidente) con una velocità costante. Auto A, auto B e auto C stanno guidando verso est, mentre la macchina D sta guidando verso ovest. È noto: $\cdot$ Car A passes through car B at 10.00. $\cdot$ La vettura A passa attraverso la macchina C alle 11.00. $\cdot$ La vettura A è nella stessa posizione della vettura D alle 12.00. $\cdot$ La vettura B è nella stessa posizione della vettura D alle 14.00. $\cdot$ La vettura C è nella stessa posizione della vettura D alle 16.00.

A. Determina il momento in cui la vettura B passa attraverso la vettura C.
B. In un certo intervallo di tempo analizzato da est a ovest, l’ordine delle auto è A-D-B-C, determinare quando la macchina B si trova esattamente nel mezzo della macchina D e della macchina C

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

(15 Points) Two objects initially are located above a surface at the same position (Assume the objects as particle). At time t = 0 the two objects are given velocity $v_{1}$ and $v_{2}$ respectively. The velocity of the first object makes an angle $θ_{1}$ with respect to the horizontal and the velocity of the second object makes an angle $θ_{2}$ with respect to the horizontal as seen in the figure. a. Determine the requirement for the magnitude and the angle of released of the two objects for the velocity of the two objects perpendicular at least once! b. If the velocity of the two objects becomes perpendicular to each other happened twice, determine the time interval! c. Determine the displacement of the first object from the first occurrence to the second occurrence! d. Determine the displacement of the second object from the first occurrence to the second occurrence!

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

15 punti) Due oggetti inizialmente si trovano sopra una superficie nella stessa posizione (assumiamo che il oggetti come particelle). Al tempo t = 0 i due oggetti hanno velocità $v_{1}$ e $v_{2}$ rispettivamente. La velocità del primo oggetto fa un angolo $θ_{1}$ rispetto al L’angolo $θ_{2}$ rispetto alla velocità del secondo oggetto è orizzontale e l’orizzontale come si vede nella figura. a. Determinare il requisito di grandezza e angolo di rilascio dei due gli oggetti per la velocità dei due oggetti perpendicolari almeno una volta! b. Se la velocità dei due oggetti diventa perpendicolare l’uno all’altro è successo Due volte, determinate l’intervallo di tempo! c. Determinare il spostamento del primo oggetto dal primo evento al Seconda incidenza! d. Determinare il spostamento del secondo oggetto dalla prima manifestazione al Seconda incidenza!

(13 Points) In a reference frame (earth) that rotates about O with angular velocity $ω_{0}$ , there exist a platform A which is located at distance R from the center of reference O. Assume that the platform rotate without friction from it axis. Above platform A, there exist some people which spread across the edge of the platform, so that it has total mass of M (Assume the center of mass is located exactly above the axis) and the moment inertia $I_{1}$ . Initially, the platform moves together with the reference frame (earth), so that $ω_{A, O} = 0$ (There is no relative motion between platform A in respect to the reference frame O). But, if analyzed from a non-inertial reference frame (For example from space), the platform rotates with angular velocity $ω_{A, N I}^{'} = 0$ and also revolves about the center of reference O. Like the particles of tornado that rotate and move toward their center (where pressure is lower) the people move toward the center of platform A, so that the moment inertia of platform A decreased to $I_{2}$ . Assume the center of mass does not change along the motion, Determine: a. Final angular velocity $A (ω_{A, O})$ relative to the reference frame (earth)! Declare your answer in M, R, $I_{1}$ , $I_{2}$ , and $ω_{0}$ . Is the rotation clockwise or anti-clockwise? b. Energy that must be released by those people to change the moment inertia of platform A from $I_{1}$ to $I_{2}$ ? Declare your answer in M, R, $I_{1}$ , $I_{2}$ , and $ω_{0}$ .

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

13 punti) In un quadro di riferimento (terra) che ruota intorno a O con velocità angolare $ω_{0}$ , esistono una piattaforma A che si trova a distanza R dal centro di riferimento O. Supponiamo che la piattaforma ruota senza attrito dal suo asse. Sopra la piattaforma A, esistono alcune persone che si diffondono sul bordo della piattaforma, in modo che ha massa totale di M (supponendo che il centro di massa sia situato esattamente sopra l’asse) e il momento inerzia $I_{1}$ . Inizialmente, la piattaforma si muove insieme alla cornice di riferimento (terra), In modo tale che $ω_{A, O} = 0$ (Non vi sia movimento relativo tra la piattaforma A rispetto alla quadro di riferimento O). Tuttavia, se analizzato da un quadro di riferimento non inerziale (ad esempio, da spazio), la piattaforma ruota con velocità angolare $ω_{A, N I}^{'} = 0$ e ruota anche circa il centro di riferimento O. Come le particelle di un tornado che ruotano e si spostano verso il loro centro (dove la pressione è inferiore) le persone si spostano verso il centro della piattaforma A, in modo che il momento inerzia della piattaforma A diminuita a $I_{2}$ . Supponiamo che il centro di massa non cambie L’articolo 5 del regolamento (CE) n. a. Velocità angolare finale $A (ω_{A, O})$ rispetto al quadro di riferimento (terra)! Declare la risposta in M, R, $I_{1}$ , $I_{2}$ e $ω_{0}$ . La rotazione è in senso orario o in senso antiorario? b. L’energia che deve essere rilasciata da queste persone per cambiare l’inerzia del momento piattaforma A da $I_{1}$ a $I_{2}$ ? Declare la tua risposta in M, R, $I_{1}$ , $I_{2}$ e $ω_{0}$ .

(12 Points) A small object of mass m is tied to a ceiling of a room with a rope which length is negligible. The room has mass M and has height H and located above a spring with spring constant k. The system is in equilibrium. at t = 0 the rope is cut so that mass m fall with acceleration g relative to ground. Assume the value of M is very large. Determine the time it takes for mass m to hit the surface of the room. (Hint: for a small value of x, $cos x \approx 1 - x^{2} /2$ ),

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: String, Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.4

(12 punti) Un piccolo oggetto di massa m è legato al soffitto di una stanza con una corda la cui lunghezza è

Non è così. La stanza ha massa M e ha altezza H e si trova sopra una sorgente con costante di primavera k. Il sistema è in equilibrio. a t = 0 la corda viene tagliata in modo che la massa m cadere con accelerazione g rispetto al suolo. Supponiamo che il valore di M sia molto grande. Determina il tempo necessario per raggiungere la superficie della stanza. (Signore: per un valore di x, $cos x \approx 1 - x^{2} /2$ ),

(12 Points) Three particles A, B, and C that have the same mass m can slide along the Circular smooth path in a horizontal platform as seen from the figure below. Particle B and C are connected with a spring with spring constant k and natural length R. Initially the B and C system is in equilibrium along the radial line and particle A moved with velocity $v_{0}$ . If the coefficient restitution between A and B is e, determine the maximum extension of the spring throughout the motion.

Topic: Conservation of Momentum, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.5

(12 punti) Tre particelle A, B e C che hanno la stessa massa m possono scivolare lungo la Circolare percorso liscio in piattaforma orizzontale, come si vede dalla figura seguente. Particelle B e Le C sono collegate ad una molla con una costante molla k e una lunghezza naturale R. Inizialmente il sistema B e C sono in equilibrio lungo la linea radial e la particella A si muove con velocità $v_{0}$ . Se il coefficiente di restituzione tra A e B è e, determinare il l’estensione massima della molla durante il movimento.

(13 Points) A homogeneous rubber has mass m and can be thought as a spring which has spring constant k. When the rubber is in its unstretched condition, the rubber shape looks like a ring with radius r (Ignore the size of the cross section of the rubber), And then the rubber is placed horizontally at the smooth surface of a cut cone with the top radius of r, and the bottom radius of R > r and with height t, Acceleration of g directed to the bottom. Determine:

A. The extension of the radius of the rubber declared in m, g, k, r, R, and t.
B. The height of the rubber from the bottom of the cone.

Topic: Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.5

13 punti) Una gomma omogenea ha una massa m e può essere considerata come una sorgente che ha una sorgente costante k. Quando la gomma è in stato non allungato, la forma della gomma sembra come un anello con raggio r (ignorare la dimensione della sezione trasversale della gomma), e poi la gomma è collocata orizzontalmente sulla superficie liscia di un cono tagliato con la parte superiore radius di r, e il radius inferiore di R > r e con altezza t, Accelerazione di g diretto verso il basso. Determinazione:

A. L’estensione del raggio della gomma dichiarata in m, g, k, r, R e t.
B. L’altezza della gomma dal fondo del cono.

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