INPhO 2011

A long wire of radius '$a$' is carrying a direct current $I$. From its surface at point $A$, an electron of charge $-e$ ($e>0$) escapes with velocity $v_0$ perpendicular to this surface (see Fig.(1)). Ignore gravity.

[ 2.5 + 4 + 1.5 = 8 ]

Quesito 1

(a) At $x$ and $y$ the components of the velocity are $v_x$ and $v_y$ respectively. Obtain the components of force $F_x$ and $F_y$ on the electron at any arbitrary point $\{x,y\}$.

$F_x=$ $F_y=$

(b) Integrate the equation of motion to obtain $v_x$.

$v_x=$

(c) Find the maximum distance $x_{max}$ of electron from the axis of the wire before it turns back.

$x_{max}=$

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

Un filo lungo di raggio $a$ porta una corrente continua $I$. Dalla sua superficie al punto $A$, un elettrone di carica $-e$ ($e>0$) scappa con velocità $v_0$ perpendicolare a questa superficie (vedi figura 1.) Ignora la gravità.

[ 2.5 + 4 + 1.5 = 8 ]

Quesito 1

a) A $x$ e $y$ le componenti della velocità sono rispettivamente $v_x$ e $v_y$. Ottenere le componenti di forza $F_x$ e $F_y$ sull’elettrone in qualsiasi punto arbitrario $\{x,y\}$.

$F_x=$ $F_y=$

b) Integrare l’equazione di movimento per ottenere $v_x$.

$v_x=$

c) Trova la distanza massima $x_{max}$ di elettrone dall’asse del filo prima che si faccia ritorno.

$x_{max}=$

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

In a modified Young’s double slit experiment the region between screen and slits is immersed in a liquid whose refractive index varies with time $t$ (in seconds) as ${\mu }_l=2.50-0.25t$ until it reaches a steady state value $1.25$. The distance between the slits and the screen is $D=1.00$ m and the distance between the slits $S_1$ and $S_2$ is $d=2.00\times 10^{-3}$ m. A glass plate of thickness $t_g=3.60\times 10^{-5}$ m and refractive index ${\mu }_g=1.50$ is introduced in front of one of the slits. Note that the illuminations at $S_1$ and $S_2$ are from coherent sources with zero phase difference.

[ 2.5 + 2.5 + 1 + 2 + 2 = 10 ]

Quesito 2

(a) Consider the point $P$ on the screen at distance $y$ from $O$ ($S_{1}O=S_{2}O$; $OP=y$). Obtain the expression for the optical path difference $\Delta x$ in terms of the refractive indices and the lengths mentioned in the problem.

$\Delta x=$

(b) Now let $P$ denote the central maximum. Obtain the expression for $y$ as a function of time.

$y=$

(c) Obtain the time ($t_m$) when central maximum is at point $O$, equidistant from $S_1$ and $S_2$ i.e. $S_{1}O=S_{2}O$.

$t_m=$

(d) What is the speed ($v$) of the central maxima when it is at $O$.

$v=$

(e) If monochromatic light of wavelength 6000 Å is used to illuminate the slits, determine the time interval ($\Delta t$) between two consecutive maxima at $O$ before steady state is reached.

$\Delta t=$

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Slit, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.5

In un esperimento modificato di Young, la regione tra schermo e fessura è immersa in un liquido il cui indice di rifrazione varia con il tempo $t$ (in secondi) da ${\mu }_l=2.50-0.25t$ fino a raggiungere un valore di stato stazionario $1.25$. La distanza tra le fessure e lo schermo è $D=1.00$ m e la distanza tra le fessure $S_1$ e $S_2$ è $d=2.00\times 10^{-3}$ m. Si introduce una piastra di vetro di spessore $t_g=3.60\times 10^{-5}$ m e indice di rifrazione ${\mu }_g=1.50$ davanti a una delle fessure. Si noti che le illuminazioni a $S_1$ e $S_2$ provengono da fonti coerenti con differenza di fase zero.

[ 2.5 + 2.5 + 1 + 2 + 2 = 10 ]

Quesito 2

a) Considerare il punto $P$ sullo schermo a distanza $y$ da $O$ ($S_{1}O=S_{2}O$; $OP=y$). Ottenere l’espressione per la differenza di percorso ottico $\Delta x$ in termini di indici di rifrazione e lunghezze menzionate nel problema.

$\Delta x=$

b) Ora $P$ indica il massimo centrale. Ottenere l’espressione per $y$ come funzione del tempo.

$y=$

c) Ottenere l’ora ($t_m$) quando il massimo centrale è al punto $O$, equidistante da $S_1$ e $S_2$, cioè $S_{1}O=S_{2}O$.

$t_m=$

d) Qual è la velocità ($v$) della massima centrale quando è a $O$.

$v=$

e) Se per illuminare le fessure si utilizza una luce monocromatica di lunghezza d’onda 6000 Å, determinare l’intervallo di tempo ($\Delta t$) tra due massime consecutive a $O$ prima di raggiungere lo stato di stabilità.

$\Delta t=$

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Slit, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.5

A Carnot engine cycle is shown in the Fig. (2). The cycle runs between temperatures $T_H=\alpha T_0$ and $T_L=T_0$ ($\alpha >1$). Minimum and maximum volume at state 1 and state 3 are $V_0$ and $n{V}_0$ respectively. The cycle uses one mole of an ideal gas with $C_P/C_V=\gamma$. Here $C_P$ and $C_V$ are the specific heats at constant pressure and volume respectively. You must express all answers in terms of the given parameters $\{\alpha ,n,T_0,V_0,\gamma \}$ and universal gas constant $R$.

[ 3 + 4 + 1 = 8 ]

Quesito 3

(a) List $\{P,V,T\}$ of all the four states.

State	$P$	$V$	$T$
1	$P_1=$	$V_1=$	$T_1=$
2	$P_2=$	$V_2=$	$T_2=$
3	$P_3=$	$V_3=$	$T_3=$
4	$P_4=$	$V_4=$	$T_4=$

(b) Calculate the work done by the engine in each process: $W_{12}$, $W_{23}$, $W_{34}$, $W_{41}$.

$W_{12}=$ $W_{23}=$ $W_{34}=$ $W_{41}=$

(c) Calculate $Q$, the heat absorbed in the cycle.

$Q=$

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling Objects: Heat Engine, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7

Un ciclo del motore Carnot è mostrato nella figura. (2). Il ciclo si svolge tra le temperature $T_H=\alpha T_0$ e $T_L=T_0$ ($\alpha >1$). Il volume minimo e il volume massimo allo stato 1 e allo stato 3 sono rispettivamente $V_0$ e $n{V}_0$. Il ciclo utilizza un mol di gas ideale con $C_P/C_V=\gamma$. Qui $C_P$ e $C_V$ sono rispettivamente i calori specifici a pressione costante e volume. È necessario esprimere tutte le risposte in termini di parametri $\{\alpha ,n,T_0,V_0,\gamma \}$ e costante universale del gas $R$.

[ 3 + 4 + 1 = 8 ]

Quesito 3

a) Elenco $\{P,V,T\}$ di tutti e quattro gli Stati.

State	$P$	$V$	$T$
1	$P_1=$	$V_1=$	$T_1=$
2	$P_2=$	$V_2=$	$T_2=$
3	$P_3=$	$V_3=$	$T_3=$
4	$P_4=$	$V_4=$	$T_4=$

b) Calcolare il lavoro svolto dal motore in ciascun processo: $W_{12}$, $W_{23}$, $W_{34}$, $W_{41}$.

$W_{12}=$ $W_{23}=$ $W_{34}=$ $W_{41}=$

c) Calcolare $Q$, il calore assorbito nel ciclo.

$Q=$

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling Objects: Heat Engine, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7

Consider a modification of Coulomb’s law by replacing it with the force between two charges $q_1$, $q_2$ separated by $\vec{r}$ given by

$\vec{F}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_0}\left[\frac{1}{r^2}+\frac{\beta }{r^3}\right]\hat{r}$

where $\beta$ is a constant. As far as possible express your answers in terms of the standard Bohr radius $a_o=4\pi {ϵ}_0{\hslash }^2/m{e}^2$ where the symbols have their usual meanings.

[ 3 + 4 + 1 = 8 ]

(a) Obtain the Bohr radius ($r_n$) for this modified law.

$r_n=$

(b) Obtain the expression for the energy ($E_n$) for the $n^{th}$ orbit of this modified law.

$E_n=$

(c) Take $\beta$ to be small ($\beta =0.1a_0$). Take the binding energy of the standard Bohr hydrogen atom to be 13.60 eV. Calculate the transition energy ($\Delta E$) from $n=2$ to $n=1$ for this modified law. For your calculation you may ignore terms of order ${\beta }^2$ and higher.

$\Delta E=$

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling Objects: Atom, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.12

Considera una modifica della legge di Coulomb sostituendola con la forza tra due cariche $q_1$, $q_2$ separate da $\vec{r}$ data da

$\vec{F}=\frac{q_1{q}_2}{4\pi {ϵ}_0}\left[\frac{1}{r^2}+\frac{\beta }{r^3}\right]\hat{r}$

in cui $\beta$ è una costante. Per quanto possibile, esprimere le risposte in termini di raggio di Bohr standard $a_o=4\pi {ϵ}_0{\hslash }^2/m{e}^2$, dove i simboli hanno il loro significato abituale.

[ 3 + 4 + 1 = 8 ]

(a) Ottenere il raggio di Bohr ($r_n$) per questa legge modificata.

$r_n=$

b) Ottenere l’espressione per l’energia ($E_n$) per l’orbita $n^{th}$ della presente legge modificata.

$E_n=$

(c) Prendere $\beta$ per essere piccolo ($\beta =0.1a_0$). Prendiamo l’energia di legame dell’atomo di idrogeno Bohr standard per essere 13,60 eV. Calcolare l’energia di transizione ($\Delta E$) da $n=2$ a $n=1$ per questa legge modificata. Per il calcolo si possono ignorare i termini di ordine ${\beta }^2$ e superiori.

$\Delta E=$

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling Objects: Atom, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.12

Consider the motion of electrons in a metal in the presence of electric ($\vec{E}$) and magnetic ($\vec{B}$) fields. Due to collisions there arises a “retarding” force on the electron which is modeled by $m\vec{v}/\tau$ where $m$ is the electron mass, $\vec{v}$ its velocity and $\tau$ a typical collision time. Take the magnitude of the electron charge to be $e$ (note $e$ is positive). Ignore gravity.

[ 1 + 2 + 2.5 + 3 + 2 + 1.5 = 12 ]

(a) State the equation of motion of the electron.

(b) Consider the case $\vec{E}=0$ and $\tau \to \infty$. Obtain the expression for the angular cyclotron frequency ${\omega }_c$ and its numerical value for the case $B=5.70$ T.

${\omega }_c=$ $\text{Value of }{\omega }_c=$

(c) Consider the case of $\vec{B}=0$ and $\vec{E}=E\hat{i}$. If $n$ is the number of free (valence) electrons per unit volume, obtain the expression for the conductivity ${\sigma }_0$ of the sample. Obtain also the numerical value for the conductivity of Cu given that $n=8.45\times 10^{28}{\text{m}}^{-3}$ and $\tau =2.48\times 10^{-14}$ s. We assume steady state i.e. the acceleration dies down and terminal speed is attained.

${\sigma }_0=$ $\text{Value of }{\sigma }_0=$

(d) Consider the case $\vec{E}=E_y\hat{j}+E_z\hat{k}$ ($E_x=0$) and $\vec{B}=B\hat{k}$. Assume steady state and relate $\{j_x,j_y,j_z\}$ to $\{E_x,E_y,E_z\}$. Here $j$‘s are the current densities (current per unit area).

$j_x={\sigma }_{xy}{E}_y+{\sigma }_{xz}{E}_z$ $j_y={\sigma }_{yy}{E}_y+{\sigma }_{yz}{E}_z$ $j_z={\sigma }_{zy}{E}_y+{\sigma }_{zz}{E}_z$

where ${\sigma }_{ij}$‘s are to be written in terms of ${\sigma }_0$, ${\omega }_c$ and $\tau$.

${\sigma }_{xy}={\sigma }_{xz}=$ ${\sigma }_{yy}={\sigma }_{yz}=$ ${\sigma }_{zy}={\sigma }_{zz}=$

(e) Sketch $j_x$ ($y$-axis) versus $B$ ($x$-axis).

(f) Taking Cu as an example, for what value of the magnetic field will $j_x$ be a maximum?

$B=$

Topic: Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.13

Considerare il movimento degli elettroni in un metallo in presenza di campi elettrici ($\vec{E}$) e magnetici ($\vec{B}$). A causa delle collisioni si verifica una forza di “retardo” sull’elettrone che è modellata da $m\vec{v}/\tau$ dove $m$ è la massa dell’elettrone, $\vec{v}$ la sua velocità e $\tau$ un tempo di collisione tipico. Prendete la grandezza della carica elettronica da $e$ (nota $e$ è positiva). Ignora la gravità.

[ 1 + 2 + 2.5 + 3 + 2 + 1.5 = 12 ]

a) Indicare l’equazione di movimento dell’elettrone.

b) Considerate i casi $\vec{E}=0$ e $\tau \to \infty$. Ottenere l’espressione per la frequenza angolare del ciclotrone ${\omega }_c$ e il suo valore numerico per il caso $B=5.70$ T.

${\omega }_c=$ $\text{Value of }{\omega }_c=$

c) Considerate il caso di $\vec{B}=0$ e $\vec{E}=E\hat{i}$. Se $n$ è il numero di elettroni liberi (valenza) per unità di volume, si ottiene l’espressione per la conduttività ${\sigma }_0$ del campione. Ottenere anche il valore numerico della conduttività di Cu dato che $n=8.45\times 10^{28}{\text{m}}^{-3}$ e $\tau =2.48\times 10^{-14}$ s. Supponiamo stato di stabilità, cioè l’accelerazione si abbassa e si raggiunge la velocità terminale.

${\sigma }_0=$ $\text{Value of }{\sigma }_0=$

d) Considerare i casi $\vec{E}=E_y\hat{j}+E_z\hat{k}$ ($E_x=0$) e $\vec{B}=B\hat{k}$. Assumere lo stato di stabilità e correlare $\{j_x,j_y,j_z\}$ a $\{E_x,E_y,E_z\}$. Qui $j$ sono le densità di corrente (corente per unità di superficie).

$j_x={\sigma }_{xy}{E}_y+{\sigma }_{xz}{E}_z$ $j_y={\sigma }_{yy}{E}_y+{\sigma }_{yz}{E}_z$ $j_z={\sigma }_{zy}{E}_y+{\sigma }_{zz}{E}_z$

dove ${\sigma }_{ij}$ devono essere scritti in termini di ${\sigma }_0$, ${\omega }_c$ e $\tau$.

${\sigma }_{xy}={\sigma }_{xz}=$ ${\sigma }_{yy}={\sigma }_{yz}=$ ${\sigma }_{zy}={\sigma }_{zz}=$

e) Sketch $j_x$ ($y$-asse) contro $B$ ($x$-asse).

(f) Prendendo come esempio Cu, per quale valore del campo magnetico $j_x$ sarà il massimo?

$B=$

Topic: Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.13

Two blocks, say $B$ and $C$, each of mass $m$ are connected by a light spring of force constant $k$ and natural length $L$. The whole system is resting on a frictionless table such that $x_B=0$ and $x_C=L$, where $x_B$ and $x_C$ are the coordinates of the blocks $B$ and $C$ respectively. Another block (named $A$) of mass $M$, which is travelling at speed $V_0$ collides head-on with the block $B$ at an instant $t=0$ (see Fig. (3)).

[ 3 + 2 + 2 + 3 = 10 ]

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% table
\draw[line width=1.2pt] (-0.5,0) -- (8,0);
% block A
\draw (0.5,0) rectangle (1.6,1.1) node[midway] {$A$};
% V0 arrow
\draw[->] (0.6,1.5) -- (1.7,1.5);
\node at (1.1,1.85) {$V_0$};
% block B
\draw (3.5,0) rectangle (4.6,1.0) node[midway] {$B$};
% spring (zig-zag)
\draw (4.6,0.5) -- (4.8,0.5) -- (4.95,0.75) -- (5.25,0.25) -- (5.55,0.75) -- (5.85,0.25) -- (6.0,0.5) -- (6.2,0.5);
% block C
\draw (6.2,0) rectangle (7.3,1.0) node[midway] {$C$};
\node at (4.0,-0.4) {Figure 3:};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(a) Obtain the velocities of blocks $A$, $B$ and $C$ just after the collision at $t=0$? Express the velocities in terms of $V_0$ and $\gamma =m/M$. Assume that the collision is elastic.

$V_A=$ $V_B=$ $V_C=$

(b) Draw free body diagrams for the blocks $B$ and $C$ after the collision and write down the equation of motion.

Free body diagram:

Equation of motion:

(c) For $t>0$ the positions of the blocks are given by

$x_B=\alpha t+\beta \sin (\omega t)(1)$ $x_C=L+\alpha t-\beta \sin (\omega t)(2)$

Find $\omega$ in terms of $m$ and $k$. Express $\alpha$ and $\beta$ in terms of $V_0$, $\gamma$ and $\omega$. (For this part, ignore the motion of block A.)

$\omega =$ $\alpha =$ $\beta =$

(d) Obtain the condition on $\gamma$ such that the block $A$ will collide with the block $B$ again at some time $t>0$?

Condition on $\gamma$:

Topic: Conservation of Momentum, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.16

Due blocchi, per esempio $B$ e $C$, ognuno di massa $m$ sono collegati da una sorgente di luce di forza costante $k$ e da una lunghezza naturale $L$. L’intero sistema si basa su una tavola senza attrito in modo tale che $x_B=0$ e $x_C=L$, dove $x_B$ e $x_C$ sono rispettivamente le coordinate dei blocchi $B$ e $C$. Un altro blocco (chiamato $A$) di massa $M$, che viaggia a velocità $V_0$, si schianta di fronte al blocco $B$ in un istante $t=0$ (vedi figura 1. (3)).

[ 3 + 2 + 2 + 3 = 10 ]

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% table
\draw[line width=1.2pt] (-0.5,0) -- (8,0);
% block A
\draw (0.5,0) rectangle (1.6,1.1) node[midway] {$A$};
% V0 arrow
\draw[->] (0.6,1.5) -- (1.7,1.5);
\node at (1.1,1.85) {$V_0$};
% block B
\draw (3.5,0) rectangle (4.6,1.0) node[midway] {$B$};
% spring (zig-zag)
\draw (4.6,0.5) -- (4.8,0.5) -- (4.95,0.75) -- (5.25,0.25) -- (5.55,0.75) -- (5.85,0.25) -- (6.0,0.5) -- (6.2,0.5);
% block C
\draw (6.2,0) rectangle (7.3,1.0) node[midway] {$C$};
\node at (4.0,-0.4) {Figure 3:};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(a) Ottenere le velocità dei blocchi $A$, $B$ e $C$ subito dopo la collisione a $t=0$? Esprimere le velocità in termini di $V_0$ e $\gamma =m/M$. Supponiamo che la collisione sia elastica.

$V_A=$ $V_B=$ $V_C=$

b) Disegnare diagrammi di corpo libero per i blocchi $B$ e $C$ dopo la collisione e annotare l’equazione di movimento.

Diagramma del corpo libero:

Equazione di movimento:

c) Per $t>0$ le posizioni dei blocchi sono indicate da

$x_B=\alpha t+\beta \sin (\omega t)(1)$ $x_C=L+\alpha t-\beta \sin (\omega t)(2)$

Trova $\omega$ in termini di $m$ e $k$. Esprimere $\alpha$ e $\beta$ in termini di $V_0$, $\gamma$ e $\omega$. (Per questa parte, ignorare il movimento del blocco A.)

$\omega =$ $\alpha =$ $\beta =$

d) Ottenere la condizione di $\gamma$ tale che il blocco $A$ si schianti di nuovo con il blocco $B$ in un certo momento $t>0$?

Condizione di $\gamma$:

Topic: Conservation of Momentum, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.16

The Cubic Potential: Consider a particle of mass $m$ moving in one dimension under the influence of potential energy

$u(x)=\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}-\delta x-\frac{\alpha x^3}{3}$

Here $\omega$, $\delta$ and $\alpha$ are real and positive.

[ 6 + 3 = 9 ]

(a) Sketch typical plots of $u(x)$ and identify extrema if any.

(b) Consider the case where (in appropriate units) we have $m=1$, $\omega =\sqrt{2}$, $\alpha =1$ and $\delta =1/2$. Sketch the potential energy $u(x)$. If the total energy of the particle moving in this one-dimensional potential is $E=0$ (in same units), discuss the motion of the particle in terms of allowed regions, boundedness and periodicity.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.19

Il potenziale cubo: Considera una particella di massa $m$ che si muove in una dimensione sotto l’influenza di energia potenziale

$u(x)=\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}-\delta x-\frac{\alpha x^3}{3}$

Qui $\omega$, $\delta$ e $\alpha$ sono reali e positivi.

[ 6 + 3 = 9 ]

a) Sceneggiare i grafici tipici di $u(x)$ e identificare se del caso gli estremi.

b) Considerare il caso in cui (in unità appropriate) abbiamo $m=1$, $\omega =\sqrt{2}$, $\alpha =1$ e $\delta =1/2$. Segna l’energia potenziale $u(x)$. Se l’energia totale della particella in movimento in questo potenziale unidimensionale è $E=0$ (in unità uguali), discutere il movimento della particella in termini di regioni ammesse, di limitazione e di periodicità.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.19