INPhO 2020

A certain gas obeys the equation of state $U(S,V,N)=a{S}^7/V^4{N}^2$, where $a$ is a dimensioned constant. Here $U$ represents the internal energy of the gas, $S$ the entropy, $V$ the volume and $N$ the fixed number of particles of the system.

(a) [3] Let such a gas be filled in a box of volume $V$ and the internal energy of the system be $U$. A partition is placed to divide the box into two equal parts, each having volume $V/2$. For each part, the internal energy is now $\alpha U$ and the dimensioned constant be $\beta a$. Obtain $\alpha$ and $\beta$.

$\alpha =\beta =$

(b) [2] The temperature $T$ can be expressed in terms of the derivative of internal energy as $T={\left(\frac{dU}{dS}\right)}_{V,N}$ where the subscripts indicate that the differentiation has been carried out keeping $V$ and $N$ constant. In a similar way, express pressure $P$ in terms of a derivative of the internal energy.

$P=$

(c) [1] Find the equation of state of the given system relating $P$, $T$, and $V$.

$P=$

(d) [7] One mole of this gas executes a Carnot cycle $ABCDA$ between reservoirs at temperatures $T_1$ and $T_2$ ($T_1>T_2$). Obtain the heat change in the process $AB$ ($Q_{AB}$) and work done by the system in the processes $AB$ and $BC$ ($W_{AB}$, $W_{BC}$) of the cycle. Express your answers only in terms of temperatures $T_1$, $T_2$, volumes $V_A$, $V_B$, and the other constants.

$Q_{AB}=W_{AB}=W_{BC}=$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$V$};
\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {$P$};
\draw[thick] (1,3.4) .. controls (1.6,2.6) and (2.2,2.2) .. (2.8,1.9);
\draw[thick] (2.8,1.9) .. controls (3.2,1.7) and (3.6,1.5) .. (4.0,1.35);
\draw[thick] (4.0,1.35) .. controls (3.4,1.1) and (2.6,0.95) .. (1.8,0.85);
\draw[thick] (1.8,0.85) .. controls (1.5,1.7) and (1.1,2.6) .. (1,3.4);
\node[above left] at (1,3.4) {$A$};
\node[above right] at (2.8,1.9) {$B$};
\node[right] at (4.0,1.35) {$C$};
\node[below] at (1.8,0.85) {$D$};
\draw[dashed] (1,3.4) -- (1,0) node[below] {$V_A$};
\draw[dashed] (2.8,1.9) -- (2.8,0) node[below] {$V_B$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Un certo gas obbedisce all’equazione dello stato $U(S,V,N)=a{S}^7/V^4{N}^2$, dove $a$ è una costante dimensionata. Qui $U$ rappresenta l’energia interna del gas, $S$ l’entropia, $V$ il volume e $N$ il numero fisso di particelle del sistema.

a) [3] Un tale gas deve essere riempito in una scatola di volume $V$ e l’energia interna del sistema deve essere $U$. Si colloca una partizione per dividere la scatola in due parti uguali, ognuna con un volume $V/2$. Per ciascuna parte, l’energia interna è ora $\alpha U$ e la costante dimensionata è $\beta a$. Ottenere $\alpha$ e $\beta$.

$\alpha =\beta =$

b) [2] La temperatura $T$ può essere espressa in termini di derivata di energia interna come $T={\left(\frac{dU}{dS}\right)}_{V,N}$ quando i sottoscrizioni indicano che la differenziazione è stata effettuata mantenendo le costanti $V$ e $N$. In modo simile, esprime la pressione $P$ in termini di derivata dell’energia interna.

$P=$

c) [1] Trova l’equazione dello stato del sistema dato relativa a $P$, $T$ e $V$.

$P=$

d) [7] Un mole di questo gas esegue un ciclo di Carnot $ABCDA$ tra i serbatoi a temperature $T_1$ e $T_2$ ($T_1>T_2$). Ottenere il cambiamento di calore nel processo $AB$ ($Q_{AB}$) e il lavoro svolto dal sistema nei processi $AB$ e $BC$ ($W_{AB}$, $W_{BC}$) del ciclo. Esprimere le risposte solo in termini di temperature $T_1$, $T_2$, volumi $V_A$, $V_B$ e altre costanti.

$Q_{AB}=W_{AB}=W_{BC}=$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$V$};
\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {$P$};
\draw[thick] (1,3.4) .. controls (1.6,2.6) and (2.2,2.2) .. (2.8,1.9);
\draw[thick] (2.8,1.9) .. controls (3.2,1.7) and (3.6,1.5) .. (4.0,1.35);
\draw[thick] (4.0,1.35) .. controls (3.4,1.1) and (2.6,0.95) .. (1.8,0.85);
\draw[thick] (1.8,0.85) .. controls (1.5,1.7) and (1.1,2.6) .. (1,3.4);
\node[above left] at (1,3.4) {$A$};
\node[above right] at (2.8,1.9) {$B$};
\node[right] at (4.0,1.35) {$C$};
\node[below] at (1.8,0.85) {$D$};
\draw[dashed] (1,3.4) -- (1,0) node[below] {$V_A$};
\draw[dashed] (2.8,1.9) -- (2.8,0) node[below] {$V_B$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

[12] An insulating uniformly charged cylindrical shell of radius $a$ lies with its axis along the $z$ axis. The shell’s moment of inertia per unit length about the $z$ axis and the surface charge density are $I$ and $\sigma$ respectively. The cylinder is placed in an external uniform magnetic field $B_{ex}\hat{z}$, and is initially at rest. Starting at $t=0$ the external magnetic field is slowly reduced to zero. What is the final angular velocity $\omega$ of the cylinder?

$\omega =$

Quesito 2

Topic: Electromagnetic Induction Metodi: Faraday’s Law of Induction, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

[12] Un involucro cilindrico isolante con carica uniforme del raggio $a$ si trova con il suo asse lungo l’asse $z$. Il momento di inerzia della conchiglia per unità di lunghezza circa l’asse $z$ e la densità di carica superficiale sono rispettivamente $I$ e $\sigma$. Il cilindro è collocato in un campo magnetico esterno uniforme $B_{ex}\hat{z}$ e iniziale a riposo. A partire da $t=0$ il campo magnetico esterno viene lentamente ridotto a zero. Qual è la velocità angolare finale $\omega$ del cilindro?

$\omega =$

Quesito 2

Topic: Electromagnetic Induction Metodi: Faraday’s Law of Induction, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Consider the Bohr model of the hydrogen atom. Let $m_e$ and $e$ be the mass and magnitude of the charge of the electron respectively. Let $a_0$ be the ground state radius (Bohr radius).

(a) [1] Obtain an expression for the ionisation energy $I_H$ of the ground state of the hydrogen atom in terms of $a_0$ and constants.

$I_H=$

(b) [2] Consider a singly ionised helium atom ${\text{He}}^{+}$. Obtain the ground state ionisation energy $I_{{\text{He}}^{+}}$ of ${\text{He}}^{+}$ in terms of $I_H$.

$I_{{\text{He}}^{+}}=$

(c) [1] Now consider a two electron system with arbitrary atomic number $Z$. Use the Bohr model to obtain the ground state radius ($r(Z)$) in terms of $a_0$ and $Z$. Assume the two electrons are in the same circular orbit and as far apart as possible.

$r(Z)=$

(d) [3] Derive an expression for the first ionisation energy $I_Z^{\text{th}}$ for two electron system with arbitrary $Z$ in terms of $Z$ and $I_H$.

$I_Z=$

(e) [8] The table below contains the experimental data of $I_Z^{\text{expt}}$ (in units of Rydberg where $1\text{Ryd}=13.6\text{eV}$) versus $Z$ for various two-electron systems.

Ion	$Z$	$I_Z^{\text{expt}}$
$H^{-}$	1	0.055
He	2	1.81
${\text{Li}}^{+}$	3	5.56
${\text{Be}}^{++}$	4	11.32
${\text{B}}^{3+}$	5	19.07
${\text{C}}^{4+}$	6	28.83
${\text{N}}^{5+}$	7	40.60
${\text{O}}^{6+}$	8	54.37
${\text{F}}^{7+}$	9	70.15

Experimental values were not found to be equal to the theoretical predictions. This difference arises mainly from non-inclusion of Pauli’s principle in the theoretical derivation of part (d). It was suggested that if the value of $Z$ was reduced by some fixed amount $\alpha$ ($Z^{\ast }=Z-\alpha$) in the final expression of $I_Z^{\text{th}}$ obtained in part (d), then $I_{Z^{\ast }}^{\text{th}}\approx I_Z^{\text{expt}}$. Draw a suitable linear plot and from the graph find $\alpha$. Two graph papers are provided with this booklet in case you make a mistake.

$\alpha =$

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Atom, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Considerate il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno. $m_e$ e $e$ siano rispettivamente la massa e la magnitudine della carica dell’elettrone. Il valore di $a_0$ deve essere il raggio di stato di terra (raggio di Bohr).

a) [1] Ottenere un’espressione dell’energia di ionizzazione $I_H$ dello stato di base dell’atomo di idrogeno in termini di $a_0$ e di costanti.

$I_H=$

b) [2] Considerare un atomo di elio ionizzato singolo ${\text{He}}^{+}$. Ottenere l’energia di ionizzazione $I_{{\text{He}}^{+}}$ dello stato di base di ${\text{He}}^{+}$ in termini di $I_H$.

$I_{{\text{He}}^{+}}=$

(c) [1] Ora consideriamo un sistema a due elettroni con numero atomico arbitrario $Z$. Utilizzare il modello di Bohr per ottenere il raggio di stato di terra ($r(Z)$) in termini di $a_0$ e $Z$. Supponiamo che i due elettroni siano nella stessa orbita circolare e distanti il più possibile.

$r(Z)=$

(d) [3] Derivare un’espressione per la prima energia di ionizzazione $I_Z^{\text{th}}$ per due sistemi elettronici con $Z$ arbitrario in termini di $Z$ e $I_H$.

$I_Z=$

e) [8] La tabella seguente contiene i dati sperimentali di $I_Z^{\text{expt}}$ (in unità di Rydberg dove $1\text{Ryd}=13.6\text{eV}$) rispetto a $Z$ per vari sistemi a due elettroni.

Ion	$Z$	$I_Z^{\text{expt}}$
$H^{-}$	1	0.055
He	2	1.81
${\text{Li}}^{+}$	3	5.56
${\text{Be}}^{++}$	4	11.32
${\text{B}}^{3+}$	5	19.07
${\text{C}}^{4+}$	6	28.83
${\text{N}}^{5+}$	7	40.60
${\text{O}}^{6+}$	8	54.37
${\text{F}}^{7+}$	9	70.15

I valori sperimentali non sono stati trovati uguali alle previsioni teoriche. Questa differenza deriva principalmente dalla non inclusione del principio di Pauli nella derivazione teorica della parte (d). È stato suggerito che se il valore di $Z$ è stato ridotto di un certo importo fisso $\alpha$ ($Z^{\ast }=Z-\alpha$) nell’espressione finale di $I_Z^{\text{th}}$ ottenuta nella parte (d), allora $I_{Z^{\ast }}^{\text{th}}\approx I_Z^{\text{expt}}$. Disegnare un grafico lineare appropriato e trovare dal grafico $\alpha$. In caso di errore, questo opuscolo contiene due carte grafiche.

$\alpha =$

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Atom, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A sound source $S$ is performing uniform circular motion with time period $T$. It is continuously emitting sound of a fixed frequency $f_0$. Two detectors 1 and 2 are placed somewhere in the same plane as the circular trajectory of the source. The frequency $f$, of the sound received by the two detectors is plotted as a function of time $t$ as shown below (the clocks of the two detectors are synchronized).

Quesito 4

Take the speed of sound in the medium to be 330 m/s.

(a) [2] Determine the time period $T$ of the source.

$T=$

(b) [6] The figure below shows the circular trajectory of the source $S$. Qualitatively mark the positions of both the detectors by indicating 1 and 2. Here $O$ denotes the centre of the trajectory. You must provide detailed justification of your answer in the detailed answer sheet.

Quesito 4

(c) [3] Obtain the frequency $f_0$ of the source.

$f_0=$

(d) [9] Calculate the distance ($D$) between the detectors.

$D=$

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Experimental Data Analysis Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una fonte sonora $S$ esegue un movimento circolare uniforme con periodo di tempo $T$. Esso emette continuamente un suono di frequenza fissa $f_0$. Due sensori 1 e 2 sono posizionati in qualche luogo nello stesso piano della traiettoria circolare della fonte. La frequenza $f$ del suono ricevuto dai due sensori è tracciata come funzione del tempo $t$ come mostrato di seguito (gli orologi dei due sensori sono sincronizzati).

Quesito 4

Si deve prendere la velocità del suono nel mezzo a 330 m/s.

a) [2] Determinare il periodo di tempo $T$ della fonte.

$T=$

b) [6] La figura seguente mostra la traiettoria circolare della fonte $S$. Marcare qualitativamente le posizioni di entrambi i sensori indicando 1 e 2. Qui $O$ indica il centro della traiettoria. La risposta deve essere giustificata in dettaglio nella scheda delle risposte.

Quesito 4

c) [3] Ottenere la frequenza $f_0$ della fonte.

$f_0=$

(d) [9] Calcolare la distanza ($D$) tra i sensori.

$D=$

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Experimental Data Analysis Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

[20] The following is the top view of an assembly kept on a smooth horizontal table.

Quesito 5

A massless inextensible string of length $D$ lies with one end fixed, while the other is attached to one end of a uniform rod of length $L$. The system is initially at rest with the rod aligned along the $x$-axis and the string stretched to its natural length at an angle with the negative $y$-axis $\theta$ ($\cos \theta =1/3$). At a certain instant, a bullet of the same mass $m$ as the rod and negligible dimensions is fired horizontally along the positive $y$-direction. The bullet hits the rod at its right end with velocity $v_o$ and gets lodged in it, the impact being nearly instantaneous. What is the tension ($T$) in the string immediately after the impact? Assume the string doesn’t break.

$T=$

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: String, Rod, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

[20] La seguente è la vista di cima di un assemblaggio tenuto su un tavolo orizzontale liscio.

Quesito 5

Una corda inestensibile senza massa di lunghezza $D$ si trova con una estremità fissa, mentre l’altra è attaccata ad una estremità di una canna uniforme di lunghezza $L$. Il sistema è inizialmente a riposo con la canna allineata lungo l’asse $x$ e la corda estesa alla sua lunghezza naturale in un angolo con l’asse $y$ $\theta$ negativo ($\cos \theta =1/3$). In un certo istante, un proiettile di massa $m$ e dimensioni trascurabili della canna viene sparato orizzontalmente lungo la direzione $y$ positiva. Il proiettile colpisce la canna alla sua estremità destra con velocità $v_o$ e si allontana in essa, l’impatto è quasi istantaneo. Qual è la tensione ($T$) nella corda immediatamente dopo l’impatto? Supponiamo che la corda non si rompa.

$T=$

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Momentum Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: String, Rod, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)