OII 2009 Sperimentale

Problema Sperimentale 1 — Determinazione della lunghezza d’onda di un diodo laser

Lo scopo di questo esperimento è di misurare la lunghezza d’onda di un diodo laser. La caratteristica particolare di questa misura è che non sono usate scale micrometriche precise (come per esempio reticoli di diffrazione prefabbricati). Le lunghezze più piccole che potrai misurare sono dell’ordine del millimetro. La lunghezza d’onda è determinata usando la diffrazione della luce prodotta dal profilo tagliente di una lametta di rasoio.

Dopo che il fascio laser (A) è stato riflesso sullo specchio (B), esso deve essere fatto passare attraverso la lente (C), che ha una lunghezza focale di pochi centimetri. Considera il fuoco come una sorgente puntiforme di luce che emette un’onda sferica. Dopo la lente, e lungo il tragitto della luce, il fascio colpisce il bordo tagliente di una lametta di rasoio, posta come ostacolo. Di conseguenza il bordo può essere considerato come una sorgente di luce che emette un’onda cilindrica. Queste due onde interferiscono una con l’altra, nella direzione di propagazione, dando origine a una distribuzione di frange di interferenza osservabili su uno schermo.

Sono da considerare due casi:

• Caso I: la lametta di rasoio è posta prima del fuoco della lente (B prima di F).
• Caso II: la lametta di rasoio è posta dopo il fuoco della lente (B dopo F).

Le cinque lunghezze fondamentali sono:

• $L$: distanza dal fuoco allo schermo.
• $b_{\mathrm{I}}$: distanza dalla lametta di rasoio allo schermo, Caso I.
• $b_{\mathrm{II}}$: distanza dalla lametta di rasoio allo schermo, Caso II.
• $y_n^{\mathrm{I}}$: posizione della $n$-esima frangia scura per il Caso I.
• $y_n^{\mathrm{II}}$: posizione della $n$-esima frangia scura per il Caso II.

Per entrambi i Casi, la prima frangia nera è la più ampia e corrisponde a $n=0$.

La condizione per ottenere una frangia scura è, per il Caso I: ${\Delta }_{\mathrm{I}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda ,n=0,1,2,\dots (1.1)$ e per il Caso II: ${\Delta }_{\mathrm{II}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda ,n=0,1,2,\dots (1.2)$ dove $\lambda$ è la lunghezza d’onda del fascio laser e ${\Delta }_{\mathrm{I}}$, ${\Delta }_{\mathrm{II}}$ sono le differenze di cammino ottico per ciascuno dei due casi.

Compito 1.1 (1.0 punto): Progetta la disposizione sperimentale sul banco ottico per ottenere le distribuzioni delle frange di interferenza. Disegna lo schema con le ETICHETTE dei componenti e il percorso del fascio laser; riporta l’altezza $h$ del fascio rispetto al piano del banco ottico.

Compito 1.2 (0.5 punti): Assumendo $b_{\mathrm{I}}\gg L$ per il Caso I e $b_{\mathrm{II}}\gg L$ per il Caso II nelle equazioni (1.3) e (1.4), ricava le espressioni approssimate per ${\Delta }_{\mathrm{I}}$ e ${\Delta }_{\mathrm{II}}$ in funzione di $L$. Usa l’approssimazione $\sqrt{1+x}\approx 1+x/2$ se $x\ll 1$.

Compito 1.3 (3.25 punti): Per entrambi i Casi I e II, misura le posizioni delle frange scure $y_n^{\mathrm{I}}$ e $y_n^{\mathrm{II}}$ in funzione del numero $n$ della frangia (non meno di 8 misure per ciascun caso). Riporta anche le posizioni della lametta $b_{\mathrm{I}}$ e $b_{\mathrm{II}}$ e indica lo strumento usato con la sua ETICHETTA.

Compito 1.4 (3.25 punti): Escogita un procedimento per ricavare i valori delle costanti di offset e di $\lambda$. Includi l’analisi degli errori e il grafico delle variabili analizzate su carta millimetrata.

Compito 1.5 (2.0 punti): Riporta il valore calcolato di $\lambda$ con la sua incertezza e l’analisi usata per ottenerla.

Figura 0: setup laser e specchio orientabile

Topic: Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Lens, Mirror, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Experimental problem 1 Determination of the wavelength of a laser diode

The purpose of this experiment is to measure the wavelength of a laser diode. The particular feature of this measurement is that precise micrometric scales (such as prefabricated diffraction lattices) are not used. The smallest lengths you can measure are in the order of a millimeter. The wavelength is determined by using the diffraction of light produced by the sharp profile of a razor blade.

After the laser beam (A) has been reflected onto the mirror (B), it must be passed through the lens (C), which has a focal length of a few centimetres. Consider fire as a pointed light source that emits a spherical wave. After the lens, and along the path of light, the beam hits the sharp edge of a razor blade, which is an obstacle. Consequently, the edge can be considered as a light source that emits a cylindrical wave. These two waves interfere with each other in the direction of propagation, giving rise to a distribution of interference fringes observable on a screen.

Two cases are to be considered:

• Case I: the razor blade is placed * before the lens flame (B before F).
• Case II: the razor blade is placed * after the lens flame (B after F).

The five basic lengths are:

• $L$: distance from the fire to the screen.
• $b_{\mathrm{I}}$: distance from the screen razor blade, case I.
• $b_{\mathrm{II}}$: distance from the screen razor blade, case II.
• $y_n^{\mathrm{I}}$: position of the $n$-eighth dark fringe for Case I.
• $y_n^{\mathrm{II}}$: position of the $n$-eighth dark fringe for Case II.

For both cases, the first black fringe is the widest and corresponds to $n=0$.

The condition for obtaining a dark fringe is, for Case I: ${\Delta }_{\mathrm{I}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda ,n=0,1,2,\dots (1.1)$ and for Case II: ${\Delta }_{\mathrm{II}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda ,n=0,1,2,\dots (1.2)$ where $\lambda$ is the laser beam wavelength and ${\Delta }_{\mathrm{I}}$, ${\Delta }_{\mathrm{II}}$ are the optical path differences for each of the two cases.

Task 1.1 (1.0 point): Designs the experimental arrangement on the optical bench to obtain the distribution of the interference fringes. Draw the diagram with the component labels and the path of the laser beam; report the beam height $h$ to the optical bench plane.

Task 1.2 (0.5 points): Assuming $b_{\mathrm{I}}\gg L$ for Case I and $b_{\mathrm{II}}\gg L$ for Case II in equations (1.3) and (1.4), it collects the approximate expressions for ${\Delta }_{\mathrm{I}}$ and ${\Delta }_{\mathrm{II}}$ in a function of $L$. Use the $\sqrt{1+x}\approx 1+x/2$ approximation if $x\ll 1$.

Task 1.3 (3.25 points): For both Cases I and II, measure the positions of the dark rims $y_n^{\mathrm{I}}$ and $y_n^{\mathrm{II}}$ according to the number of the rim $n$ (not less than 8 measurements per case). Also report the positions of the blade $b_{\mathrm{I}}$ and $b_{\mathrm{II}}$ and indicate the instrument used with its ETIQUOTE.

Task 1.4 (3.25 points): A procedure is chosen to obtain the values of the offset and of the $\lambda$ constants. Include error analysis and graphing of variables analyzed on millimeter paper.

Task 1.5 (2.0 points): Returns the calculated value of $\lambda$ with its uncertainty and the analysis used to obtain it.

Figure 0: Laser and orientation mirror setup

Topic: Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Lens, Mirror, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Problema Sperimentale 2 — Birifrangenza della mica

In questo esperimento misurerai la birifrangenza della mica, un cristallo usato spesso per componenti ottici polarizzanti.

La luce è un’onda elettromagnetica trasversale. Se il campo elettrico oscilla costantemente in una stessa direzione l’onda è linearmente polarizzata. Un filtro polarizzatore trasmette la luce polarizzata lungo il suo asse privilegiato (+).

Un foglio di mica presenta due assi ortogonali caratteristici, Asse 1 e Asse 2, con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$ rispettivamente. Questo dà luogo al fenomeno della birifrangenza $|\Delta n|=|n_1-n_2|$.

Quando luce polarizzata colpisce normalmente la lastrina di mica con l’Asse 1 che forma un angolo $\theta$ con la direzione di polarizzazione, l’onda trasmessa può essere decomposta in due componenti con intensità:

$I_{\parallel }\propto {\cos }^2\theta {\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)+{\sin }^2\theta {\sin }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)(2.3)$

$I_{\perp }\propto {\sin }^2\theta {\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)+{\cos }^2\theta {\sin }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)(2.4)$

dove $\delta$ è la differenza di fase tra le onde trasmesse parallela e perpendicolare, data da:

$\delta =\frac{2\pi }{\lambda }L|\Delta n|(2.5)$

con $L$ lo spessore della lastrina di mica, $\lambda$ la lunghezza d’onda della radiazione incidente e $|\Delta n|$ la birifrangenza.

Compito 2.1 (1.0 punto totale): Progetta il montaggio sperimentale per misurare le intensità $I_{\parallel }$ e $I_{\perp }$ dell’onda trasmessa in funzione dell’angolo $\theta$ di uno degli assi ottici. Presenta il disegno del banco ottico con le ETICHETTE dei componenti e i segni (+) e (-) dei polarizzatori:

• (a) (0.5 pt) Montaggio per la misura di $I_{\parallel }$.
• (b) (0.5 pt) Montaggio per la misura di $I_{\perp }$.

Compito 2.2 (0.25 punti): Il cilindro che contiene la mica presenta una graduazione regolare. Determina il valore in gradi che corrisponde al minimo intervallo (arco fra due linee consecutive).

Compito 2.3 (3.0 punti): Misura le intensità $I_{\parallel }$ e $I_{\perp }$ per un numero adeguatamente elevato di angoli ${\theta }^{\prime }$ (angoli misurati rispetto a un’origine provvisoria). Riporta le misure nella Tabella I.

Compito 2.4 (1.0 punto): Trova uno zero appropriato per $\theta$. La collocazione dell’Asse 1 definisce lo zero di $\theta$. Determina lo scostamento ${\theta }_0$ graficamente o numericamente (usando l’approssimazione parabolica intorno a un massimo o minimo), in modo che $\theta ={\theta }^{\prime }-{\theta }_0$. Riporta il valore di ${\theta }_0$ in gradi.

Compito 2.5 (0.5 punti): Scegli la relazione appropriata fra le variabili per determinare la differenza di fase $\delta$ e descrivi il metodo.

Compito 2.6 (3.25 punti totali):

• (1.0 pt) Compila la Tabella II con i valori delle variabili scelti, usando gli angoli corretti $\theta$, e fai il grafico su carta millimetrata.
• (1.75 pt) Sviluppa l’analisi dei dati per ottenere la misura di $\delta$ con le incertezze; riporta le formule utilizzate e l’analisi grafica.
• (0.5 pt) Calcola il valore di $\delta$ in radianti con la sua incertezza, nell’intervallo $[0,2\pi )$.

Compito 2.7 (1.0 punto): Calcola la birifrangenza $|\Delta n|$. Tieni conto che aggiungere $2\pi N$ ($N$ intero) a $\delta$ o cambiare il segno di $\delta$ non modifica le intensità ma cambia $|\Delta n|$. Usa la relazione: $|\Delta n|=\frac{\lambda \delta }{2\pi L}$ dove il valore di $L$ (in micrometri) è scritto sul cilindro che contiene la mica (incertezza $\Delta L=1\mu \text{m}$). Per $\lambda$ usa il valore trovato nel Problema 1 oppure il valor medio tra $620\text{nm}$ e $750\text{nm}$ (banda del rosso).

Topic: Wave Optics, Electromagnetism Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Problema Sperimentale 2 — Birifrangenza della mica

In this experiment, you’ll measure the bifurcation of mica, a crystal often used for polarizing optical components.

Light is a transverse electromagnetic wave. If the electric field is constantly oscillating in the same direction, the wave is linearly polarized. A polarizing filter transmits the polarized light along its privileged axis (+).

A mica sheet has two characteristic orthogonal axes, Axis 1 and Axis 2, with refractive indices $n_1$ and $n_2$ respectively. This gives rise to the phenomenon of birfrangence $|\Delta n|=|n_1-n_2|$.

When polarized light normally hits the mica strip with the axis 1 forming an angle $\theta$ with the direction of polarization, the transmitted wave can be broken down into two components with intensity:

$I_{\parallel }\propto {\cos }^2\theta {\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)+{\sin }^2\theta {\sin }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)(2.3)$

$I_{\perp }\propto {\sin }^2\theta {\cos }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)+{\cos }^2\theta {\sin }^2\left(\frac{\delta }{2}\right)(2.4)$

where $\delta$ is the phase difference between parallel and perpendicular transmitted waves, given by:

$\delta =\frac{2\pi }{\lambda }L|\Delta n|(2.5)$

with $L$ the thickness of the mica strip, $\lambda$ the wavelength of the incident radiation and $|\Delta n|$ the bifurcation.

Task 2.1 (1.0 total point): Designs the experimental assembly to measure the intensities $I_{\parallel }$ and $I_{\perp }$ of the transmitted wave according to the angle $\theta$ of one of the optical axes. It shall show the drawing of the optical bench with the component labels and the signs (+) and (-) of the polarizers:

• **(a) ** (0.5 pt) Assembly for the measurement of $I_{\parallel }$.
• **(b) ** (0.5 pt) Assembly for the measurement of $I_{\perp }$.

**Task 2.2 ** (0.25 points): The cylinder containing mica has a regular grading. Determine the value in degrees that corresponds to the minimum interval (arc between two consecutive lines).

Task 2.3 (3.0 points): Measures the intensities $I_{\parallel }$ and $I_{\perp }$ for a sufficiently high number of angles ${\theta }^{\prime }$ (angles measured from a provisional origin). Report the measures in Table I.

Task 2.4 (1.0 points): Find an appropriate zero for $\theta$. The position of the axis 1 defines the zero of $\theta$. Determine the ${\theta }_0$ deviation graphically or numerically (using parabolic approximation around a maximum or minimum), so that $\theta ={\theta }^{\prime }-{\theta }_0$. Returns the value of ${\theta }_0$ in degrees.

Task 2.5 (0.5 points): Select the appropriate ratio of variables to determine the phase difference $\delta$ and describe the method.

Compito 2.6 (3.25 punti totali):

• (1.0 pt) Complete Table II with the values of the selected variables, using the correct angles $\theta$, and draw the graph on millimeter paper.
• (1.75 pt) Develops data analysis to obtain the $\delta$ measurement with uncertainties; reports the formulas used and graphic analysis.
• (0.5 pt) Calculates the value of $\delta$ in radiants with its uncertainty, in the range $[0,2\pi )$.

Compito 2.7 (1.0 punto): Calcola la birifrangenza $|\Delta n|$. Note that adding $2\pi N$ ($N$ whole) to $\delta$ or changing the $\delta$ sign does not change the intensities but changes $|\Delta n|$. Use the report: $|\Delta n|=\frac{\lambda \delta }{2\pi L}$ where the value of $L$ (in micrometres) is written on the mica-containing cylinder (uncertainty $\Delta L=1\mu \text{m}$). For $\lambda$ use the value found in Problem 1 or the mean value between $620\text{nm}$ and $750\text{nm}$ (red band).

Topic: Wave Optics, Electromagnetism Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)