IPhO 2006 — Teorica — Problema 1

Problema teorico n. 1: La gravità in un interferometro per neutroni

Situazione fisica Consideriamo la situazione del famoso esperimento realizzato da Collela, Overhauser e Werner con un interferometro per neutroni, ma l’apparato sperimentale viene schematizzato tanto da considerare i divisori di fascio e gli specchi dell’interferometro come perfetti. L’esperimento studia gli effetti dell’attrazione gravitazionale sulla lunghezza d’onda di de Broglie dei neutroni.

La rappresentazione schematica di questo interferometro, in analogia a quella di un interferometro ottico, è mostrata in Figura 1a. I neutroni entrano nell’interferometro attraverso la porta IN e seguono i due percorsi mostrati. I neutroni vengono rivelati ad ognuna delle due porte di uscita, OUT1 o OUT2. I due percorsi racchiudono una superficie a forma di rombo, che, tipicamente, ha un’area di qualche cm².

Le lunghezze d’onda di de Broglie dei neutroni (tipicamente dell’ordine di circa $10^{-10}$ m) interferiscono in modo tale che, quando il piano dell’interferometro è orizzontale, tutti i neutroni emergono dalla porta di uscita OUT1; ma quando l’interferometro viene ruotato di un angolo $\varphi$ intorno alla direzione del fascio dei neutroni incidenti (Figura 1b), si osserva una ridistribuzione, in funzione dell’angolo $\varphi$, dei neutroni tra le due porte di uscita OUT1 e OUT2.

Geometria Per $\varphi =0$ il piano dell’interferometro è orizzontale; per $\varphi =\pi /2$ il piano è verticale con le porte di uscita al di sopra dell’asse di rotazione.

1.1 (1.0) Qual è l’area $A$ del rombo racchiuso dai due percorsi dell’interferometro? Esprimi $A$ in funzione di $a$ e $\varphi$.

1.2 (1.0) Qual è l’altezza $h$ della porta di uscita OUT1 al di sopra del piano orizzontale dell’asse di rotazione? Esprimi $h$ in funzione di $a$, $\varphi$ e $\theta$.

Cammino ottico Il cammino ottico $N_{\mathrm{opt}}$ (un numero) è il rapporto tra la lunghezza geometrica del percorso (una distanza) e la lunghezza d’onda $\lambda$. Se $\lambda$ cambia lungo il percorso, $N_{\mathrm{opt}}$ si ottiene integrando ${\lambda }^{-1}$ lungo il percorso.

1.3 (3.0) Qual è la differenza $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ tra i cammini ottici dei due percorsi quando l’interferometro è stato ruotato di un angolo $\varphi$? Esprimi la tua risposta in funzione di $a$, $\varphi$ e $\theta$, della massa $M$ del neutrone, della lunghezza d’onda di de Broglie ${\lambda }_0$ dei neutroni incidenti, dell’accelerazione gravitazionale $g$ e della costante di Planck $h$.

1.4 (1.0) Introduci il parametro di volume $V=\frac{2\pi M^{2}g{\lambda }_0{a}^2}{h^2}$ ed esprimi $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ solamente in funzione di $V$, $\varphi$, $\theta$ e $a$. Determina il valore numerico di $V$ nel caso di $M=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, $g=9.800\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ e $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$.

1.5 (2.0) Quanti cicli – da una situazione di alta intensità ad una di bassa intensità e di nuovo ad una di alta intensità – vengono completati alla porta OUT1 quando $\varphi$ cresce da $0$ a $\pi /2$?

Dati sperimentali L’interferometro di un esperimento reale era caratterizzato da $a=3.600\mathrm{cm}$ e ${\lambda }_0=1.419\mathring{\mathrm{A}}$, e si sono osservati 19.00 cicli completi.

1.6 (1.0) Quanto vale $V{a}^2$ in questo esperimento?

1.7 (1.0) Se in un altro esperimento dello stesso tipo, in cui si usano neutroni con ${\lambda }_0=0.2000\mathrm{nm}$, si osservano 30.00 cicli completi, quanto vale l’area $A$?

Suggerimento: Se $\varphi =\pi /2$, si può sostituire $\sin \varphi$ con $\cos \theta$.

Interferometro per neutroni Figura 1a

Interferometro ruotato di φ Figura 1b

Topic: Modern-Quantum Physics, Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: de Broglie Relation, Conservation of Energy, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.1

Theoretical Problem No. 1: Gravity in a Neutron Interferometer

Physical Situation Consider the situation of the famous experiment carried out by Collela, Overhauser, and Werner using a neutron interferometer, but with the experimental apparatus simplified so that beam splitters and mirrors in the interferometer are considered ideal. The experiment investigates the effects of gravitational attraction on the de Broglie wavelength of neutrons.

The schematic representation of this interferometer, analogous to that of an optical interferometer, is shown in Figure 1a. Neutrons enter the interferometer through the IN port and follow the two paths shown. The neutrons are detected at either of the two output ports, OUT1 or OUT2. The two paths enclose a surface shaped like a rhombus, typically with an area of several cm².

The de Broglie wavelengths of the neutrons (typically on the order of approximately $10^{-10}$ m) interfere such that, when the plane of the interferometer is horizontal, all neutrons emerge from the OUT1 output port; however, when the interferometer is rotated by an angle $\varphi$ around the direction of the incident neutron beam (Figure 1b), a redistribution of neutrons between the two output ports OUT1 and OUT2 is observed, depending on the angle $\varphi$.

Geometry For $\varphi =0$ the interferometer plane is horizontal; for $\varphi =\pi /2$ the plane is vertical with the output ports located above the rotation axis.

1.1 (1.0) What is the area $A$ of the rhombus enclosed by the two paths of the interferometer? Express $A$ in terms of $a$ and $\varphi$.

1.2 (1.0) What is the height $h$ of the OUT1 output port above the horizontal plane of the rotation axis? Express $h$ in terms of $a$, $\varphi$ and $\theta$.

Optical path The optical path length $N_{\mathrm{opt}}$ (a number) is the ratio between the geometric path length (a distance) and the wavelength $\lambda$. If $\lambda$ varies along the path, $N_{\mathrm{opt}}$ is obtained by integrating ${\lambda }^{-1}$ along the path.

1.3 (3.0) What is the difference $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ between the optical path lengths of the two paths when the interferometer has been rotated by an angle $\varphi$? Express your answer in terms of $a$, $\varphi$ and $\theta$, the neutron mass $M$, the de Broglie wavelength ${\lambda }_0$ of the incident neutrons, the gravitational acceleration $g$ and Planck’s constant $h$.

1.4 (1.0) Introduce the volume parameter $V=\frac{2\pi M^{2}g{\lambda }_0{a}^2}{h^2}$ and express $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ solely in terms of $V$, $\varphi$, $\theta$ and $a$. Determine the numerical value of $V$ for the case when $M=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, $g=9.800\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ and $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$.

1.5 (2.0) How many cycles – from a high-intensity condition to a low-intensity one and back to a high-intensity one – are completed at the OUT1 port when $\varphi$ increases from $0$ to $\pi /2$?

Experimental Data The interferometer in a real experiment was characterized by $a=3.600\mathrm{cm}$ and ${\lambda }_0=1.419\mathring{\mathrm{A}}$, and 19.00 complete cycles were observed.

1.6 (1.0) What is the value of $V{a}^2$ in this experiment?

1.7 (1.0) If in another experiment of the same type, using neutrons with ${\lambda }_0=0.2000\mathrm{nm}$, 30.00 complete cycles are observed, what is the value of area $A$?

Hint: If $\varphi =\pi /2$, then $\sin \varphi$ can be replaced by $\cos \theta$.

Neutron interferometer Figure 1a

Rotated interferometer by φ Figure 1b