OII na Teorica

Problema teorico n. 1: La gravità in un interferometro per neutroni

Situazione fisica Consideriamo la situazione del famoso esperimento realizzato da Collela, Overhauser e Werner con un interferometro per neutroni, ma l’apparato sperimentale viene schematizzato tanto da considerare i divisori di fascio e gli specchi dell’interferometro come perfetti. L’esperimento studia gli effetti dell’attrazione gravitazionale sulla lunghezza d’onda di de Broglie dei neutroni.

La rappresentazione schematica di questo interferometro, in analogia a quella di un interferometro ottico, è mostrata in Figura 1a. I neutroni entrano nell’interferometro attraverso la porta IN e seguono i due percorsi mostrati. I neutroni vengono rivelati ad ognuna delle due porte di uscita, OUT1 o OUT2. I due percorsi racchiudono una superficie a forma di rombo, che, tipicamente, ha un’area di qualche cm².

Le lunghezze d’onda di de Broglie dei neutroni (tipicamente dell’ordine di circa $10^{-10}$ m) interferiscono in modo tale che, quando il piano dell’interferometro è orizzontale, tutti i neutroni emergono dalla porta di uscita OUT1; ma quando l’interferometro viene ruotato di un angolo $\varphi$ intorno alla direzione del fascio dei neutroni incidenti (Figura 1b), si osserva una ridistribuzione, in funzione dell’angolo $\varphi$, dei neutroni tra le due porte di uscita OUT1 e OUT2.

Geometria Per $\varphi =0$ il piano dell’interferometro è orizzontale; per $\varphi =\pi /2$ il piano è verticale con le porte di uscita al di sopra dell’asse di rotazione.

1.1 (1.0) Qual è l’area $A$ del rombo racchiuso dai due percorsi dell’interferometro? Esprimi $A$ in funzione di $a$ e $\varphi$.

1.2 (1.0) Qual è l’altezza $h$ della porta di uscita OUT1 al di sopra del piano orizzontale dell’asse di rotazione? Esprimi $h$ in funzione di $a$, $\varphi$ e $\theta$.

Cammino ottico Il cammino ottico $N_{\mathrm{opt}}$ (un numero) è il rapporto tra la lunghezza geometrica del percorso (una distanza) e la lunghezza d’onda $\lambda$. Se $\lambda$ cambia lungo il percorso, $N_{\mathrm{opt}}$ si ottiene integrando ${\lambda }^{-1}$ lungo il percorso.

1.3 (3.0) Qual è la differenza $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ tra i cammini ottici dei due percorsi quando l’interferometro è stato ruotato di un angolo $\varphi$? Esprimi la tua risposta in funzione di $a$, $\varphi$ e $\theta$, della massa $M$ del neutrone, della lunghezza d’onda di de Broglie ${\lambda }_0$ dei neutroni incidenti, dell’accelerazione gravitazionale $g$ e della costante di Planck $h$.

1.4 (1.0) Introduci il parametro di volume $V=\frac{2\pi M^{2}g{\lambda }_0{a}^2}{h^2}$ ed esprimi $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ solamente in funzione di $V$, $\varphi$, $\theta$ e $a$. Determina il valore numerico di $V$ nel caso di $M=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, $g=9.800\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ e $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$.

1.5 (2.0) Quanti cicli – da una situazione di alta intensità ad una di bassa intensità e di nuovo ad una di alta intensità – vengono completati alla porta OUT1 quando $\varphi$ cresce da $0$ a $\pi /2$?

Dati sperimentali L’interferometro di un esperimento reale era caratterizzato da $a=3.600\mathrm{cm}$ e ${\lambda }_0=1.419\mathring{\mathrm{A}}$, e si sono osservati 19.00 cicli completi.

1.6 (1.0) Quanto vale $V{a}^2$ in questo esperimento?

1.7 (1.0) Se in un altro esperimento dello stesso tipo, in cui si usano neutroni con ${\lambda }_0=0.2000\mathrm{nm}$, si osservano 30.00 cicli completi, quanto vale l’area $A$?

Suggerimento: Se $\varphi =\pi /2$, si può sostituire $\sin \varphi$ con $\cos \theta$.

Interferometro per neutroni Figura 1a

Interferometro ruotato di φ Figura 1b

Topic: Modern-Quantum Physics, Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: de Broglie Relation, Conservation of Energy, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema teorico n. 1: Gravity in a neutron interferometer

Situazione fisica Consideriamo la situazione del famoso esperimento realizzato da Collela, Overhauser e Werner con un interferometro per neutroni, ma l’apparato sperimentale viene schematizzato tanto da considerare i divisori di fascio e gli specchi dell’interferometro come perfetti. The experiment studies the effects of gravitational attraction on de Broglie’s wavelength of neutrons.

The schematic representation of this interferometer, by analogy with that of an optical interferometer, is shown in Figure 1a. Neutron enters the interferometer through the IN gate and follows the two paths shown. Neutrons are detected at each of the two outlets, OUT1 or OUT2. The two routes cover a roughly square surface, typically a few centimetres.

The de Broglie wavelengths of the neutrons (typically of the order of about $10^{-10}$ m) interfere in such a way that, when the interferometer plane is horizontal, all the neutrons emerge from the OUT1 exit port; but when the interferometer is rotated at an angle $\varphi$ around the direction of the incident neutron beam (Figure 1b), a redistribution of neutrons is observed, according to the angle $\varphi$, between the two OUT1 and OUT2 exit ports.

Geometria Per $\varphi =0$ il piano dell’interferometro è orizzontale; per $\varphi =\pi /2$ il piano è verticale con le porte di uscita al di sopra dell’asse di rotazione.

1.1 (1.0) What is the area $A$ of the rim enclosed by the two paths of the interferometer? Esprimi $A$ in funzione di $a$ e $\varphi$.

1.2 (1.0) What is the height of the $h$ of the OUT1 exit gate above the horizontal plane of the rotating axis? Esprimi $h$ in funzione di $a$, $\varphi$ e $\theta$.

Optical path The optical path $N_{\mathrm{opt}}$ (a number) is the ratio between the geometrical length of the path (a distance) and the wavelength $\lambda$. If $\lambda$ changes along the path, $N_{\mathrm{opt}}$ is obtained by integrating ${\lambda }^{-1}$ along the path.

1.3 (3.0) What is the difference $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ between the optical paths of the two paths when the interferometer has been rotated at an angle $\varphi$? Express your response in terms of $a$, $\varphi$ and $\theta$, the mass $M$ of the neutron, the de Broglie wavelength ${\lambda }_0$ of the incident neutrons, the gravitational acceleration $g$ and the Planck constant $h$.

1.4 (1.0) Introduci il parametro di volume $V=\frac{2\pi M^{2}g{\lambda }_0{a}^2}{h^2}$ and express $\Delta N_{\mathrm{opt}}$ only in terms of $V$, $\varphi$, $\theta$ and $a$. Determine the numerical value of $V$ in the case of $M=1.675\times 10^{-27}\mathrm{kg}$, $g=9.800\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ and $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$.

1.5 (2.0) Quanti cicli – da una situazione di alta intensità ad una di bassa intensità e di nuovo ad una di alta intensità – vengono completati alla porta OUT1 quando $\varphi$ cresce da $0$ a $\pi /2$?

Experimental data The interferometer of a real experiment was $a=3.600\mathrm{cm}$ and ${\lambda }_0=1.419\mathring{\mathrm{A}}$, and 19.00 complete cycles were observed.

1.6 (1.0) Quanto vale $V{a}^2$ in questo esperimento?

1.7 (1.0) Se in un altro esperimento dello stesso tipo, in cui si usano neutroni con ${\lambda }_0=0.2000\mathrm{nm}$, si osservano 30.00 cicli completi, quanto vale l’area $A$?

Suggerimento: Se $\varphi =\pi /2$, si può sostituire $\sin \varphi$ con $\cos \theta$.

Interferometro per neutroni Figura 1a

Interferometro ruotato di φ Figura 1b

Topic: Modern-Quantum Physics, Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: de Broglie Relation, Conservation of Energy, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.1