IPhO 2003 — Teorica — Problema 1

Un pendolo con un peso che cade

Una bacchetta cilindrica di raggio $R$ viene tenuta orizzontalmente, in alto rispetto al suolo. Un piccolo corpo di massa $m$ viene sospeso dal punto più alto del cilindro, $A$, con un filo di massa trascurabile e lunghezza $L$ ($L>2\pi R$), come si vede in Figura 1a. Il corpo viene alzato fino al livello di $A$ e poi lasciato cadere, come un pendolo, dalla quiete mentre il filo è teso. Trascura qualsiasi allungamento del filo. Fai l’ipotesi che il corpo possa essere trattato come punto materiale e che oscilli solo in un piano ortogonale all’asse del cilindro. Per queste ragioni chiameremo particella il corpo. L’accelerazione gravitazionale sia $g$.

Poniamo in $O$ l’origine di un sistema di coordinate. Quando la particella è nel punto $P$ il filo è tangente in $Q$ alla superficie del cilindro. Sia $s$ la lunghezza del segmento $QP$. Il versore tangente e il versore radiale in $Q$ siano rispettivamente $\hat{t}$ e $\hat{r}$. La deviazione angolare $\theta$ del raggio $OQ$ si considera positiva se misurata in verso antiorario a partire dall’asse $x$ verticale lungo $OA$.

Quando $\theta =0$ la lunghezza $s$ è uguale a $L$ e l’energia potenziale gravitazionale $U$ della particella è posta uguale a zero. Quando la particella si muove, indichiamo con $\dot{\theta }$ e $\dot{s}$ rispettivamente le derivate temporali di $\theta$ e $s$.

Salvo esplicita indicazione in contrario, tutte le velocità e i loro moduli sono riferite al punto fisso $O$.

Parte A

Nella parte A, il filo è sempre teso durante il moto della particella. Trova, in funzione delle quantità definite in precedenza (cioè $s$, $\theta$, $\dot{\theta }$, $\dot{s}$, $R$, $L$, $g$, $\hat{t}$ e $\hat{r}$):

(a) La relazione fra $\dot{s}$ e $\dot{\theta }$. [0,5 punti]

(b) La velocità $v_Q$ del punto mobile $Q$ rispetto ad $O$. [0,5 punti]

(c) La velocità $v^{\prime }$ della particella quando si trova in $P$, rispetto al punto mobile $Q$. [0,7 punti]

(d) La velocità $v$ della particella quando si trova in $P$, rispetto al punto $O$. [0,7 punti]

(e) La componente lungo $\hat{t}$ dell’accelerazione della particella quando si trova in $P$, rispetto al punto $O$. [0,7 punti]

(f) L’energia potenziale gravitazionale $U$ della particella quando si trova in $P$. [0,5 punti]

(g) Il modulo $v_m$ della velocità della particella nel punto più basso della sua traiettoria. [0,7 punti]

Parte B

Nella parte B, il rapporto fra $L$ e $R$ vale:

$\frac{L}{R}=\frac{9\pi }{8}+\frac{2}{3}\cot \frac{\pi }{16}=3,534+3,352=6,886$

(h) Qual è il modulo $v_s$ della velocità della particella nella posizione per la quale il tratto di filo fra $Q$ e $P$ è ancora rettilineo ma $s$ ha il valore minimo? (esprimila in termini di $g$ e $R$) [2,4 punti]

(i) Qual è il modulo $v_H$ della velocità della particella nel punto più alto $H$ che essa raggiunge dopo essere oscillata dall’altra parte della bacchetta rispetto al punto di partenza? (esprimila in termini di $g$ e $R$) [1,9 punti]

Parte C

Nella parte C, il pendolo di massa $m$, invece di essere sospeso in $A$, è connesso, con un filo che passa sopra la bacchetta, ad un altro corpo di massa $M>m$, come mostrato in Figura 1b. Anche questo secondo corpo può essere trattato come una particella.

Inizialmente il pendolo viene tenuto allo stesso livello di $A$ in modo che, quando il peso di massa $M$ pende al di sotto del livello di $O$, il filo sia teso con un tratto orizzontale di lunghezza $L$. Poi il pendolo viene lasciato libero a partire dalla quiete e il peso inizia a cadere. Supponi che il pendolo rimanga in un piano verticale e che esso possa oscillare liberamente al di là del peso che scende, senza intoppi.

L’attrito dinamico fra il filo e la superficie della bacchetta cilindrica è trascurabile. Ma si suppone che l’attrito statico sia abbastanza grande perché il peso resti fermo se, dopo la caduta, la sua velocità si annulla.

(j) Fai l’ipotesi che il peso si fermi effettivamente dopo essere sceso di un tratto $D$ e che $(L-D)\gg R$. Se in tal caso il pendolo può ruotare di $\theta =2\pi$ intorno alla bacchetta mentre entrambi i tratti del filo che non toccano la bacchetta restano rettilinei, si trova che il rapporto $\alpha =D/L$ non può essere minore di un valore critico ${\alpha }_c$. Trascurando i termini dell’ordine di $R/L$ o più alti, dai una stima di ${\alpha }_c$ in termini di $M/m$. [3,4 punti]

p.1 — Figura 1a: pendolo con peso attorno al cilindro

p.2 — Figura 1b: filo avvolto sulla bacchetta

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Energy Conservation Method, Conservation Laws Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod, Pendulum, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

A falling-weight pendulum

A cylindrical rod of radius $R$ is held horizontally, high above the ground. A small body of mass $m$ is suspended from the highest point of the cylinder, $A$, by a massless string of length $L$ ($L>2\pi R$), as shown in Figure 1a. The body is raised up to the level of $A$ and then released from rest, falling like a pendulum while the string remains taut. Neglect any stretching of the string. Assume that the body may be treated as a point mass and that it oscillates only in a plane perpendicular to the axis of the cylinder. For these reasons, we shall refer to the body as a particle. Let the acceleration due to gravity be $g$.

Let us place the origin at $O$. When the particle is located at point $P$, the string is tangent to the cylinder’s surface at point $Q$. Let $s$ denote the length of segment $QP$. Let $\hat{t}$ and $\hat{r}$ be the tangent and radial unit vectors, respectively, at point $Q$. The angular deviation $\theta$ of radius $OQ$ is considered positive when measured counterclockwise from the vertical axis $x$ along $OA$.

When $\theta =0$ the length $s$ equals $L$ and the gravitational potential energy $U$ of the particle is set to zero. As the particle moves, denote by $\dot{\theta }$ and $\dot{s}$ respectively the time derivatives of $\theta$ and $s$.

Unless otherwise explicitly stated, all velocities and their magnitudes are referred to the fixed point $O$.

Part A

In part A, the string remains taut throughout the motion of the particle. Find, in terms of the quantities defined previously (i.e., $s$, $\theta$, $\dot{\theta }$, $\dot{s}$, $R$, $L$, $g$, $\hat{t}$ and $\hat{r}$):

(a) The relation between $\dot{s}$ and $\dot{\theta }$. [0.5 points]

(b) The velocity $v_Q$ of the moving point $Q$ relative to $O$. [0.5 points]

(c) The velocity $v^{\prime }$ of the particle when it is located at $P$, relative to the moving point $Q$. [0.7 points]

(d) The velocity $v$ of the particle when it is located at $P$, relative to the point $O$. [0.7 points]

(e) The component along $\hat{t}$ of the acceleration of the particle when it is located at $P$, relative to the point $O$. [0.7 points]

(f) The gravitational potential energy $U$ of the particle when it is located at $P$. [0.5 points]

(g) The magnitude $v_m$ of the velocity of the particle at the lowest point of its trajectory. [0.7 points]

Part B

In part B, the ratio between $L$ and $R$ is:

$\frac{L}{R}=\frac{9\pi }{8}+\frac{2}{3}\cot \frac{\pi }{16}=3,534+3,352=6,886$

(h) What is the magnitude $v_s$ of the velocity of the particle at the position for which the segment of string between $Q$ and $P$ is still straight but $s$ has its minimum value? (Express it in terms of $g$ and $R$) [2.4 points]

(i) What is the magnitude $v_H$ of the velocity of the particle at the highest point $H$ it reaches after oscillating to the other side of the rod relative to the starting point? (Express it in terms of $g$ and $R$) [1.9 points]

Part C

In part C, the pendulum of mass $m$, instead of being suspended from $A$, is connected via a string passing over the rod to another body of mass $M>m$, as shown in Figure 1b. This second body may also be treated as a point mass.

Initially, the pendulum is held at the same height as $A$ such that when the mass $M$ hangs below the level of $O$, the string is taut with a horizontal segment of length $L$. Then, the pendulum is released from rest and the mass begins to fall. Assume that the pendulum remains in a vertical plane and may freely swing past the falling mass without obstruction.

The dynamic friction between the string and the surface of the cylindrical rod is negligible. However, it is assumed that static friction is sufficiently large so that the mass remains at rest if, after falling, its velocity becomes zero.

(j) Assume that the mass actually comes to rest after descending a distance $D$ and that $(L-D)\gg R$. If under these conditions the pendulum can rotate by an angle $\theta =2\pi$ around the rod while both segments of the string not in contact with the rod remain straight, it is found that the ratio $\alpha =D/L$ cannot be less than a critical value ${\alpha }_c$. Neglecting terms of order $R/L$ or higher, provide an estimate of ${\alpha }_c$ in terms of $M/m$. [3,4 points]

p.1 — Figure 1a: pendulum with mass around the cylinder

p.2 — Figure 1b: wire wrapped around the rod